Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danh sach phu tro

Danh sách BT bổ trợ thêm kiến thức
về đồng cấu, hạt nhân, ảnh v.v.
Giảng viên : Trần Đức Anh
Liên hệ qua hòm thư:
nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 11/2015
Ghi chú: Do tôi dành quá nhiều sức lực cho việc soạn 8 đề kiểm tra, nên phần kiến thức liên quan tới ánh
xạ tuyến tính (còn gọi là đồng cấu tuyến tính), hạt nhân, ảnh, tự đồng cấu v.v. có phần hơi mỏng. Tôi gửi
các bạn thêm một vài bài tập thuộc dạng cơ bản, sẽ góp phần làm kiến thức của các bạn thêm chắc chắn.
Một trong những định lý quan trọng nhất ở chương này chính là định lý sau
Định lý 1 (Định lý đồng cấu không gian vector). Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có đẳng
cấu sau
∼
=
f¯: V /Ker(f ) −→ Im(f ),
trong đó f¯ là ánh xạ tuyến tính cảm sinh từ ánh xạ f.
Bài tập 2. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Giả sử {v1 , . . . , vq } là hệ sinh của không gian vector V.
Chứng minh rằng {f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vq )} là hệ sinh của không gian ảnh Im(f ). Từ đó chứng minh bất đẳng
thức chiều sau, với mọi không gian vector con U ⊂ V, ta đều có
dim f (U ) ≤ dim U.
Điều đó nói rằng ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều không gian vector.
Bình luận Bài tập này giúp các bạn giải quyết bài toán tìm cơ sở của không gian ảnh, ví dụ bài tập 6,
danh sách số 8. Nhờ bài tập này, bài toán tìm cơ sở của không gian ảnh quay lại công việc quen thuộc: sử
dụng thuật toán tính hạng để tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hoặc cơ sở của không gian vector con
sinh bởi các vector đã cho v.v.
Ích lợi thứ hai là nó cho phép các bạn chứng minh các bất đẳng thức chiều. Để chứng minh bất đẳng thức
chiều giữa hai không gian vector, cách làm là bạn chỉ ra một ánh xạ tuyến tính cụ thể giữa hai không gian
vector. Ví dụ: nếu f : V → W là đơn cấu, thì dim V ≤ dim W. Ngược lại, nếu f : V → W là toàn cấu, thì
dim V ≥ dim W.
Bài tập 3. Cho f : V → V là tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f 2 = f, ở đây f 2 nghĩa là f ◦ f. Chứng minh
rằng

V = Im(f ) ⊕ Ker(f ).
Lời giải Bạn có thể xem mệnh đề 5.2.5 trang 120[1], tuy nhiên ở đó có khái niệm chéo hóa bạn chưa biết,
nhưng bạn có thể tự đọc vì khái niệm đó rất dễ.
Bài tập 4. Cho f : V → V là tự đồng cấu tuyến tính thỏa mãn f 3 = f. Chứng minh rằng
V = Ker(f ) ⊕ Ker(f − IdV ) ⊕ Ker(f + IdV ).
Lời giải Bạn có thể xem lời giải bài này ở đường dẫn sau />12/03/mot-bai-tap-ve-tu-dong-cau-cheo-hoa-duoc/

Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đức Thái (chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính.