Bài tập tiếp tuyến đường tròn nâng cao

Võ Tiến Trình

BÀI TẬP TIẾP TUYẾN NÂNG CAO (Học Kì I Lớp 9)

Bài 1. Cho đường tròn (O; R), M là một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua M ta vẽ
tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm ) và cát tuyến MBC với (O).
a) Chứng minh MA2  MB.MC  OA2  R 2
b) Gọi MDE là cát tuyến khác của (O). Chứng minh MB.MC  MD.ME
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác của
tam giác ABC. (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.
a) Chứng minh A, I, O thẳng hàng.
b) Xác định vị trí tương đối của AC và (O).
c) Vẽ đường kính IK của (O), IK cắt BC tại H. Chứng minh :

IA KA

IH KH

Bài 3. Cho A là một điểm trên đường tròn (O; R). Trên tiếp tuyến tại A của (O) ta
lấy điểm M. đường thẳng qua A vuông góc với MO cắt MO tại H và cắt đường
tròn tại B ( B khác A).
a) Chứng minh MB là tiếp tuyến của (O).
b) Một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D). Chứng
minh MC.MD  MH .MO từ đó suy ra tam giác MCH đồng dạng với tam
giác MOD.
c) Đường thẳng qua O vuông góc với CD tại I và cắt đường thẳng AB tại N.
Chứng minh NC, ND là tiếp tuyến của (O).
d) CD cắt AB tại K. Chứng minh NK.NH = NA.NB.
Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng chứa
nửa đường tròn vẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By với (O). Gọi C là điểm trên nửa đường
tròn (O), tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax, By lần lượt tại D, E.

a) Chứng minh AD  BE  DE
b) Chứng minh DOE  900 và AD.BE  R 2 .
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEO.
toanth.net

1


Võ Tiến Trình
d) Gọi I là giao điểm của AE và DB. Chứng minh CI vuông góc với AB.
e) CI cắt AB tại F. Chứng minh I là trung điểm của CF.
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O, trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ
là đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. tOv  900 là góc
quay quanh O sao cho tia Ot cắt tia Ax tại C và tia Ov cắt tia By tại D.
a) Chứng minh 4 AC.BD  AB 2
b)
c)
d)
e)

Chứng minh CO, DO lần lượt là tia phân giác của góc ACD và BDC .
Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
AD cắt BC tại I, đường thẳng qua I và vuông góc với AB cắt AB tại H và cắt
CD tại K. Chứng minh I là trung điểm của HK.

Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy
điểm C sao cho BC = R.
a) Tính diện tích tam giác ABC theo R.
b) Đường thẳng AC cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại D. Gọi I là trung điểm của

BD. Chứng minh CI là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Gọi H là hình chiếu của C lên AB. E là trung điểm CH. Chứng minh A, E, I
thẳng hàng.
d) BE cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại F. Chứng minh F, C, I thẳng hàng.
e) Tình diện tích hình thang ABDF theo R.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi E là trung điểm BC, F là trung
điểm BE. M là điểm trên cạnh AD thỏa AM = 3DM. FM cắt AE tại K.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, F, K củng nằm trên một đường tròn và tính diện
tích của tứ giá ABFM.
b) EM cắt AC tại N. Chứng minh M, D, C, N cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ENK.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp đường tròn tâm O. Trên tia đối của
tia BA lấy điểm D sao ho BD = 2BA. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt
tiếp tuyến Ax tại E. Chứng minh tam giác BED là tam giác cân.
toanth.net

2