29 nguyên hàm tích phân và ứng dụng hay

Phần Tích Phân-Giải tích 12
m

Trang 1


Phần Tích Phân-Giải tích 12

MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................................................2
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH............................................................................3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.............................................................................................................3
B – BÀI TẬP........................................................................................................................................4
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................21
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN...........................................................................................22
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................22
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................22
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................31
PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.............................................................................................................32
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................32
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................32
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................34
TÍCH PHÂN...........................................................................................................................................35
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................35
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................35
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ MTCT...............................................36
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ MTCT.......................................................................................40
PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN VÀ MTCT..................................................................................44
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................45
TÍCH PHÂN TỔNG HỢP HẠN CHẾ MTCT........................................................................................46
ĐÁP ÁN..............................................................................................................................................59

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH............................................................................................................61
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................61
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................61
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................74
ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH..............................................................................................................76
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...........................................................................................................76
B – BÀI TẬP......................................................................................................................................76
C – ĐÁP ÁN.......................................................................................................................................81

Trang 2


Phần Tích Phân-Giải tích 12

ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F'(x)  f (x) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f (x)dx  F(x)  C , C  R.
�
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
f '(x)dx  f (x)  C
 �
f (x)dx ��
g(x)dx
 f (x) �g(x) dx  �

�
kf (x)dx  k �
f (x)dx (k �0)
 �



3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)
3)

k.dx  k.x  C
�
1

1

dx    C
�
x
x
2

1

1
C;
a(n  1)(ax  b) n 1

5)

�
(ax  b)

7)

sin x.dx   cos x  C
�

9)

sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
�
a

11)

�
cos

15)

e dx  e
�

n

dx  

1

1
2

dx  �
(1 tg 2 x).dx  tgx  C

x
1
1
dx  tg(ax  b)  C
13) � 2
cos (ax  b)
a

17)
19)
21)
23)
25)
27)

x

x

C

1
e(ax  b) dx  e(ax  b)  C

�
a
x
a
a x dx 
C
�
ln a
1
1 x 1
dx  ln
C
2
�
x 1
2 x 1
1
1
x a
dx  ln
C
2
2
�
x a
2a x  a
1
x
�a 2  x 2 dx  arcsin a  C
1

2
2
�x 2 �a 2 dx  ln x  x �a  C

x n 1
C
n 1

2)

x n dx 
�

4)

dx  ln x  C
�
x

6)

1

1

1

dx  ln ax  b  C
�
(ax  b)

a

8)

cos x.dx  sin x  C
�

10)

cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C
�
a

1

1

dx  �
 1  cot g 2 x  dx   cot gx  C
x
1
1
dx   cot g(ax  b)  C
14) � 2
sin (ax  b)
a

12)

�

sin

16)

e dx  e
�

18)
20)
22)
24)
26)
28)

Trang 3

x

2

x

C

1 (ax  b) n 1
n
(ax

b)
.dx


.
 C (n �1)
�
a
n 1
1
dx  arctgx  C
2
�
x 1
1
1
x
dx  arctg  C
2
2
�
x a
a
a
1
�1  x 2 dx  arcsin x  C
1
2
�x 2 �1 dx  ln x  x �1  C
x 2
a2
x
2

2
2
a

x
dx

a

x

arcsin  C
�
2
2
a


Phần Tích Phân-Giải tích 12
29)

2
2
�x �a dx 

x 2
a2
x �a 2 � ln x  x 2 �a 2  C
2
2

B – BÀI TẬP

3
Câu 1: Nguyên hàm của 2x  1  3x  là:
2
3
A. x  x  x   C

2
2
B. x  1  3x   C

Câu 2: Nguyên hàm của
A. 

x4  x2  3
C
3x

3
2 � 6x �
1
D. x �
� C
� 5 �

3
C. 2x  x  x   C

1
1
 x 2  là:
2
x
3
3
x 1 x
B.     C
3 x 3

C.

x 4  x 2  3
C
3x

D. 

1 x3
 C
x 3

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f  x   3 x là:
33 x2
C
4

3x 3 x
C

4
1
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f  x  
là:
x x
2
2
C
C
A. F  x  
B. F  x   
x
x

A. F  x  

B. F  x  

C. F  x  

4x
C
33 x

C. F  x  

x
C
2

D. F  x  

4x
3

3 x2

D. F  x   

C

x
C
2

�5
3 �
dx bằng:
Câu 5: �
� x �
�x
�
2 5
2 5
2 5
2 5
x C
x  C C. 5ln x 
x  C D. 5 ln x 
x C

A. 5ln x 
B. 5ln x 
5
5
5
5
dx
Câu 6: �
bằng:
2  3x
1
3
1
1
C
C
2
2
A.
B. 
C. ln 2  3x  C
D.  ln 3x  2  C
2

3x
2

3x





3
3

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x  
C. F  x  

2  x  1

x x x
là:
x2

C

B. F  x  

23 x
C
x

D. F  x  

x

Câu 8: Tìm nguyên hàm:

( x

�
3

2

53 5
x  4 ln x  C
3
33 5
x  4 ln x  C
C.
5

B. 
D.
(x
�

2





 C

x 1
x

2

1 2 x
C
x

4
 )dx
x

A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm:

2

3
 2 x )dx
x

Trang 4

33 5
x  4 ln x  C
5

33 5
x  4 ln x  C
5

Phần Tích Phân-Giải tích 12
x3
4 3
 3ln x 
x C
3
3
x3
4 3
C.
 3ln x 
x C
3
3

x3
4 3
 3ln X 
x
3
3
x3
4 3
D.
 3ln x 
x C
3
3

A.

B.

5 1 3
( 2
x )dx
Câu 10: Tìm nguyên hàm: �
x
2
5 1 5
5 1 5
x C
x C
A.  
B. 
x 5
x 5
2
(x 3   x )dx
Câu 11: Tìm nguyên hàm: �
x
1 4
2 3
x C
A. x  2 ln x 
4
3
1 4
2 3
x C

C. x  2 ln x 
4
3
dx
Câu 12: Tính �
, kết quả là:
1 x
C
A.
B. 2 1  x  C
1 x

C. 

5 4 5

x C
x 5

D.

5 1 5

x C
x 5

1 4
2 3
x  2 ln x 
x C

4
3
1 4
2 3
x C
D. x  2 ln x 
4
3

B.

C.

2
C
1 x

D. C 1  x

2

�x 2  1 �
Câu 13: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  �
� là hàm số nào trong các hàm số sau?
� x �
x3 1
x3 1
A. F(x)    2x  C
B. F(x)    2x  C
3 x

3 x
3
3
x
�x 3
�
x
� x�
3
F(x)


C
C.
D. F(x)  �3 2 � C
2
x
�x �
�
�
2
� 2 �
x(2  x)
Câu 14: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) 
(x  1) 2

x2  x 1
x 2  x 1
B.
x 1

x 1
Câu 15: Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
2 x 1  5x 1
1
2
A. � x
dx 
 x
C
x
10
5.2 .ln 2 5 .ln 5
x2
1 x 1
xC
C. � 2 dx  ln
1 x
2 x 1
A.

x 2  2x  3
Câu 16: �
dx bằng:
x 1
x2
A.
 x  2 ln x  1  C
2
x2
C.

 x  2 ln x  1  C
2

C.

x2  x 1
x 1

B.

x 4  x 4  2
1
dx  ln x  4  C
� x3
4x

D.

tan 2 xdx  tan x  x  C
D. �

B.

x2
 x  ln x  1  C
2

D. x  2 ln x  1  C

x2  x  3

Câu 17: �
dx bằng:
x 1
Trang 5

x2
x 1


Phần Tích Phân-Giải tích 12
A. x  5ln x  1  C
C.

x2
 2x  5ln x  1  C
2

B.

x2
 2x  5ln x  1  C
2

D. 2x  5ln x  1  C

20x 2  30x  7
3
2
; F  x    ax  bx  c  2x  3 với x  . Để hàm số
2

2x  3
F  x  là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
A. a  4; b  2; c  1
B. a  4; b  2;c  1 C. a  4; b  2;c  1 . D. a  4; b  2; c  1
1
2
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f  x   x – 3x       là
x
3
2
x 3x
x 3 3x 2
A. F(x) =
B. F(x) =

 ln x  C

 ln x  C
3
2
3
2
x 3 3x 2
x 3 3x 2
C. F(x) =
D. F(x) =

 ln x  C

 ln x  C

3
2
3
2
2x
Câu 20: Cho f  x   2
. Khi đó:
x 1
f  x  dx  2 ln  1  x 2   C
f  x  dx  3ln  1  x 2   C
A. �
B. �
Câu 18: Cho các hàm số: f (x) 

f  x  dx  ln  1  x 2   C
D. �

f  x  dx  4ln  1  x 2   C
C. �

1
x 3  3x 2  3x  1
F(1)

Câu 21: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 
biết
3
x 2  2x  1
2
2

13
2
2
6

A. F(x)  x  x 
B. F(x)  x  x 
x 1
x 1 6
x2
2
13
x2
2
C. F(x) 
D. F(x) 
x

x
6
2
x 1 6
2
x 1
�1
�
Câu 22: Nguyên hàm của hàm số y  3x  1 trên � ; ��là:
3
�
�

2
2
3
3
3 2
B.
C.
D.
 3x  1  C
 3x  1  C
x x C
9
9
2
Câu 23: Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và F(-1) = 3
A. F(x) = x4 – x3 - 2x -3
B. F(x) = x4 – x3 - 2x + 3
C. F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
D. F(x) = x4 + x3 + 2x + 3

A.

Câu 24: Một nguyên hàm của f (x) 





x ln x  x 2  1



x2 1



là:





2
A. x ln x  x  1  x  C

2
B. ln x  x  1  x  C

C. x ln x 2  1  x  C

D.

Câu 25: Nguyên hàm của hàm số y 
A.

2x 3 3
 C
3 x

3

B. 3x

3 2
x x C
2





x 2  1 ln x  x 2  1  x  C

2x 4  3
là:
x2

3
C
x

C.

2x 3 3
 C
3
x

f (x)dx  F(x)  C. Khi đó với a  0, ta có �
f (a x  b)dx bằng:
Câu 26: Cho �

Trang 6

D.

x3 3
 C
3 x


Phần Tích Phân-Giải tích 12
A.

1
F(a x  b)  C
2a

B. F(a x  b)  C

C.

1
C
x2

C. F(x) 

B. Đáp số khác

Câu 28: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 

D. F(a x  b)  C

1
là:
(x  2)2

Câu 27: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 
A. F(x) 

1
F(a x  b)  C
a

1
C
x2

D. F(x) 

1
C
(x  2)3

x2  x 1
là
x 1

x2
A. F(x) 

 ln | x  1| C
2
1
C
C. F(x)  x 
x 1

B. F(x)  x 2  ln | x  1| C
D. Đáp số khác

2
3
Câu 29: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2x  x  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là

B. 2x 3  4x 4

A. 4

C.

2 3 x4
x   4x
3
4

D. x 3  x 4  2x

3
Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f  x   x trên � là

A.

x4
xC
4

Câu 31: Tính

B. 3x 2  C

C. 3x 2  x  C

D.

x4
C
4

D.

x3
1
 2 C
3 2x

x5  1
�x 3 dx ta được kết quả nào sau đây?

A. Một kết quả khác

B.

x6
x
6
C
C.
x4
4

x3 x 2
 C
3
2

Câu 32: Một nguyên hàm F(x) của f (x)  3x 2  1 thỏa F(1) = 0 là:
A. x 3  1
B. x 3  x  2
C. x 3  4
Câu 33: Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu
A. f  x  xác định trên K

C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K

D. 2x 3  2

B. f  x  có giá trị lớn nhất trên K
D. f  x  liên tục trên K

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x)  x  3 x  4 x ?

2 32 3 43 4 54
x  x  x C
3
4
5
2
4
2 3 4 3 5 54
C. F(x)  x  x  x  C
3
3
4
A. F(x) 

2 23 3 43 4 54
x  x  x C
3
4
5
1
3
2 2 1 3 4 54
D. F(x)  x  x  x  C
3
3
5
B. F(x) 

Câu 35: Cho hàm số f (x)  x 3  x 2  2x  1 . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết rằng F(1) = 4
thì

x 4 x3
49
x 4 x3
2
A. F(x) 
B. F(x) 
 x x
  x2  x 1
4 3
12
4 3
4
3
x
x
x 4 x3
C. F(x) 
D. F(x) 
  x2  x  2
  x2  x
4 3
4 3
Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số y  (2x  1)5 là:

Trang 7


Phần Tích Phân-Giải tích 12
A.

1
(2x  1) 6  C
12

B.

1
(2x  1)6  C
6

C.

Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x) 
A.
C.

2
27



 x  9

3

3(

 x  9

3

 x )
3

D. 10(2x  1) 4  C

x9  x



B. Đáp án khác

C

D.

 x3  C

2

1
(2x  1)6  C .
2
1

2
27



 x  9

3



 x3  C

Câu 38: Mệnh đề nào sau đây sai?
f (x)dx  F(x)  C .
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b  và C là hằng số thì �
B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .

(x)  f (x), x � a; b  .
C. F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên  a; b  � F�
D.

�
f (x)dx   f (x)
�

2
Câu 39: Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2  x biết F  2  

7
3

19
x3 1
x3

x3
3
F
x

2x

x

A. F  x   2x  
B.  
C. F  x   2x   1
D. F  x   2x   3
3
3 3
3
3
f
(x),
g(x)
F(x),
G(x)
Câu 40: Cho hai hàm số
là hàm số liên tục,có
lần lượt là nguyên hàm của
f (x), g(x) . Xét các mệnh đề sau:
(I): F(x)  G(x) là một nguyên hàm của f (x)  g(x)
(II): k.F  x  là một nguyên hàm của kf  x   k �R 
(III): F(x).G(x) là một nguyên hàm của f (x).g(x)

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A. I
B. I và II

C. I,II,III
2
:
(x  1) 2
2
C.
x 1

D. II

Câu 41: Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số y 
x  1
2x
B.
x 1
x 1
Câu 42: Tìm công thức sai:

A.

e x dx  e x  C
A. �

A. (III)

x 1

x 1

ax
 C  0  a �1
ln a
sin xdx  cos x  C
D. �
B. �
a x dx 

cos xdx  sin x  C
C. �
Câu 43: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
sin 3 x
(I) : �
sin 2 x dx 
C
3
4x  2
(II) : �2
dx  2 ln  x 2  x  3  C
x  x3

(III) : �
3x  2 x  3 x  dx 

D.

6x
xC

ln 6
B. (I)

C. Cả 3 đều sai.
D. (II)
1
Câu 44: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y 
và F(2)  1 thì F(3) bằng
x 1
Trang 8


Phần Tích Phân-Giải tích 12
1
3
B. ln
C. ln 2
D. ln 2  1
2
2
Câu 45: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
dx
x 1


ln
x

C
A. �

B. �
x dx 
 C   �1
x
 1
dx
ax
C. �
D. �  tan x  C
a x dx 
 C  0  a �1
cos x
ln a

A.

Câu 46: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.

F  x   1  tan x

là một nguyên hàm của hàm số

f  x   1  tan 2 x

B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

F x  C

(C là hằng số)

u ' x 
dx  lg u  x   C
�
C. u  x 

F  x   5  cos x
f  x   sin x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 47: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
1
x4 x2
3
e 2x dx  e x  C
A. �
B. �
x

x
dx

 C


2
4
2
2
dx
4

sin xdx  cos x  C
 ln
C. �
D. �2
x x
3
1
Câu 48: Trong các khẳng định sau, khăng định nào sai?
f1  x  dx  �
f 2  x  dx
 f1  x   f 2  x   dx  �
A. �

đều là nguyên hàm cùa hàm số f  x  thì F  x   G  x   C là hằng số
B. Nếu F  x  và G  x 
C. F  x   x là một nguyên hàm của f  x   2 x

F x   x2
f  x   2x
D.
là một nguyên hàm của
Câu 49: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A. F  x   7  sin 2 x

f  x   sin 2x
là một nguyên hàm của hàm số
 F  x   G  x   dx có dạng
B. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì �
h  x   Cx  D (C,D là các hằng số, C �0 )
u ' x 

C. �
u  x
D. Nếu

 u  x  C

f  t  dt  F  t   C
f  u  x   dt  F  u  x    C
�
thì �

Câu 50: Cho hàm số f (x) 

5  2x 4
. Khi đó:
x2

2x 3 5
 C
3
x
3
2x
5
C. �
f (x)dx 
 C
3
x

A. �
f (x)dx 

f (x)dx  2x 3 
B. �

D. �
f (x)dx 
Trang 9

5
C
x

2x 3
 5lnx 2  C
.
3


Phần Tích Phân-Giải tích 12
Câu 51: Cho hàm số f  x   x  x 2  1 . Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y  F  x  đi
4

qua điểm M  1;6  . Nguyên hàm F(x) là.
A. F  x 

x


C. F  x 

x


2

 1

4

4
2

 1

5

5

2

5
2

5

B. F  x 

x



D. F  x 

x


2

 1

5

5
2

 1

4



2
5



2
5

4

x3 1
biết F(1) = 0
x2
x2 1 3
x2 1 1
B. F(x) 
C. F(x) 
 
 
2 x 2
2 x 2

Câu 52: Tìm 1 nguyên hàm F(x) của f (x) 
A. F(x) 

x2 1 1
 
2 x 2

D. F(x) 

Câu 53: Một nguyên hàm của hàm số f (x)  1  2x là:
3
3
1
A. (2x  1) 1  2x
B. (2x  1) 1  2x
C.  (1  2x) 1  2x

4
2
3

D.

x2 1 3
 
2 x 2

3
(1  2x) 1  2x
4

1

Câu 54: Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên �. Khi đó giá trị tích phân

f (x)dx
�

là:

1

A. 2

B. 0

C. 1

D. -2

Câu 55: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn y '  x .y và f(-1)=1 thì f(2) bằng bao nhiêu:
A. e3
B. e 2
C. 2e
D. e  1
1
Câu 56: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số
và F(2)=1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:
x 1
1
3
A. ln 2  1
B.
C. ln
D. ln 2
2
2
1
2 là
Câu 57: Nguyên hàm của hàm số
 2x  1
2

A.

1
C

2  4x

B.

1

 2x  1

3

C

C.

1
C
4x  2

D.

1
C
2x  1

Câu 58: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  4x 3  3x 2  2x  2 thỏa mãn F(1)  9 là:
A. F(x)  x 4  x 3  x 2  2
B. F(x)  x 4  x 3  x 2  10
C. F(x)  x 4  x 3  x 2  2x
D. F(x)  x 4  x 3  x 2  2x  10
Câu 59: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

0dx  C ( C là hằng số)
A. �

x  dx 
C. �

B.

1 1
x  C ( C là hằng số)
 1

Câu 60: Một nguyên hàm của f  x  

dx  x  C ( C là hằng số)
D. �

x 2  2x  3
là
x 1

x2
x2
 3x  6 ln x  1 B.
 3x-6 ln x  1
2
2
f (x)dx  x 2  x  C
Câu 61: Cho �
A.

1

dx  ln x  C ( C là hằng số)
�
x

C.

f (x 2 )dx  ?
Vậy �

Trang 10

x2
 3x+6 ln x  1
2

D.

x2
 3x+6 ln x  1
2


Phần Tích Phân-Giải tích 12
A.

x5 x3
 C

5 3

B. x 4  x 2  C

C.

2 3
x xC
3

2
f (y)dy
Câu 62: Hãy xác định hàm số f(x) từ đẳng thức: x  xy  C  �
A. 2x
B. x
C. 2x + 1

D. Không được tính

D. Không tính được

f (v)dv
Câu 63: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: e  e  C  �
u

v

C. e v
4 1
f (y)dy

Câu 64: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 3  2  C  �
x y
1
3
2
A.  3
B.  3
C.  3
y
y
y
A. e v

B. e u

f (u)du
Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v  C  �
A. 2cosucosv
B. -cosucosv
C. cosu + cosv

D. e u

D. Một kết quả khác.

D. cosucosv

x  3x  3x  7
với F(0) = 8 là:
(x  1)2

x2
8
x2
8
x2
8
A.
B.
C.
D. Một kết quả khác
x
x
x
2
x 1
2
x 1
2
x 1
� �
Câu 67: Tìm nguyên hàm của: y  sin x.sin 7x với F � � 0 là:
�2 �
sin 6x sin 8x �
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
sin 6x sin 8x
�





A.
B. 
C.
D.  �
16 �
12
16
12
16
12
16
� 12
�
2x

3
2
Câu 68: Cho hai hàm số F(x)  ln(x  2mx  4) vaø f (x)  2
. Định m để F(x) là một
x  3x  4
nguyên hàm của f(x)
3
3
2
2
A.
B. 
C.
D. 

2
2
3
3
1
dx bằng:
Câu 69: � 2
sin x.cos 2 x
A. 2 tan 2x  C
B. -4 cot 2x  C
C. 4 cot 2x  C
D. 2 cot 2x  C
Câu 66: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 

3

2

Câu 70: �
 sin 2x  cos2x  dx bằng:
2

A.

 sin 2x  cos2x 
3

2

3

C

1
C. x  sin 2x  C
2
2x
cos 2
dx bằng:
Câu 71: �
3
3
1
4 2x
4 2x
C
C
A. cos
B. cos
2
3
2
3

1
�1
�
B. �
 cos2x  sin 2x � C
2

�2
�
1
D. x  cos4x  C
4

x 3
4x
x 4
4x
 sin
C
C
D.  cos
2 8
3
2 3
3
1
Câu 72: Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  
và F  0   1 . Khi đó, ta có F  x  là:
cos 2 x
A.  tan x
B.  tan x  1
C. tan x  1
D. tan x  1

C.

Câu 73: Hàm số F(x)  ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau

đây:
Trang 11


Phần Tích Phân-Giải tích 12
cos x  3sin x
sin x  3cos x
 cos x  3sin x
C. f (x) 
sin x  3cos x

B. f (x)  cos x  3sin x

A. f (x) 

D. f (x) 

(1  sin x) 2 dx
Câu 74: Tìm nguyên hàm: �
2
1
A. x  2 cos x  sin 2x  C ;
3
4
2
1
C. x  2 cos 2x  sin 2x  C ;
3
4

Câu 75: Cho f (x) 
A. m  

4
3

sin x  3cos x
cos x  3sin x

3
1
x  2 cos x  sin 2x  C ;
2
4
3
1
D. x  2 cos x  sin 2x  C ;
2
4

B.

4m
� � 
 sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F � �

�4 � 8
3
3
3

B. m 
C. m  
D. m 
4
4
4

4
Câu 76: Cho hàm f  x   sin 2x . Khi đó:

1�
1
�
f  x  dx  �
3x  sin 4x  sin 8x � C
A. �
8�
8
�
1�
1
�
f  x  dx  �
3x  cos 4x  sin 8x � C
C. �
8�
8
�

1�

1
�
f  x  dx  �
3x  cos 4x  sin 8x � C
B. �
8�
8
�
1�
1
�
f  x  dx  �
3x  sin 4x  sin 8x � C
D. �
8�
8
�

Câu 77: Một nguyên hàm của hàm số y  sin 3x
1
1
A.  cos3x
B. 3cos3x
C. 3cos3x
D. cos3x
3
3
1
Câu 78: Cho hàm y 
. Nếu F  x  là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số y  F  x  đi qua

sin 2 x
� �
điểm M � ;0 �thì F  x  là:
�6 �
3
3
A.
C.  3  cot x
 cot x

 cot x
B.
D. 3  cot x
3
3
Câu 79: Nguyên hàm của hàm số f (x)  tan 3 x là:
A. Đáp án khác
tan 4 x
C.
C
4

B. tan 2 x  1
1
2
D. tan x  ln cos x  C
2

Câu 80: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  sin 2 x là
1

A. F(x)  (2x  sin 2x)  C
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
4
1
1
sin 2x
)C
C. F(x)  (x  sinx .cosx)  C
D. F(x)  (x 
2
2
2
Câu 81: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
1
A. sin 2x và cos 2 x
B. tan x 2 và
C. e x và e  x
D. sin 2 x và sin 2 x
cos 2 x 2
2
Câu 82: Gọi F1(x) là nguyên hàm của hàm số f1 (x)  sin x thỏa mãn F1(0) =0 và F2(x) là nguyên hàm
2
của hàm số f 2 (x)  cos x thỏa mãn F2(0)=0.
Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là:

Trang 12


Phần Tích Phân-Giải tích 12
k

2
3
4
Câu 83: Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin  2x  thỏa mãn điều kiện F  0   là
8
3
1
1
3
3
1
1
A. x  sin 2x  sin 4x 
B. x  sin 4x  sin 8x
8
8
64
8
8
8
64
3
1
1
3
C.  x  1  sin 4x  sin 8x
D. x  sin 4x  sin 6 x 
8
8
64

8
4
Câu 84: Một nguyên hàm của hàm số f (x) 
là:
cos 2 x
4x
4 3
A.
B. 4 tan x
C. 4  tan x
D. 4x  tan x
2
sin x
3

A. x  k2

B. x  k

C. x 


 k
2

D. x 

sin 2 3xdx ?
Câu 85: Biểu thức nào sau đây bằng với �
1

1
1
1
1
1
A. (x  sin 6x)  C B. (x  sin 6x)  C C. (x  sin 3x)  C
2
6
2
6
2
3

D.

1
1
(x  sin 3x)  C
2
3

 14
Câu 86: Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F ( )  thì
2
3
1
13
A. F ( x )  sin 3x 
3
3

B.

1
C. F ( x )  sin 3 x  5
3
1
13
D. F ( x )   sin 3 x 
3
3
Câu 87: Một nguyên hàm của f (x)  cos 3x cos 2x bằng
1
1
1
1
1
1
A. sin x  sin 5x
B. sin x  sin 5x
C. cos x  cos 5c
2
2
2
10
2
10

D.

1

sin 3x sin 2x
6

cos3 xdx ta được kết quả là:
Câu 88: Tính �

1
3sin x
sin 3x 
C
12
4
1 �sin 3x
�
 3sin x � C
D. �
4� 3
�

cos 4 x
C
x
cos 4 x.sin x
C.
C
4
A.

B.

Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)  tan 2 x
A.

tan 3 x
C
3

B. Đáp án khác

Câu 90: Hàm số nào là nguyên hàm của f(x) =

C. Tanx-1+C
1
:
1  sin x

2

�x  �
A. F(x) = 1 + cot �  �
�2 4 �

B. F(x) =

C. F(x) = ln(1 + sinx)

D. F(x) = 2tan
Trang 13



D.

1  tan
x
2

x
2

sin x  x cos x
C
cos x


Phần Tích Phân-Giải tích 12
Câu 91: Họ nguyên hàm của f(x) = sin 3 x
1
cos3 x
cos3 x
c
A. cos x 
B.
C
 cos x 
 C C.  cos x 
cos x
3
3
2 x

f (x)dx bằng ?
Câu 92: Cho hàm số f  x   2sin
Khi đó �
2
A. x  sin x  C
B. x  sin x  C
C. x  cos x  C
Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f  x   2sin x  cos x là:
A. 2 cos x  s inx  C
B. 2 cos x  s inx  C
C. 2 cos x  s inx  C
2
Câu 94: Họ nguyên hàm của sin x là:
1 � sin 2x �
1
x sin 2x
C
A.  x  2 cos 2x   C B. �x 
C. 
�
2�
2 �
2
2
4

D.

sin 4 x
C

4

D. x  cos x  C
D. 2 cos x  s inx  C
D.

1
 x  2 cos 2x   C
2

Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2x là
1
A. F  x    cos 2x  C
B. F  x   cos 2x  C
2
1
C. F  x   cos 2x  C
D. F  x    cos 2x  C
2
Câu 96: Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x. cosx là:
A. F(x) = cos6x
B. F(x) = sin6x
1 �sin 6x sin 4x �
1 �1
1
�

C.  �
D. � sin 6x  sin 4x �
�

2� 6
4 �
2 �6
4
�
cos 5x.cos 3xdx
Câu 97: Tính �
1
1
A. sin 8x  sin 2x  C
8
2
1
1
sin 8x  sin 2x
C.
16
4

1
1
sin 8x  sin 2x
2
2
1
1
sin 8x  sin 2x
D.
16
4

B.

2
Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x là:
x cos 2x
x cos 2x
x sin 2x
x sin 2x
C
C
C
C
A. 
B. 
C. 
D. 
2
4
2
4
2
4
2
4
dx
Câu 99: Tính: �
1  cos x
x
x

1
x
1
x
A. 2 tan  C
B. tan  C
C. tan  C
D. tan  C
2
2
2
2
4
2
(x)  3  5sin x và f (0)  7 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Câu 100: Cho f �
� � 3
A. f (x)  3x  5cos x  2
B. f � �
�2 � 2
C. f     3
D. f  x   3x  5cos x

 cos4x.cos x  sin 4x.sin x  dx bằng:
Câu 101: �
1
A. sin 5x  C
5
1
1

C. sin 4x  cos4x  C
4
4

1
sin 3x  C
3
1
D.  sin 4x  cos4x   C
4

B.

cos8x.sin xdx bằng:
Câu 102: �

Trang 14


Phần Tích Phân-Giải tích 12
1
sin 8x.cosx  C
8
1
1
cos7x  cos9x  C
C.
14
18

1
B.  sin 8x.cosx  C
8
1
1
cos9x  cos7x  C
D.
18
14

A.

sin 2 2xdx bằng:
Câu 103: �
1
1
1 3
1
1
1
1
A. x  sin 4x  C
B. sin 2x  C
C. x  sin 4x  C
D. x  sin 4x  C
2
8
3
2
8

2
4
Câu 104: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  x  sin x thỏa mãn F(0)  19 là:

x2
2
2
x
C. F(x)  cosx   20
2

x2
2
2
x2
D. F(x)  cosx   20
2

A. F(x)  cosx 

B. F(x)  cosx 

Câu 105: Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện:
� �
f  x   2x  3cos x, F � � 3
�2 �
2
2
A. F(x)  x  3sin x  6 
4

2

C. F(x)  x 2  3sin x 
4

2
B. F(x)  x  3sin x 
4
2

D. F(x)  x 2  3sin x  6 

Câu 106: Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  2x 
2
A. F(x)  cotx  x 
4
2

C. F(x)  cotx  x 2

2
4

1

thỏa mãn F( )  1 là:
2
sin x
4
2

2
B. F(x)  cotx  x 
16
2
D. F(x)  cotx  x 2 
16

Câu 107: Cho hàm số f  x   cos 3x.cos x . Nguyên hàm của hàm số f  x  bằng 0 khi x  0 là hàm số
nào trong các hàm số sau ?
sin 4x sin 2x
sin 4x sin 2x
cos 4x cos 2x



A. 3sin 3x  sin x
B.
C.
D.
8
4
2
4
8
4
2
Câu 108: Họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   cot x là:
A. cot x  x  C
B.  cot x  x  C
C. cot x  x  C

D. tan x  x  C

dx
�x  �
Câu 109: Tính nguyên hàm I  � được kết quả I  ln tan �  2 � C với a; b;c ��. Giá trị của
cosx
�a b �
là:
a2  b

A. 8

B. 4

C. 0 D. 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13x
Câu 110: Nguyên hàm của hàm số f  x   e
là:

A. F  x  

3
13x

e

C

e13x
B. F  x  
C
3

C. F  x   

Trang 15

3e
C
e3x

D. F  x   

e
C
3e3x


Phần Tích Phân-Giải tích 12
1

Câu 111: Nguyên hàm của hàm số f  x  
A. F  x  

5
e 25x

C

B. F  x   

e
5

2  5x

e 25x

là:

C

C. F  x   

Câu 112: �
 3x  4x  dx bằng:
A.

3x
4x

C
ln 3 ln 4



B.



3x
4x

C
ln 4 ln 3

e 25x
C
5

D. F  x  

C.

4x
3x

C
ln 3 ln 4

D.

C.

2x
2 3

x C

3.ln 2 3

D. 3.

e5x
C
5e 2

3x
4x

C
ln 3 ln 4

3.2 x  x dx bằng:
Câu 113: �
A.

2x 2 3

x C
ln 2 3

B. 3.

2x 2 3

x C
ln 2 3

2x
 x3  C
ln 2

3x 2x
Câu 114: Nguyên hàm của hàm số f  x   2 .3 là:

23x 32x
.
C
3ln 2 2 ln 3
23x.32x
C. F  x  
C
ln 6

72
C
ln 72
ln 72
C
D. F  x  
72

B. F  x  

A. F  x  

Câu 115: Nguyên hàm của hàm số f  x  
x

�4 �
��
A. F  x   3 �3 �  C
3
ln
4

3x 1
là:
4x
x

x

�3 �
��
B. F  x   �4 �  C
3
ln
4

C. F  x  

22x.3x.7 x
C
ln 4.ln 3.ln 7

C. 84x  C

x
C
2

�3 �
��
D. F  x   3 �4 �  C
3
ln
4

22x.3x.7 x dx là
Câu 116: �

A.

84x
C
ln 84

B.

D. 84 x ln 84  C

Câu 117: Hàm số F(x)  e x  e  x  x là nguyên hàm của hàm số
1 2
x
x
B. f (x)  e  e  x
2

1 2
x
x
D. f (x)  e  e  x
2

A. f (x)  e  x  e x  1
C. f (x)  e x  e  x  1
Câu 118: Nguyên hàm của hàm số f  x  
x
x
A. ln e  e  C

B.

1
C
e  e x

ex  e x
e x  ex
x
x
C. ln e  e  C

x

D.

1

C
e  e x
x

1

Câu 119: Một nguyên hàm của f  x    2x  1 e x là
1

A. x.e x

1

B.  x 2  1 e x

1

C. x 2 e x

1

D. e x

Câu 120: Xác định a,b,c để hàm số F(x)  (ax 2  bx  c)e  x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)  (x 2  3x  2)e  x
A. a  1, b  1, c  1
B. a  1, b  1, c  1
C. a  1, b  1, c  1 D. a  1, b  1, c  1
Câu 121:

Cho hàm số f (x) 

2x 1  5x 1
. Khi đó:
10x
Trang 16


Phần Tích Phân-Giải tích 12
2
1

C.
x
5 .ln 5 5.2 .ln 2
5x
5.2 x
C. �
f (x).dx 

C
2 ln 5 ln 2
f (x).dx  
A. �

2
1

C
x

5 ln 5 5.2 .ln 2
5x
5.2x
D. �
f (x).dx  

C
2ln 5 ln 2
f (x).dx 
B. �

x

x

f (x) dx  e x  sin 2 x  C thì f (x) bằng:
Câu 122: Nếu �

A. e x  2sin x

B. e x  sin 2x

C. e x  cos 2 x

D. e x  2sin x

f (x)dx  e x  sin 2 x  C thì f (x) là hàm nào ?
Câu 123: Nếu �

A. e x  cos 2 x

B. e x  sin 2x

C. e x  cos 2x

D. e x  2sin x

1

Câu 124: Một nguyên hàm của f (x)  (2x  1).e x là:
1

1

A. F(x)  x.e x

1

B. F(x)  e x

C. F(x)  x 2 .e x

1

D. F(x)   x 2  1 .e x

Câu 125: Nếu F  x  là một nguyên hàm của f (x)  e x (1  e  x ) và F(0)  3 thì F(x) là ?
A. e x  x
B. e x  x  2
C. e x  x  C

D. e x  x  1
Câu 126: Một nguyên hàm của f (x) 
1 2x
x
A. F(x)  e  e  x
2
1 2x x
C. F(x)  e  e
2

e3x  1
là:
ex  1

Câu 127: Nguyên hàm của hàm số f  x   e x (2 
x
A. F  x   2e  tanx    

x
C. F  x   2e  tanx  C     



x



1  C

B. 2

x

e x
) là:
cos 2 x
x
B. F  x   2e - tanx  C     
D. Đáp án khác

(2  e3x ) 2 dx
Câu 128: Tìm nguyên hàm: �
4 3x 1 6x
A. 3x  e  e  C
3
6
4 3x 1 6x
C. 4x  e  e  C
3
6
ln 2
2 x
dx , kết quả sai là:
Câu 129: Tính �
x

A. 2 2

1 2x x
B. F(x)  e  e

2
1 2x
x
D. F(x)  e  e  1
2

C

4 3x 5 6 x
B. 4x  e  e  C
3
6
4 3x 1 6x
D. 4x  e  e  C
3
6

C. 2

x 1



D. 2 2

C

x



1  C

2

Câu 130: Hàm số F(x)  e x là nguyên hàm của hàm số
2

A. f (x)  2xe x

2

B. f (x)  e 2x

C. f (x) 

B. 2 x 1  C

C.

ex
2x

2

D. f (x)  x 2e x  1

2 x 1 dx bằng
Câu 131: �

A.

2 x 1
ln 2

1 2x 3x
Câu 132: Nguyên hàm của hàm số f  x   3 .2 là:

Trang 17

2 x 1
C
ln 2

D. 2 x 1.ln 2  C


Phần Tích Phân-Giải tích 12
x

�8 �
��
A. F  x   �9 �  C
8
ln
9

x

�9 �

��
B. F  x   3 �8 �  C
8
ln
9

x

�8 �
��
C. F  x   3 �9 �  C
8
ln
9

x

�8 �
��
D. F  x   3 �9 �  C
9
ln
8

3x x
Câu 133: Nguyên hàm của hàm số f  x   e .3 là:

 3.e   C
A. F  x  
ln  3.e 

3 x

e3x
C
B. F  x   3.
ln  3.e3 

3

C. F  x  

 3.e 

x

ln  3.e3 

C

D. F  x 

 3.e 


3 x

C

ln 3

2

�x 1 �
Câu 134: �
3  x �dx bằng:
�
� 3 �
2

3

�3x ln 3 �
A. �  x � C
�ln 3 3 �

C.

1 �3x
1 �
B. �  x
� C
3 �ln 3 3 ln 3 �

9x
1

 2x  C
x
2 ln 3 2.9 ln 3

D.

1 �x 1
9 
�
2 ln 3 � 9 x

�
� 2x  C
�

2008x dx  F  x   C , với C là hằng số. Khi đó hàm số F  x  bằng
Câu 135: Gọi �

A. 2008x ln 2008

B. 2008x 1

Câu 136: Họ nguyên hàm của hàm số f  x  
1
8x
A. F  x  
ln
C
ln12 1  8x
1
8x
C. F  x  
ln
C

ln 8 1  8x

C. 2008x

D.

1
là
1  8x

1
8x
B. F  x   ln
C
12 1  8x
8x
D. F  x   ln
C
1  8x

Câu 137: Nguyên hàm của hàm số f (x)  e x (1  3e 2x ) bằng:
A. F(x)  e x  3e  x  C
B. F(x)  e x  3e 3x  C
C. F(x)  e x  3e 2x  C
D. F(x)  e x  3e  x  C
Câu 138: Hàm số F(x)  e x  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
1
x
A. f (x)  e  2
B. Đáp án khác

sin x
e x �
1
x �
x
f
(x)

e
1

C. f (x)  e  2
D.
�
�
2
sin x
� cos x �
�
cosxesinx  ;  x  0
�
Câu 139: Cho f  x   � 1
. Nhận xét nào sau đây đúng?
    ;  x �0
�
� 1 x
cosx
�
e
     ;  x  0

�
A. F  x   �
là một nguyên hàm của f  x 
2 1  x  1 ;  x �0
�
�
esinx
     ;  x  0
�
F
x

B.   �
là một nguyên hàm của f  x 
2 1  x  ;  x �0
�

Trang 18

2008x
ln 2008


Phần Tích Phân-Giải tích 12
�
ecosx
;  x  0
�
F
x




C.
là một nguyên hàm của f  x 
�
2 1  x   ;  x �0
�
�
esinx
     ;  x  0
�
D. F  x   �
là một nguyên hàm của f  x 
2 1  x  1 ;  x �0
�
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
dx bằng:
Câu 140: �
2x  5
3
3
A. 2 ln 2x  5  C
B. ln 2x  5  C
C. 3ln 2x  5  C
D. ln 2x  5  C
2
2
1
dx bằng:

2
Câu 141: �
 5x  3

A. 

1
C
5  5x  3 

B.

1
C
5  5x  3

C. 

3x  1
dx bằng:
Câu 142: �
x2
A. 3x  7 ln x  2  C
B. 3x  ln x  2  C

1
C
 5x  3

D. 

C. 3x  ln x  2  C

1
C
5  5x  3

D. 3x  7 ln x  2  C

1
dx
Câu 143: �
 x  1  x  2  bằng:
x 1
C
x2
D. ln x  2  C

A. ln x  1  ln x  2  C

B. ln

C. ln x  1  C
x 1
dx bằng:
Câu 144: �2
x  3x  2
A. 3ln x  2  2 ln x  1  C

B. 3ln x  2  2 ln x  1  C

C. 2 ln x  2  3ln x  1  C

D. 2ln x  2  3ln x  1  C

1
dx bằng:
Câu 145: �2
x  4x  5
x 5
x 5
C
C
A. ln
B. 6 ln
x 1
x 1

Câu 146: Tìm nguyên hàm:
A.

1
x
ln
C
3 x 3

C.

1 x 5

ln
C
6 x 1

1 x 5
C
D.  ln
6 x 1

C.

1
x
ln
C
3 x 3

D.

1 x 3
ln
C
3
x

1
C
x 3

D.

1
C
3 x

1

dx .
�
x(x  3)
B.

1 x 3
ln
C
3
x

1
dx bằng:
Câu 147: �2
x  6x  9
1
1
C
C
A. 
B.
x3
x 3

1
Câu 148: Cho hàm f  x   2
. Khi đó:
x  3x  2
x 1
f  x  dx  ln
C
A. �
x2

C. 

f  x  dx  ln
B. �

Trang 19

x 1
C
x2


Phần Tích Phân-Giải tích 12
f  x  dx  ln
C. �

x2
C
x 1

f  x  dx  ln
D. �

x2
C
x 1

1
là
x  4x  3
1
x 3
1
x 1
| C
| C
A. F(x)  ln |
B. F(x)  ln |
2
x 1
2
x 3
x 3
| C
C. F(x)  ln | x 2  4x  3 | C
D. F(x)  ln |
x 1
1
Câu 150: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x)  2
thỏa mãn F(3/2) =0. Khi đó F(3)

x  3x  2
bằng:
A. 2ln2
B. ln2
C. -2ln2
D. –ln2
2x  3
Câu 151: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)  2
x  4x  3
2
x  3x
2
C
2
A.  2
B. (2x  3) ln x  4x  3  C
 x  4x  3

Câu 149: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 

C.

x 2  3x
C
x 2  4x  3

Câu 152: Tính
A.

2

D.

1
 ln x  1  3ln x  3   C
2

C.

1 x3
ln
C
4 x 1

dx

�
x  2x  3
2

1 x  1
ln
C
4
x 3

B.

1 x  3
ln

C
4
x 1

Câu 153: Họ nguyên hàm của f(x) =
x 1
C
x
1
x
C
C. F(x) = ln
2 x 1

B. F(x) = ln

x
C
x 1

D. F(x) = ln x(x  1)  C
x 3
, F(0)  0 thì hằng số C bằng
x  2x  3
2
3
C. ln 3
D.  ln 3
3
2

Câu 154: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x) 
B.

3
ln 3
2

Câu 155: Nguyên hàm của hàm số: y =

dx

�
a x
2

2

2

là:

1
ax
1 x a
1 xa
ln
+C
C. ln
+C

D. ln
+C
2a a  x
a xa
a x a
dx
Câu 156: Nguyên hàm của hàm số: y = �2 2 là:
x a
1
x a
1
xa
1 x a
1 xa
ln
ln
A.
+C
B.
+C
C. ln
+C
D. ln
+C
2a x  a
2a x  a
a xa
a x a
1
Câu 157: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x)  2

. Một học sinh trình bày như sau:
x  6x  5
1
1
1� 1
1 �

 �

(I) f (x)  2
�
x  6x  5 (x  1)(x  5) 4 �x  5 x  1 �
A.

1
ax
ln
+C
2a a  x

1 x 1
ln
C
4 x 3

1
là:
x(x  1)

A. F(x) = ln

2
A.  ln 3
3

D.

B.

Trang 20


Phần Tích Phân-Giải tích 12
1
1
,
theo thứ tự là: ln x  5 , ln x  1
x  5 x 1
1
1 x 1
C
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: (ln x  5  ln x  1  C 
4
4 x 5

(II) Nguyên hàm của các hàm số

Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I
B. I, II

C. II, III

D. III

C – ĐÁP ÁN
1D, 2A, 3B, 4B, 5B, 6D, 7A, 8D, 9D, 10A, 11D, 12B, 13A, 14B, 15A, 16A, 17B, 18C, 19C, 20D,
21C, 22B, 23C, 24D, 25A, 26C, 27A, 28A, 29C, 30D, 31D, 32B, 33D, 34A, 35A, 36A, 37D, 38A,
39C, 40B, 41A, 42D, 43B, 44D, 45A, 46C, 47C, 48C, 49C, 50A, 51B, 52D, 53C, 54B, 55A, 56A,
57A, 58D, 59C, 60C, 61C, 62B, 63A, 64C, 65D, 66A, 67C, 68B, 69B, 70D, 71C, 72B, 73A, 74D,
75D, 76D, 77A, 78D, 79D, 80D, 81D, 82D, 83C, 84B, 85B, 86C, 87B, 88D, 89D, 90B, 91B, 92B,
93D, 94C, 95A, 96D, 97C, 98C, 99B, 100A, 101A, 102C, 103C, 104D, 105D, 106D, 107B, 108B,
109D, 110D, 111D, 112A, 113B, 114B, 115D, 116A, 117C, 118A, 119C, 120B, 121A, 122B, 123B,
124C, 125B, 126C, 127C, 128D, 129B, 130A, 131C, 132C, 133A, 134C, 135D, 136C, 137D, 138D,
139D, 140B, 141A, 142D, 143B, 144A, 145C, 146D, 147A, 148D, 149A, 150D, 151D, 152D, 153B,
154D, 155B, 156A, 157D.

Trang 21


Phần Tích Phân-Giải tích 12

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
f  u(x) .u (x)dx  F[u(x)]  C
+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số �

( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về
toàn bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan
giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx ��
�
;s inx ��
� cos x;....
cos 2 x
'

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

�f (u(x)).u (x).dx
,

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức

a 2  x 2 . Đặt x = |a|sint (-



�t � )
2
2



t )
2
2
|a|
� �
( t � 0;   \ � �)
x 2  a 2 . Đặt x =
cos t
�2
2
2
a 2  x 2 hoặc a + x . Đặt x = |a|tgt ( 

B – BÀI TẬP
Câu 1:

3cos x

dx
�
2  sin x

bằng:

A. 3ln  2  sin x   C

B. 3ln 2  sin x  C

C.

3sin x

 2  sin x 

2

C

D. 

ex  e x
Câu 2: �x  x dx bằng:
e e
x
x
x
x
A. ln e  e  C
B.  ln e  e  C

x
x
C.  ln e  e  C

3sin x  2 cos x
dx bằng:
Câu 3: �

3cos x  2sin x
A. ln 3cos x  2sin x  C

B.  ln 3cos x  2sin x  C

C. ln 3sin x  2 cos x  C

3sin x
C
ln  2  sin x 

x
x
D. ln e  e  C

D.  ln 3sin x  2 cos x  C

sin x  cos x
là:
sin x  cos x
1
C
A. ln sin x  cos x  C B.
ln sin x  cos x

Câu 4: Nguyên hàm của

C. ln sin x  cos x  C

Trang 22

D.

1
C
sin x  cos x


Phần Tích Phân-Giải tích 12
4x  1
dx bằng:
Câu 5: � 2
4x  2x  5
1
C
A.
2
4x  2x  5
2
C.  ln 4x  2x  5  C

Câu 6: �
 x  1 e x

2

 2x  3

B. 
D.

1
C
4x  2x  5
2

1
ln 4x 2  2x  5  C
2

dx bằng:

�x 2
�x 2  2x  3
e
C
A. �  x �
�2
�
1 x 2  2x
C
C. e
2
cot x
Câu 7: � 2 dx bằng:
sin x
cot 2 x
cot 2 x
A. 
B.

C
C
2
2
sin x
Câu 8: � 5 dx bằng:
cos x
1
1
C
C
A.
B.
4
4cos x
4cos 4 x

1

B.  x  1 e 3
D.

C

1 x 2 2x 3
e
C
2

C. 

C.

x 3  x 2  3x

tan 2 x
C
2

1
C
4sin 4 x

D.

tan 2 x
C
2

D.

1
C
4sin 4 x

D.

cos 6 x
C
6

sin 5 x.cosxdx bằng:
Câu 9: �

sin 6 x
sin 6 x
B. 
C
C
6
6
ln x
dx bằng:
Câu 10: �
x 1  ln x
1 �1
�
A. � 1  ln x  1  ln x � C
2 �3
�
�1
�
3
C. 2 � (1  ln x)  1  ln x � C
�3
�
A.

1
Câu 11: � 5 dx bằng:

x.ln x
4
4
ln x
A. 
B.  4  C
C
ln x
4
ln x
Câu 12: �
dx bằng:
x
3
3
3
A.
B. 2  ln x   C
 ln x   C
2
x
dx bằng:
Câu 13: � 2
2x  3
1
1
3x 2  2  C
2x 2  3  C
A.
B.

2
2

C. 

cos6 x
C
6

�1
�
B. � 1  ln x  1  ln x � C
�3
�
�1
�
D. 2 � 1  ln x  1  ln x � C
�3
�

C.

1
C
4 ln 4 x

C.

2
3

C.

2

x.e x 1dx bằng:
Câu 14: �

Trang 23

 ln x 

3

D. 

C

2x 2  3  C

D. 3

1
C
4 ln 4 x

 ln x 

3

C

D. 2 2x 2  3  C


Phần Tích Phân-Giải tích 12
A.

1 x 2 1
e
C
2

B. e x

2

1

C. 2e x

C

e 2x
Câu 15: �x
dx bằng:
e 1
x
x
A. (e  1).ln e  1  C

2

1

D. x 2 .e x

C

2

1

C

x
x
B. e .ln e  1  C

x
x
C. e  1  ln e  1  C

x
D. ln e  1  C

1
x
Câu 16: e dx bằng:
�

x2
1

A. e x  C

1

1

C

B. e x  C

C. e x  C

x
B. ln e  1  C

C.

ex
C
ex  x

D.

B. ln x  1  C

C.

1
C
x 1

D. ln x  1 

D.

e

1
x

x

e
Câu 17: �x
dx bằng:
e 1
A. e x  x  C

1
C
ln e x  1

x
dx bằng:
2
Câu 18: �
 x  1

A. ln x  1  x  1  C

x  x  1 dx là:
Câu 19: Họ nguyên hàm �

1
C
x 1

3

A.

 x  1

5

 x  1


4

C

B.

x 5 3x 4
x2


 x3   C
5
4
2

D.

5

4

 x  1

5

5

 x  1


4

4

C

x 5 3x 4
x2

 x3   C

5
4
2
Câu 20: Hàm số f (x)  x x  1 có một nguyên hàm là F(x) . Nếu F(0)  2 thì giá trị của F(3) là
116
146
886
A.
B. Một đáp số khác
C.
D.
15
15
105
x
Câu 21: Kết quả của � 2 dx là:
1 x
1
1
1
C
C
A. 1  x 2  C
B.
C.
D.  ln(1  x 2 )  C
2
2
2
1 x

1 x
C.

Câu 22: Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
dx
1
x
 tan  C
A. �
1  cos x 2
2

C.

dx

 ln(ln(ln x))  C
�
x ln x.ln(ln x)

dx

B.

�
x x

D.

�

3  2x

2

1

xdx

2



1
ln
2

x 2  1 1
x 2 1 1

1
  ln 3  2x 2  C
4

dx
Câu 23: Tìm họ nguyên hàm: F(x)  �
x 2 ln x  1
A. F(x)  2 2 ln x  1  C
B. F(x)  2 ln x  1  C
1
1

2 ln x  1  C
2 ln x  1  C
C. F(x) 
D. F(x) 
4
2
Trang 24

C


Phần Tích Phân-Giải tích 12
x3
Câu 24: Tìm họ nguyên hàm: F(x)  �4 dx
x 1

1
4
B. F(x)  ln x  1  C
4
1
4
D. F(x)  ln x  1  C
3

4
A. F(x)  ln x  1  C

1
4

C. F(x)  ln x  1  C
2
sin 2 x cos3 x dx , ta có
Câu 25: Tính A = �

sin 3 x sin 5 x

C
3
5
sin 3 x sin 5 x
A

C
C.
3
5
A. A 

B. A  sin 3 x  sin 5 x  C
D. Đáp án khác

Câu 26: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  sin 4 x cos x
1 5
A. F(x)  sin x  C
B. F(x)  cos5 x  C
5
1 5
C. F(x)  sin 5 x  C
D. F(x)   sin x  C

5
4
5
Câu 27: Để tìm nguyên hàm của f  x   sin x cos x thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t  cos x
�u  cos x
B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt �
dv  sin 4 x cos 4 xdx
�

�
u  sin 4 x
�
C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt �
dv  cos5 xdx
�
D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t  sin x

Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3x tan x
4
3
A.  cos x  3cos x  C
B.
3
4
3
C.  cos x  3cos x  C
D.
3
Câu 29: Họ nguyên hàm của hàm số f  x 

A.

 2 ln x  3
2

2

 2 ln x  3


Câu 31: Tích phân
ex
A. ln x
2e  2

B. x = 1

là

C.

Câu 30: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 
F(x) = x có nghiệm là:
A. x = 0

3

x

2 ln x  3

C
B.
8

C

là
1 3
sin x  3sin x  C
3
1
cos3 x  3cos x  C
3

 2 ln x  3
8
x

8  x2

4

C

D.

 2 ln x  3
2

4

C

thỏa mãn F(2) =0. Khi đó phương trình

C. x = -1

D. x  1  3

dx
bằng
1

�e

x

2e x
B. ln x
e 1

C. ln

Câu 32: Họ nguyên hàm của tanx là:

Trang 25

ex
2  e x  1





x
D. ln e  1  ln 2