Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danhsach01 bt dstt

Danh sách bài tập ĐSTT số 1 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh
Liên hệ qua hòm thư:
nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 9/2015

Đại cương về lý thuyết tập hợp
Tập hợp
Bài tập 1. Cho các tập hợp, đều là tập con của tập các số tự nhiên, A = {11..20}, B = {5..15},
C = {10, 12, 13, 22, 25, 26}. Tính các tập sau.
(a) A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, B ∩ C, A ∪ C, A ∩ C.
(b) A\B, B\C, A\C.
(c) A ∪ (B ∩ C), (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Sau khi tính, so sánh hai tập này.
(d) A ∩ (B ∪ C), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Sau khi tính, so sánh hai tập này.
(e) A\(B ∩ C), (A\B) ∪ (A\C). Sau khi tính, so sánh hai tập này.
(f) A\(B ∪ C), (A\B) ∩ (A\C). Sau khi tính, so sánh hai tập này.
Bài tập 2. Viết các biểu thức tương đương sau.
(a) x ∈ A ∩ B ⇔ ?
(b) x ∈ A ∩ B ⇔ ?
(c) x ∈ A ∪ B ⇔ ?
(d) x ∈ A ∪ B ⇔ ?
(e) x ∈ A\B ⇔ ?
(f) x ∈ A\B ⇔ ?
Bài tập 3. Cho A = {1, 2, 3} và B = {4, 5}. Liệt kê các phần tử của tập hợp A × B và chỉ
ra số phần tử của tập hợp này.
Bài tập 4. Cho tập hợp A = {1, 2} và B = {3, 4, 5}. Liệt kê tất cả các tập con của A và B.
Hỏi A và B mỗi tập có bao nhiêu tập con?
Bài tập 5. Cho E là một tập hợp. Cho A, B, C là các tập con của E. Chứng minh các khẳng
định sau:
(a) Nếu A ∩ B = A ∪ B thì A = B.
(b) Nếu A ∩ B = A ∩ C và A ∪ B = A ∪ C thì B = C.

1


Bài tập 6. Cho A, B là các tập con của tập X nào đó. Chứng minh rằng X − (A ∪ B) =
(X − A) ∩ (X − B) và X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B).
Bài tập 7. Từ bài tập 6, chứng minh rằng: Đẳng thức này
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
mà đúng thì sẽ kéo theo đẳng thức sau
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
đúng với mọi tập A, B, C.
Bài tập 8. Cho F và G là các tập con của tập E nào đó. Chứng minh các khẳng định sau.
(a) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∪ G = G
(b) F ⊂ G khi và chỉ khi (E − F ) ∪ G = E.
(c) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∩ G = F.
(d) F ⊂ G khi và chỉ khi F ∩ (E − G) = ∅.

Ánh xạ
Bài tập 9. Xét các ánh xạ f, g : R → R như sau: f (x) = 3x + 1 và g(x) = x2 − 1. Tính cụ
thể ánh xạ f ◦ g và g ◦ f. Hỏi rằng f ◦ g = g ◦ f ?
Bài tập 10. Xét ánh xạ f : R → R định nghĩa bởi f (x) = x2 với mọi x ∈ R.
(a) Xác định các tập hợp sau: f ([−3, −1]), f ([−2, 5]), f ([−3, −1] ∪ [−2, 5]) và f ([−3, −1] ∩
[−2, 5]). So sánh các tập vừa tìm được. Nghĩa là tập nào là tập con của tập nào, hoặc các
mối quan hệ tập hợp trong đó có các phép toán hợp và giao.
(b) Câu hỏi tương tự câu trên với các tập sau f −1 ((−∞, 2]), f −1 ([1, +∞)), f −1 ((−∞, 2] ∪
[1, +∞)) và f −1 ((−∞, 2] ∩ [1, +∞)).
Bài tập 11. Cho a < b là hai số thực nào đó. Ký hiệu (a, b) là tập tất cả các số thực x thỏa
x−a
mãn a < x < b. Chứng minh rằng ánh xạ f : (a, b) → R+ định nghĩa bởi f (x) =
là một
b−x

song ánh. Trong đó R+ là tập tất cả các số thực dương.
Bài tập 12. Chứng minh rằng ánh xạ exp : R → R+ được định nghĩa bởi exp(x) = ex là một
song ánh.
Bài tập 13. Chỉ ra một song ánh từ N vào Z và một song ánh từ N∗ × N∗ vào N∗ . Ở đây, N∗
là tập tất cả các số nguyên dương.
Gợi ý Với song ánh từ N → Z, ta chia tập số tự nhiên thành hai tập con: một tập gồm các
số chẵn, một tập gồm các số lẻ, rồi song ánh mỗi tập đó vào một tập con thích hợp của tập
các số nguyên Z. Với song ánh N∗ × N∗ → N∗ thì câu chuyện hơi mẹo mực, bạn nào làm được
thì tốt, không làm được là bình thường.
Bài tập 14. Chỉ ra một song ánh giữa đường tròn và hình vuông (hình vuông chỉ tính là gồm
4 cạnh mà thôi, không tính miền trong) trong mặt phẳng thông thường học ở phổ thông.

2