SKKN Một số phương pháp dạy học Tọa độ trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giáo dục, giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Lang
Chánh Tôi nhận thấy học sinh khi học và làm các bài toán về “ Toạ độ trong
không gian” các em học sinh thường khó hình dung và gặp nhiều khó khăn.
Do đặc thù môn học “ Toạ độ trong không gian” tương đối khó và trừu
tượng . Khi chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang hình học giải tích
học sinh thường lúng túng và mắc sai lầm khi giải bằng phương pháp toạ độ.
II. Mục đích nghiên cứu
- Nhờ phương pháp toạ độ cho phép nghiên cứu các yếu tố của hình học
giải tích và từ đó tạo được mối liên hệ chặt chẽ giữa đại số và hình học.
- Sử dụng phương pháp toạ độ cho phép giải nhiều dạng toán khác nhau
trong trong không gian.
- Nhờ đưa vào toạ độ vuông góc trong không gian cho phép nghiên cứu
tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ. Từ đó thuận tiện nghiên cứu các
yếu tố hình học giải tích trong không gian.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Là học sinh lớp 12 Trường THPT Lang Chánh
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Tự nghiên cứu và đọc tài liệu
V.Thời gian nghiên cứu
- Hoàn thành trong một năm

1


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

BÀI VIẾT NÀY GỒM CÓ
Phần I: Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm
Phần II: Nội dung
Chương I: Hình thành kháI niệm
Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ trong không gian
Chương III: Các bài tập tự luyện
Phần III: Kết luận

2


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Hình thành kháI niệm
I. Phương trình mặt phẳng và đường thẳng.
1. Phương trình mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) đi qua điểm M0(x0; y0; z0),


có vectơ pháp tuyến n được trực tiếp suy từ phương trình vectơ sau đây:


 
M 0 M .n  0 với n = (A;B;C), n  0 , M(x; y; z)  (  ).Hay

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

(1)

Đặt D = -(Ax0 + By0 + Cz0) ta được :
Ax + By + Cz + D = 0

(2)

2. Phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x 0; y0; z0) có






vectơ chỉ phương u (a; b; c), u  0 được suy từ phương trình vectơ của nó là:

M 0 M  tu , M(x; y; z)  d. t là tham số.
 x  x0  at

  y  y 0  bt ,
 z  z  ct
0


tR

(3)

Trường hợp abc  0, khử t từ hệ (1) ta được phương trình sau gọi là
phương trình chính tắc của đường thẳng
x  x0 y  y 0 z  z 0


a
b
c

(4)

II. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ) lần lượt có phương trình:
( ) : Ax  By  Cz  D  0
( ) : Ax  By  C z  D  0

3


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

a) Hai mặt phẳng ( ) và ( ) cắt nhau  A : B : C  A : B : C 
b) Hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song 

A B C

D



A B  C  D 

c) Hai mặt phẳng ( ) và ( ) trùng nhau 

A B C
D



A B  C  D

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 có vectơ chỉ




phương u và đường thẳng d đi qua điểm M 0 , có vectơ chỉ phương u . Khi
đó :

+) d và d  trùng nhau  u .u  và M 0 M 0 đôi một cùng phương


 

 u , u   u , M 0 M 0  0





  
u , u   0
+) d // d    

 u , M 0 M 0  0

 
u , u   0
+) d và d  cắt nhau   

 u , M 0 M 0  0









 

+) d và d  chéo nhau  u , u .M 0 M 0  0
III. Khoảng cách
Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm M0(x0; y0; z0).

+) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
là:
d M 0 , ( )  

Ax0  By0  Cz 0  D
A2  B 2  C 2

+) Khoảng cách từ điểm M1(x1; y1; z1) đến đường thẳng
:

x  x0 y  y0 z  z 0


là:
a
b
c

d M 1 ,   

M M , u 
0


u

1



, u (a; b; c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng 

4


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2 lần lượt đi




qua M1, M2 và có các vectơ chỉ phương u1 , u 2 được tính theo công thức sau:





u , u .M M
1

d 1 ,  2 

2

1

2

u1 , u2 

Chương II: Một số phương pháp dạy học toạ độ trong mặt
phẳng và không gian

Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng

Phương pháp:
+) Đối với mặt phẳng cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và một điểm
thuộc mặt phẳng.
+) Đối với đường thẳng cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một
điểm thuộc đường thẳng.
Bài toán 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D 1, Trong đó A(0; 0;
0), D(a; 0; 0), B(0; b; 0), A1(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > 0. Các điểm M, N, P
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, B1C1, DD 1.
a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP)
b) Gọi H là hình chiếu của đỉnh A1 lên mặt phẳng (MNP), viết phương
trình của đường thẳng A1H và tìm toạ độ của H

Định hướng:




a) Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là n  MN , MP



b) Đường thẳng A1H có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến


n của mặt phẳng (MNP)

5


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Giải:
a) Xét hệ toạ độ Axyz ta có:

z

A1
N
D1

B1

C1

P

M

A

B

y

C

D
x

1
 b 
 b 
AB   0; ;0  , M  0; ;0 
2
 2 
 2 

AB  (0; b;0) . Vì AM 

AN  AA1  BB1  B1 N  AA1  AB 

1
1

1

AD   a; b; c   N   a; b; c 
2
2
2






1
Tương tự ta có P a;0; c 
2 



Từ toạ độ các điểm M,N,P suy ra
1 1 
1 1


MN   a; b; c  , MP   a; b; c 
2 2 
2 2



Hai vectơ MN , MP không cùng phương nên có vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (MNP) là:
 b


2
n  MN , MP  
 b


 2





c

c
c
2

;

c
2

a a
2 2
;
a a

b
2
b
2



   3bc ; 3ac ; 3ab 

  4
4
4 



6


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Phương trình mặt phẳng (MNP) là:
3bc
x  0  3ac  y  b   3ab z  0  0
4
4 
2 4



3bc
3ac
3ab
3abc
x
y
z
0

4
4
4
8



1
1
1
1
x y z 0
a
b
c
2

(1)
4
3



b) H là hình chiếu của A1  đường thẳng A1H nhận vectơ u  n làm
vectơ chỉ phương có phương trính tham số:
 x  bct
  y  act
 z  c  abt


(2)

Giả sử H(x1; y1; z1) do H  (MNP) nên toạ độ của điểm H thoả mãn
phương trình (1). Nghĩa là
1
1
1
1
x1  y1  z1   0
a
b
c
2

(3)

Mặt khác toạ độ của H phải thoả mãn hệ phương trình (2) nên:
 x1  bct

 y1  act
 z  c  abt
 1
 x1  bct
Thay  y1  act vào (3) ta được
 z  c  abt
 1

(4)

bc ac c  ab

1
t t
t
a
b
c
2

3abc
 bc ac ab  3
    t   t 
2 2
b
c  2
2a b  b 2 c 2  c 2 a 2 
 a

Thay t vào (4) ta được

3ab 2 c 2
3a 2bc 2
3a 2b 2 c
H  
;
;
c

2 2
2
2

2 2
2 2
2 2
a a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
2 a b b c 2 a b b c c a



 











7


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

+) Đối với vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng ta cần xác định hai vectơ
pháp tuyến của hai mặt phẳng và tỉ số của chúng.
+) Đối với vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta cần xác định được các
vectơ chỉ phương và toạ độ của điểm mà đường thẳng đi qua.
Sau đó tiến hành các bước như nêu ở phần hình thành khái niệm.

Bài toán 2.Trong không gian cho đường thẳng 1 là giao tuyến của hai
 x  2  at
 x  2 y  3z  1  0
mặt phẳng: 
và đường thẳng  2 :  y  1  2t
2 x  3 y  z  1  0
 z  3  3t


a) Chứng minh rằng với mọi a hai đường thẳng 1 và  2 không song
song.
b) Hãy tìm a để hai đường thẳng 1 và  2 cắt nhau.
c) Với giá trị nào của a hai đường thẳng 1 và  2 chéo nhau?

8


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Định hướng:
+) Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.
+) Dựa vào điều kiện về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét.

Giải :
5
 7

1
7 

a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1   ; ;0  có vectơ chỉ phương

u1 (1;1;1) , đường thẳng  2 đi qua điểm M2(2; -1; 3) và có vectơ chỉ phương




u2 (a;2;3) . Với mọi a các vectơ u1 và u2 không cùng phương vậy hai đường

thẳng 1 và  2 không song song.




b) Vì hai vectơ u1 và u2 không cùng phương:
 
 1 cắt  2  u1 , u2 và M 1M 2 đồng phẳng
 
9
 u1 ; u 2 .M 1M 2  0  a  
7
 

c) 1 và  2 chéo nhau  u1 , u2 và M 1M 2 không đồng phẳng
 
9
 u1 ; u 2 .M 1M 2  0  a   .
7

Vấn đề 3: Khoảng cách

Phương pháp:
+) Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần xác định được
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
+) Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta cần xác định
được vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng.
+) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta cần xác định được
vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và điểm thuộc mỗi đường thẳng.
9


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Bài toán 3. Cho hình lập phương ABCDA1B1 C1D1 cạnh bằng 1.
a) Tìm khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDM), M là trung
điểm cạnh AA1.
b) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC1.

Định hướng:
Chọn hệ trục toạ dộ
a) Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BDM) sau đó áp dụng công

thức.
b) Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng sau đó áp dụng công thức.

Giải:
z

A1
B1

M

D1
C1

A

y

D
B

C

x

a) Chọn hệ trục toạ độ vuông góc (Axyz), trong đó B(1; 0 ;0),
1
1
D(0;1;0), A1(0; 0; 1), A(0; 0; 0). Khi đó M  0;0;  , BD(1;1;0) , BM   1;0; 


2



2

10


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Hai vectơ BD và BM không cùng phương . Từ đó vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (BMD) là:
 1 0 0 -1

-1 1   1 1 


;
;
n  BD, BM  
1 1
   ; ;1
-1 -1 0   2 2 
0
2 2








Khi đó mặt phẳng (BMD) có phương trình:
1
1
( x  1)  y  z  0 hay x + y + 2z – 1 = 0.
2
2

Vậy khoảng cách từ điểm A(0 ; 0 ; 0) đến mặt phẳng (BDM) là:
d ( A, ( BMD)) 

1
6



6
6

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC1 là AC1  (1;1;1) . Khi đó ta có
phương trình tham số của đường thẳng AC1 là:
x  t

y  t
z  t



(1)

Tương tự ta có phương trình tham số của đường thẳng BD là:
x  1  t

y  t
z  0


(2)

có vectơ chỉ phương là BD  (1;1;0)
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ta có:
d BD, AC1  

BD, AC .AB

BD, AC 
1

1

6
6

Chú ý: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và  2 chéo nhau ta
làm theo các bước sau:

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa  2 và song song với 1 .
Tìm khoảng cách từ M  1 đến (P).
11


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Chương III: Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1. các điểm
M, N, I, J lần lượt là các trung điểm của các cạnh AD, BB1, AB, C1D1.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng MN và IJ cắt nhau, vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng MN và IJ.
Bài tập 2:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho đường thẳng 1 là giao
2 x  z  1  0
và đường thẳng  2 là giao tuyến của
 x  y  4  0

tuyến của hai mặt phẳng 
3 x  y  2  0
3 y  z  6  0

hai mặt phẳng 

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng 1 và  2 chéo nhau.
b) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng trên.
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0
;6) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD .
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
G và song song với mặt phẳng (ABC ) .
Bài tập 4: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a) 2x -3y + 4z – 5 = 0 và 3x - y +z – 1 = 0 .
b) -x +y - z + 4 = 0
và 2x - 2y + 2z -7 = 0.
c) x + y + z - 3 = 0
và 2x - 2 y + 2 z - 3 = 0.
d) 3x + 3y -3z - 12 = 0 và 4 x + 4y - 4z - 16 = 0.
Bài tập 5: Viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua A(1 ; 2 ; 1 ) và chứa trục Oy .
b) Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng : x - 3z +1 = 0 , 2y +3z - 5 = 0 và
vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 1 = 0 .
c) Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x - y + 3z +8 = 0 , -2x - y +z +2 = 0
và song song với mặt phẳng x - y - 1 = 0.
Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng :
x 1 y  2 z  2


,
3
1
4
x 1 y z  3
d2 :
 
.
2
3

1

d 1:

a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau .
b) Chứng minh rằng d1 song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 = 0

12


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

c) Tính khoảng cách giữa d1 và (P).
d) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( 1 ; -1 ;0) qua đường thẳng d1.

13


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2009

Giáo viên: Trịnh Văn Huế

Kết luận
Trong chương trình giảng dạy bộ môn toán ở trường phổ thông , môn
học toạ độ trong không gian đóng vai trò hết sức quan trọng. Nó tạo được mối
liên hệ chặt chẽ giữa đại số và hình học. Đồng thời trang bị cho học sinh các
thuật toán giải các bài toán về hình học, giúp học sinh phát triển tư duy trừu
tượng, óc sáng tạo và trí tưởng tượng trong không gian.

Do yêu cầu môn học và tính chất của bài viết, cùng với kinh nghiệm
còn hạn chế. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song bài viết không tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng
nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Cơ sở hình học : Nguyễn Cảnh Toàn – NXB Giáo dục, Hà Nội-1969
2. Giáo trình cơ sở hình học và hình học sơ cấp: Trương Đức Hinh - Đào
Tam - ĐHSP Huế-1995
3. Sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao

14