DSpace at VNU: Khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử

Khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường
lượng tử
Trần Văn Quang
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Năm bảo vệ: 2011
Abstract: Xem xét bài toán tán xạ electron ở trường điện từ ngoài.
Lagrangian tương tác điện từ L...., trong đó... là trường spinơ-electronpositron, còn là trường điện từ. Nghiên cứu giản đồ Feynman của quá trình
tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất
của lý thuyết nhiễu loạn, và tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản
đồ này. Chúng tôi nghiên cứu đóng góp của các bổ chính photon ảo gần
đúng bậc nhât. Trong quá trình tính toán các giản đồ Feynman chúng tôi sử
dụng phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên. Bổ chính các
photon thực cho quá trình tán xạ electron ở trường điện từ ngoài. Xem xét
đóng góp của các photon thực cho quá trình tán xạ kể trên. Việc tính toán
đóng góp bằng phương pháp. Dành cho việc lấy tổng các đóng góp của các
photon thực và photon ảo, kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ độc lập với
phần kỳ hồng ngoại. Tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo
luận vai trò, triển vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên
cứu các lý thuyết trường hiện đại ngày nay
Keywords: Phân kỳ hồng ngoại; Trường lượng tử; Vật lý lý thuyết
Content
Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hoá khối lượng điện tích của
electron trong điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại đã cho phép ta tính toán các
quá trình tương tác điện từ với kết quả phù hợp khá tốt với số liệu thực nghiệm /1-4/. Sự
tái chuẩn hoá các đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED là sự tái chuẩn hoá khối lượng và
điện tích của electron) đòi hỏi để loại bỏ các tích phân phân kỳ trong các giản đồ
Feynman ở vùng các xung lượng của các hạt ảo lớn thuộc đường trong /1-4/. Các phân
kỳ loại này được gọi là các phân kỳ tử ngoại. Để giải quyết khó khăn này đến nay tồn tại
ba phương pháp khử phân kỳ chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp

Pauli-Vallars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn.


Các phương pháp này giúp chúng ta biểu diễn các biểu thức cho các yếu tố S-ma trận
thành tổng: một phần hữu hạn có ý nghĩa vật lý và phần kia vô hạn riêng biệt mà sau này
ta gộp vào các đại lượng cần tái chuẩn hóa thành các đại lượng vật lý. Khối lượng và điện
tích trong các phương trình trường tụ do của các electron và photon trong QED khi chưa
tương tác người ta gọi là khối lượng “trần” m0 và điện tích “trần” e0. Khi tương tác cả
khối lượng và điện tích đều thay đổi. Các phân kỳ trong QED tại từng bậc của lý thuyết
nhiễu loạn được tách thành các phần riêng biệt  m và  e . Các phần phân kỳ  m và  e
sẽ được gộp với khối lượng “trần” m0 và điện tích “trần” e0. Các giá trị mới thu được

mvaät lyù  m0   m , evaät lyù  e0   e chúng ta đồng nhất với khối lượng vật lý và điện tích
vật lý, mà người ta có thể đo được trên thực nghiệm. Việc gộp các giá trị “trần” với các
phần phân kỳ trong tính toán các giản đồ Feynman, được gọi là quá trình tái chuẩn hoá
/1,2,3/.
Ngoài phân kỳ tử ngoại trong lý thuyết trường nói chung còn tồn tại một loại phân
kỳ khác, đó là phân kỳ hồng ngoại ở vùng các hạt thực cũng như hạt ảo nhỏ so với
xung lượng của hạt và xung lượng truyền giữa các hạt /3/. Photon như vậy người ta
còn gọi là photon “mềm”. Phân kỳ này liên quan đến các trường mà lượng tử của nó có
khối lượng nghỉ bằng không, ví dụ như photon trong QED, graviton trong trường hấp dẫn
lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green, mà
còn ở các yếu tố ma trận nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết
trường. Những khó khăn phân kỳ hồng ngoại, mà chúng ta gặp phải ngay cả khi nghiên
cứu các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học
cổ điển /3/.
Ví dụ, xác xuất bức xạ của photon ở vùng năng lượng thấp tỷ lệ nghịch với tần số

dW 

d



, tổng xác xuất bức xạ photon sẽ phân kỳ dạng loga khi   0 /3/. Nguyên

nhân của phân kỳ hồng ngoại xuất hiện là do: việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông
thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ thừa theo điện tích e là không hợp lý
cho các quá trình vật lý có các photon với bước sóng dài hay các photon mềm tham gia.
Sự không hợp lý của việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn được lý giải như sau: Số lượng
các photon được các electron bức xạ trong một khoảng đơn vị năng lượng khi   0
tiến tới vô cùng. Khi đó, trong lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: sự bức


xạ một photon có xác xuất lớn hơn sự bức xạ của hai hay một lượng lớn các photon
/3/.
Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi chúng ta tính các lượng bổ chính
bậc cao cho các quá trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn. Thông thường để vượt qua
trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại các kỳ dị hồng ngoại cho các S-ma trận bằng
cách cho photon một khối lượng nhỏ min /3/. Các kỳ di hồng ngoại ở đây xuất hiện cho
cả các photon ảo và photon thực do quá trình bức xạ hãm. Đáng chú ý, đóng góp của cả
hai loại photon ảo và photon thực sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả, trong đó các kỳ
dị hồng ngoại bị triệt tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn, tham
số điều chỉnh đã được đưa vào chúng ta có thể đặt bằng không trong biểu thức cuối cùng.
Sự giải thích vật lý và những lập luận sự loại trừ các kỳ dị hồng ngoại lẫn nhau có
thể tìm thấy ở nhiều tài liệu tham khảo hiện đại /1,2,3,4/. Vấn đề ở đây là các kỳ dị hồng
ngoại có thể tách ra khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường và viết dưới dạng nhân tử
hàm mũ. Sự loại trừ lẫn nhau các kỳ dị hồng ngoại của bậc thấp nhất có thể đảm bảo cho
sự loại trừ lẫn nhau ở tất cả các bậc khác tiếp theo, và sự tương đương của hai phương
pháp khác nhau khử phân kỳ hồng ngoại ở bậc thấp nhất vẫn còn có ý nghĩa tương đương

đối với mọi bậc tiếp theo của khai triển nhiễu loạn /5,6/.
Vấn đề đặt ra ở đây là sự liên hệ giữa phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử ngoại như
thế nào? Liệu có thể sử dụng các phương pháp điều chỉnh của phân kỳ tử ngoại, áp
dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại được không? Vấn đề này có ý nghĩa cho nghiên
cứu các lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu Glashow-Salam-Weinberg, lý thuyết thống
nhất tương tác kể cả tương tác hấp dẫn /4/.
Muc đích của Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu khử phân kỳ
hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài
.
Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và phần kết luận. Phần mở đầu
chúng tôi vắn tắt nêu tổng quan các vấn đề liên quan đến các loại phân kỳ thường gặp
trong lý thuyết trường lượng tử, các giải pháp và nhiệm vụ của Luận văn cần thực hiện.


Trong Chương I chúng tôi xem xét bài toán tán xạ electron ở trường điện từ
ngoài. Lagrangian tương tác điện từ Lint  ie  A , trong đó  là trường spinơelectron-positron, còn A là trường điện từ. Mục $1.1 chúng tôi nghiên cứu giản đồ
Feynman của quá trình tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng
bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, và tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ
này. Trong mục $1.2 chúng tôi nghiên cứu đóng góp của các bổ chính photon ảo gần
đúng bậc nhât. Trong quá trình tính toán các giản đồ Feynman chúng tôi sử dụng phương
pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên.
Chương II: Bổ chính các photon thực cho quá trình tán xạ electron ở trường điện
từ ngoài. Trong mục $2.1 chúng tôi xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình
tán xạ kể trên. Việc tính toán đóng góp bằng phương pháp min được trình bày ở mục
$2.2. Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng các đóng góp của các photon thực và photon ảo,
kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ độc lập với phần kỳ hồng ngoại.
Phần kết luận tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo luận vai trò, triển
vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên cứu các lý thuyết trường hiện đại
ngày nay.
Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của phương pháp

khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích phân cần thiết cho tính
toán các hiệu ứng vật lý sau này. Ở đây ta xét mô hình trường vô hướng tự tương tác

Lint  g 3 (  là trường vô hướng) ở mục 1.1, và tiến hành phép chia tách các phần hữu
hạn, các phần phân kỳ tử ngoại cho giản đồ năng lượng riêng của hạt thực vô hướng ở
mục 1.2. Mô hình tương tác đơn giản Lint  g 3 cho phép chúng ta thực hiện các tính
toán cụ thể và chi tiết, và dễ hiểu được bản chất của vấn đề. Để nghiên cứu các quá trình
tương tác điện từ thực trong QED chúng tôi phải dẫn thêm sự tổng quát hoá một số công
thức thông dụng bao gồm các ma trận Dirac   cho các hạt có spin.
Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý thuyết
nhiễu loạn cho bài toán tán xạ hạt ở trường ngoài. Các kỳ dị hồng ngoại ở đây xuất hiện


cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả tiết diện tán
xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó.

References
Tiếng Việt
[1]. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
[2]. Akhiezer, A.I. and Berestetskii, V.B. (1965), Quantum Electrodynamics, New York.
[3]. Bogoliubov, N.N.

and Shirkov, D.V. (1984), Introduction to the Theory of

Quantized Fields, 3th Edition, John Wiley&Sons, New York.
[4]. Bjorken, J.D. and Drell, S.D. (1964), Relativistic Quantum Mechanics, New York.
[5]. Gastmans, R. and Meuldermans, R. (1973), “Dimensional regularization of infrared
divergences problem”, Nucl.Phys.B63. pp. 277-284.
[6]. Hoof, G.’t and Velman, M. (1972), “Regularization and Renormalization of Gauge

fields”, Nucl.Phys. B44. pp. 189-213.
[7]. Jauch, J.M. and Rohrlich, F. (1955) Theory of photons and electrons, AddisonWesley, Readind, MA.
[8]. Marciano, W.J. and Sirlin, A. (1975) “Dimensional regularization of infrared
divergences”, Nucl.Phys.B88, pp. 86-98.
[9]. Wu, T-Y. and Pauchy Hwang, W-Y. (1990) Relativistic Quantum Mechanics and
Quantum Fields, World Scientific.
[10]. Yennie, D.R, Frautschi, S.C and Suura, H. (1961) “The infrared divergence
phenomena and high-energy processes”, Ann. Of Phys. 13. pp. 397 and references
therein.