bai tap ung dung hoc sinh gioi

BÀI TẬP HÌNH HỌC – BDHSG 8
(Ôn tập)
1/ Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của
ABC∆
.
CMR:
. .
HD HE HF DB EC FA
AD BE CF DC EA FB
+ + =
.
2/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB< AC). Gọi BD là đường phân giác trong của tam giác
ABC, dựng đường trung trực của đoạn BD cắt đường thẳng AC tại M.
a) CMR: Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng.
b) Cho AD = 4cm và DC = 6cm. Tính MD.
3/ Cho
∆
ABC có 3 góc nhọn, Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy M
và N sao cho
·
·
0
90AMC ANB= =
. CMR:
a) Các tam giác ABD và ACE đồng dạng.
b) b) Tam giác AMN cân.
4/ Từ điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, vẽ DE vuông góc với AB tai E và DF
vuông góc với AC tại F. CMR:
a) BE
2
+ ED

2
+ DC
2
= BD
2
+ DF
2
+ FC
2
.
b) b) DB.DC = AE.BE + AF.CF.
5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD.
CMR:
( )
2
1
2
ABCD
S AM AN≤ +
.
6/ Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD.
CMR: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
7/ Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của CB lấy điểm F sao
cho AE = CF.
a) CMR: Tam giác DEF vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, gọi I là trung điểm EF. CMR: O, C, I thẳng
hàng.
8/ Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM, BN lần lượt vuông góc các cạnh AD và CD tại M và

N. Biết rằng
1
2
MN
DB
=
, tính các góc của hình thoi ABCD.
9/ Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. CMR:
2
.CD CA CB〈
.
10/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M,
N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính
·
MCN
.
11/ Cho tam giác ABC cân tại A có góc ở đỉnh bằng 20
0
; cạnh đáy là a, cạnh bên là b.
CMR: a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
12/ Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các
đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I.
a) C/m: tam giác CIN vuông.
b) Tính diện tích tam giác CIN theo a.

c) C/m: tam giác AID cân.
13/ Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các góc
BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và CD tại F. C/m: AM vuông góc EF.
14/ Cho tam giác ABC có
µ
0
30A =
. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. C/m: AD
2
= AB
2
+ AC
2
.
15/ Cho tam giác ABC (BC< AB). Từ C vẽ đường vuông góc với phân giác BE tại F và cắt AB tại
K, vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/m : DF đi qua trung điểm của GE.
16/ Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi là d. Hãy tìm hình có diện
tích lớn nhất?
17/ Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các đường phân giác của
tam giác đó CMR:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
+ + 〉 + +
.
18/ Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm
của AH và CD. C/m: BM vuông góc MK.
19/ CMR: Trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi, tam giác vuông
cân có chu vi nhỏ nhất.
20/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ
, ,MI BC MJ CA MK AB⊥ ⊥ ⊥

.Tìm vị trí của M sao cho tổng MI
2
+ MJ
2
+ MK
2
nhỏ nhất.
21/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F là trung điểm của BC và CD. Đường chéo BD cắt AE
và AF tại M và N. Tính S
BNFC
theo diện tích của hình bình hành đã cho.(S
ABCD
= a
2
).
22/ Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H, I, K
theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CG. C/m rằng: Tam giác IHK vuông.
23/ Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC ta lấy các đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’ = CA.
CMR: Các tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm trùng nhau.
24/ Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về
phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A
1
, B
1
, C
1
. C/m rằng:
1 1 1
1 1 1
GA GB GC

+ =
.
25/ Cho hình thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành
MDPA, MCQB. C/m rằng PQ // CD.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
Bài 1 (4 đ) Cho phương trình:
a) Định m để pt có hai nghiệm đều âm.
b) Định m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: (4 đ)
a) Cho . Chứng minh rằng:
b) Cho . Chứng minh rằng:
Bài 3: ( 4 đ) Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Câu 4: (2 đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9.
Câu 5: ( 4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Xác định M trên cung BC không chứa A sao cho BHCM là hình bình hành.
b) Lấy M bất kì trên cung BC không chứa A. Lấy N, E lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, AC.
Chứng minh N, H, E thẳng hàng.
Câu 6: ( 2đ) Cho tứ giác ABCD có giao điểm hai đường chéo là O. Cho biết .
Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Tìm các số nguyên x sao cho
chia hết cho
Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho chia hết cho
chia hết cho 44
Chứng minh: chia hết cho 7
Tìm số dư của phép chia cho 21.