Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

NGUYỄN VĂN ĐẮC

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế
PGS. TS. Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS. TSKH. Đinh Nho Hào, Viện Toán học
Phản biện 2: PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội
Phản biện 3: PGS. TS. Đặng Đình Châu, Trường Đại học KHTN-ĐHQG Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ .... ngày .... tháng .... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Bao hàm thức tiến hóa là mô hình cho nhiều bài toán khác nhau, tiêu biểu
là bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục,
bài toán điều khiển với phản hồi đa trị và một số bất đẳng thức vi biến phân. Đối
với các hệ tiến hóa mô tả các bài toán thực tế, trễ thời gian cho phép việc mô tả
các quá trình chính xác hơn. Vì vậy, các bao hàm thức vi phân có trễ thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào
một trong những vấn đề trung tâm của lí thuyết định tính các hệ vi phân tiến hóa,
đó là dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân không ô-tô-nôm có trễ, bao
gồm sự tồn tại nghiệm tích phân, sự tồn tại tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu
và tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn của nghiệm.
Lí thuyết định tính các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được
nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20 và đã thu được những thành tựu quan trọng cho cả hệ
vi phân đơn trị và đa trị. Với các bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, các cuốn
chuyên khảo của Aubin và Cellina (1984) hoặc của Demling (1992) đã trình bày
một cách hệ thống các kết quả về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm. Khái niệm
ổn định yếu được Filippov đề xuất và trình bày trong cuốn chuyên khảo có bản
tiếng Anh năm 1988. Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân trong
không gian Banach tổng quát cùng những ứng dụng của nó trở thành chủ đề nghiên
cứu có tính thời sự, có thể tìm thấy những kết quả nghiên cứu căn bản trong các
cuốn chuyên khảo của Hu và Papageorgiou (1997) hoặc Kamenskii, Obukhovskii
và Zecca (2001). Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, các kết quả về tính giải được của các
bao hàm thức tiến hóa đã được thiết lập dưới nhiều điều kiện khác nhau, chẳng
hạn như các kết quả của Cardinali và Rubbioni (2006) hoặc Obukhovskii và Zecca

(2011). Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, lí thuyết tập hút toàn cục được xây
dựng (xem Chepyzhov và Vishik (1997, 2002), Temam (1997)) nhằm phân tích
dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân ô-tô-nôm (autonomous). Lí thuyết này được
phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả cho hệ động lực đơn trị và hệ động
lực đa trị. Nói riêng với các hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút được phát triển
với một số lược đồ nghiên cứu, như lược đồ nửa dòng suy rộng của Ball (1997,
2004), nửa dòng đa trị của Melnik và Valero (1998). Hai cách tiếp cận này đã được
Carballo và các cộng sự so sánh (2003). Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các
hệ vi phân không ô-tô-nôm (nonautonomous), lí thuyết tập hút đều và tập hút lùi
được xây cho cả trường hợp đơn trị và đa trị (xem Caraballo, Kloeden cùng một
số tác giả (2008, 2003, 2009); Melnik và J. Valero (1998, 2000)). Trong đó, phải kể
đến những kết quả nghiên cứu quan trọng của Caraballo, Kloeden cùng các cộng
sự về tập hút lùi cho các hệ vi phân tất định và hệ ngẫu nhiên với lược đồ thống
nhất. Gần đây, Zelati và Kalita (2015) đã đưa ra một cải tiến đáng chú ý trong
lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, đó là giảm nhẹ tính liên tục đối với hệ động lực và


2

đưa ra tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa trên độ đo không compact.
Trong các lược đồ nghiên cứu về tập hút, bước then chốt để chứng minh sự tồn
tại tập hút toàn cục là kiểm tra điều kiện về tính compact tiệm cận của hệ động
lực sinh bởi hệ. Điều kiện này được thỏa mãn nếu nửa nhóm sinh bởi phần tuyến
tính là nửa nhóm compact. Tuy nhiên, các hệ vi phân đạo hàm riêng trong miền
không bị chặn nói chung không thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh bởi
phần tuyến tính không có tính chất compact. Với không gian pha là một không
Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta có thể kiểm tra điều
kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem Zelati và Kalita (2015), Ma, Wang và
Zong (2002), Zong cùng các cộng sự (2006, 2010)). Tuy nhiên, cách này không khả
thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khi không gian pha tương ứng có cấu

trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta không thể tìm được một cơ sở của không gian
pha để có thể áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều. Mục tiêu nghiên cứu đầu
tiên của chúng tôi là xây dựng một số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm
cận của hệ động lực trong tình huống kể trên.
Đề cập đến các khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi
phân, có thể thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov
là khó áp dụng vì tính không duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Do đó, các
kết quả về tính ổn định cho các bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov còn
hạn chế. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là sử dụng cách tiếp cận điểm bất động
của Bu (2006) để phân tích dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức vi phân nửa
tuyến tính có trễ vô hạn trong không gian Banach tổng quát, trong đó tính ổn
định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường (nghiệm không) được xem xét.
Theo một góc nhìn khác, mặc dù dáng điệu nghiệm của các hệ vi phân khi thời
gian đủ lớn đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán thực tiễn, dáng
điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan trọng hơn trong
các bài toán liên quan đến quá trình sinh-hóa (biochemical networks), quá trình
chuyển đổi tín hiệu (signal transduction),... ở đó các quá trình cần quan sát chỉ
xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn. Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực
thời gian hữu hạn đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một số
kết quả tiêu biểu cho các hệ vi phân thường có thể tìm thấy trong các công trình
của Berger (2011), Duc và các cộng sự (2008, 2011, 2016), Giesl và Rasmussen
(2012), Rasmussen (2007). Sử dụng các khái niệm về hệ động lực thời gian hữu
hạn do Giesl và Rasmussen (2012) đề xuất, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính
hút trong thời gian hữu hạn của các bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ
trong không gian Banach, trong đó chúng tôi tìm kiếm các điều kiện chấp nhận
được áp đặt lên phần tuyến tính và phần phi tuyến để có thể chứng minh một số
điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường.
Sau đây, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn về những nội dung nghiên cứu
chính.
Sử dụng lược đồ về tập hút lùi của Caraballo và Kloeden, chúng tôi nghiên cứu

sự tồn tại tập hút lùi cho một số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ trong không


3

gian Banach. Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ,
u(t) = ϕτ (t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ],

(1)
(2)

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong không gian Banach tách được X , A
là một toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh trên X , F
là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X × C([−h, 0]; X), ut là hàm trễ, tức
là ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0]. Ký hiệu {U(t, τ, ·)}t≥τ là hệ động lực không
ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (1)-(2), tức là

U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u(·, τ, ϕτ ) là một nghiệm tích phân của hệ (1)-(2)}.
Liên quan đến kết quả về sự tồn tại tập hút lùi, đóng góp chính của chúng tôi là
đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận của U theo cách chứng minh tính
nén của toán tử GT,t = U(t, t − T, ·) trên C([−h, 0]; X). Đáng lưu ý là cách tiếp
cận này hiệu quả đối với các hệ có trễ bởi vì ta chỉ cần kiểm tra các ước lượng độ
đo không compact trên phần phi tuyến.
Trường hợp hệ có trễ vô hạn, chúng tôi xét lớp bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ
uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

(5)
(6)

trong đó u và A giống như trong trường hợp trễ hữu hạn, F là ánh xạ đa trị
xác định trên R × B , với B là không gian pha kiểu Hale-Kato (Định nghĩa trong
Chương 1).
Một số kết quả về sự tồn tại tập hút khi F là hàm đơn trị đã được công bố
bởi Bouzahir và các cộng sự (2011), Caraballo và Kloeden (2009). Mục đích của
chúng tôi là giải quyết trường hợp phần phi tuyến đa trị bằng cách sử dụng các
ước lượng theo độ đo không compact. Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài
toán (5)-(6) là tương tự như đối với hệ có trễ hữu hạn. Tuy nhiên, khi nghiên cứu
sự tồn tại tập hút lùi ta gặp một số khó khăn, những khó khăn này xuất phát từ
đặc điểm của không gian pha. Trên không gian này ta không có các tiêu chuẩn
về tính compact, đồng thời cũng không có mối quan hệ đủ tốt giữa độ đo không
compact trên không gian pha và độ đo không compact trên X như trong bài toán
với trễ hữu hạn, dẫn đến việc các kỹ thuật sử dụng cho trường hợp trễ hữu hạn
lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn. Ở đây, chúng tôi đề xuất một tiêu
chuẩn mới cho tính compact tiệm cận đối với hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị
dựa trên tính co theo độ đo không compact, từ đó chứng minh hệ động lực sinh
bởi bài toán có tập hút lùi toàn cục khi không gian pha là Cγ . Kết quả ở phần này
được áp dụng cho bài toán điều khiển với phản hồi đa trị.
Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, chúng tôi cũng sử dụng khái niệm
ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa ở chương 4) để nghiên cứu dáng điệu nghiệm
của hệ (5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động. Để giải quyết bài toán
này, chúng tôi sử dụng một độ đo không compact trên không BC([τ, +∞); X), từ
đó đưa ra một tiêu chuẩn compact trên không gian này để có thể khai thác nguyên
lí điểm bất động cho các ánh xạ đa trị nén. Kết quả lí thuyết được áp dụng cho
bài toán điều khiển.

4

Nội dung nghiên cứu sau cùng là tính hút của nghiệm tầm thường trong khoảng
thời gian hữu hạn của hệ vi phân hàm sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ],
u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

(14)
(15)

ở đó u và A là tương tự như các bài toán trước, F là ánh xạ đa trị xác định trên
[0, T ] × C([−h; 0], X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0]. Hàm ϕ ∈ C([−h, 0]; X)
là dữ kiện đầu.
Mục tiêu của chúng tôi là đưa ra các điều kiện đủ cho tính hút của nghiệm tầm
thường của (14)-(15) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Cuối
cùng, chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa
diện.
2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án
2.1. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bao hàm thức
vi phân tiến hóa nửa tuyến tính không ô-tô-nôm có trễ bằng lí thuyết tập hút lùi
và lí thuyết ổn định. Cụ thể
1) Tìm các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận của hệ động lực
đa trị sinh bởi các bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn hoặc vô hạn, từ đó
chứng minh sự tồn tại tập hút lùi.
2) Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm
thường của lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn.
3) Xây dựng các điều kiện đủ cho tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm
tầm thường của lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn.
2.2. Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án, chúng tôi xét hai lớp bao hàm thức

vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach tổng quát

• Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn;
• Bao hàm thức vi phân có trễ vô hạn;
với phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh và phần phi tuyến là hàm
đa trị.
2.3. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội
dung sau.

• Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân
không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn và trễ vô hạn;
• Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho các bao hàm thức vi phân
nói trên;
• Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường
đối với các bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn;
• Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn của nghiệm tầm
thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn.


5

3. Phương pháp nghiên cứu

◦ Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bao hàm thức vi phân, chúng tôi
sử dụng lí thuyết nửa nhóm (xem Pazy (1983)), các ước lượng độ đo không
compact (xem Kamenskii và các cộng sự (2001)), các công cụ của giải tích
đa trị và định lí điểm bất động cho ánh xạ nén (Kamenskii, Obbukhovskii và
Zecca (2001)).
◦ Trong nghiên cứu về sự tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị không ô-tônôm, chúng tôi sử dụng lược đồ được đề xuất bởi Caraballo và Kloeden (2009).
Trong đó, chúng tôi thực hiện các ước lượng theo độ đo không compact để thu

được tính compact tiệm cận của quá trình đa trị.
◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân có trễ
vô hạn và tính hút của nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm, chúng tôi sử
dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ đo không compact
xây dựng tương tự như trong Anh và Ke (2015) và kỹ thuật ước lượng tiên
nghiệm.
4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu
tham khảo, luận án gồm năm chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn
bị. Chương 2 trình bày tính giải được và sự tồn tại tập hút lùi cho một lớp bao
hàm thức vi phân hàm với trễ hữu hạn. Chương 3 trình bày một tiêu chuẩn về sự
tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị tổng quát, chứng minh tính giải được toàn
cục của một lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vô hạn và sự tồn tại tập hút lùi
bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nói trên. Chương 4 trình bày tính ổn định tiệm cận
yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn. Chương 5
trình bày tính hút của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu
hạn trên đoạn compact.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên
cứu ổn định nghiệm cho các bao hàm thức vi phân có trễ trong trong không gian
Banach tổng quát, có thể áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến cũng như các hệ vi phân thường có trễ.


6

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm:

Các không gian hàm; độ đo không compact và các ước lượng; lí thuyết nửa nhóm;
giải tích đa trị và định lí điểm bất động; tập hút lùi cho hệ động lực không ô-tô-nôm
đa trị.
1.1.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm như: Lp (Ω), 1 ≤ p <
+∞; L∞ (Ω); Lploc (Ω), 1 ≤ p < +∞, với Ω là miền bị chặn trong Rn . Các không
gian hàm phụ thuộc thời gian, như C([a, b]; E); Lp (a, b; E); Cτ := C([−τ, 0]; E),
τ > 0 cho trước và E là không gian Banach. Đặc biệt, chúng tôi trình bày về
không gian pha kiểu Hale-Kato B . Không gian Cφσ được trình bày ở đây.
1.2.

ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo không compact và một số
ước lượng độ đo không compact Hausdorff. Trong một số trường hợp thì ước lượng
trên không gian Banach tách được khác với không gian Banach tổng quát.
1.3.

LÍ THUYẾT NỬA NHÓM

Mục này được dùng để trình bày một số khái niệm và kết quả trong lí thuyết
nửa nhóm.
1.4.
1.4.1.

GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Một số vấn đề về giải tích đa trị

Trong mục này, chúng tôi trình bày về một số khái niệm và kết quả của giải tích
đa trị. Trong đó có khái niệm hàm chọn của hàm đa trị, sự tồn tại hàm chọn và
một số kết quả then chốt trong Mệnh đề 1.5 và Mệnh đề 1.6.
1.4.2.

Ánh xạ nén và một số định lí điểm bất động

Trong mục này, chúng tôi trình bày về nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén.
1.5.

TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA TRỊ

Trong mục này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả về D-hút
lùi cho hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị dựa theo T. Caraballo và P.E. Kloeden
(2009) cùng với lược đồ chứng minh sự tồn tại tập hút lùi.


7

Chương 2
TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC
VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến
tính không ô-tô-nôm trong không gian Banach với trễ hữu hạn. Bằng các ước lượng
theo độ đo không compact, chúng tôi chứng minh tính giải được toàn cục và sự
tồn tại tập hút lùi cho quá trình đa trị sinh bởi hệ. Chúng tôi đưa ra một cách
chứng minh tính compact tiệm cận của hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sử dụng
độ đo không compact. Phương pháp này hữu hiệu đối với các hệ vi phân mà nửa

nhóm sinh bởi phần tuyến tính không có tính compact.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số [1] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho (X, · ) là một không gian Banach tách được, xét bài toán:

u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ) với t ≥ τ,
u(t) = ϕτ (t − τ )
với t ∈ [τ − h, τ ],

(2.1)
(2.2)

trong đó hàm trạng thái u lấy giá trị trong X , A là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh {S(t)}t≥0 trên X , F là một ánh xạ đa trị xác định trên R × X ×
C([−h, 0]; X), ut là hàm trễ xác định trên [−h, 0] với h > 0 cho trước, và ϕτ ∈
C([−h, 0]; X) là dữ kiện đầu.
2.2.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN

Trong mục này, chúng tôi trình bày về tính giải được và tính chất của nghiệm
đối với hệ (2.1)-(2.2) trên đoạn J = [τ, T ]. Ta giả thiết
(A) Nửa nhóm S(·) sinh bởi A liên tục theo chuẩn.
(F) Ánh xạ đa trị F : J × X × Ch → Kv(X) thỏa mãn
(1) t
F (t, x, y) có một hàm chọn đo được với mỗi (x, y) ∈ X × Ch và
(x, y)
F (t, x, y) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J ;
(2) tồn tại các số không âm a, b và hàm g ∈ L1loc (R; R+ ) sao cho

F (t, x, y) ≤ a x + b y

Ch

+ g(t), ∀x ∈ X, y ∈ Ch ,

ở đây F (t, x, y) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, x, y)};


8

(3) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì tồn tại các hàm p, q ∈
L1loc (R; R+ ) sao cho

χ(F (t, B, C)) ≤ p(t)χ(B) + q(t) sup χ(C(θ))
θ∈[−h,0]

với mọi tập bị chặn B ⊂ X, C ⊂ Ch .
Sau đây là định nghĩa về nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2).
Định nghĩa 2.1. Hàm u : [τ − h, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của hệ
(2.1)-(2.2) nếu u ∈ C([τ − h, T ]; X), u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ [τ − h, τ ] và tồn tại
hàm f ∈ PF (u|[τ,T ] ) sao cho
t
τ

u(t) = S(t − τ )ϕ (0) +

S(t − s)f (s)ds
τ

với mỗi t ∈ [τ, T ].
Sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị, ta được kết quả sau về sự tồn
tại nghiệm tích phân.
Định lí 2.1. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Khi đó hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm tích
phân với mỗi dữ kiện đầu ϕτ ∈ Ch .
Ký hiệu πT , T > τ, là toán tử cắt trên [τ, T ] tác động lên không gian C([τ, +∞); X).
Đặt

Σ(ϕτ ) = {u ∈ C([τ, +∞); X) : u[ϕτ ] là nghiệm tích phân
của hệ (2.1)-(2.2) trên [τ − h; T ] với mọi T > τ }.
Ta thấy πT ◦ Σ(ϕτ ) = S(· − τ )ϕτ (0) + W ◦ PF (πT ◦ Σ(ϕτ )), với mọi T > τ .
Bổ đề 2.1. Với giả thiết của Định lí 2.1, πT ◦Σ({ϕτn }) là compact trong C([τ, T ]; X)
nếu {ϕτn } ⊂ Ch là một dãy hội tụ. Nói riêng, πT ◦ Σ(ϕτ ) là tập compact với mỗi
ϕτ ∈ Ch .
Đặt Σ(t, τ, ϕτ ) = πt ◦ Σ(ϕτ ). Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. Với các giả thiết (A) và (F)(1)-(F)(3), Σ(t, τ, ·) là nửa liên tục trên
và có giá trị compact với mỗi (t, τ ) cho trước.
Hệ động lực đa trị U sinh bởi hệ (2.1)-(2.2) xác định như sau:

U : R2d × Ch → Pc (Ch ),
U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u[ϕτ ] là nghiệm tích phân của hệ (2.1)-(2.2)}
= {ut : u ∈ Σ(ϕτ )}.
Từ Bổ đề 2.2, ta được tính chất sau.
Bổ đề 2.3. Với các giả thiết (A) và (F)(1)-(F)(3), U(t, τ, ·) là nửa liên tục trên,
có giá trị compact với mỗi (t, τ ) ∈ R2d .


9

2.3.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Trong phần này, ta giả thiết:
(A*) Nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, ổn định mũ và χ-giảm, tức là tồn
tại các số N ≥ 1; α, β > 0 sao cho

S(t) ≤ e−αt
và

S(t)

χ

≤ N e−βt , ∀t > 0.

(F*) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với a + b < α; p, q ∈ L∞ (R; R+ ) sao cho

N( p

∞

+ q

∞)

< β,

và g ∈ L1loc (R; R+ ) thỏa mãn (t) := ess supτ ≤t g(τ ) < +∞.

Ký hiệu χC là độ đo không compact Hausdorff trên Ch . Với số cố định T > h và
t ∈ R, ta định nghĩa toán tử đa trị GT,t như sau:

GT,t : Ch → P(Ch )
GT,t (φ) = U(t, t − T, φ).
Sử dụng bất đẳng thức Hanalay, ta được tính nén của GT,t .
Bổ đề 2.4. Nếu (A*) và (F*) thỏa mãn, thì tồn tại các số T > h và ζ ∈ (0, 1)
sao cho
χC GT,t (B) ≤ ζ.χC (B), ∀ B ∈ Pb (Ch ).
Lấy d ∈ (b, α − a) và gọi là nghiệm của phương trình α − a = + d e h .
Tiếp theo, ta xét D gồm tất cả các hàm đa trị D lấy giá trị trong Pc (Ch ) sao cho
D(τ ) ⊂ BCh [0, r(τ )] với r(τ ) thỏa mãn lim r(τ )e τ = 0.
τ →−∞

Bổ đề sau đây chỉ ra dáng điệu của U .
Bổ đề 2.5. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn. Khi đó U có một tập D-hấp thụ lùi.
Tập D-hấp thụ lùi đối với U là B = {BCh [0, R(t)] : t ∈ R}, ở đó R(t) =

(t)
.
d−b

Bổ đề 2.6. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không ô-tô-nôm
đa trị U là compact tiệm cận đối với tập hấp thụ B trong Bổ đề 2.5.
Kết hợp Bổ đề 2.3, 2.5 và 2.6, ta được kết quả chính sau.
Định lí 2.2. Nếu (A*) và (F*) thỏa mãn, thì hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị
U sinh bởi hệ (2.1)-(2.2) có một tập D-hút lùi trong Ch .


10

2.4.

ÁP DỤNG

2.4.1.

Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện

Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn ∂Ω. Ta xét bài toán sau đây:
∂u
(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t > τ,
∂t
f (t, x) ∈ co {fi (t, x, u(t, x), u(t − ρ(t), x)) : i = 1, 2, ..., m} ,
u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ,
u(τ + s, x) = ϕτ (x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],
ở đó ρ : R → [0, h], fi : R × Ω × R2 → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục,
m

co {f1 , f2 , ..., fm } =

ηi fi : ηi ≥ 0, η1 + η2 + · · · + ηm = 1 .
i=1

Chọn A = ∆ với D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω), X = L2 (Ω) và Ch = C([−h, 0]; L2 (Ω)).
Khi đó, ta có (A*) với α = λ1 và β = +∞.
Về các hàm phi tuyến fi , ta giả sử:
(P) |fi (t, x, y, z)| ≤ a|y| + b|z| + g(t, x) với mọi (t, x, y, z) ∈ R × Ω × R2 , ở đây
a, b là các số không âm và g : R × Ω → R+ là hàm liên tục,

|g(t, x)|2 dx ≤ C(1 + t2 )γ eωt với γ ∈ R; C, ω > 0.
Ω

Ký hiệu fˆi : R × X × Ch → X là các hàm xác định bởi
fˆi (t, v, w)(x) = fi (t, x, v(x), w(−ρ(0), x)).
Xét

F (t, v, w) = co{fˆi (t, v, w) : i = 1, 2, ..., m}.
Khi đó F : R × X × Ch → P(X) là ánh xạ đa trị thỏa mãn (F*) nếu a + b < λ1 .
Theo Định lí 2.2, hệ động lực đa trị không ô-tô-nôm sinh bởi hệ có một tập D−hút
lùi trong C([−h, 0]; L2 (Ω)).
2.4.2. Hệ phương trình vi phân lưới
Xét hệ vi phân sau
dui
(t) = ui+1 (t) − (2 + α)ui (t) + ui−1 (t) + fi (t, ui (t), ui (t − h)), t > τ,
dt
ui (τ + s) = φτi (s), s ∈ [−h, 0], i ∈ Z,

với u = (ui )i∈Z , α > 0, fi : R3 → R, i ∈ Z, là các hàm liên tục.
Cho

2

Khi đó

2

là không gian các dãy số thực x = (xi )i∈Z thỏa x
, với tích vô hướng (x, y) =

2

=
i∈Z

x2i < +∞.

xi yi , trở thành không gian Hilbert tách
i∈Z

được với hệ cơ sở là ek = (δki )i∈Z . Ta có (A*) thỏa mãn với β = α, N = 1.


11

Đối với các hạng tử phi tuyến fi , i ∈ Z, ta giả sử
(Q) Tồn tại a, b > 0, g = (gi ) : R →

2

sao cho

|gi (t)| ≤ Ci (1 + t2 )γ eωt , (Ci )i∈Z ∈ 2 , γ ∈ R, ω > 0,
|fi (t, x, y)|2 ≤ ax2 + by 2 + |gi (t)|2 .
Với v = (vi )i∈Z ∈

2

, w = (wi )i∈Z ∈ C([−h, 0]; 2 ), đặt
F (t, v, w) = (fi (t, vi , wi (−h)))i∈Z .

Khi đó F : R × 2 × Ch → 2 là một
hàm liên tục, ở đây Ch = C([−h, 0]; 2 ).
√
√
Giả thiết (F*) thỏa mãn nếu a + b < α. Như vậy, hệ động lực đa trị không
ô-tô-nôm sinh bởi bài toán có một tập D-hút lùi trong C([−h, 0]; 2 ).


12

Chương 3
TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC
VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi cho lớp các
bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính không ô-tô-nôm với trễ vô hạn bằng cách
sử dụng độ đo không compact. Các kết quả đạt được có thể áp dụng cho hệ điều
khiển ở dạng phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính với phản hồi đa trị.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số [2] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
3.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, · ) là một không gian Banach, ta xét bài toán

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ,
uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

(3.1)
(3.2)

trong đó u lấy giá trị trong X , A là toán tử tuyến tính sinh ra C0 -nửa nhóm
{S(t)}t≥0 trên X , F là ánh xạ đa trị xác định trên R × B , ut là hàm trễ của hàm
trạng thái tính đến thời điểm t, tức là ut (s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0]. Hàm
ϕτ ∈ B , là dữ kiện đầu.
3.2. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI
Chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn mới cho tính compact tiệm cận của hệ động
lực đa trị không ô-tô-nôm, có thể xem là sự mở rộng kết quả của Sell và You (2002)
cho hệ động lực ô-tô-nôm đơn trị.
Định nghĩa 3.1. Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U được gọi là χ-co trên tập
phổ quát D nếu tồn tại một hàm liên tục k : R × R → R+ sao cho k(t, τ ) → 0 khi
τ → −∞ với mỗi t cố định và bất đẳng thức sau được thỏa mãn

χ(U(t, τ, B(τ ))) ≤ k(t, τ )χ(B(τ )), ∀τ ∈ R
và với mọi B ∈ D.
Sau đây là kết quả chính trong mục này.
Định lí 3.1. Cho U là một hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị nửa liên tục trên, xác
định trên X . Nếu tồn tại một D-hấp thụ lùi đơn điệu B , nghĩa là B(t1 ) ⊂ B(t2 )
khi t1 ≤ t2 , và U là χ-co, thì U có một D-hút lùi toàn cục.


13

3.3.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán, ta giả thiết

(Aa) C0 -nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, tức là hàm với giá trị toán tử
t → S(t) là liên tục với t > 0.
(Ba) Không gian pha B thỏa mãn (B1)-(B4).
(Fa) F : J × B → Kv(X), ở đây J = [τ, τ + T ] với một số dương T nào đó, thỏa
mãn
(1) với mỗi φ thuộc B , hàm đa trị F (·, φ) : J → Kv(X) có một hàm chọn đo
được mạnh;
(2) ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ J ;
(3) tồn tại hai hàm không âm m1 , m2 ∈ L1 (J) sao cho

F (t, φ) ≤ m1 (t) + m2 (t)|φ|B .
(4) Nếu S(·) không có tính compact thì tồn tại hàm không âm k ∈ L1 (J) sao
cho
χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup χ(D(θ)),
θ≤0

với mọi tập bị chặn D ⊂ B và hầu khắp t ∈ J .
Định nghĩa 3.2. Hàm liên tục u : (−∞, τ + T ] → X được gọi là nghiệm tích
phân của bài toán (3.1)-(3.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ (−∞, τ ] và
tồn tại hàm f ∈ PF (u|[τ,τ +T ] ) sao cho
t
τ

S(t − s)f (s)ds

u(t) = S(t − τ )ϕ (0) +
τ

với mỗi t ∈ [τ, τ + T ].
Sau đây là kết quả chính của phần này.

Định lí 3.2. Giả sử (Aa), (Ba) và (Fa) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (3.1)-(3.2)
có nghiệm tích phân với mỗi ϕτ ∈ B cho trước.
3.4.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Trong phần này, ta giả thiết
(Aa*) C0 -nửa nhóm S(t) = etA là compact và ổn định mũ, tức là tồn tại α > 0, N ≥ 1
sao cho
S(t) ≤ N e−αt , ∀t ≥ 0.
(Ba*) Không gian pha B = Cγ , γ > 0.
(Fa*) Ánh xạ F thỏa mãn giả thiết (F) với m2 ∈ L∞ (τ, +∞), và m1 là hàm không
giảm.


14

Ta định nghĩa quá trình đa trị sinh bởi (3.1)-(3.2) như sau:

U : R2d × Cγ → P(Cγ ),
U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u ∈ Σ(ϕτ )}.

(3.3)
(3.4)

Tính nửa liên tục trên của U được chứng minh trong Bổ đề sau.
Bổ đề 3.1. Với các giả thiết (Aa*), (Ba*) và (Fa*), thì U(t, τ, ·) là ánh xạ nửa
liên tục trên với giá trị compact với mỗi (t, τ ) ∈ R2d .
Tiếp theo, ta xét D là họ tất cả các hàm đa trị D lấy giá trị trong Pc (Cγ ) sao
cho D(τ ) ⊂ Bγ [0, r(τ )] với bán kính r(τ ) thỏa mãn lim r(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ =

τ →−∞

0, κ := ||m2 ||∞ . Ký hiệu χγ là độ đo không compact Hausdorff trong Cγ .
Bổ đề 3.2. Giả sử ta có (Aa*), (Ba*) và (Fa*). Khi đó, hệ động lực không
ô-tô-nôm đa trị U có một D-hấp thụ lùi đơn điệu nếu min{α, γ} > N κ và

lim m1 (τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0.

τ →−∞

Tập D-hấp thụ lùi đơn điệu của U là B(t) = Bγ [0, R(t)] với

R(t) =

N m1 (t)
+1
− Nκ

= min{α, γ}.

và

Bổ đề 3.3. Giả sử (Aa*), (Ba*) và (Fa*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không
ô-tô-nôm đa trị U là χγ -co.
Kết hợp Bổ đề 3.1, 3.2, 3.3 và Định lí 3.1, ta được kết quả chính sau.
Định lí 3.3. Giả sử (Aa*), (Ba*) và (Fa*) thỏa mãn. Khi đó hệ động lực không
ô-tô-nôm đa trị U sinh bởi hệ (3.1)-(3.2) có một D-hút lùi toàn cục trong Cγ nếu
min{α, γ} > N κ và
lim m1 (τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = 0.
τ →−∞

3.5.

ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn ∂Ω và O ⊂ Ω là một tập mở. Xét hệ
điều khiển (*) sau

∂u
(t, x) = ∆u(t, x) + f0 (t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ
∂t
0

v(t) ∈

ν(θ, y) f1 (u(t + θ, y)), f2 (u(t + θ, y)) dydθ,
−∞

O

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ,
u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0].


15

Chọn X = L2 (Ω), A = ∆ với D(A) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Khi đó, giả thiết (Aa*)
thỏa mãn với N = 1 và α = λ1 . Ký hiệu R+
τ = [τ, +∞). Các giả thiết cho phần
phi tuyến gồm:

(A1) Hàm ν : (−∞, 0] × Ω → R là liên tục sao cho tồn tại một số dương β và một
hàm không âm k ∈ L2 (O) thỏa mãn |ν(θ, x)| ≤ k(x)eβθ .
(A2) f0 : R+
τ × Ω × R → R là hàm liên tục sao cho |f0 (t, x, z)| ≤ l1 (t) + l2 (t)|z|,
∞
+
ở đó l1 ∈ L1loc (R+
τ ) và l2 ∈ L (Rτ ) là các hàm không âm và l1 là một hàm
không giảm.
(A3) f1 , f2 : R → R là các hàm liên tục. Tồn tại η > 0 sao cho

|fi (z)| ≤ η|z|, i = 1, 2; ∀z ∈ R.
(A4) b ∈ L2 (Ω).
Ta chọn không gian pha B = Cγ với γ ∈ (0, β), ta được (Ba*). Các ánh xạ
F0 : R+
τ × Cγ → X và F1 : Cγ → P(X) được xác định như sau

F0 (t, φ)(x) = f0 (t, x, φ(0, x)),
0

F1 (φ)(x) = b(x)

ν(θ, y) f1 (φ(θ, y)), f2 (φ(θ, y)) dydθ.
−∞

O

Đặt F (t, φ) = F0 (t, φ) + F1 (φ), thì F thỏa mãn (Fa*) với m1 (t) =

m2 (t) = l2 (t) +

η
b
β−γ

X

k

|Ω| l1 (t) và

L2 (O) .

Từ các Định lí 3.2 và 3.3, ta được các kết quả sau.
Định lí 3.4. Giả sử rằng (A1)-(A4) thỏa mãn. Khi đó
(i) Với mỗi dữ kiện đầu ϕτ ∈ Cγ , hệ (*) có ít nhất một nghiệm tích phân trên
(−∞, τ + T ] với mọi T > 0.
(ii) Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh bởi hệ (*) có một D-hút lùi toàn cục
trong Cγ nếu

min {λ1 , γ} ≥ l2
và lim l1 (τ )e(min{λ1 ,γ}−κ)τ = 0.
τ →−∞

∞+

η
b
β−γ

L2 (Ω)

k

L2 (O)


16

Chương 4
TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA
TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng tôi sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu được
đưa ra bởi Anh, Kế và Quân (2016) và xét dáng điệu nghiệm của bao hàm thức vi
phân có trễ vô hạn trong không gian Banach tổng quát.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số [3] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho (X, · ) là một không gian Banach, ta xét bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ,
uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0],

(4.1)
(4.2)

trong đó u nhận giá trị trong X , A là toán tử tuyến tính sinh ra nửa nhóm liên
tục mạnh {S(t)}t≥0 trên X , F là hàm đa trị xác định trên R+
τ × B , ut là hàm trễ

của u.
Trong chương này, khái niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường được
định nghĩa như sau: Ký hiệu SOL(ϕτ ) là tập nghiệm của hệ với dữ kiện đầu ϕτ
và giả sử 0 ∈ SOL(0). Nghiệm tầm thường của hệ được gọi là ổn định tiệm cận
yếu nếu nó có các tính chất
(i) ổn định: với mỗi > 0, tồn tại số dương δ sao cho nếu |ϕτ |B < δ thì |yt |B < ,
∀y ∈ SOL(ϕτ ) và t > τ ;
(ii) hút yếu: với mỗi ϕτ ∈ B , tồn tại y ∈ SOL(ϕτ ) sao cho limt→+∞ |yt |B = 0.
4.2.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU

+
Ký hiệu BC(R+
τ , X) là không gian các hàm liên tục bị chặn trên Rτ lấy giá trị
trong X , nó là một không gian Banach với chuẩn sup.

4.2.1. Độ đo không compact trên BC(R+
τ , X)
Với số cho trước T > τ , ký hiệu πT (·) là toán tử hạn chế trên không gian
+
BC(R+
τ ; X). Với D ⊂ BC(Rτ ; X), ta định nghĩa χ∞ (D) = sup χT (πT (D)), ở đó
T >τ

χT là độ đo không compact Hausdorff trên C([τ, T ]; X). Tiếp theo, ta định nghĩa
dT (D) = sup sup x(t) và d∞ (D) = lim dT (D). Từ đó, đặt
x∈D t≥T

T →∞

17

χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D).
Khi đó, Banas và Olszowy (2009) đã chỉ ra rằng χ∗ là một độ đo không compact
trên không gian BC(R+
τ ; X).
4.2.2. Sự tồn tại nghiệm phân rã
Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm phân rã, ta xét tập gồm các hàm u ∈ BC(R+
τ ; X)
thỏa h(t) u(t) = O(1) khi t → +∞, trong đó h là một hàm liên tục, dương và
xác định trên R với các tính chất:
(H1) là hàm không giảm trên (0, +∞) và lim h(t) = +∞;
t→+∞

(H2) tồn tại β ∈ (0, 1) sao cho h(t)h−1 (βt) = O(1) khi t → +∞.
Chú ý: lim h(t)e−γt = 0, với mỗi γ > 0. Đặt
t→+∞

Mσ = {f ∈ L1loc (R) : Λσ f ∈ BC(R)}.
Để đạt được mục đích, ta cần các giả thiết
(Ab) Toán tử A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh S(t), t ≥ 0, liên tục theo chuẩn và
ổn định mũ, tức là S(t) ≤ N e−αt , ∀t > 0, với N ≥ 1, α > 0.
(Bb) Không gian pha B thỏa mãn các tiên đề (B1)-(B4) với K ∈ BC(0, +∞; R+ )
và M là hàm thỏa mãn h(t)M ((1 − β)t) = O(1) khi t → +∞.
(Fb) Hàm phi tuyến F : R+
τ × B → Kv(X), là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều
kiện sau
(1) với mỗi φ trong B , hàm đa trị F (·, φ) : R+

τ → Kv(X) có một hàm chọn
đo được mạnh địa phương, tức là với mỗi T > τ tồn tại một hàm đo được
mạnh f : [τ, T ] → X sao cho f (t) ∈ F (t, φ) với hầu khắp t ∈ [τ, T ];
(2) ánh xạ F (t, ·) : B → Kv(X) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ R+
τ;
(3) tồn tại m ∈ Mκ , κ ∈ (0, αγ) với γ ∈ (0, 1) sao cho F (t, φ) ≤ m(t)|φ|B .
(4) Nếu S(·) không có tính compact, thì tồn tại hàm không âm k ∈ L1loc (R+
τ)
sao cho χ(F (t, D)) ≤ k(t) supθ≤0 χ(D(θ)), với mọi D ⊂ Pb (B) và với hầu
khắp t ∈ R+
τ.
Cho v ∈ BCϕτ , đặt
τ
+
PF (v) = {f ∈ L1loc (R+
τ ; X) : f (t) ∈ F (t, v[ϕ ]t ) với hầu khắp t ∈ Rτ }.

Định nghĩa 4.1. Một hàm liên tục u : R → X được gọi là nghiệm tích phân của
bài toán (4.1)-(4.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕτ (t − τ ) khi t ∈ (−∞, τ ] và tồn tại
hàm f ∈ PF (u|[τ,+∞) ) sao cho
t
τ

u(t) = S(t − τ )ϕ (0) +

S(t − s)f (s)ds
τ

với mọi t ∈ [τ, +∞).

18

Toán tử nghiệm F : BCϕτ → P(BCϕτ ) được định nghĩa như sau
t
τ

F(u)(t) = S(t − τ )ϕ (0) +

S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (u) .
τ

Ta có F là toán tử đa trị đóng trong bổ đề sau.
Bổ đề 4.1. Với các giả thiết (Ab) và (Fb), toán tử nghiệm F là toán tử đóng với
giá trị lồi.
Đặt

BhR (ρ) = BR ∩ {y ∈ BCϕτ : sup h(t) y(t) ≤ ρ},
t≥τ

trong đó BR là hình cầu đóng có tâm là gốc tọa độ, bán kính R > 0 và ρ > 0.
Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của BhR (ρ) trong bổ đề sau.
Bổ đề 4.2. Giả sử rằng (Ab), (Bb) và (Fb) thỏa mãn. Nếu
t

N sup
t≥τ

τ
t

và

N h2∗ sup
t≥T

e−α(t−s) m(s)K(s − τ )ds < 1

e−α(t−s) m(s)K(s − βs)ds < 1,

βt

thì tồn tại hai số dương R, ρ sao cho F(BhR (ρ)) ⊂ BhR (ρ), ở đây T = max{0, βτ2 }
và h∗ = sup(h(t)h−1 (βt)).
t≥T

Từ đây, ta xét toán tử nghiệm trên tập BhR (ρ).
Bổ đề 4.3. Giả thiết (Ab), (Bb), (Fb) thỏa mãn và
t

S(t − s) χ k(s)ds < 1.

4 sup
t≥τ

τ

Khi đó toán tử nghiệm F là χ∗ -nén.
Kết hợp Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, ta được kết quả sau.
Định lí 4.1. Với các giả thiết trong các Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, thì bài toán (4.1)(4.2) có nghiệm u trên (−∞, +∞) thỏa mãn h(t) u(t) = O(1) khi t → +∞.

4.2.3. Tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường
Nội dung chính là kết quả sau.
Định lí 4.2. Với các giả thiết trong Bổ đề 4.2 và Bổ đề 4.3, nghiệm tầm thường
của bài toán (4.1)-(4.2) là ổn định tiệm cận yếu.


19

4.3.

ÁP DỤNG

Xét bài toán điều khiển sau
∂u
(t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn , t ≥ τ ;
∂t
0

f (t, x) ∈ b(t, x)

ν(θ, y) k1 (y, u(t + θ, y)), k2 (y, u(t + θ, y)) dydθ;

−∞ Ω
τ

u(τ + s, x) = ϕ (s, x), x ∈ Rn , s ∈ (−∞, 0],
trong đó Ω là một miền bị chặn trong Rn , ∆ là toán tử Laplace đối với biến x và
λ > 0.
Cho X = L2 (Rn ), A = ∆ − λI với D(A) = H 2 (Rn ). Khi đó, giả thiết (Ab)
được thỏa mãn với N = 1 và α = λ.

Sau đây chúng ta giả thiết cho phần phi tuyến
(G1) b(·, x) ∈ Mκ với κ ∈ (0, λγ) và b(t, ·) ∈ L2 (Rn ) với hầu khắp t ∈ R+
τ.
(G2) ν : (−∞, 0] × Ω → R là một hàm liên tục và tồn tại Cν > 0 sao cho

|ν(t, x)| ≤ Cν eν0 t
với mọi t ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω và 0 < ν0 < 1.
(G3) kj : Ω × R → R, j = 1, 2 là các hàm liên tục và tồn tại hàm ξ ∈ L2 (Ω) sao
cho
|kj (y, z)| ≤ ξ(y)|z|, j = 1, 2.
Trong ví dụ này, ta xét B = CL2g với r = − ν10 ln(1 − ν0 ) và g(s) = eν0 s . Ánh xạ
F : R+
τ × B → P(X) được xác định như sau
0

F (t, φ)(x) = b(t, x)

ν(θ, y) k1 (y, φ(θ, y)), k2 (y, φ(θ, y)) dydθ.

−∞ Ω

Khi đó, giả thiết (Fb) thỏa mãn. Về tốc độ phân rã, ta chọn

h(t) =

tη nếu t ≥ 1
, η > 0,
1 nếu t < 1

thì h thỏa (H1)-(H2) và (Bb) với mỗi β ∈ (0, 1) và 0 < γ < 1.

Định lí 4.3. Giả sử các giả thiết (G1)-(G3) thỏa mãn và

1+ √

1
ν0 erν0

Cν ξ L2 (Ω)
sup
√
β η ν0 t≥τ

t

e−λ(t−s) b(s, ·)

X ds

< 1.

τ

Khi đó bài toán điều khiển có nghiệm tích phân u trên (−∞, +∞) với tính chất
tη u(t, ·) X = O(1) khi t → +∞. Hơn nữa, nghiệm tầm thường của hệ là ổn định
tiệm cận yếu.


20

Chương 5

TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM
THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi mở rộng khái niệm về tính hút và hút mũ trong
khoảng thời gian hữu hạn do Giesl và Rasmussen đề xuất (2012) và xét các tính
chất này của nghiệm tầm thường đối với lớp bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến
tính.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo số [4] trong Danh mục công trình
khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
5.1. ĐẶT BÀI TOÁN
Cho (X, · ) là một không gian Banach, xét bài toán sau

u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ],
u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

(5.1)
(5.2)

với u lấy giá trị trong X , A là toán tử tuyến tính sinh ra một C0 -nửa nhóm
{S(t)}t≥0 trên X , F là hàm đa trị xác định trên [0, T ] × Ch và ut là hàm trễ của
u tính đến thời điểm t. Hàm ϕ ∈ C([−h; 0], X) là dữ kiện đầu và T > h.
Trước hết, chúng tôi đưa ra khái niệm nghiệm hút cho hệ vi phân có trễ. Ký
hiệu S(ξ) là tập các nghiệm với dữ kiện đầu là ξ .
Định nghĩa 5.1. (Hút trong khoảng thời gian hữu hạn). Cho µ : [−h, T ] → X
là một nghiệm của (5.1)-(5.2) với dữ kiện đầu ϕ.
(i) µ được gọi là hút trên [0, T ] nếu tồn tại số η > 0 sao cho

uT − µT

Ch

< ξ−ϕ

Ch

với mọi ξ ∈ Bη (ϕ) \ {ϕ} ⊂ Ch và u ∈ S(ξ).
(ii) µ được gọi là nghiệm hút mũ trên [0, T ] nếu

lim sup
η

0

1
sup sup uT − µT
η ξ∈Bη (ϕ) u∈S(ξ)

Ch

< 1.

Từ định nghĩa, ta thấy nếu một nghiệm có tính hút mũ thì nó cũng có tính hút.
5.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Sau đây là điều kiện đủ cho tính hút mũ của một nghiệm.


21

Bổ đề 5.1. Cho µ ∈ S(ϕ) là một nghiệm của (5.1)-(5.2). Khi đó µ là hút mũ trên
[0, T ] nếu

uT − µT Ch
lim sup sup
< 1.
ξ
Ch
ξ Ch →0 u∈S(ϕ+ξ)
5.3.

TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG

5.3.1.

Sự tồn tại nghiệm tích phân

Ta xét tính giải được của (5.1)-(5.2) khi hàm phi tuyến có thể tăng trưởng trên
tuyến tính. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên J = [0, T ], ta giả thiết
(A) Nửa nhóm liên tục mạnh S(·) sinh ra bởi A là liên tục theo chuẩn và S(t)x ≤
M x với mọi x ∈ X .
(F) Hàm F : J × Ch → Kv(X) thỏa mãn
(1) F (·, x) có hàm chọn đo được mạnh với mỗi x ∈ Ch và F (t, ·) nửa liên tục
trên với hầu khắp t ∈ J ;
(2) tồn tại hàm m ∈ L1 (J; R+ ), và một hàm không âm giá trị thực, liên tục
và không giảm Ψ sao cho

F (t, x) ≤ m(t)Ψ( x

Ch ), ∀x

∈ Ch ;

(3) Nếu S(·) không là nửa nhóm compact, thì tồn tại hàm k ∈ L1 (J; R+ ) sao
cho
χ(F (t, B)) ≤ k(t) sup χ(B(θ)),
θ∈[−h,0]

với mọi tập bị chặn B ⊂ Ch .
Ta nhắc lại định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán.
Định nghĩa 5.2. Một hàm liên tục u : [−h, T ] → X được gọi là một nghiệm tích
phân của bài toán (5.1)-(5.2) nếu và chỉ nếu u(t) = ϕ(t) với t ∈ [−h, 0] và tồn tại
f ∈ PF (u|[0,T ] ) sao cho
t

S(t − s)f (s)ds

u(t) = S(t)ϕ(0) +
0

với mỗi t ∈ [0, T ].
Bằng lập luận như trong Chương 2, ta thu được Định lí sau.
Định lí 5.1. Giả sử rằng (A), (F) thỏa mãn và Ψ(r) = 1 + r. Khi đó bài toán
(5.1)-(5.2) có nghiệm tích phân với mỗi dữ kiện đầu cho trước.
Lưu ý rằng, hàm phi tuyến trong Định lí 5.1 có độ tăng trưởng dưới tuyến tính.
Khi F có độ tăng trưởng trên tuyến tính, ta có kết quả sau.


22

Định lí 5.2. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Nếu tồn tại R > 0 sao cho

R

ϕ(0) + m

L1 (J)

Ψ( ϕ

Ch + R)

≥ M,

thì bài toán (5.1)-(5.2) có ít nhất một nghiệm tích phân.
5.3.2.

Tính hút của nghiệm tầm thường

Trong phần này, ta xét tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm
tầm thường của bài toán (5.1)-(5.2).
Để đạt được các kết quả mong muốn, chúng ta cần các giả thiết mạnh hơn cho
A và F :
(A∗ ) Nửa nhóm S(t), t ≥ 0 là liên tục theo chuẩn và ổn định mũ, tức là

S(t)x ≤ M e−αt x , với mọi t ≥ 0, x ∈ X,
ở đó M ≥ 1, α > 0.

(F∗ ) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với Ψ là hàm Lipschitz cục bộ và ta có
Ψ(r) = βr + o(r) khi r → 0 với β ≥ 0.
Nhận xét 5.1. Từ (F∗ ), ta có F (t, 0) = 0. Tức là hệ có nghiệm tầm thường.
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 5.2. Với giả thiết (A∗ ) và (F∗ ), ta có

lim
ϕ

Ch →0

sup

ut

Ch

= 0, ∀t ∈ (0, T ].

u∈S(ϕ)

Sau đây là kết quả chính của chương này.
Định lí 5.3. Giả sử (A∗ ) và (F∗ ) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm không của (5.1)
là hút mũ trên đoạn [0, T ] nếu ta có

ln M + αh + M βeαh m
5.4.

L1 (J)

< αT.

(5.5)

ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω. Ta xét bài toán (*) sau:

∂u
(t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ],
∂t
f (t, x) ∈ co f˜i (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, ..., m ,
u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,
u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0],
ở đó f˜i : J × R → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm liên tục,
m

co f˜1 , f˜2 , ..., f˜m =

ηi f˜i : ηi ≥ 0, η1 + η2 + ... + ηm = 1 .
i=1


23

Xét X = C0 (Ω) = {v ∈ C(Ω) : v = 0 trên ∂Ω}, với v = sup |v(x)|.
x∈Ω

Đặt A = ∆ với D(A) = {v ∈ C0 (Ω) ∩ H01 (Ω) : ∆v ∈ C0 (Ω)}, và
Ch = C([−h, 0]; C0 (Ω)).
2

∗

Khi đó, (A ) thỏa mãn với α = λ1 và M = exp

λ1 |Ω| n
4π

.

Các hàm f˜i : [0, T ] × R → R, i = 1, m, thỏa mãn
(1) f˜i (·, z) là đo được với mọi z ∈ R; f˜i (t, ·) là liên tục với mỗi t ∈ J ;
(2) |f˜i (t, z)| ≤ m(t)z 2 với mọi (t, z) ∈ J × R, ở đây m ∈ L1 (J, R+ );
Xét các hàm fi : J × Ch → X được cho bởi

fi (t, v)(x) = f˜i (t, v(−h, x)).
Đặt

F (t, v) = co{fi (t, v) : i = 1, 2, ..., m}.
Khi đó (F∗ ) được thỏa mãn với Ψ(z) = z 2 (β = 0). Do đó điều kiện (5.5) thỏa
2

mãn nếu T > h +

|Ω| n
4π .

Theo Định lí 5.3, nghiệm tầm thường của bài toán (*) là hút mũ trên [0, T ].