Bài giảng bài tập hàm số mũ, logarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

Đỗ Văn Thọ


Đỗ Văn Thọ

LŨY THỪA
1. Tính chất của lũy thừa:
 Với mọi a  0, b  0 ta có:



a � a 1
a

n
  �
 
 .
 
 
 
a .b  a ;   a ;  a   a ;  ab   a .b ; � �   ; n  a
a
a
�b � b


 Với a  1: a  a �   
 Với 0  a  1: a  a  �   

 Với 0  a  b ta có:
a m  bm � m  0 ; a m  bm � m  0

2. Tính chất của căn thức:
 Với a, b �0, m, n �N *, p, q �Z ta có:
n

ab  a b ;
n

n

n

a na

,  b  0 ;
b nb

n

 a

ap 

n

p

,  a  0 ;

m n

a  m .n a

P q
 � n a p  m a q ,  a  0  . Và ta có n a  mn a m
n m
 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a  b � n a  n b
 Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0  a  b � n a  n b

Nếu

BÀI TẬP
Bài 1: Thực hiện phép tính sau:

3  15  84

b) B  2
6
4 .
9  5   6 
2
7 4
3
3 5

18
2


50
2
3




� 2� E
c) C  4 2  8 3
d) D  �
32 � e)
4
5
2
 25   4   27 
� �
3
3
1
1
1
1
1
1256  16   2 
�
�
�
�
3
3

3
3
3
G

4

10

25
2

5
4
f) F 
g)
�
�
�
�
2
253 �
�5 �
�
�
�
�
�
3

2

2

� 7 �� 2 �
� 7�
a) A   1 � �� � 7  � �
.
� 8 �� 7 �
� 4�
3

5

h) H 
k) 4

12 3

4

4 64
3

1 3

.16



3

2



4

i)

I

27

2

33

2

81. 5 3 5 9 12

 3
3

32

l)

5

 

m) 2

 

�
j)
3
18 5 27 6 �
�

2

5

8

5

6

3

3

�
�
�

4

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

2


Đỗ Văn Thọ
a)

4

7

x 2 3 x ,  x �0  . ĐS: x 12
3

c) 5 2 3 2 2 . ĐS: 210
e)

a8 . ĐS: a

4 3

i) b . b
m)

x2 3 x , x  0

4

b2 b

5

f)

3

b b

1
j) 4 27 3 a
3

3 4

8

8
12

n)

5

b)

5

b3a
,  a, b �0  . ĐS:
a b

d)

3

233 2
3 2 3

. ĐS: 1

�a �
��
�b �

17 5 3
2 ax
8

g)

h) 3 a 5 4 a
11
6

k) 2 2 2
5

1
3

l) a a a a : a , a  0

3

a3a
,  ab  0 
b b

Bài 3: Đơn giản các biểu thức sau:
a b
 a 0,5b0,5
0,5
0,5
2b 0,5
a) a  b
 0,5
a b
a  b 0,5
1,5

1,5

� 12
�
a


1
�
��
�
�
. ĐS: 1 b) � a  2  a  2 ��
1
1
�
�
�a  2a 2  1 a  1 � a 2
�
�
1
2

1
2

� x 0,5  y 0,5
x 0,5  y 0,5 �x1,5 y 0,5
 0,5
c) � 0,5
�
0,5
xy

x
y
xy  x 0,5 y �x  y

�
� 0,5
1
2
2
1 2
4
0,5
0,5
0,5 � 0,5
0,5
�
�
�
�
x

3
y
x

3
y
x

y
3
3
3
3 3

3
�

a

b
a

a
b

b
d) �
e)
�
�
�
�
� x 0,5  y 0,5  2
x y � 2
�
�
�
�
�
�
1
1
1
� 14

�
� 14
�
� 12
�
4
4
2
a

b
a

b
a

b
f) �
�
�
�
�
� g)
�
�
�
�
�
�
1

a 1   b  c  � b 2  c 2  a 2 �
2
1

a

b

c


�
�

1
2bc
a 1   b  c  �
�

i)

a2

a

2
2

 b2
b

3

3



2

1

j)



a2

3



 1 a2
a4

3

3

a

a

3

3

3

 a3

3



k)

a



 b 

2



�1 �
�
4 ab �
�

�


Đỗ Văn Thọ
�
�
1
7
1
5
a �
a a �

a3  a 3 a 3  a3
�
�
l) 1 3
n) 1
 2
1
4
1
 �
�

4
4
4
3
3

3
a �
a a �
a a
a a 3
�
�
4
3

1

3

2
3

1
1
�
� 1
1
2
2
�
� a  b  a  b �: �
4
4
a


b
o) � 3
�
1 1
1
1 ��
�
�
a 4  a 2b 4 a 4  b 4 �
�

�
�

1
�
�
�
�
��
�
�
1
1
a  b � � 1
�
�x  x  1  x �� 1  2 x  x �
�

 ab  2

p) �
1
1
1
3
3
� q) � 1
�
��
1 2
�
�
�2
� �a 2  b 2 � �
2
�
�
2
x 4 ��
1

x
�1  x 4
a

b
�
�
�
�

�
�
�
�
�
�
2
2
aa
2
1 a
� a 2
� a 1�
a 2�



r)* 1
s) �
1
3
1
1
�


�a  2 a  1 a  1 �
�
� a �
�

2
2
2
2
2
�
�
�
�
a a
a
a a
1
2

1
4

1
2

1

2

a  1  a  a 

t)
a a a 
2 3

2 3

4 3

3

3

3 3

1

1

x)

2
3

8
3

2
3

5
3

a a

a a



5
3



1
3

2
3



1
3

a a
a a

2y
2
c.
d. ?
e. a  b 2
f. a  b
x y

a 1
1
2a 2
g.
i. 2
j. a 3  1 k. a  b
l. a
n. 2a
3
2bc
a b
a3  a  1
2
q. 1
r. 
3
s.
t. a 3  1
x. 2a
a 1
a2
Bài 4: Đơn giản các biểu thức sau:
3
ab � 4 ab  b
�
a3b
6
6
:
a) 6

. ĐS: a  b
b) � ab 
�
a

ab
a6b
�
� a b
ĐS: a. 1

b.

ax

4

�a x  x a
�
2

a

x

2
a
x
c) �
�

�a 4 x  ax
� d)
�
�
24

4

3

a  x
2

3

2


6

3

ax 2  3 a 2 x

a 2  2 3 ax  3 x 2  6 x
a6 x
3


Đỗ Văn Thọ

3

�
�
�
�
a 3 a  2a 3 b  3 a 2b 2 3 a 2b  3 ab 2 � 3
�
� �
x xx
 3
�: a
e) �
�f) �
3
3
2
3
4
4
3
3
a

b
� x 1
�
� x 1
�
a  ab

�
�
�
�
� �

x

x
�
�
�
�
�
�
�4 x  1
�
�4 x  1
�
�
�
�
�
�
�
� 3 a 2b  3 ab 2
1
a  b �6
6


a

b
6a
�
g) �3 2
3
3
3
2
3
a 2  b2 �
�
� a  2 ab  b
�
4
4
1
4
5
a

1
a

a
3
3
a4 1
h) 3 x 6 y12  5 xy 2

i) a b  ab
j) 3
1
a 1
3
a3b
a4  a2
� 1
m2  4 �
1�
�m 1
4
 3


k) �
l)  a  5 
m) 81a 4b 2 ,  b  0 
�
�2
�
2 m�
�
�m  2 m  2 2 �
2
� �a �
�
1  � � �a 2
�
4

� �b � �
n) 4 x8  x  1 ;  x �1 o)











a b



2

 2 ab

�4a  9a 1 a  4  3a 1 �
3�
�
�

;
a

0;

a
�
1;
a
�
p) � 1
�
� q) 3  5  13  48
1
1
1


2
� 2
�
�
�
2a  3a 2
a2  a 2 �
�
Bài 5: So sánh các cặp số sau:
2
6
� � � �
 2
 2
a)  0, 01
và  10 
b) � � và � �

c) 52 3 và 53 2
�4 � �4 �
e)  0, 001

d) 5300 và 8200
g)
k)

 2


3

và



3 1

1
4

 2

và



và 3 100

4

f) 4

�4 �
�5 �
h) � � và � �
�5 �
�4 �

2
3 1
2

�3�
�2�
l) � � và � �
�5 �
�2 �
� �
� �



1 � và
p) �
��
�2 �

và  0,125 

 2

i) 0, 0210 và 5011

 2

5
7

2

5

5



o) 3600 và 5400

0,3

2.2

5

 2

3
14

q)

3

3 và

5
2

10
3

m) � � và � �
��
��
�2 �
�2 �
2


Đỗ Văn Thọ
Bài 6: Tính giá trị các biểu thức
1
2

��
�
�
�� �

�
�
a) A  �
3
.5
:
2
:
16
:
5
.2
.3
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
��
��
5
3

3
2

b) A 

3
2

a b

a

2

1
3

7

4

3
2

 ab 

2
3

:

a



2
3 3

1
4

1
2

ab

6
3
với a  ; b 
a a b b
5
5
3

2
2
1
� 32

2
1  3 �
a b  ab  3  a  � với a 
c) A  �

và b  3
2
2
�
�
Bài 7: Chứng minh đẳng thức sau
1
a  a 2
1  a 2
2
2
a



0
a)
1
1
1
1
3


a2  a 2 a2  a 2 a2

b)

a  ab  b  ab 
2

3

4 2

2

3

2 4

c) 3  2 2  3  2 2  2
Bài 8: Rút gọn biểu thức

a  b
2

3

2



3

d) 3 5 2  7  3 5 2  7  2

2 1

�1 �

a) a 2 � �
�a �



3

b) b  3 : b





3 1

2

6

c) x

 4

2

x :x

4



d) a

3

25



3

5


Đỗ Văn Thọ
LOGARIT
1. Định nghĩa:
 Với a  0, a �1, b  0 ta có log a b  c � b  a c
a  0, a �1
�
b0
�
 Logarit thập phân: lg b  log b  log10 b
 Logarit tự nhiên (nepe): ln b  log e b

 Chú ý: log a b có nghĩa khi �

2. Tính chất:
log b
 b;  b  0 

 log a 1  0 ; log a a  1 ; log a a b  b ; a
 Cho a  0, a �1, b, c  0 . Khi đó:
+ Nếu a  1 thì log a b  log a c � b  c
+ Nếu 0  a  1 thì log a b  log a c � b  c
3. Các qui tắc tính logarit:
Với a  0, a �1, b, c  0 ta có:
 log a  bc   log a b  log a c
a

�b �
��
 log a b   log a b

 log a � � log a b  log a c
c
4. Đổi cơ số:
Với a, b, c  0 và a, b �1 ta có:
log a c
hay log a b.log b c  log a c
log a b
1
 log a b 
log b a
1
 log a c  log a c;   �0 


 logb c 

BÀI TẬP

Bài 1: Sử dụng định nghĩa logarit tính các giá trị sau:
a) log 2 8 . ĐS: 6
2
3
1
1
g) 4log2 7 . ĐS:
49

d) log 27 9 . ĐS:

b)

log 1 2
4

. ĐS: 

1
2

e) 32log 5 . ĐS: 25
3

log5

1
. ĐS: 2
25
log 1 8

f)
. ĐS: 3

c) log 5

1
3

1 �
h) �
� � . ĐS: 9
�25 �

7

2

1log 1 2

�1 �
i) � �
�7 �

7

. ĐS:

2
7

Đỗ Văn Thọ
Bài 2: Tìm x biết:
1
2
x  0 . ĐS: 1 f) log 

a) log 0,1 x  2 . ĐS: 100

b) log81 x  . ĐS: 9 c) log x 7  1 . ĐS:

d) log x 8  3 . ĐS: 4
e) log 5
Bài 3: Tính các giá trị biểu thức sau đây:

2

x7

1

1
7

3

1

b) log 1 2  2 log 1 3  log 1 8 . ĐS: 2  log 1 3
2

2
2
2

a) log 7 49  log 7 343 . ĐS: 1

log 7 16
1
1
d)
. ĐS: 4
log 7 15  log 7 30
2
2
1
log 1 2
1
e) log5 3  log 5 12  log 5 50 . ĐS: 2 f) 2log4 15  3 27 . ĐS: 15  3
2
2
1
1
g) log 1  log 3 4.log 2 3 . ĐS: 
h) log 1 7  2 log9 49  log 3 7 . ĐS: log 3 343
4
2
3

c) log 5 3  log5 15 . ĐS: 

1

i)

25

1
 log 1 27  log125 81
2
5

. ĐS:



1
2
� log1 5
�
log
j) �25 6  49 8 7 �  log 2 log 2
�
�
�
�

3

5 9
81

k) 36log 5  10 lg 2  3log 36 . ĐS: 24
Bài 4:
a) Tìm log 49 32 biết log 2 14  a
6

9

1
3
2
c) Cho log15 3  a . Tính log 25 15 theo a
log 1 28
a
log 2  a
6

b) Tìm log
d) Cho

7

a biết log a 27 

. Tính

2

theo

log 2 5  a; log 2 14  b . Tính log 2 35 theo a và b
log 2 10  a; log 2 6  b . Tính log 2 30 theo a và b
log 3 4  a; log 3 5  b . Tính log 3 10 theo a và b
log 5 2  a; log 5 9  b . Tính log 5 6 theo a và b
log 2 3  a; log3 5  b; log 7 2  c . Tính log 63 50 theo a, b, c
1
5
1  2a
ĐS: a. 2 a  1 b. 2 c.
d.
e. a  b  1


21 a
a

e) Cho
f) Cho
g) Cho
h) Cho
i) Cho

b
2abc  c
i.
2
2ac  1
Bài 5: So sánh các số sau đây:
f. a  b  1 h. a 

8

4



2 . ĐS: 13


Đỗ Văn Thọ
a) log 3 4 và log 4

1
3

b) log 0,1 3 2 và log 0,2 0, 34

2

3

c) log 3 5 và log 5 4
4
2

1

d) 2log 3 và 3log 2
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
1

4
log 2 4.log 1 2
a)
. ĐS: 1
b) log 5 .log 27 9 . ĐS:  c) log a
4
25
3
d) 4log 2 3  9log 3 2 . ĐS: 25
e) log 2 2 8 . ĐS: 2
6

6

f) 27 log9 2  4log8 27 . ĐS: 2 2  9

g)

log a3 a.log a4 a

3

a ĐS:

1
6

1
3

log 1 a 7
a

2
i) 92log3 2 4log81 5 . ĐS: 400
3
ĐS: 890
k) 25log5 6  49log7 8 ĐS: 100 l) 532log5 4 ĐS:

h) log3 6.log8 9.log 6 2 . ĐS:
j) 81log3 5  27 log9 36  34log9 7
125
16

97
100 n) 31log9 4  42log 2 3  5log125 27 ĐS:
m) 9
.
ĐS:
4
9
o) log 6 3.log3 36 . ĐS: 4
Bài 7: Logarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau, rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu
các logarit
0,2
2
10
�
�
a

b2
45
3
5 3
a) a b
b) � �
c) 9a b
d)
6 5
27 a 7
�b �
Bài 8: Tính các giá trị biểu thức
1
3
3
a) log 9 15  log 9 18  log 9 10 ĐS:
b) 2 log 1 6  log 1 400  3log 1 45 . ĐS: 4
2
2
3
3
3
1
1
log
2

log 1 3 . ĐS: 1
c)
d) log 1  log 3 4.log 2 3 . ĐS: 

36
2
4
2
2
6
Bài 9: Tính giá trị các biểu thức
� 14  12 log9 4
� 12 log7 9log7 6
 log 4 �
45
log125 8 � log 7 2
81
 25
49
49
 5 5 �. ĐS:
a) �
.ĐS: 19 b) 72 �
�
2
�
�
�
�
Bài 10: Tìm x biết
1
log 6 3



1
log8 2



9


Đỗ Văn Thọ
1
40
a) log 6 x  3log 6 2  log 6 25  2 log 6 3 . ĐS:
2
9
1
243
b) log 4 x  log 4 216  2 log 4 10  4 log 4 3 . ĐS:
3
50

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản

b0
�
x
a

b

�
a

0,
a
�
1
Với
ta có
�
�x  log a b

2. Một sô phương pháp giải phương trình mũ
a. Đưa về cùng cơ số
f x
g x
Với a  0, a �1 ta có a    a   � f  x   g  x 

M
N
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a  a �  a  1  M  N   0
b. Logarit hóa

a

f  x

b

g x

� f  x    log a b  .g  x 

c. Đặt ẩn phụ



 Dạng 1: P a

f  x



f x
�
t  a   ,t  0
�
0��
, trong đó P  t  là đa thức theo t
P
t

0


�

 Dạng 2: ma 2 f  x   n  ab 
Chia 2 vế cho b

2 f  x

f  x

 pb

2 f  x

0
f  x

�a �
rồi đặt ẩn phụ t  � �
�b �

1
t

f  x
f  x
 Dạng 3: a f  x   b f  x   m với ab  1 . Đặt t  a � b  ; t  0

d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình f  x   g  x  (1)
+ Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)
+ Dựa vào tindh đồng biến, nghịch biến của f  x  và g  x  để kết luân x0 là
nghiệm duy nhất

�
f  x �

�
ng bi�
n v�g(x) ngh�
ch bi�
n (ho�
c�
�
ng bi�nh�
ng nghi�
m ng�
t)
+ Nếu f  x 
�
f
(
x
)
�
�
n
�
i�
u
v�
g(x)=
c
h�
ng
s�
�

đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f  u   f  v  � u  v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

10


Đỗ Văn Thọ

A0
�
A
.
B
�
 Phương trình tích
�
B0
�
�A  0
2
2
 Phương trình A  B  0 � �
�B  0

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình f  x   g  x  (1)

�
�

�f  x  M
�f  x   M
thì  1 � �
�g  x  �M
�g  x   M

Nếu ta chứng minh được �

BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau (cùng cơ số)
3 x1
1
�
�
2
2
a) 5 x 5 x6  1 ĐS:  2;3
b) � �  3 . ĐS:  0
c) 4 x 3 x 2  16 . ĐS:  3;0
�3 �
Bài 2: Giải các phương trình sau (cùng cơ số)
2 x 3
5 x
x 2  2 x 3
x2 2
3
4
�
�
�

�
1�
1
�
�
�
a) � �
c) � �  � �
 7 x1 . b) � �  243 x
�4 �
�3 �
�7 �
�2 �
x 1
1
�
�
2
e) 2 x  x8  413 x .
f) � �  1252 x .
�25 �
� 1�
 �
ĐS: a.  1; 2
b.  1; 2
c. 2
d.
e.  2; 3
f. �
�4

Bài 3: Giải các phương trình sau (cùng cơ số)
a) 3x1  3x 2  3x 3  3x 4  750 b) 32 x1  32 x  108
c) 52 x1  3.52 x1  550
2 x7

1
1
1 �6
x
6x
d) 2 x1  2 x1  2 x  28
e) 2.3x1  6.3x 1  3x  9
f) �
� � .4  8
�2 �
3
�9
�
ĐS: a. 5
b. 2
c.
d. 3
e. 1
f. � ; 1�
2
�2
Bài 4: Giải các phương trình sau (ẩn phụ)
1
a) 52 x  5.5 x  250 b) 22 x2  9.2 x  2  0 (TN năm 2005 – 2006).
5

c) 32 x1  9.3x  6  0 (tốt nghiệp năm 2007 – 2008)
d) 22 x6  2 x 7  17  0
e) 9 x  2.3x  15  0 f) 64 x  8 x  56  0 g) 25 x  6.5x  5  0 (TN 2008 - 2009)
h) 9 x  24.3x1  15  0
i) 34 x8  4.32 x 5  27  0
j) 4 x  36.2 x 1  32  0

11


Đỗ Văn Thọ
k) e  3.e  2
l) 4 x 5  x  2 x 5  x2
ĐS: a.  2
b.  1; 2 c.  0;log 3 2
3�
�
1;  � j.  1;16
h.  1;log 3 5 i. �
2
�
Bài 5: Giải các phương trình sau (dạng 3)
a) 3x1  18.3 x  29 b) 3x1  31 x  10
2
2
d) e 2 x  4.e2 x  3
e) 9sin x  9cos x  10
6x

3x



g) 2  3

   2  3
x

2

x

2

 4
d.  3
e.  log 3 5 f.  1
�1
�
0; ln 2 � l.  2
k. �
�3

g.  0;1

c) 5 x  51 x  4  0
2
2
f) 2sin x  4.2cos x  6

4

�
�
�3 �
2;  log 3 � �
ĐS: a. �
d.  ln 2
� b. 1; 1 c.  0
2
�
�
�

�
�
�
�
k 2 ;   k 2 ;  k ; k �Z �
e. �
f. �  k ; k �Z � g.  1; 1
2
�
�2
Bài 6: Giải các phương trình sau (dạng 2)
a) 2.25x  7.10 x  5.4 x  0 b) 3.16 x  2.81x  5.36 x
c) 25 x  10 x  2 2 x1
d) 4.9 x  12 x  3.16 x  0

e) 3.4 x  2.6 x  9 x

1

1

1

f) 4 x  6  x  9 x
g) 32 x 4  45.6 x  9.22 x2  0
h) 3.25x  2.49 x  5.35x
�
�
�
�
� 1�
�2 �
0; � c.  0
 log 1 5 � �
ĐS: a.  0;1
b. �
d.  1 e.  0 f. �
�
3
� 2
�
�
�
�
2
�

�
�2 �
0;log 5 � �
g.  2
h. �
�
3�
7 �
�
Bài 7: Giải các phương trình sau (logarit hóa)
2
2
2
a) 2 x1.5 x  200
b) 2 x 4  3x2 c) 5 x 6 x9  2 x3
d) 3x1.2 x  8.4 x 2
e. 5 x.x1 8 x  100
ĐS: a. 2
b.  2;log 2 3  2
c.  3;3  log 5 2
d.  1;1  log 2 3 e.  2
x
x
Bài 8: Giải các phương trình sau (đơn điệu). Chú ý:  a  '  a ln a
x
Hàm số y  a . Đồng biến nếu a  0 và nghịch biến nếu 0  a  1
x

�1 �
a) 4  3  1

b) � � x  4 c) 2 x  5 x  7 x d) 3x  5  2 x
�3 �
ĐS: a. 1
b. 1
c. 1
d. 1
Bài 9: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)
x

x

12


Đỗ Văn Thọ
3 x 1

8 x 2

2

2

2

a) 9
c) 4 x 3 x2  4 x  6 x5  42 x 3 x7  1
3
2
2

2
2
d) 52 x  7 x  52 x.35  7 x.35  0 . e) 2 x 1  2 x 2  3x  3x 1
x 7

x 2 2

f) 5

2

x 4



 25

i) 3  2 2



2x

 3  2 2 j)



52

12 x

�1 � �1 �
h) � � � �  2 .
�2 � �2 �

�1 �
g) � �  243 x .
�2 �



x 1





52

x 1
x 1



k) 3x.2 x1  72 . ĐS: 2
l) 5 x1  6.5 x  3.5 x1  52 . ĐS: 1
�2 �
ĐS: a. � � c.  1; 2; 5;8; 1; 4
d.  0
e.  3; 3

f.  0 g.  1; 2
7
�
� 1�
 � j.  1; 2 k. 2
h. 9
i. �
l.  1
2
�
Bài 10: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1)
a) 4 x  2 x1  8  0 b) 4 x1  6.2 x1  8  0
c) 34 x8  4.32 x5  27  0
2
2
d) 16 x  17.4 x  16  0
e) 49 x  7 x1  8  0 f) 2 x  x  22 x  x  3
2
h) 4cos 2 x  4cos x  3 i) 32 x5  36.3x1  9  0
2
2
2
2
j) 32 x  2 x1  28.3x  x  9  0 k) 4 x  2  9.2 x 2  8  0 l) 3.52 x1  2.5 x1  0, 2
3�
�
1;  � d.  0; 2 e.  0
ĐS: a.  1
b.  0;1
c. �

f.  1; 2
2
�
� k �
h. � 
l.  0
� i.  2; 3 j.  1; 2 k.  1;1
4
2
�
Bài 11: giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1)
x
x
x 2
x 2
a) 25  2  3  x  5  2 x  7  0
b) 3.25   3x  10  5  3  x  0



x
x
c) 3.4   3x  10  2  3  x  0



x
x
d) 9  2  x  2  3  2 x  5  0

f) 4 x 2  3 x  31 x  2.3 x .x 2  2 x  6
x
x
x
x
g) 4   x  8  2  12  2 x  0
h)  x  4  9   x  5  3  1  0
2





x
x
k) 9   x  2  .3  2  x  4   0

2

x
2
x
2
i) 4  x  7 .2  12  4 x  0

ĐS: a. 1 b.  2;1  log 5 3
g.  1; 2

h.  0; 1

c.  1;  log 2 3



i. 1; � 2



d.  1

e.

f.

k.  1

Bài 12: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2)
1

1

1

a) 64.9 x  84.12 x  27.16 x  0 b) 4 x  6 x  2.9 x c) 3.16 x  2.81x  5.36 x

13


Đỗ Văn Thọ
d) 25 x  10 x  22 x1

e) 27 x  12 x  2.8 x

g) 6.32 x  13.6 x  6.2 2 x  0

i) 2.4 x  6 x  9 x



j) 7  5 2

 

1



x

2 5 3 2 2



1

 3 1 2



x

1
x

1

f) 6.9  13.6  6.4 x  0

1



x

1
x

1 2  0

� 2 �
ĐS: a.  1; 2 b. �
�c.  0; 2 d.  0 e.  0 f.  1; 1 g.  1;1
1 5
�
�
�

log
2
i. �

2 �
3
�
Bài 13: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3)


   2  3   14 b) 
d)  5  21   7  5  21   2
x

a) 2  3

x

x

x

2 3



e) 5  24

x3

x

x

�7  3 5 � �7  3 5 �
f) �
� 2 �
� 7 �
� 2 �
� 8
�
� �
�



h) 2  3



j) 3  5
l)



3



 x 1 2



 2 3

 
x

3 8



 3 5

 
x

3



x



g)



x



4

2 3

2 3

 5
x

6  35



 
x

i) 3  5



 7.2 x  0

3 8





x 2 2 x 1

 
x

k) 7  4 3



x



x



x

4

24



x

 10

6  35





 16 3  5



3 2 3



x

x



 12
x

 2 x3

2 0

6





ĐS: a. log  2 3  7  4 3 ;log  2 3  7  4 3



b.  2; 2 e.  1;1

�
�
�
�
�
�
�
�
0;log �73 5 � 7  � g.  2; 2 h. 1;1  2;1  2
log 3 5  4  �
f. �
i. �
�
� 2
�
� 2 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

log 3 5 7  3 5 ;log 3 5 7  3 5 �
j. �
k.  0
l.  3;3
�
� 2
2
Bài 14: Giải các phương trình sau (Sử dụng tính đơn điệu)







a) 2  3



   2  3
x



x

4





x

b)



3 2

14

 
x

3 2

 
x

10



x




c) 3  2 2

  3 2 2
x

x

�3 � 7
e) � �  2 x
�5 � 5

f)

x





 6 x d) 3  5
2 3

 
x



x

2 3



g) 2 x  3x  5 x  10 x h) 2 x  3x  5 x i) 2 x1  2 x
j) 3x  5  2 x

k) 2 x  3  x



7 3 5
x

2



Đỗ Văn Thọ
x

 2 x3

 2x

x

l) 2 x1  4 x  x  1

  x  1

2

x

m) 2 x  3 2  1

n) 4 x  7 x  9 x  2 o) 52 x1  53 x  x  1  0
p) 3x  8 x  4 x  7 x
q) 6 x  2 x  5 x  3x r) 9 x  15x  10 x  14 x
ĐS: a.  1 b.  2 c.  1 d.  0
e.  1
f.  2
g.  1
h.  1
i.  1
j.  1
k.  1
l.  1
m.  2
n.  1
o.  1
p.  1
q.  1
r.  1
Bài 15: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích)
a) 8.3x  3.2 x  24  6 x
b) 12.3x  3.15 x  5 x1  20
c) 8  x.2 x  23 x  x  0 d) 2 x  3x  1  6 x
2
2
2
2

e) 4 x 3 x 2  4 x 6 x5  42 x 3 x 7  1
f) 4 x2  x  21 x2  2 x1  1
2 x
x
3
2
g) x 3  3  12  7 x    x  8 x  19 x  12









h) x .3  x 3  2  2 2  3
j) 22 x  x   21 x2  22 x  x  .21 x 2  1  0
HD:
a.  1;3
b. x  log 3 5  1 c. x  2 d. x  0 e.  1; 5;1; 2 f. 1;0;1
g.  0;3; 4 h.  2;1 j.  �1;0
Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a) 9 x  3x  m  0
b) 9 x m3x  1  0
c) 4 x  2 x1  m
2x
x
x
x

x
d) 3  2.3   m  3 2  0
e) 2   m  1 2  m  0
2

x 1

x

x

x 1

x

2

2

f) 25 x  2.5 x  m  2  0 g) 16   m  1 .2  m  1  0
2
2
h) 25 x  m.5 x  1  2m  0 i) 81sin x  81cos x  m
2
2
j) 342 x  .32 x  2m  3  0
k) 4 x1 3 x  14.2 x1 3 x  8  m
2
2
2

2
l) 9 x 1 x  8.3x 1 x  4  m
m) 91 1t   m  2  .31 1t  2m  1  0
x

ĐS: a.  m  0

2x

b.  m  0 c.  m �1 d.  m �4 e.  m �1

15

f.  m �3


Đỗ Văn Thọ



�
�
�1
�
�
,

�
g.   �,1 � 5, �  h. ��, 4  2 5 �
� i.  m �18

�
� �
2
�
�
�
� 13 �
m� �
j. �
k.  m �41
8
�
Bài 17: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất
a) m.2 x  2 x  5  0 b) m.16 x  2.81x  5.36 x
x

c)





x

5 1  m





x

5  1  2x

x

�7  3 5 � �7  3 5 �
d) �
� 2 �
� m �
� 2 �
� 8
�
� �
�

e) 4 x  2 x3  3  m

f) 9 x  m.3x  1  0

Bài 18: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu
x
x 1
x
x
2
a)  m  1 4   3m  2  2  3m  1  0
b) 49   m  1 7  m  2m  0
x
x

c) 9  3  m  1 3  5m  2  0

x
x
e) 4  2  m  1 2  3m  8  0

x
x
d)  m  3 16   2m  1 4  m  1  0

f) 4 x  2 x  6  m

Bài 19: Tìm m để các phương trình sau:
a) m.16 x  2.81x  5.36 x có 2 nghiệm dương phân biệt
x
x
x
x
b) 16  m.8   2m  1 4  m 2 có 3 nghiệm phân biệt
2

2

c) 4 x  2 x 2  6  m có 3 nghiệm phân biệt
2
2
d) 9 x  4.3x  8  m có 3 nghiệm phân biệt

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản:

b
Với a  0, a �1: log a x  b � x  a
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a. Đưa về cùng cơ số:

�
�f  x   g  x 
Với a  0, a �1: log a f  x   log a g  x  � �
�f  x   0 �g  x   0
b. Mũ hóa:
log
Với a  0, a �1: log a f  x   b � a
c. Đặt ẩn phụ

a

f  x

16

 ab


Đỗ Văn Thọ
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e. Đưa về phương trình đặc biệt
f. Phương pháp đối lập
Chú ý:
- Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa
- Với a, b, c  0 và a, b, c �1: a log c  a log a

Bài 1: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa)
x  x  1 �
a. log 2 �
�
� 1 b. log 2 x  log 2  x  1  1
b

c. log 2  x  2   6 log 1 3 x  5  2

b

d. log 2  x  3  log 2  x  1  3

8

e. log 4  x  3  log 4  x  1  2  log 4 8
f. lg  x  2   lg  x  3  1  lg 5
2
g. 2 log8  x  2   log8  x  3 
h. lg 5 x  4  lg x  1  2  lg 0,18
3
1
2
i. log 3  x  6   log 3  x  2   1
j. log 2  x  3  log 2  x  1 
log 5 2
k. log x  log  10  x   2
l. log 5  x  1  log 1  x  2   0
4

4

5

m. log 2  x  1  log 2  x  3  log 2 10  1
n. log 9  x  8   log 3  x  26   2  0
ĐS: a.  1; 2 . b.  2
c.  3
d.  5
e.  5
f. 4
g.  4
�
�5  13 �
�
h.  8 i.  0;3 j.  2 k.  2;8 l. �
�m.  2 n.  1; 28
3

13
�
�
Bài 2: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa)
2
2
log 3 x  log 3 x  log 1 x  6
a.
b. 1  lg  x  2 x  1  lg  x  1  2lg  1  x 
3

2
2
d. 2  lg  4 x  4 x  1  lg  x  19   2lg  1  2 x 

c.

log 4 x  log 1 x  log 8 x  5

f.

log 1  x  1  log 1  x  1  1  log

16

2

2

g. log 2  log 2 x   log 3  log 3 x 
ĐS: a.  27



1
2

 7  x

h. log 2  log 3 x   log3  log 2 x 

7 4
b.  3 c. 256. 2



d.

 9

f.  3

Bài 3: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa)
x
x
a. log 2  9  2   3  x
b. log 3  3  8   2  x
x
c. log 7  6  7   1  x

x 1
d. log 3  4.3  1  2 x  1

17


e. log 2  9  2

 5
g. log  12  2   5  x
i. log  5  25   2

k. log  5  25   2
log5  3 x 

x

x

2

x 1

x

2

x 1

x

1
6

Đỗ Văn Thọ

f. log 2  3.2  1  2 x  1  0
x

x
h. log 5  26  3   2

x 1
j. log 4  3.2  5   x

x 1
x
log
6

36

  2
1
l.
5

ĐS: a.  0;3 b.  2 c.  0 d.  0;1 e.  0 g.  2;3 h.  0 i.  2 log 5 ;0 j.  0;log 2 
2

3
2
5
k.  log 5 ;log 5  l.  log 6 ;0
Bài 4: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hóa)
2
2
a. log 5 x  x  2 x  65   2
b. log x1  x  4 x  5   1

2
c. log x  5 x  8 x  3  2

3
2
d. log x1  2 x  2 x  3x  1  3

2
g. log 2 x  x  5 x  6   2

2
h. log x3  x  x   1

e. log x3  x  1  2

f. log x  x  2   2

2
i. log x  2 x  7 x  12   2

2
l. log x  x  2   1

2
j. log x  2 x  3x  4   2

2
2
m. log 3 x5  9 x  8 x  2   2
n. log 2 x 4  x  1  1
15
 2

o. log x
p. log x2  3  2 x   1
1  2x
2
q. log x2 3 x  x  3  1
r. log x  2 x  5x  4   2
�1 3 �
97  5
ĐS: a.  5 b.  3 c. � ; �d.  3 e.  5 f.  2 g.
h.  1;3 i.  3; 4
�2 2
6
� 23 �
�1 �
j.  4 l.  1; 2 m. � �n.  1;3 o. � �p.  3 q.  1 r.  1; 4
� 22
�5
Bài 5: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ)
2
log
x  3log 2 x  log 1 x  2
2
2
2
a. log x  log x  1  5  0
b.
3

3

2

2

x
7
2
8
0
d. log 1 4 x  log 2
8
6
2
x  3log 2 x  log 1 x  0 f. log 2 16  log 64  3
2x
x

c. log x 2  log 4 x 
2
log
2
e.

2

18

5

Đỗ Văn Thọ
g. log 5 x  log x

1
2
5

h. log 7 x  log x

i. 2 log 5 x  2  log x

1
5

1
2
7

j. 3 log 2 x  log 2  4 x   0

k. 3 log 3 x  log 3 3 x  1  0

l. log 2 3 x  3 log 2 x 

4
3

2
1
n. log 22 x  2 log 4  0

3
x
2
o. log 2  2  x   8log 1  2  x   5
p. log 52 x  4 log 25 5 x  5  0
m. log 2 3 x  3 log 2 x  
4

9
 log 2x 5
r. log x2 3  log 9 x  1
4
1
3
1
2

1

1
s.
t.
5

lg
x
3

lg
x

4  ln x 2  ln x
u. log 2 x x 2  14 log16 x x 3  40 log 4 x x  0
q. log x 5  log x 5 x 

�
� 2�
� � 1 �
1;
ĐS: a.  27 b. 2 c.  8 d.  2 e. �
�f. �4; 3 �g.  5 h.  7 i. 5; 5
� 2 � � 2
� 1 �
5
5;
j.  2;16 k.  3 l.  2 m.  1 n.  1; 2 o.  0; 30 p. �
�q.  5;5  r.  3
� 125
3
s.  e t.  10;10  u.
Bài 6: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ)
2
a. log 3 x   x  12  log 3 x  11  x  0
b. 6.9log2 x  6.x 2  13.x log 2 6
2
2
c. x.log 2 x  2  x  1 log 2 x  4  0
d. log 2 x   x  1 log 2 x  6  2 x

 



2
e.  x  2  log 3  x  1  4  x  1 log 3  x  1  16  0
2
f. log x2  2  x   log 2 x x  2
g. log 3  x  1   x  5  log 3  x  1  2 x  6  0



2
2
h. 4 log3 x  1  log 3 x  4
i. log 2  x  3x  2   log 2  x  7 x  12   3  log 2 3
Bài 7: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ)
a. log 7 x  log 3 x  2
b. log 2  x  3  log 3  x  2   2





c. log 3  x  1  log 5  2 x  1  2
e. 4log7  x3  x





log x

d. log 2 x  3 6  log 6 x





f. log 2 1  x  log 3 x

19


h. log 3 x7  9  12 x  4 x

g. x log2 9  x 2 .3log2 x  x log 2 3











2



Đỗ Văn Thọ

 log 2 x3  6 x  23 x  21  4

2
2
2
i. log 2 x  x  1 .log 3 x  x  1  log 6 x  x  1

2



Bài 8: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu)
log 3
log 5
a. x  x 2  x 2 ;  x  0 
b. x 2  3log 2 x  5log2 x
d. log 2  3  x   x

c. log5  x  3  3  x

2
e. log 2  x  x  6   x  log 2  x  2   4

f. x  2.3log 2 x  3

log 2  x  3  log 3  x  2  �
g. 4  x  2  �
�
� 15  x  1
Bài 9: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích)

a. log 2 x  2.log 7 x  2  log 2 x.log 7 x
b. log 2 x.log3 x  3  3.log 3 x  log 2 x
c. 2  log 9 x   log 3 x.log 3
2





2x 1 1

Bài 10: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập)
2
3
a. ln  sin x   1  sin x  0

2 x 1
3 2 x

c. 2  2

b. log 2  x 2  x  1  1  x 2

8

log 3  4 x 2  4 x  4 

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
x 2  2  m  1 x �
a. log 2 3 �

�
� log 2
b. log
d.

2

 x  2  log 2  mx 

lg  mx 

lg  x  1

f. log 2

2 7

2

3

 2x  m  2  0

c. log

5 2

x

2

 mx  m  1  log

5 2

x0

2
e. log 3  x  4mx   log 3  2 x  2m  1

 x  m  1  log 2

 mx  x   0
2

2 7

Bài 12: Tìm m để phương trình sau:
x
a. log 2  4  m   x  1 có hai nghiệm phân biệt
2
b. log 3 x   m  2  log 3 x  3m  1  0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa x1.x2  27

20


c. 2log 4  2 x  x  2m  4m
2

2

  log  x
2

2

 mx  2m

2



Đỗ Văn Thọ
có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa

x12  x22  1
1;3 3 �
d. log 32 x  log 32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn �
� �



e. 4 log 2 x



2

 log 2 x  m  0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
y
�
�x  2  5
a. � y
�x  2  1

�
2x  4 y
b. � x
4  32 y
�

y 1
�x  3 y  1
�
�x  8
c. � 2
d. � 2 y6
y
4
�x  3  19
�x

�
2 x.9 y  36
�
2x  2 y  3
�

e. �
f. �x y
3 .4  36
�
�x  y  1

�
2 x.5 y  20
�
g. �x y
5 .2  50
�

�
�x y 7 y 10  1
;  x  0
i. �
�x  y  8

2

2

�
2 x.3 y  12
�
h. �x y
3 .2  18
�

�
�x x  y 16  1
;  x  1
j. �
�x  y  2
2

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
�4 x  3 y  7
2 x  3 y  17
�
�
a. � x y
b. � x
3.2  2.3 y  6
4
.3

144
�
�
�
�
32 x2  22 y 2  17
3
�
�
d. � x1
e.
�

2.3  3.2 y  8
�
3
�
�
 x 2  y  2 y x  1
�
g. � 2
x2  y
9
x

y

6
�


�
2

2 x  2.3x y  56
�
c. � x
3.2  3x y 1  87
�

x 1

 2 y  4

x 1

 2 y 1  1

�
32 x  2 y  77
�
h. �x
3  2y  7
�

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

21

2
2 x 2 1
�
4
 4.4 x 1.2 y  22 y  1
�
f. �
2
�
22 y  3.4 x 1.2 y  4
�

�
2 x  2 y   y  x   xy  2 

�
i. �2
2
�x  y  2


�
�
3  2y 1
3  2 x  y  11
�
�
a. �y
b. �y
3  2x  1
3  2 y  x  11
�
�
x

x

�
2 2  yx
�
c. � 2
2
�x  xy  y  3
x

y

x 1

Đỗ Văn Thọ
 6y  5

�
7
�
d. � y 1
7  6x  5
�

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
�x  y  6
a. �
b.
log 2 x  log 2 y  3
�

log x y  log y x  2
�
�
�x  y  6

2
2
�
�x  y  3

d. �
log 3  x  y   log 5  x  y   1
�

�
�2  log y x  log x y   5
g. �
�xy  8

�x  log 2 y  4
c. �
2 x  log 2 y  2
�

�xy  32
e. �
log y x  4
�

�
log 3 x  2log 2 y  3
�
f. � y
�x  9

�
� x 1  2  y  1
h. �
2
3

3log
9
x

log
y
3


�
9
3
�

�y  log 3 x  1
i. � y
12
�x  3

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
log x  3 x  2 y   2
�
�
a. �
log y  2 x  3 y   2
�

�
log x  6 x  4 y   2
�

b. �
log y  6 y  4 x   2
�

� � x�
log 1  � 2  log 2 y
�
� 2�
y�
c. � �
log 3 x  log 3 y  4
�
�
2
� 2

�
log y x  log 2 y 2  1
�
d. �
log 4 x  log 4 y  1
�

�
log 2  x 2  y 2  6   4
�
e. �
log 3 x  log 3 y  1
�

�x log2 y  y log2 x  16
f. �
log 2 x  log 2 y  2
�

�x log3 y  2. y log3 x  27
g. �
log 3 y  log 3 x  1
�

�
3.x log2 y  2. y log2 x  10
�
h. �
log 4 x 2  log 2 y  2
�

�
log x  2 x  y  2   2
�
i. �
log y  2 y  x  2   2
�

�
log 2  xy   4
�
j. � �x �
log 2 � � 2
�

� �y �

�
lg 2 x  lg 2 y  lg 2  xy 
�
k. � 2
lg  x  y   lg x.lg y  0
�

22

5
�
log
x

log
x

y
y
�
2
l. �
�
log 6  x 2  y 2   1
�


Đỗ Văn Thọ

�
lg  x 2  y 2   1  lg 8
�
m. �
lg  x  y   lg  x  y   lg 3
�

log x y  2
�
n. �
log x1  y  23  3
�

y
�
log xy  log 2y x  1
�
x
o. �
�
log 2  y  x   1
�

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
lg x  lg y  4
�
a. �lg y
�x  1000

5

�
x2 y
�
 36
 x  y  3yx 
�x
�
27
b. �
c. �
4  x  2 y   log 6 x  9
�
�
3log 5  x  y   x  y
�

�
3 4
�
d. � lg 4
lg 3
 4x    3y 
�

��
2�
log 1 x  2 log x2
�
�
e. � � y

� 2
�xy  32

lg x

lg y

�
y � 5  0
�
�

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau
�
2
 y4
�
a. �
log 2 x  log 2 y  1
�
log

x
2

x 2 y
�
x y
�1 �
��

� 3
b. �
c.
�3 �
�
log 2  x  y   log 2  x  y   4
�

 

�x log8 y  y log8 x  4
�
log 4 x  log 4 y  1
�

x 2 y
�
x y
�1 �
�
3x.2 y  18
��
� 3
�
d. �
e.
�3 �
�
log 1  x  y   1
�

�
� 3
log 2  x  y   log 2  x  y   4
�

 

� xy  xy
�
4
 32
f. �
g.
�
log 3  x  y   1  log 3  x  y 
�
x
y
�
 x  y   x  y
�
i. �
j.
log 2 x  log 2 y  1
�

�
3x.2 y  972
�
�

log 3  x  y   2
�

log 2
�
4log3 xy  2   xy  3
�
�2
2
�x  y  3x  3 y  12

�
log x xy  log y x 2
�
l. � 2log x
�y y  4 y  3

23

�
3 x.2 y  1152
�
h. �
log 5  x  y   2
�

�x log3 y  2. y log3 x  27
k. �
log 3 y  log 3 x  1
�

Đỗ Văn Thọ

24


Đỗ Văn Thọ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
�
a 1
�
�
�
�f  x   g  x 
�
f  x
g x
a
a ��
0  a 1
�
�
�
�
�f  x   g  x 
�
M
N

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a  a �  a  1  M  N   0
Bài 1: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số)
x  x 1

x 6  2 x3 1

�1 �
�� �
�3 �

1 x

1�
�1 �
a. 3
b. �
c. 2 x 2  2 x3  2 x 4  5x1  5x 2
��
��
�2 �
�2 �
2
2
d. 3 x  3 x 1  3 x 2  11 e. 9 x 3 x2  6 x 3 x2  0
f. 62 x3  2 x7.33 x1
2
2
2
g. 4 x 2  x.2 x 1  3.2x  x 2 .2 x  8 x  12
h. 6.x 2  3 x .x  31 x  2.3 x .x 2  3 x  9

i. 9 x  9 x1  9 x 2  4 x  4 x1  4 x 2
j. 7.3x1  5x3 �3x4  5x 2
k. 7.3x1  5 x3 �3x 4  5 x 2
l. 2 x 2  5 x1  2 x  5x 2
m. 2 x1.3x2  36
x 3
x 1
x
1
x 1
x 1
x

1
x

3
x

1
n. 10  3
o. 2  1 � 2  1
p. x2 2 x �2
 10  3
2
2

x 2 x



q.



1
2 x 1













1
3 x 1

2
�2
Bài 2: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ)
a. 2.14 x  3.49 x  4 x �0
d. 8.3

x4 x

 91

4

x

9

x

1

1

2

c. 4 x  22 x1  8 3  x2   52
f. 52 x1  6 x1  30  5 x.30 x

b. 4 x 1  2 x 2  3 �0
e. 25.2 x  10 x  5x  25

g. 6 x  2.3x  3.2 x  6 �0
x

1

h. 27 x  12 x  2.8 x
2

2

j. 3x1  22 x1  12 2  0 k. 252 x x  92 x  x 1 �34.252 x x
32 x  8.3x x4  9.9 x4  0
m. 4

x  x 1

 5.2

2
x

x  x 11
1
1
x

 16 �0

1 � �1 �
o. �
� �  3 � �  12
�3 � �3 �

n.



3 2
3x

 
x

1

2

l.

3 2



x

�2

x1

�1 � �1 �
p. � �  � �  128 �0
�4 � �8 �

q. 2 x 1  22 x  9
r.  22 x1  9.2 x  4  x 2  2 x  3 �0
Bài 3: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu)
1

1

25

1

i. 49 x  35 x �25 x