DSpace at VNU: Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình Lattice bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC
MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC
MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HOÀNG OANH

Hà Nội – 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS.
Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên
ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và
quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô
trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã
quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong
suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình
giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập.
Công trình này được hỗ trợ một phần bởi đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu một
số mô hình Vật lý thống kê bằng phương pháp Monte - Carlo trên hệ thống tính
toán không đồng nhất sử dụng GPGPU hiệu năng cao".
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm
động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 01 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thuần


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................7
CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO ................10

1.1.Giới thiệu ........................................................................................................10
1.2.Tích phân Monte Carlo ................................. Error! Bookmark not defined.
1.4.Số ngẫu nhiên ................................................. Error! Bookmark not defined.
1.5. Lấy mẫu điển hình ........................................ Error! Bookmark not defined.
1.6. Chuỗi Markov ............................................... Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING
................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình ........ Error! Bookmark not defined.
2.2. Chạy chƣơng trình ........................................ Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG III. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH XY Error!
Bookmark not defined.
3.1.Thuật toán ...................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2. Đƣa hệ về cân bằng nhiệt. ............................ Error! Bookmark not defined.
3.3. Chuyển pha KT định tính. ........................... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN .............................................................. Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................... Error! Bookmark not defined.
PHỤ LỤC ................................................................. Error! Bookmark not defined.


DANH MỤC BẢNG – HÌNH
Danh mục bảng
Bảng 2.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ βError!

Bookmark

not

defined.
Danh mục hình
Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ ...................... Error! Bookmark not defined.

Hình 2.1. Quá trình tiến tới cân bằng ........................ Error! Bookmark not defined.
Hình 2.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta ...... Error!
Bookmark not defined.
Hình 2.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha .................... Error! Bookmark not defined.
Hình 2.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn)Error!

Bookmark

not

defined.
Hình 2.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] ............... Error!
Bookmark not defined.
Hình 2.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) ............ Error!
Bookmark not defined.
Hình 2.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ........... Error!
Bookmark not defined.
Hình 2.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ . Error! Bookmark not defined.
Hình 2.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[14]
................................................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 2.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising ......... Error!
Bookmark not defined.
Hình 3.1. Độ lớn của độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10Error!

Bookmark

not

defined.
Hình 3.2. Năng lượng của lưới L = 32, T = 0.10 ...... Error! Bookmark not defined.

Hình 3.3. Góc pha spin của lưới L = 32, T = 0.10 .... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.4. Bình phương độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10Error! Bookmark not
defined.


Hình 3.5. Năng lượng, L = 32, T = 0.01. .................. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.6. Độ lớn của độ từ hóa. L = 32, T = 0.01..... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.7. Năng lượng trung bình trên từng spin. L = 32, T = 0.02. ................. Error!
Bookmark not defined.
Hình 3.8. Cấu hình spin giả bền. L = 32, T = 0.10. .. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.9. Cấu hình spin L = 32, T = 0.01. ................ Error! Bookmark not defined.
Hình 3.10. Cấu hình spin. L = 32, T = 0.50. ............. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.11 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.70. .............. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.12 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.80 . ............. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.14. Cấu hình spin. L = 32, T = 1.00. ............. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.15. Cấu hình spin. L = 32, T = 2.50. ............. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.16. Độ lớn của độ từ hóa trên mỗi spin trong vùng nhiệt độ rất thấp với biểu
thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin. L = 32. ..................... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.17. Độ cảm từ của vài hệ với kích thước khác nhau.Error! Bookmark not
defined.
Hình 3.18 Năng lượng của hệ trên mỗi spin. L = 32.Error! Bookmark not defined.
Hình 3.19. Nhiệt dung riêng. Hệ L = 32. .................. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.20 Bình phương của độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết
sóng spin. L = 32. ...................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.21 ................................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.22. Bình phương góc pha của spin được đo tham chiếu với tổng độ từ hóa
tức thời. L = 32. ......................................................... Error! Bookmark not defined.
Hình 3.23. Xuất xoắn cho một vài hệ. Các phép đo liên tiếp được sử dụng, sai số
chưa được ướng lượng chính đáng. ........................... Error! Bookmark not defined.
hình 3.24. Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32.Error! Bookmark not

defined.


MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha đã xuất hiện vào những năm 50
của thế kỷ trước. Từ đó đến nay các hiện tượng chuyển pha luôn được các nhà lý thuyết
và thực nghiệm quan tâm. Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau, từ
vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, đến Vũ trụ học bằng nhiều phương pháp khác
nhau, gần đây là phương pháp số dựa trên cơ sở của máy tính hiện đại, cụ thể là phương
pháp Monte Carlo dựa trên việc sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này được sử
dụng rộng rãi có vai trò quan trọng trong vật lý tính toán, như tính toán trong sắc động lực
học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi
nghiên cứu Sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu
việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê như mô hình I sing và
mô hình XY.
Mục đích của luận văn : tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ
của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và
xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY.
Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và kết luận.
Chương 1:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu
nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte
Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy
tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương
pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp.
Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: i/ Giá trị trung
bình của hàm số trong vùng cần tính; ii/ Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài
đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân
3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn)

Chương 2: Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình Ising


Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng
đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với
nhau và có tổng thống kê nhận giá trị

Z I sin g 2 D 

 1

exp     1  S x S y     S x    e  H
{ S x  1 }
x
 { S x 1 }
  2  x ,y 



Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] đã tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa





mất trật tự - trật tự tại  c  ln 1  2  0.88137 .
Thuật toán
i, Khởi tạo chương trình;
- Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên
- Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ

- Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,...
ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath;
iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc;
iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê.
Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa:
M 

1
j S j .
V

Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau từ 0.5 đến 1,5
với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi tìm được điểm chuyển pha là 0.88 phù hợp
với kết quả của Onsager.
Chương 3:Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình XY
Mô hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ các cấu
hình cân bằng của hệ theo phân bố Boltzmann và thuật toán Heatbath với cách chọn spin
ngẫu nhiên.
Đo đạc trên một hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải ở trạng thái cân bằng. Hệ ở đây là mô hình
XY hai chiều, thông qua các phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc chuỗi Markov
từ cấu hình theo phân bố bất kỳ về trạng thái cân bằng tuân theo phân bố Boltzmann cũng


chính là phân bố mà chuỗi Markov hội tụ về sau một khoảng thời gian nào đó.Chúng tôi
thực hiện làm nóng đột ngột để đưa hệ về cân bằng trong mọi phép đo.
Chúng tôi xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless trong mô hình XY.
Chuyển pha KT trong mô hình XY hai chiều là giữa hai pha nhiệt. Một pha ở nhiệt độ
thấp không có các xoáy (dương hoặc âm) hoặc có thì các xoáy này ko tồn tại tự do mà đi
theo cặp xoáy âm - xoáy dương và liên kết chặt chẽ.Một pha khác ở nhiệt độ cao hơn
nhiệt độ nào đó TKT - nhiệt chuyển pha KT, trong pha này các xoáy âm dương xuất hiện

ngày càng nhiều theo sự tăng của nhiệt độ. Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless xác
định tại T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294.
Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả thu được và thảo luận.


CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP
MONTE CARLO
1.1.Giới thiệu
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số
ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp
Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của
máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các
phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc
nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và
nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản.
Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được
quy vào lớp phương pháp Monte Carlo.
Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một số
lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte Carlo cũng là
phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà
không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính
tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác
tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng
trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường
phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số
ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy
ra trong thực tế. Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có
quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện.
Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán học Buffon
đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách

ngẫu nhiên trong khoảng 0tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1. Diện tích hình tròn có bán kính R=1 là S = R2
còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để

=


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
1.

Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng, (2004), Vật lý thống kê,
Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

2.

Nguyễn Xuân Hãn, (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà
Nội.

3.

Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, Nhà xuất
bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

Tiếng anh
4. A. J. Bray, A. J. Briant, and D. K. Jervis,(2000), Phys. Rev. Lett., 84:1503–1506.
5.

Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu, (1973), The Two-Dimensional Ising Model,
Harvard University Press.

6.

B. Yurke et. al,(1997), Experimental measurement of the persistence exponent of
the planar Ising model, Physical Eeview E 56(1) R40 –R42.

7.

David R. Nelson and J. M. Kosterlitz,( 1977), Phys. Rev. Lett., 39:1201–1205.

8.

H. Weber and P. Minnhagen,( 1988), Phys. Rev. B, 37:5986–5989.

9.

Kerson_Huang,( 1987), Statistical_Mechanics (2nd Edition ), John Wiley & Sons.

10. Kurt Binder, Dieter W. Heermann,( 2010), Monte Carlo Simulation in Statistical
Physics: An Introduction (Fifth Edition).
11. Lars Onsager, (1944), Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an
Order-Disorder Transition, Phys. Rev. 65, 117.
12. Martin Hasenbusch,(2005), J. Phys. A, 38(26):5869.
13. M Hasenbusch and K Pinn,(1997), J. Phys. A, 30(1):63.
14. Newman, Barkema,(1999), Monte Carlo methods in Statistical Physics, Oxford
University Press.
15. N. Metropolis, (1953), et al. J. Chem. Phys., 21(6):1087–1092.
16. Peter Olsson,(1995), Monte Carlo analysis of the two-dimensionalXY model. II
Comparison with the Kosterlitz renormalization-groupequations, Phys. Rev. B 52,

4526 – 4535.
17. R. J. Baxter,(1982), Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic
Press.
18. S. Chib and E. Greenberg(1995),The American Statistician, 49(4):pp. 327–335.
19. S. Teitel and C. Jayaprakash,(1983), Phys. Rev. B, 27:598–601.
20. Ulli Wolff,(1989), Phys. Rev. Lett., 62:361–364.