Vectơ trong không gian

CHƯƠNG III
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bài:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
SỰ ĐỒNG PHẲNG

CỦA CÁC VECTƠ

1. Vectơ trong không gian:
Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian
được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong
mặt phẳng.
C
B
A
D

Hoạt động 1:
C
B
A
D
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
Qui tắc hình bình hành
Qui tắc hình hộp
D
C

D'
C'
A'
B'
A
B
' 'AC AB AD AA= + +
uuuur uuur uuur uuur
' 'AC AC AA= +
uuuur uuur uuur
AC AB AD= +
uuur uuur uuur

O
D'
C'
A'
D
B'
A
C
B
Chứng minh:
' ' '
' ' '
'
AB B C D D
AD D C B B
A C
+ +

= + +
=
uuur uuuur uuuur
uuur uuuuur uuuur
uuuur
' ' ' ' ' '
' ' ' (®pcm)
A C A D A B A A
AD D C B B
= + +
= + +
uuuur uuuuur uuuur uuuur
uuur uuuuur uuuur

Hoạt động 2:
G
H
N
J
I
K
M
A
D
C
B
Chứng minh:
4AB AC AD AG+ + =
uuur uuur uuur uuur

Qui tắc trung điểm:
IA B
M
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur

Hoạt động 2:
G
H
N
J
I
K
M
A
D
C
B
Chứng minh:
4AB AC AD AG+ + =
uuur uuur uuur uuur
2AB AC AH+ =
uuur uuur uuur
2AD AK=
uuur uuur
( )
2
AB AC AD
AH AK
⇒ + +

= +
uuur uuur uuur
uuur uuur
( )
2 2 4AG AG= =
uuur uuur

Hoạt động 3:
c
b
a
C
A
B
A'
C'
B'
1) Hãy biểu thị
mỗi vectơ
qua các vectơ
' ; 'B C BC
uuuur uuur
; ; a b c
r r r
2) Gọi G' là trọng
tâm tam giác A'B'C'.
Biểu thị vectơ

'AG
uuuur

qua
; ; a b c
r r r

Qui tắc hiệu hai
vectơ:
MN AN AM= −
uuuur uuur uuur
c
b
a
C
A
B
A'
C'
B'
' 'B C AC AB= −
uuuur uuur uuur
( )
'AC AA AB= − +
uuur uuur uuur
'AA AB AC= − − +
uuur uuur uuur
a b c= − − +
r r r

c
b
a

C
A
B
A'
C'
B'
( )
' '
'
'
BC AC AB
AA AC AB
AA AB AC
a b c
= −
= + −
= − +
= − +
uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
r r r

Ví dụ 1 / SGK
G
N
M
A
D
C

B
( )
( )
1
2
1
2
MN AD BC
MN AC BD
= +
= +
uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur

G
A
B
C
Nhắc lại:
G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ
khi nào ?
1) 0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ
khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:
( )
1
2)
3
MG MA MB MC= + +

uuuur uuur uuur uuur
với mọi điểm M

Ví dụ 1 / SGK
G
N
M
A
D
C
B
1) 0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
( )
1
2)
4
MG MA MB MC MD= + + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur
với mọi điểm M
G là trọng tâm của
tứ diện ABCD khi
và chỉ khi một trong
hai điều kiện sau
xảy ra:

Ví dụ: (Bài 3 / SGK)
G
G'
N

M
I
C'
B'
A
B
C
A'
Chứng minh: GI // CG'

Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng AB song song
với đường thẳng CD ta cần chỉ ra hai điều
sau đây:
1. Hai vectơ và cùng phương,
nghĩa là
2. Tồn tại một điểm thuộc đường thẳng AB
mà không thuộc đường thẳng CD.
AB
uuur
CD
uuur
AB kCD=
uuur uuur

' ; ;AA a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r
Đặt
G
G'

N
M
I
C'
B'
A'
C
B
A
a
r
b
r
c
r
GI AI AG= −
uur uur uuur
( ) ( )
1 1
2 3
a b b c= + − +
r r r r
( )
3 2
1
6
a b c− −
=
r r r
' 'CG AG AC= −

uuuur uuuur uuur
( )
1
' ' ' '
3
AG AA AB AC= + +
uuuur uuur uuur uuuur
1 1
3 3
a b c= + +
r r r
( )
1
' ' '
3
AA AA AB AA AC= + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur

' ; ;AA a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r
Đặt
G
G'
N
M
I
C'
B'
A'
C

B
A
a
r
b
r
c
r
' 'CG AG AC= −
uuuur uuuur uuur
1 1
'
3 3
AG a b c= + +
uuuur r r r
Suy ra:
3 2
(1)
6
a b c
GI
− −
=
r r r
uur
3 2
' (2)
3
a b c
CG

− −
=
r r r
uuuur
Từ (1) và (2), suy ra:
' 2CG GI=
uuuur uur
/ / 'GI CG⇒