Bài tập lượng giác luyện thi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (690.71 KB, 16 trang )
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chuyên Đề Lượng Giác
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Công thức lượng giác cần nhớ:
sin 2 a cos2 a 1
sin a
tan a
; a k
cos a
2
cos a
cot a
; a k
sin a
1
1 cot 2 a
; a k
2
sin a
1
2
1
tan
a
;
a
k
2
cos a
2
tan a.c ota=1 ;a k
a. Cung đối:
cos a cos a
2
b. Cung bù
sin a sin a
sin a sin a
cos a cos a
tan a tan a
tan a tan a
cot a cot a
c. Cung phụ
sin a cos a
2
cot a cot a
d. Cung hơn kém
tan a tan a
cos a sin a
2
tan a cot a
2
cot a tan a
2
sin a sin a
e. Cung hơn kém
cot a cot a
cos a cos a
f. Công thức cộng:
2
2
Chuyên Đề Lượng Giác
sin a cos a
2
sin a b sin a cos b sin b cos a
cos a b cos a cos b sin a sin b
cos a sin a
2
tan a cot a
2
tan a b
tan a tan b
1 tan a tan b
cot a tan a
2
Hạ bậc:
1 cos 2a
sin 2 a
2
1 cos 2a
cos 2 a
2
1 cos 2a
tan 2 a
1 cos 2a
Chia đôi:
a a
Đặt t tan ; k
2 2 2
2t
sin a
1 t2
1 t2
cos a
1 t2
2t
tan a
1 t2
g. Công thức nhân
Nhân đôi
sin 2a 2sin a cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a
2 cos 2 a 1
1 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a
1 tan 2 a
Nhân ba:
sin 3a 3sin a 4sin 3 a
cos 3a 4 cos3 a 3cos a
tan 3a
tan a. 3 tan 2 a
1 3 tan 2 a
Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
sin a sin b 2sin
cos
2
2
ab
a b
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
3
Chuyên Đề Lượng Giác
ab
a b
cos
2
2
ab
a b
cos a cos b 2sin
sin
2
2
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
sin a b
cot a cot b
sin a.sin b
sin b a
cot a cot b
sin a.sin b
1
cos a b cos a b
2
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
cos a cos b 2 cos
cos a cos b
Một số công thức khác
cos a sin a 2 cos a 2 sin a
4
4
cos a sin a 2 cos a
4
sin a cos a 2 sin a
4
CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. cos x a
Nếu a 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu a 1 thì cos x cos x k 2 , k
2. sin x a
Nếu a 1 thì phương trình vô nghiệm
x k 2
;k
Nếu a 1 thì sin x sin
x
k
2
3. tan x a thì tan x tan x k ; k
4. cot x a cot x cot x k , k
5. Phương trình bậc 2 của một hàm số lượng giác
a cos2 x b cos x c 0 . Đặt t cos x; t 1
4
Chuyên Đề Lượng Giác
a sin 2 x b sin x c 0 . Đặt t sin x; t 1
a tan 2 x b tan x c 0 . Đặt t tan x, t
a cot 2 x b cot x c 0 . Đặt t cot x; t
6. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
a sin x b cos x c (*)
- Bước 1: Kiểm tra xem nếu a 2 b2 c 2 thì phương trình vô nghiệm. Nếu
a 2 b2 c 2 thì thực hiện bước 2
- Bước 2: Chia hai vế phương trình cho a 2 b2 . Khi đó (*) trở thành
a
b
c
sin
x
cos
x
(**)
a 2 b2
a 2 b2
a 2 b2
a
b
;cos
- Bước 3: Đặt sin
. Khi đó (**) trở thành
2
2
2
2
a b
a b
c
sin .sin x cos .cos x
a 2 b2
c
cos x
. Đây là phương trình dạng cơ bản dễ dàng giải
a 2 b2
được
7. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x
a sin 2 x b sin x.cos x c cos2 x d
- Xét trường hợp cos x 0
- Xét trường hợp cos x 0 . Chia hai vế phương trình cho cos 2 x đưa về
phương trình theo tan a
a tan 2 x b tan x c d 1 tan 2 x A tan 2 x B tan x C 0
Đây là phương trình cơ bản dễ dàng ta giải được bằn cách đặt ẩn phụ
BÀI TẬP
Bài 1: 3 cos2 x 2sin x cos x 3 sin 2 x 1 0
ĐS: x k ; x k
4
12
Bài 2. cos 7 x.cos5x 3 sin 2 x 1 sin 7 x sin 5x
ĐS: x k ; x k
3
5
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 3. 4 sin 4 x cos4 x 3 sin 4 x 2
k
k
;x
ĐS: x
4 2
12 2
Bài 4. (ĐHTH - 1994) 2sin 4 x sin x 3 cos x
2 k
2 2k
;x
ĐS: x
9
3
15
5
Bài 5. (Khối D - 2004) sin x sin 2 x 3 cos x cos 2 x
2 2k
; x 2k
ĐS: x
9
3
1 2sin x cos x
2k
Bài 6. (Khối A - 2009)
ĐS: x
3
18
3
1 2sin x 1 sin x
3 sin 2 x 2 2 sin 2 x 6 2 ĐS: Vô nghiệm
1
Bài 8. (ĐHAN - 1998) 3 sin x cos x
ĐS: x k ; x k
3
cos x
Bài 9. (NN1 - 1999) sin 2 x tan x 1 3sin x cos x sin x 3
ĐS: x k ; x k
4
3
Bài 10. (Khối B - 2008) sin3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin 2 x cos x
ĐS: x k ; x k
3
4
3
2
Bài 11. cos x sin x 3sin x cos x 0
ĐS: x k ; x k ; x k
4
2
1 cos 2 x
Bài 12. sin 2 x
ĐS: x k
2cos 2 x
2sin 2 x
4
Bài 13. 2sin 2 x 2sin 2 x tan x
ĐS: x k
4
4
Bài 7. (CĐCN - 2005)
Bài 14. (ĐHQG – Khối D - 1999) sin x cos x sin x cos x 2 ĐS: x
6
k
2
Chuyên Đề Lượng Giác
3
Bài 15. 1 sin 3 x cos3 x sin 2 x
2
Bài 16. (ĐHCĐ- 1997)
ĐS: x 2k ; x 2k
2
2 sin x cos x tan x cot x
ĐS: x
4
2 k
3k
4x
ĐS: x 3k ; x
cos 2 x
4
2
3
Bài 18. (Khối B - 2002) sin 2 3x cos2 4 x sin 2 5x cos2 6 x
k
k
;x
ĐS: x k ; x
2
2
9
Bài 19. sin 2 1,5 sin 2 2,5 x sin 2 5,5 x sin 2 6,5 x
4
4
k
k
;x
; x k
ĐS: x
4
32 8
4
2
2
Bài 20. (ĐH Dược 1999) sin 4 x cos 6 x sin 10,5 10 x
k
; x k
ĐS: x
20 10
2
9x
5x
Bài 21. cos 3 x sin 7 x 2sin 2 2 cos 2
2
4 2
k
k
; x k ; x
ĐS: x
12 6
4
8 2
Bài 22. (BCVT - 2001) 4sin 3 x cos3x 4cos3 x sin 3x 3 3 cos 4 x 3
k
k
;x
ĐS: x
24 2
8
2
2
Bài 23. (ĐH Mở - 2000) cos 3 x.cos 3 x sin 3 x sin 3 x
ĐS: x k
4
8
23 2
Bài 24. (Dự bị - Khối A - 2006) cos 3 x.cos 3 x sin 3 x.sin 3 x
8
k
ĐS: x
16 2
k
1
Bài 25. cos8 x 3cos 4 x 3cos 2 x 8cos x cos3 3x
ĐS: x
30 5
2
Bài 17. cos
7
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 26. 8 2 cos6 x 2 2 sin 3 x.sin 3x 6 2 cos4 x 1 0 ĐS: x k
8
5
Bài 27. (ĐHNT - 2000) sin 8 x cos8 x 2 sin10 x cos10 x cos 2 x
4
k
ĐS: x
4 2
k
17
Bài 28. (HVMMã - 1999) cos8 x sin 8 x
ĐS: x
8 4
32
k
17
Bài 29. cos8 x sin 8 x cos2 2 x
ĐS: x
8
4
16
7
Bài 30. (ĐHGT - 1999) sin 4 x cos 4 x cot x .cot x
8
3
6
k
ĐS: x
12 2
Bài 31. (ĐHCĐ – 1999 + Khối B - 2005). 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0
2
2k
ĐS: x k ; x
4
3
2
Bài 32. (Khối A - 2007) 1 sin x cos x 1 cos 2 x sin x 1 sin 2 x
ĐS: x k ; x 2k ; x 2k
4
2
Bài 33. (ĐHYHN - 1996) cos x sin x sin x cos x cos x cos 2 x
ĐS: x k ; x k
2
4
Bài 34. (HVKTQS - 1999) 2sin 3 x sin x 2cos3 x cos x cos 2 x
k
; x 2k ; x 2k
ĐS: x
4 2
2
Bài 35. (ĐHNTHCM - 1999) sin x sin 2x sin3x cos x cos 2x cos3x
k
2
;x
2 k
ĐS: x
8
2
3
Bài 36. (HVNH - 1999) cos3 x cos2 x 2sin x 2 0 ĐS: x 2k ; x 2k
2
8
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 37. (ĐHYHN - 1995) 2sin x 1 2cos 2 x 2sin x 1 3 4cos 2 x
5
k
2 k ; x
ĐS: x 2k ; x
6
6
4 2
Bài 38. (ĐHQG – Khối A - 2010) 2sin 2x cos 2x 7sin x 2cos x 4
5
2 k
ĐS: x 2k ; x
6
6
4
6
Bài 39. cos x cos 2 x 2sin x 0 ĐS: x k
Bài 40. (Khối D - 2002) Tìm nghiệm trên 0,14 của
3
5
7
cos 3x 4 cos 2 x 3cos x 4 0 ĐS: x ; x
;x
;x
2
2
2
2
Bài 41. (ĐH Luật - 1999) 4 sin 3x cos 2 x 5 sin x 1
ĐS: x 2k ; x 2k ; x 2k
2
x
x
Bài 42. (HVQY - 1997) sin x 3 sin 4 sin x 3 sin 2 1 0
2
2
ĐS: x 2k
2
k
Bài 43. (Khối A - 2005) cos2 3x cos 2 x cos2 x 0 ĐS: x
2
Bài 44. (ĐHQG – Khối D - 2000): 1 3tan x 2sin 2 x ĐS: x k
4
x
Bài 45. (HVNHHCM – 1998). 2 cos x 2 tan ĐS: x 2k
2
2
3x
x
Bài 46. sin 3sin ĐS: x 2k
2
4 2
4 2
Bài 47. (ĐHQG - Khối A - 1999) 8cos 3 x x cos 3 x
3
2
k
ĐS: x k ; x k ; x
6
3
Bài 48. (HVKTQS - 1998) cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x 4 0
9
Chuyên Đề Lượng Giác
ĐS: x 2k
3
3
Bài 49. (Khối D - 2005) cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0
4
4 2
ĐS: x k
4
Bài 50* (Dự bị - Khối D - 2007) 2 2 sin x cos x 1
12
ĐS: x k ; x k
4
3
Bài 51. (Khối D - 2009) 3 cos5x 2sin 3x cos 2 x sin x 0
k
k
;x
ĐS: x
18 3
16 2
Bài 52. (Khối B - 2009) sin x cos x sin 2 x 3 cos3x 2 cos 4 x sin 3 x
2 k
ĐS: x 2k ; x
6
42
7
Bài 53. (ĐHVH - 1997)
Bài 54.
sin 3x sin x
2
1 cos 2 x
1
2 k
2 cos x ĐS: x
3
sin x
2
sin 2 x cos 2 x với 0 x 2
1 cos 2 x
9
21
29
;x
;x
ĐS: x ; x
16
16
16
16
k
1 cos2 x
x
;
x
k
Bài 55. 1 cot 2 x
ĐS:
4 2
4
sin 2 2 x
2
4
sin 2 x cos 2 x 1
0
Bài 56. (NN1 - 1998)
ĐS: x k
4
sin x.cos x
1 sin x cos 2 x sin x 1
4
cos x
Bài 57. (Khối A - 2010)
1 tan x
2
10
Chuyên Đề Lượng Giác
7
2 k
ĐS: x 2k ; x
6
6
2 3 cos x 2sin 2x 4
2
Bài 58. (Dự bị - Khối B - 2003).
4x
2 k
ĐS: x
3
Bài 59. (Khối A - 2006)
2cos x 1
2 cos6 x sin 6 x sin x cos x
2 2sin x
sin x sin 2 x sin 3x
3
cos x cos 2 x cos3x
7
5
2m ; x
2m
ĐS: x 2m ; x
6
6
3
1
5
2 k
0 ĐS: x
4
Bài 60.
2
0 ĐS: x k
3
sin 2 x
Bài 62. (ĐHQG – Khối B - 2000) cot x tan x 2 tan 2 x 4 tan 4 x 8 0
k
ĐS: x
32 8
k
Bài 63. cot 2 x 2 tan 4 x tan 2 x 4 3
ĐS: x
48 8
Bài 64. (ĐHYHP - 2001) 3 tan x 2 cot 2 x tan 2 x
1
ĐS: x k với cos
2
3
Bài 65. (ĐHGT - 1997) 3 cot x cos x 5 tan x sin x 2
ĐS: x k ; x 2k
4
k
sin x cos x
Bài 66.
2 tan 2 x cos 2 x 0 ĐS: x
2
sin x cos x
3 2 sin x cos x
x
k
Bài 67. 2 tan 2 x sin 2 x
ĐS:
1
2
2
sin x cos x
2
Bài 68. x 2 x sin x 2cos x 2 0 ĐS: x 0
Bài 61. (Khối B - 2003) cot x tan x 4sin 2 x
11
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 69. cos 1 2 x.cos 1 2 x 1
Bài 70. cos
x
x 2
2
ĐS: x 0
ĐS: Vô nghiệm
2
sin x cos 4 x 1
1
cot 2 x
5sin 2 x
2
8sin 2 x
2
2 sin x sin 3x
4
tan x 1
cos 4 x
x
tan x cos x cos 2 x sin x 1 tan x tan
2
tan x tan x 2sin x 6cos x 3
4
Bài 71:
Bài 72:
Bài 73:
Bài 74:
Bài 75: cos 2 x cos x 2 tan 2 x 1 2
Bài 76: 3cos 4 x 8cos6 x 2cos 2 x 3 0
cos 2 x cos x 1
2 1 sin x
Bài 77:
sin x cos x
2cos 4 x
Bài 78: cot x tan x
sin 2 x
Bài 79: 2 2 cos3 x 3cos x sin x 0
4
x
3
Bài 80: 4sin 2 3 cos 2 x 1 2cos 2 x
2
4
Bài 81: sin 4x sin7 x cos3x cos6x
Bài 82: 1 sin x 1 cos x 1
cos 2 x 1
Bài 83: tan x 3tan 2 x
cos 2 x
2
Bài 84: sin x cos 2 x cos 2 x tan 2 x 1 2sin 3 x 0
Bài 85: cos3 x cos3 x sin 3 x sin 3 x
23 2
8
Bài 86: cos3 x sin 3 x 2sin 2 x 1
Bài 87: 4sin 3 x 4sin 2 x 3sin 2 x 6 cos x 0
Bài 88: 2sin 2 x 1 tan 2 2 x 3 2cos 2 x 1 0
12
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 89: cos 2 x 1 2cos x sin x cos x 0
1
Bài 90: cos3x sin 2 x cos 4 x sin x sin 3x 1 cos x
2
3
3
Bài 91: sin x cos x 2 sin x cos x 1
Bài 92: 4 sin 3 x cos3 x cos x 3sin x
Bài 93: 2sin x cos 2x sin 2x cos 2x sin 4x cos x
Bài 94: tan x cot x 4 cos 2 2 x
x
Bài 95: 3sin x cos 2 x sin 2 x 4sin x cos 2
2
4
4
Bài 96: 4 sin x cos x cos 4 x sin 2 x 0
1
1
2cot 2 x
2sin x sin 2 x
2
Bài 98: 2cos x 2 3 sin x cos x 1 2 sin x 3 cos x
Bài 97: sin 2 x sin x
sin 2 x cos 2 x
tan x cot x
cos x
sin x
Bài 100: 1 tan x 1 sin 2 x 1 tan x
Bài 99:
Bài 101: cos 4 x cos 2 x 2sin 6 x 0
17
Bài 102: sin8 x cos8 x cos2 2 x
16
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Giải phương trình: cos 3x
Bài 2.
Giải phương trình: 2 cos x
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Giải phương trình: cos 3x cos2x cos x 1 0
Giải phương trình: sin x cos x 1 sin2x cos2x 0
sin 2x 1 cos x
Giải phương trình: 2 sin x 1 cos 2x
Bài 6.
Giải phương trình:
1
sin x
4 cos 2x
3 cos x
1 2 sin x
1
sin x
13
3
2
cos x
4 sin
4
0 , x
sin 2x
7
4
x
0;14
sin x
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 7.
Bài 8.
Giải phương trình: sin4 x
sin4 2x
Giải phương trình:
tan
Bài 9.
Giải phương trình: sin
3
3
10
cos 3x
x
2
3
6
cos4 4x
x
4
1
sin
2
10
3x
2
sin 2x sin x
4
cot
4
1
2 sin3 x
Bài 12. Giải phương trình:
Bài 13. Giải phương trình:
cos4 2x
x tan
4
Bài 10. Giải phương trình: sin 3x
Bài 11. 8 cos3 x
7
cot x
8
cos4 x
sin3 x
Bài 14. Giải phương trình: cos x
Bài 15. Giải phương trình: sin2 x
4
cos2x
sin2 2x
2 sin x
4
2 sin x
1
1
cos 3x
cos 4x 0
3
.
sin2 3x
2
sin2 3x 2 .
Bài 16. Giải phương trình: sin2 x sin2 2x
Bài 17. sin2 x sin2 3x cos2 2x cos2 4x
Bài 18. sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x
5x
9x
Bài 19. cos 3x sin 7x 2sin 2
2 cos2
4
2
2
Bài 20.
Bài 21.
Bài 22.
Bài 23.
Bài 24.
Bài 25.
sin2 x cos2 2x cos2 3x
2 sin2 2x sin 7x 1 sin x
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos 2x
sin3 x cos 3x cos3 x sin 3x sin3 4x
cos10x 2 cos2 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos3 3x
4 sin3 x 3 cos3 x 3 sin x sin2 x cos x 0
14
x
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 26. 2 sin x 1 3 cos 4x
2 sin x
4 cos2 x
4
Bài 27. sin 6 x
cos6 x
2 sin 8 x
cos 8 x
Bài 28. sin8 x
cos8 x
2 sin10 x
cos10 x
Bài 29. sin 3 x
cos3 x
2 sin 5 x
cos5 x
Bài 30. 3 cos4 x
4 cos2 x sin2 x
Bài 31. cos 3x cos3 x
sin4 x
sin 3x sin3 x
2
3
5
cos 2x
4
0
3 2
8
1
16
Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x
1
Bài 34. Giải phương trình: cos x
cos 3x
Bài 32. cos x cos 2x cos 4x cos 8x
Bài 35. Giải phương trình:
cos 2x
sin 2x
2 cos x
6 sin x
8 sin3 x
cos 4x
sin x
1
cos 5x
0
tan x
3
1 sin 2x cos 2x
2 sin x sin 2x
Bài 36. Giải phương trình:
1 cot2 x
Bài 37. Giải phương trình: tan x cot x 2 sin 2x cos 2x
Bài 38. Giải phương trình: tan2 x
tan x tan 3x
Bài 39. Giải phương trình: tan2 x
cot2 x
Bài 40. Giải phương trình: sin2
x
2
Bài 41. Giải phương trình: sin 2x cot x
11
3
cot2 2x
tan2 x
4
2
x
2
cos2
tan 2x
4 cos2 x
cot2 x tan2 x
Bài 42. Giải phương trình:
cos 2x
16 1
Bài 43. Giải phương trình: 2 tan x
2 sin 2x
cot2x
15
0
cos 4x
1
2 sin 2x
1
2
Chuyên Đề Lượng Giác
Bài 44. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình:
1
cos x
2
4 1
1
cos x
3 sin x
tan x
tan x
sin x
2
sin x
tan2 x sin x
Bài 46. Giải phương trình: cos 3x tan 5x
Bài 47. Giải phương trình:
Bài 48. Giải phương trình:
Bài 49. Giải phương trình:
Bài 50. Giải phương trình:
1
1
2
21
cos x
sin x
0
tan2 x
sin 7x
1
1
sin 2x sin x
2 cot x
2 sin x sin 2x
sin 4 x cos4 x 1
tan x cot2x
sin 2x
2
tan2 x.cot2 2x.cot3x tan2 x cot2 2x cot3x
x
cot x sin x 1 tan x tan
4
2
16
