Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Trần Đình Kế
PGS. TS. Cung Thế Anh

Hà Nội - 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Các kết quả
được phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố
trong các công trình của các tác giả khác.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Văn Đắc


LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện tại Bộ môn Giải tích Khoa Toán-Tin, trường
Đại học sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu
đáo của PGS. TS. Trần Đình Kế và PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin
bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy, PGS.TS. Trần
Đình Kế là người Thầy đã giảng dạy tác giả từ những ngày còn học đại học
và sau đó dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu được trình bày trong luận
án này, PGS.TS. Cung Thế Anh đã đem đến cho tác giả những bài giảng
được chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng và phương pháp làm việc khoa học.
Những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của tập
thể hướng dẫn dành cho tác giả luôn là động lực chính giúp tác giả không
những hoàn thành được luận án mà còn có những định hướng cho nghiên
cứu tiếp theo.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại
học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc

biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên,
tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại
học Thủy lợi, các đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ
Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn
yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành
luận án.
Tác giả


3

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2. ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG . . .

18

1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4. GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG . . .

23

1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . .

23

1.4.2. Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động . . . .

26

1.5. TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM
ĐA TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 2. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC
VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN . . . . . . . . . . 30
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . .

30

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44
2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới . . . . . . . . . . . .

45


4

Chương 3. TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC
VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . 49

3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . .

49

3.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . .

51

3.4. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.5. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Chương 4. TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM
THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 66
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66
4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R+
τ , X) . . . . . . .

67

4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường .

79

4.3. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Chương 5. TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN
CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH . 86
5.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.3. TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG . . . . . . . .

87

5.3.1. Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . .

87

5.3.2. Tính hút của nghiệm tầm thường . . . . . . . . . .

90

5.4. ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


5

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau. Xét
bài toán sau đây trong lí thuyết điều khiển (xem [9])

x = f (x, u), u ∈ U
trong đó u là nhân tố điều khiển. Khi đó, hệ điều khiển và bao hàm thức

x ∈ f (x, U) :=

f (x, u)
u∈U

có tập quĩ đạo như nhau. Nếu tập các nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x,
tức là U = U(x), thì ta nhận được bao hàm thức

x ∈ f (x, U(x)).
Sự tương đương giữa hệ điều khiển và bao hàm thức vi phân tương ứng
là yếu tố then chốt để chứng minh các định lí tồn tại trong lí thuyết điều
khiển tối ưu. Ở một hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân

x (t) = f (x(t)), t ∈ [0, T ],
với f : Rn → Rn là một hàm không liên tục. Khi đó bài toán Cauchy

x (t) = f (x(t)), x(0) = x0
có thể vô nghiệm. Chẳng hạn, xét bài toán Cauchy sau

x (t) =

1,

x<0

−1,

x≥0

, x(0) = 0.

Ta thấy bài toán này không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Thật vậy,
nếu x(t) < 0 thì nghiệm là x(t) = t + c− và x(t) > 0 thì x(t) = −t + c+
là nghiệm. Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải không liên tục

là mô hình cho một số bài toán trong vật lí, kỹ thuật, sinh học và kinh tế.
Các bài toán dạng này được Filippov nghiên cứu trong [37], ở đó kỹ thuật
chính quy hóa hàm phi tuyến ở vế phải dẫn đến các bao hàm thức vi phân.


6

Ngoài ra, khi nghiên cứu các bất đẳng thức vi biến phân, một trong những
phương pháp hiệu quả là chuyển chúng về các bao hàm thức vi phân (xem
[63]).
Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ các bài toán trong
nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu là bài toán chính quy hóa
phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục, bài toán điều
khiển và một số bất đẳng thức vi biến phân. Đối với các hệ tiến hóa mô tả
các bài toán thực tế trong sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế,... trễ thời
gian thường xuất hiện như một yếu tố tự nhiên, cho phép việc mô tả các
quá trình chính xác hơn. Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong luận án này, chúng tôi
tập trung vào một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tính
các hệ vi phân tiến hóa, đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi
phân không ô-tô-nôm có trễ, bao gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn
tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu và tính hút trong khoảng thời
gian hữu hạn của nghiệm.
Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều
(phương trình vi phân thường) đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đã
thu được những thành tựu quan trọng dựa trên lí thuyết ổn định Lyapunov
(xem [32, 44]), trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ hiệu
quả được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng. Ngoài ra, các phương pháp khác
như phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem
[61]) cũng được lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Với các

bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn chuyên khảo [9, 29] trình
bày một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm.
Tuy nhiên, do tính chất không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho
bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn trong việc
nghiên cứu tính ổn định nghiệm. Khi đó, khái niệm ổn định yếu đã được
Filippov đề xuất (xem [37]) và phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để
chứng minh tính ổn định yếu cũng đã được xây dựng trong [1].
Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong không gian
Banach tổng quát cùng những ứng dụng của nó đã và đang thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời
sự. Có thể tìm thấy trong các cuốn chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68]
những kết quả nghiên cứu có tính hệ thống. Dựa vào lí thuyết nửa nhóm,
các kết quả về tính giải được của các bao hàm thức tiến hóa đã được thiết


7

lập dưới nhiều điều kiện khác nhau (xem [25, 38, 62]). Để nghiên cứu tính
ổn định nghiệm, các công cụ như lí thuyết tập hút toàn cục hay lí thuyết ổn
định Lyapunov đóng vai trò quan trọng. Lí thuyết tập hút toàn cục được
xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm của các hệ vi
phân ô-tô-nôm (autonomous) dưới góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn
tại hay không một tập compact, bất biến và hút các quĩ đạo nghiệm. Lí
thuyết này được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả có tính hệ
thống cho cả hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) và hệ động lực đa trị
(xem [59, 60, 70]). Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút
được phát triển với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suy
rộng của Ball [11, 12], nửa dòng đa trị của Melnik và Valero [59]. Hai cách
tiếp cận này đã được so sánh trong [23]. Có thể tham khảo một số kết quả
về dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị được

thiết lập trong [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ của Melnik và Valero.
Ngoài ra, Chepyzov và Vishik [26] cũng phát triển lí thuyết tập hút quỹ
đạo để nghiên cứu dáng diệu của các hệ vi phân không duy nhất nghiệm.
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân không ô-tô-nôm
(nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi được xây dựng cho
cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem [19, 20, 21, 60]). Trong đó, phải kể
đến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng các
cộng sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ vi phân ngẫu nhiên
với lược đồ thống nhất. Gần đây, ở [28], các tác giả Zelati và Kalita đã đưa
ra một cải tiến đáng chú ý trong lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảm
nhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) đối với hệ động lực và đưa ra tiêu
chuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact.
Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh
sự tồn tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệm
cận của hệ động lực sinh bởi hệ. Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửa
nhóm sinh bởi phần tuyến tính là nửa nhóm compact. Tuy nhiên, các hệ
vi phân đạo hàm riêng trong miền không bị chặn nói chung không thỏa
mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính
chất compact. Trong trường hợp không gian pha là một không Hilbert tách
được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều kiện
xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]). Tuy nhiên, cách
này không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gian
pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm được
một cơ sở của không gian pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn


8

chiều. Mục tiêu nghiên cứu đầu tiên của chúng tôi trong luận án này là xây
dựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận của hệ động lực

trong tình huống kể trên.
Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm
thức vi phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp
hàm Lyapunov là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy. Do đó, các kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phân
theo nghĩa Lyapunov còn hạn chế. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sử
dụng cách tiếp cận điểm bất động ở [17] (trong nghiên cứu tính ổn định
nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích
dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô
hạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn định tiệm cận
yếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét.
Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân
khi thời gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực
tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài và đạt được những kết quả có tính hệ
thống, dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan
trọng hơn trong các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemical
networks), quá trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction),... ở đó các
quá trình cần quan sát chỉ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn. Từ đó,
hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học. Một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên
cứu này cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình
[14, 33, 34, 35, 39, 55]. Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữu
hạn trong [39], chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính hút trong thời gian
hữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong không
gian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận được áp
đặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một số
điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường.
Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiên
cứu chính.
Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôi

nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm
có trễ trong không gian Banach. Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn,
chúng tôi xét lớp bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ,

(1)


9

u(t) = ϕτ (t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ],

(2)

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong không gian Banach tách được
X , A là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh
trên X , F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut
là hàm trễ, tức là ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0]. Ký hiệu {U(t, τ, ·)}t≥τ
là hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (1)-(2), tức là

U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u(·, τ, ϕτ ) là một nghiệm tích phân của hệ (1)-(2)}.
Liên quan đến kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, đóng góp chính của chúng
tôi là đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của U theo cách chứng
minh tính nén của toán tử GT,t = U(t, t − T, ·) trên C([−h, 0]; X). Đáng
lưu ý là cách tiếp cận này hiệu quả đối với các hệ có trễ bởi vì ta chỉ cần
kiểm tra các ước lượng độ đo không compact trên phần phi tuyến. Điều này
được thể hiện rõ trong phần áp dụng cho hệ vi phân lưới có dạng

dui

(t) = ui+1 (t) − (2 + α)ui (t) + ui−1 (t) + fi (t, ui (t), ui (t − h)), t > τ,
dt
(3)

ui (τ + s) = φτi (s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z,

(4)

trong đó u = (ui )i∈Z là hàm trạng thái, α > 0 và fi : R3 → R, i ∈ Z, là
các hàm liên tục. Mô hình này phát sinh từ một số bài toán liên quan đến
xử lí ảnh, nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện và một số lĩnh vực khác. Ngoài
ra, nó cũng là kết quả của việc rời rạc hóa theo biến không gian của các
phương trình đạo hàm riêng. Trong mô hình này, nửa nhóm sinh bởi phần
tuyến tính không có tính chất compact và phần phi tuyến chỉ cần thỏa mãn
một số điều kiện về tăng trưởng.
Trường hợp hệ có trễ vô hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ,
uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

(5)
(6)

trong đó hàm u và toán tử tuyến tính A giống như trong trường hợp trễ
hữu hạn, F là ánh xạ đa trị xác định trên R × B , với B là không gian pha
kiểu Hale-Kato [45] sẽ được định nghĩa trong Chương 1.
Một số kết quả nghiên cứu sự tồn tại tập hút trong trường hợp F là hàm
đơn trị đã được công bố, chẳng hạn trong các công trình [16, 20]. Mục đích
của chúng tôi là giải quyết trường hợp phần phi tuyến đa trị bằng cách sử
dụng các ước lượng theo độ đo không compact. Việc chứng minh sự tồn tại

10

nghiệm cho bài toán (5)-(6) là tương tự như đối với hệ có trễ hữu hạn. Tuy
nhiên, khi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi ta gặp một số khó khăn. Cụ
thể là sự xuất hiện trễ vô hạn đã gây ra một số khó khăn về mặt kỹ thuật
trong việc chứng minh tính tiêu hao cũng như tính compact tiệm cận của hệ
động lực đa trị tương ứng. Những khó khăn này xuất phát từ đặc điểm của
không gian pha. Trên không gian này ta không có các tiêu chuẩn về tính
compact, đồng thời cũng không có mối quan hệ đủ tốt giữa độ đo không
compact trên không gian pha và độ đo không compact trên X như trong
bài toán với trễ hữu hạn, dẫn đến việc các kỹ thuật sử dụng cho trường hợp
trễ hữu hạn lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn. Ở đây, chúng
tôi đề xuất một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ động
lực không ô-tô-nôm đa trị dựa trên tính co theo độ đo không compact, từ
đó chứng minh hệ động lực sinh bởi bài toán (5)-(6) có một tập hút lùi toàn
cục khi không gian pha được chọn là Cγ . Kết quả ở phần này được áp dụng
cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị sau

∂u
(t, x) = ∆u(t, x) + f0 (t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ
∂t

(7)

0

v(t) ∈

ν(θ, y) f1 (u(t + θ, y)), f2 (u(t + θ, y)) dydθ,
−∞

(8)

O

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ,

(9)

u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0],

(10)

trong đó f1 , f2 = {µf1 + (1 − µ)f2 : µ ∈ [0, 1]}. Tập Ω ⊂ Rn là miền bị
chặn với biên trơn ∂Ω và O ⊂ Ω là một tập mở.
Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, chúng tôi cũng sử dụng
khái niệm ổn định tiệm cận yếu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của hệ
(5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động. Ký hiệu SOL(ϕτ ) là tập
nghiệm ứng với dữ kiện đầu là ϕτ và giả sử rằng 0 ∈ SOL(0). Nghiệm tầm
thường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn hai điều
kiện
(i) ổn định, tức là với mọi > 0, tồn tại số dương δ sao cho khi |ϕτ |B < δ
thì |yt |B < , ∀y ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ ;
(ii) hút yếu, tức là với mỗi ϕτ ∈ B , tồn tại y ∈ SOL(ϕτ ) sao cho

lim |yt |B = 0.

t→+∞

Để giải quyết bài toán này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact
trên không gian các hàm liên tục và bị chặn trên nửa trục BC([τ, +∞); X),


11

từ đó đưa ra một tiêu chuẩn compact trên không gian này để có thể khai
thác nguyên lí điểm bất động cho các ánh xạ đa trị nén.
Kết quả lí thuyết được áp dụng cho bài toán điều khiển sau

∂u
(t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn , t ≥ τ
∂t

(11)

0

f (t, x) ∈ b(t, x)

ν(θ, y) k1 (y, u(t + θ, y)), k2 (y, u(t + θ, y)) dydθ,

−∞ Ω

(12)

u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Rn , s ∈ (−∞, 0],

(13)

trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn , ∆ là toán tử Laplace đối với biến
x và λ > 0.
Nội dung nghiên cứu sau cùng trong luận án là tính hút của nghiệm tầm
thường trong khoảng thời gian hữu hạn của hệ vi phân hàm sau đây

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ],

(14)

u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

(15)

ở đó A và u là tương tự như các bài toán trước, F là ánh xạ đa trị xác
định trên [0, T ] × C([−h; 0], X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0]. Hàm
ϕ ∈ C([−h, 0]; X) đóng vai trò là dữ kiện đầu.
Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra các điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm
tầm thường của (14)-(15) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến
tính. Cuối cùng, chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo
hàm riêng

∂u
(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ],
∂t
f (t, x) ∈ co f˜i (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, ..., m ,

(16)
(17)

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,

(18)

u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],

(19)

ở đó f˜i : [0, T ] × R → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục và Ω ⊂ Rn là
một miền có biên trơn ∂Ω.

2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án
2.1. Mục đích nghiên cứu


12

Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân tiến hóa
nửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ bằng lí thuyết tập hút lùi và lí thuyết
ổn định. Cụ thể
1) Tìm các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệ
động lực đa trị sinh bởi các bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn
hoặc vô hạn, từ đó chứng minh sự tồn tại tập hút lùi.
2) Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm
tầm thường của lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn.
3) Xây dựng các điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn của
nghiệm tầm thường của lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có
trễ hữu hạn.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến

tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach tổng quát:

• Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn;
• Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn;
trong đó phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh và phần phi
tuyến là hàm đa trị.
2.3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau.

• Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi
phân không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn và trễ vô hạn;

• Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho các bao hàm thức
vi phân nói trên;

• Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm
thường đối với các bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn;

• Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm
tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn.


13

3. Phương pháp nghiên cứu

◦ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân, chúng
tôi sử dụng lí thuyết nửa nhóm [64], các ước lượng độ đo không compact
[15, 51], các công cụ của giải tích đa trị và định lí điểm bất động cho
ánh xạ nén [51].

◦ Trong nghiên cứu về sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị không
ô-tô-nôm, chúng tôi sử dụng lược đồ được đề xuất bởi Caraballo và
Kloeden [20]. Trong đó, chúng tôi thực hiện các ước lượng theo độ đo
không compact để thu được tính compact tiệm cận của quá trình đa
trị.

◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân
có trễ vô hạn và tính hút của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm,
chúng tôi sử dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ
đo không compact xây dựng tương tự trong [5] và kỹ thuật ước lượng
tiên nghiệm.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài
liệu tham khảo, luận án được chia làm năm chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại
các khái niệm và kết quả được sử dụng trong các chương tiếp theo về
lí thuyết nửa nhóm, lí thuyết độ đo không compact, một số kiến thức
về giải tích đa trị và lí thuyết tập hút lùi cho quá trình đa trị.

• Chương 2: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ
hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính giải được và sự
tồn tại tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi phân hàm với trễ hữu
hạn.

• Chương 3: Tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ
vô hạn. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn về sự tồn
tại tập hút lùi cho một quá trình đa trị tổng quát. Chứng minh tính

giải được toàn cục của một lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vô
hạn và sự tồn tại tập hút lùi bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nói trên.

• Chương 4: Tính ổn định tiệm cận yếu cho bao hàm thức vi phân nửa
tuyến tính với trễ vô hạn. Trong chương này, chúng tôi xét tính ổn định


14

tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân có trễ
vô hạn trên nửa trục. Trước tiên, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại nghiệm
phân rã của bài toán. Sau đó, sử dụng kết quả thu được để suy ra tính
ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường.

• Chương 5: Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức
vi phân hàm nửa tuyến tính. Chúng tôi xét hệ vi phân với biến thời
gian thuộc tập compact cho trước và chứng minh nghiệm tầm thường
có tính hút và hút mũ.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng
nghiên cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong trong
không gian Banach tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cũng như các hệ vi phân thường có trễ.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên
các tạp chí khoa học chuyên ngành (liệt kê ở mục "Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án"), 02 bài đã hoàn thành ở dạng
tiền ấn phẩm.

15

Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại:
1) Xê mi na của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội;
2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, 2017;
3) Hội thảo "Vietnam-Korean workshop on selected topics in Mathematics", Đà Nẵng, tháng 2 năm 2017.


16

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta ký hiệu (E, · ) là một không gian Banach
và 2E là họ các tập con của E . Ký hiệu

P(E) = {A ∈ 2E : A = ∅},
Pb (E) = {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn},
Pc (E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng},
Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact},
BE [a, r] = {x ∈ E : x − a ≤ r}.
1.1.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Cho Ω là một tập con đo được và bị chặn trong Rn . Trong luận án, các
không gian hàm sau (xem [7]) được sử dụng.

• Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian bao gồm tất cả các hàm khả tích
Lebesgue bậc p trên Ω. Chuẩn trên Lp (Ω) được định nghĩa như sau:
u

Lp (Ω)

p

1/p

|u(x)| dx

:=

.

Ω

• L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu
khắp nơi trên Ω với chuẩn
u

L∞ (Ω)

:= ess sup |u(x)|.
x∈Ω

• Lploc (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa
phương bậc p trên Ω
Lploc (Ω) := {f : f ∈ Lp (K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}.

Ngoài ra, ta sử dụng các không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

• C([a, b]; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E liên
tục, với chuẩn:

u

C([a,b];E)

= sup u(t)
t∈[a,b]

E.


17

• Lp (a, b; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] → E sao
cho

b

u

Lp (a,b;E)

u(t)

:=

p
E dt

1/p

< +∞.

a

• Cτ := C([−τ, 0]; E), với τ > 0 cho trước.
Không pha sau đây được sử dụng trong Chương 3 và Chương 4, không gian
loại này được giới thiệu trong [45]. Cho (B, | · |B ) là không gian tuyến tính
có trang bị nửa chuẩn gồm các hàm từ (−∞, 0] vào E và giả sử các tiên
đề (B1)-(B4) phát biểu dưới đây được thỏa mãn.
Nếu v : (−∞, σ+T ] → E , ở đó σ ∈ R và T là số thực dương, là một hàm
sao cho v|[σ,σ+T ] ∈ C([σ, σ + T ]; E) và vσ ∈ B với vσ (s) = v(σ + s) khi s ∈
(−∞, 0], thì ta có
(B1) vt ∈ B với t ∈ [σ, σ + T ];
(B2) hàm t → vt là liên tục trên [σ, σ + T ];
(B3) |vt |B ≤ K(t − σ) sup{ v(s) : σ ≤ s ≤ t} + M (t − σ)|vσ |B với mỗi
t ≥ σ , trong đó K, M : [0, +∞) → [0, +∞), K là hàm liên tục, M là
hàm bị chặn địa phương và các hàm này độc lập với v ;
(B4) tồn tại

> 0 sao cho φ(0) ≤ |φ|B , với mọi φ ∈ B .

Một ví dụ điển hình cho không gian B là Cγ , được định nghĩa như sau

Cγ = {φ ∈ C((−∞, 0]; E) sao cho lim eγθ φ(θ) tồn tại trong E}.
θ→−∞

Nếu γ > 0 thì Cγ là không gian Banach với chuẩn xác định bởi

|φ|γ = sup eγθ φ(θ) .
θ≤0

Trong trường hợp này K(t) = 1, M (t) = e−γt , với mọi t ≥ 0.
Một ví dụ quan trọng khác là không gian CLpg , được đưa ra sau đây:
Giả sử 1 ≤ p < +∞, 0 ≤ r < +∞ và g : (−∞, −r] → R là một
hàm đo được Borel và không âm trên (−∞, −r). Ký hiệu CLpg là lớp các
hàm ϕ : (−∞, 0] → E sao cho ϕ liên tục trên [−r, 0] và g(·) ϕ(·) p ∈
L1 (−∞, −r). Nửa chuẩn trên CLpg được xác định bởi
−r

|ϕ|CLpg = sup { ϕ(θ) } +
−r≤θ≤0

1
p

g(θ) ϕ(θ) p dθ .
−∞

(1.1)


18

Giả sử rằng
−r

g(θ)dθ < +∞, với mọi s ∈ (−∞, −r) và

(1.2)

s

g(s + θ) ≤ G(s)g(θ) với s ≤ 0 và θ ∈ (−∞, −r),

(1.3)

ở đó G : (−∞, 0] → R+ là bị chặn địa phương. Nếu có (1.2)-(1.3), thì CLpg
thỏa mãn (B1)-(B4) với = 1 (xem [47]). Hơn nữa, ta có thể lấy

1
với 0 ≤ t ≤ r,
1
(1.4)
K(t) =
p
−r
 1+
với t > r;
−t g(θ)dθ

M (t) =





 max{1 +


 max{

−r
−r−t

−r
−r−t

1
p

1

g(θ)dθ , G(−t) p }
1
p

1

g(θ)dθ , G(−t) p }

với 0 ≤ t ≤ r,
với t > r.
(1.5)

Một số ví dụ khác về không gian pha B được trình bày trong tài liệu tham
khảo [43, 47].

Ký hiệu P là không gian B hoặc Cτ và J = [σ, T ], T > σ , σ ∈ R cố
định. Khi đó, đặt

Cφσ = {v ∈ C(J; E) : v(σ) = φσ (0), với hàm cho trước φσ ∈ P},
ta được Cφσ là không gian con đóng của không gian C(J; E) với chuẩn sup
nên Cφσ là không gian Banach.

1.2.

ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và
một số ước lượng liên quan (xem [2, 51]).
Định nghĩa 1.1. Hàm β : Pb (E) → R+ được gọi là một độ đo không
compact trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb (E),
trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Độ đo β được gọi là:
(i) đơn điệu nếu Ω1 , Ω2 ∈ Pb (E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1 ) ≤ β(Ω2 );
(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb (E);


19

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact
tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb (E);
(iv) nửa cộng tính β(Ω0 ∪ Ω1 ) ≤ max{β(Ω0 ), β(Ω1 )} với mọi Ω0 , Ω1 ∈
Pb (E);
(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω1 +Ω2 ) ≤ β(Ω1 )+β(Ω2 ) với mỗi Ω1 , Ω2 ∈
Pb (E);

(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của
Ω.
Một ví dụ quan trọng về độ đo không compact là độ đo Hausdorff χ(·),
được định nghĩa như sau:
Hàm χ : Pb (E) → R+ xác định bởi

χ(B) = inf{ > 0 : B có một -lưới hữu hạn},
được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E .
Dựa vào độ đo Hausdorff χ, ta đưa ra khái niệm độ đo rời rạc χ0 như
sau:

χ0 (Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)},
trong đó ∆(Ω) là họ tất cả các tập con không quá đếm được của Ω (xem
[2]). Ta có

1
χ(Ω) ≤ χ0 (Ω) ≤ χ(Ω),
2
với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E . Khi đó, ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Xét χ là độ đo Hausdorff trong E và Ω ⊂ E là một tập bị
chặn. Khi đó, với mọi > 0, tồn tại một dãy {xn } ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + .
Ký hiệu J = [σ, T ].
Định nghĩa 1.2. Cho D ⊂ L1 (J; E). Ta gọi D là tập bị chặn tích phân
nếu tồn tại hàm ν ∈ L1 (J) := L1 (J; R+ ) sao cho

f (t) ≤ ν(t)
với mọi f ∈ D và với hầu khắp t ∈ J .

20

Mệnh đề 1.2 ([51], Định lí 4.2.2). Nếu {wn } ⊂ L1 (J; E) bị chặn tích
phân, thì
t

χ

t

≤2

wn (s)ds

χ({wn (s)})ds,

σ

σ

với t ∈ J .
Áp dụng Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.3. Nếu D ⊂ L1 (J; E) sao cho D bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J
và q ∈ L1 (J; R+ ), thì
t

t

D(s)ds ≤ 4

χ

q(s)ds

σ

σ

t

với t ∈ J , ở đây

t

ξ(s)ds : ξ ∈ D .

D(s)ds =
σ

Chứng minh. Với

σ

> 0, tồn tại một dãy {ξn } ⊂ D sao cho
t

t

D(s)ds ≤ 2χ

χ

ξn (s)ds

σ

+ ,

σ

do Mệnh đề 1.1. Áp dụng Mệnh đề 1.2, ta có
t

t

D(s)ds ≤ 4

χ
σ

χ({ξn (s)})ds +
σ
t

≤4

q(s)ds + .

σ

Do

là bất kì, ta có điều phải chứng minh.

Trong không gian tách được, ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.4 ([51], Định lí 4.2.3). Cho E là không gian Banach tách được.
Nếu D ⊂ L1 (J; E) là bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ p(t),
với p ∈ L1 (J; R+ ), thì
t

D(s)ds ≤

χ
σ

với t ∈ J .

t

p(s)ds
σ


21

Giả sử L(E) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên E , ta

nhắc lại định nghĩa χ-chuẩn của một ánh xạ tuyến tính bị chặn T (xem
[2]):

T

χ

= inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ βχ(B), ∀B ∈ Pb (E)}.

(1.6)

Ta biết rằng χ-chuẩn của T được tính bởi công thức

T

χ

= χ(T (B1 )) = χ(T (S1 )),

trong đó B1 và S1 tương ứng là khối cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong
E . Ta cũng có

T

χ

≤ T

L(E) ,

với T L(E) là chuẩn toán tử trong L(E). Rõ ràng, T là toán tử compact
khi và chỉ khi T χ = 0.

1.3. LÍ THUYẾT NỬA NHÓM
Mục này được dùng để trình bày một số khái niệm và kết quả trong lí
thuyết nửa nhóm, chi tiết có thể xem trong các cuốn chuyên khảo [36, 64].
Định nghĩa 1.3. Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0 ≤ t < +∞, được
gọi là nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính bị chặn (gọi tắt là nửa nhóm) trên
E nếu nó thỏa mãn:
(i) S(0) = I , I là phép đồng nhất trên E ,
(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa
nhóm tuyến tính {S(t)}t≥0 nếu nó được xác định bởi:

S(t)x − x
Ax = lim+
,
t→0
t
với mọi x ∈ D(A), trong đó D(A) là miền xác định của A, được xác định
như sau

D(A) = {x ∈ E : lim+
t→0

S(t)x − x
tồn tại trong E}.
t

Định nghĩa 1.5. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh

(C0 -nửa nhóm) nếu

lim S(t)x = x,

t→0+

với mọi x ∈ E .


22

Định lí sau cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A sinh ra một
C0 -nửa nhóm:
Định lí 1.1. Toán tử sinh của một C0 -nửa nhóm phải là một toán tử tuyến
tính đóng và xác định trù mật.
Ví dụ. Xét E = Cub (R+ ) = {f : R+ → R : f = sup |f (s)| < +∞}
s∈R+

là không gian các hàm liên tục đều và bị chặn trên R+ . Họ toán tử {S(t)}t≥0
được xác định như sau:

S(t) : E → E
(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+ .
Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm và toán tử sinh là toán tử đạo hàm

Af (s) = f (s),
với miền xác định D(A) = {f ∈ E : f khả vi và f ∈ E}.
Định lí 1.2. Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm. Khi đó tồn tại các
hằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho

S(t) ≤ M eωt , với mọi t ≥ 0.
Nếu ω ≤ 0, M = 1 thì {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.
Định nghĩa 1.6. Cho {S(t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên E . Nửa nhóm
{S(t)}t≥0 được gọi là:
(i) ổn định mũ nếu tồn tại các số dương M, α sao cho

S(t) ≤ M e−αt , với mọi t ≥ 0;
(ii) compact nếu S(t) là toán tử compact với mỗi t > 0;
(iii) χ-giảm nếu tồn tại các số N, β > 0 sao cho

S(t)

χ

≤ N e−βt , với mọi t ≥ 0;

(iv) liên tục theo chuẩn nếu t → S(t) là liên tục với t > 0.
Định nghĩa 1.7. Xét ∆δ = {z ∈ C : |arg z| < δ}, với 0 < δ <
Họ {S(z)}z∈∆δ ∪{0} ⊂ L(E) được gọi là nửa nhóm giải tích nếu

(i) S(0) = I ;

π
.
2


23

(ii) S(z + z ) = S(z)S(z ), với mọi z, z ∈ ∆δ ;

(iii) z → S(z)x liên tục tại mọi z ∈ ∆δ , với x ∈ E ;
(iv) z → S(z) là hàm giải tích trong ∆δ .
Từ các định nghĩa, ta thấy rằng nếu C0 -nửa nhóm S(·) ổn định mũ thì
χ-giảm. Hơn nữa, nếu S(·) là compact thì S(·) là χ-giảm với β = +∞.
Ngoài ra, nếu nửa nhóm {S(t)}t≥0 là khả vi, nửa nhóm compact hoặc nửa
nhóm giải tích thì {S(t)}t≥0 liên tục theo chuẩn (xem [36]).

1.4.

GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.4.1. Một số vấn đề về giải tích đa trị
Trong mục này, chúng tôi trình bày về một số khái niệm và kết quả của
giải tích đa trị, chi tiết hơn có thể xem trong [51]. Cho Y là một không gian
metric.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là tập con
đóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ E ;
(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là tập con đóng của Y với mọi tập
đóng yếu V ⊂ E ;
(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập đóng trong Y × E ;
(iv) compact nếu F(Y ) compact tương đối trong E ;
(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất
kì là compact.
Ta có kết quả sau về điều kiện nửa liên tục trên của một ánh xạ đa trị.
Bổ đề 1.1 ([51], Định lí 1.1.12). Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị
đóng, tựa compact và có giá trị compact. Khi đó G nửa liên tục trên.
Bổ đề 1.2 ([15], Mệnh đề 2). Cho E là một không gian Banach và Ω là một
tập khác rỗng của một không gian Banach X . Giả sử rằng G : Ω → P(E)
là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu. Khi đó G nửa liên tục trên yếu

nếu và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) kéo theo tồn tại
dãy con của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0 ).