Tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo – Ngô Quang Chiến

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ngô Quang Chiến

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO
I.
NHẮC LẠI KIẾN THỨC .
1. Công thức :  udv  vu   vdu
2. Áp dụng với các dạng nguyên hàm :  p( x).e axbdx ;  p( x).sin( ax  b)dx ;
 p( x).cos( ax  b)dx ;  p( x).lnn (ax  b)dx ;…

3. Cách đặt :
 Ưu tiên đặt “u”theo : logarit  ln  _ đa thức ( p( x)) _ lượng giác

 sin x ,cos x  _ mũ  e x  . Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng”,

tứ “mũ”

 Phần còn lại là “dv”
II.
PHƯƠNG PHÁP .
1. Chia thành 2 cột
 Cột 1 (cột trái : cột u) luôn lấy đạo hàm tới 0
 Cột 2 (cột phải : cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng
với cột 1
2. Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau.
3. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-)…
III.

PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ .

Dạng 1 :  f ( x).e axbdx

VD1: Tính nguyên hàm : I  (2 x 2  3).e x dx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
u  2 x2  3
dv  e xdx
+
4x
ex
4

-

ex

0

+

ex

 I  e x (2 x 2  3)  4 x.e x  4 e x  C

 e x (2 x 2  4 x  1)  C

2

VD2: Tính nguyên hàm : I  ( x3  2x).e x dx

2

1
2

2

Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý : I  ( x2  2).e x .xdx  ( x2  2).e x d( x2 )
u  x2

I

1
(u  2).eu .du
2

Trang 1/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
(đạo hàm )
u 2

dấu

1

+

(nguyên hàm)
eu
eu

0

-

eu

Ngô Quang Chiến
 I  e u (u  2)  1e u  C
2

 e u .(u  1)  C  e x ( x 2  1)  C

VD3: Tính nguyên hàm I   x3 .e 2 x1dx
Ta biến đổi I 

1
(2 x)3 e 2 x1d(2 x)
16

2x  u

I

(đạo hàm )
u3
3u2

dấu
+

(nguyên hàm)
eu
eu

6u

-

eu

6

+

eu

0

-

eu

1 3 u 1
e
 u .e du   u3 .e udu
16

16
I 

e 3 u
u .e  3u2 .eu  6u.eu  6eu   C

16 

e u 1 3
(u  3u2  6u  6)  C
16
e 2 x 1

(8 x 3  12 x 2  12 x  6)  C
16


Dạng 2:  f ( x).sin( ax  b)dx;  f ( x).cos( ax  b)dx
VD1: Tính nguyên hàm I  (2x  1).cos xdx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
cos x
2x  1
+
sin x
2
0

-

 I  (2 x  1) sin x  2(  cos x)  C
 (2 x  1) sin x  cos x  C

 cos x

VD2: Tính nguyên hàm I  ( x 2  2 x).sin xdx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
2
sin x
x  2x
+
 cos x
2x  2
2

-

 sin x

0

+

cos x

I  (  cos x)( x 2  2 x)  (2 x  2)(  sin x)  2 cos x  C
 cos x(  x 2  2 x  2)  (2 x  2) sin x  C

Trang 2/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ngô Quang Chiến

VD3: Tính nguyên hàm I  ( x7  2 x).cos( x 2 )dx
1
2

u  x2

Ta biến đổi I  ( x6  2).cos( x2 )d( x2 )
(đạo hàm )
u3  2
3u2

dấu
+

(nguyên hàm)
cosu
sinu

6u

-

 cosu

6

+

 sinu

0

-

cosu

I

1 3
(u  2).cos udu
2

 I  sin u(u3  2)  3u2 (  cos u)
6u(  sin u)  6 cos u  C
 sin u(u3  6u  2)  cos u(3u2  6)  C

 sin( x 2 )  x 6  6 x 2  2 
 cos( x 2 )  3 x 4  6   C

Dạng 3:  f ( x).lnn (ax  b)dx
Chú ý : Dạng  f ( x).lnn (ax  b)dx thì ưu tiên đặt u  ln n ( ax  b) vì vậy khi đạo hàm “u” sẽ

không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang  đơn giản tử
mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp .
VD1:Tính nguyên hàm I   x ln xdx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
x
ln x
1
Đơn giản bằng cách nhân kết
+
x2
x
x
2
quả ở 2 cột ta được tách ra 2 cột
(đơn giản)
2
(đơn giản)
1 2
(đạo hàm )
(nguyên hàm)
x
2
1 2
x
x
0
2

( Cách hiểu : do

1
từ cột đạo hàm đã “nhảy” sang cột nguyên hàm để triệu tiêu với x
x

1
phải “nhảy” ngược lại sang cột đạo hàm để bù )
2
x2
1 x2
x2 
1
 I  .ln x  .  C   ln x    C
2
2 2
2 
2

nên

Trang 3/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
VD2: Tính nguyên hàm I   x.ln2 xdx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)

2
x
ln x
2.ln x
+
x2
x

2

(đơn giản)
ln x

(đơn giản)
x

1
x

-

(đơn giản)

Ngô Quang Chiến

x2
x2
1 x2
.ln 2 x  .ln x  .  C
2

2
2 2
2
x 
1
 . ln 2 x  ln x    C
2 
2
I

x2
2

(đơn giản)
x

1 2

x2
2
VD3: Tính nguyên hàm I  ( x 3  3) ln x.dx

0

+

(đạo hàm )
ln x

dấu

(nguyên hàm)
x3  3

1 x

+

x 4 4  3x

(đơn giản)

(đơn giản)
x3 4  3

1

0

-

x4 16  3x

VD4: Tính nguyên hàm I  (2 x  1).ln 3 (3 x)dx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
3
ln (3 x)
2x  1

2
+
x2  x
 3 x  .ln (3x)
(đơn giản)
(đơn giản)
3x  3
ln 2 (3 x)

 2 x  .ln(3x)

-

ln(3 x)

 ln(3x).(

3x 2
 3 x)
2

3x2
3x 2
 6 x)  (
 6 x)  C
2
4

3x 2 2  3x

+

3x 2 2  6 x

(đơn giản)

(đơn giản)

1

3x 2  6

0

I  ln 3 (3 x).( x 2  x)  ln 2 (3 x).(

(đơn giản)
3x  6

(đơn giản)
1 x

 x4

 x4

 I    3x  ln x    3x   C
 4

 16



-

3x 2 4  6 x

Trang 4/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ngô Quang Chiến

VD5: Tính nguyên hàm I   ln 5 (5 x)dx
1
5

Ta biến đổi I   ln5 (5x)d(5x)

u  5x

1
I   ln 5 udu
5

(đạo hàm )
ln5 u

dấu

(nguyên hàm)

ln 4 u
5.
u

+

1
u

-

(đơn giản)
5
5u

+

(đơn giản)
20
20u

-

(đơn giản)
60
60u

+

(đơn giản)
120
20u

-

(đơn giản)
120
120u

(đơn giản)
ln4 u
3

4.

ln u
u

(đơn giản)
ln3 u
3.

ln 2 u
u

(đơn giản)
ln2 u

2.

ln u
u

(đơn giản)
lnu
1
u

(đơn giản)
1

0

1
 I  .[u.ln 5 u  5u.ln 4 u  20u.ln 3 u
5
60u.ln 2 u  120u.ln u  120u]  C

 x.[ln 5 (5x)  5ln 4 (5x)  20 ln 3 (5x)
60 ln 2 (5x)  120 ln(5x)  120]  C

Dạng 4: Nguyên hàm lặp (tích phân lặp)
Nếu khi ta tính nguyên hàm (tích phân) theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm
ban đầu cần tính (theo hàng ngang) thì dừng lại luôn ở hàng đó, không tính tiếp nữa.
1. Dấu hiệu khi dừng lại : nhận thấy trên cùng 1 hàng ngang tích của 2 phần
tử ở 2 cột (không kể dấu và hệ số) giống nguyên hàm ban đầu cần tính.
2. Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) như các ví dụ trên.
3. Nối 2 phần tử (ở dòng dừng lại), có thêm dấu  trước kết quả và coi gạch

nối là 1 đường chéo, sử dụng quy tắc đan dấu.
Trang 5/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
VD1: Tính nguyên hàm I   sin x.e x .dx
(đạo hàm )
dấu
(nguyên hàm)
sin x
ex
+
cos x
ex
 sin x

 I  sin x.e x  cos x.e x  (  sin x).e x dx  C

 e x (sin x  cos x)   sin x.e x dx  C

1
 I  .e x (sin x  cos x)  C
2

e x (dừng lại)

+

Ngô Quang Chiến


VD2: Tính nguyên hàm I   e 2 x1 .sin2 ( x  )dx
4


 
1  cos(2 x  ) 

1 2 x 1
1 2 x 1
e 2 x 1
2 x 1
2
Ta biến đổi I   e . 
 I1  C
 dx   e dx   e .sin(2 x)dx 
2
2
2
4




1
1
I1   e 2 x1 .sin(2 x)d(2 x)
I1   eu1 .sin udu
u  2x

4
4

(đạo hàm )
sinu
cosu

dấu

 sinu

+

+

(nguyên hàm)
e u1
e u1

1
1
 I1  .eu1 (sin u  cos u)   sin u.eu1du  C
4
4
1
 .e u1 (sin u  cos u)  C
5
1
 .e 2 x 1  sin(2 x)  cos(2 x)   C
5

e u1 (dừng lại)

I

IV.

e 2 x 1 1 2 x 1
 .e
 sin(2x)  cos(2x)   C
4
5

BÀI TẬP VẬN DỤNG (sưu tầm và biên soạn) .

(Nguồn : Thầy Nguyễn Hà Hưng)
1
x.ln 2 xd(5x)  F( x)  C . Giá trị của F ( e ) bằng :

5
2
e
e2
e2
e2
A.
B. 
C.
D. 
2

4
4
2
2
Câu 2. Nguyên hàm I   x.sin x cos xdx  F( x)  C . Giá trị của F( ) bằng :

Câu 1. Nguyên hàm I 

A. 



3

B.


3

C. 

2
5

C. 

D. 

Câu 3. Nguyên hàm I   e x .cos(2 x)dx  F( x)  C . Giá trị của F(0) bằng :
A. 

1
5

B.

2
5

D.

1
5

Trang 6/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ngô Quang Chiến

(Nguồn : Thầy Lương Văn Huy)
Câu 4. Nguyên hàm  ( x  2)sin 3xdx  

( x  a)cos 3x sin 3x

 2017
b
c

thì tổng S  ab  c bằng :
A. S  14
B. S  15
C. S  3
D. S  10
2 x
2
x
Câu 5. Nguyên hàm  x .e dx  ( x  mx  n).e  C thì giá trị của mn là :
A. 6

B. 4

D. 4

C. 0

 4x
15 a
dx   ln  c , với a , b, c 

2 b
 4x

1

Câu 6. Biết I   x.ln 
0

Tìm khẳng định đúng :
A. a  b  2c
B. b  b  3c
2

a
3

và phân số

b
c

Tính tổng S  ab  c bằng :
A. 806
B. 559

*

a
tối giản
b

D. a  b  4c

C. a  b  c

Câu 7. Biết I   ( x 2  x).ln xdx  ln 2  , với a , b, c 
1

*

và phân số

C. 1445

b
tối giản
c

D. 1994



a  b.e
Câu 8. Biết I   e .sin(3x)dx 
, chọn khẳng định đúng :
c
0
2

2x

A. a, b, c là số nguyên tố
C. b, c là số nguyên tố

B. a, c là số nguyên tố
D. a, b là số nguyên tố
(Nguồn : Ngô Quang Chiến)
2

Câu 9. Hàm số f ( x)  (ax  bx  c)e  x là một nguyên hàm của g( x)  x(1  x)e  x .
Tính tổng a + b + c :
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Câu 10. Nguyên hàm I    ( x 2  3x  2)(4 cos 3 x  3 cos x)d(cos x)  F( x)  C .
Giá trị của F(0) bằng :
A. 

3
64

B.

9
64

C.

9
32

D. Đáp án khác

Trang 7/7
GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN