SKKN Phương pháp giúp học sinh lớp 11 học tốt bài Phép dời hình

PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Môn toán được coi là một môn học khó đối với đa số học sinh trường
THPT Lang Chánh đặc biệt là phần hình học vì vậy các em thường có suy
nghĩ “sợ” môn học này nên không có hứng thú trong học tập.
Trong SGK lớp 11 có trình bày phần “Phép dời hình” .đây là phần
kiến thức ít có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi tuyển sinh
vào ĐH và CĐ, nên khi học các em ít quan tâm và không có hứng thú. Tuy
nhiên đây lại là phần giúp các em rèn luyện tư duy toán học,khả năng tưởng
tượng và đặc biệt là giúp các em giải được các bài toán thực tiễn có thể
được áp dụng trong cuộc sống hằng ngày.
Xuất phát từ thực tế trên trong quá trình giảng dạy phần kiến thức này
tôi đã nghiên cứu tìm cách giúp các em học sinh năm vững kiến thức đồng
thời tạo sự húng thú say mê tìm tòi trong học tập.
II. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
Phép dời hình.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.
- Khảo sát tình hình học tập của học sinh.
IV. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI:
Phần mở đầu.
1. Lý do chọn đề tài.
2. Phạm vi của đề tài.
3. Phương pháp nghiên cứu.
4. Cấu trúc đề tài.
Phần nội dung.
A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình.
B.. Định nghĩa một số phép dời hình,.
I. Phép đối xứng trục
II. Phép đối xứng tâm
III. Phép tịnh tiến.

IV. Phép quay.
C.Các dạng bài tập áp dụng
I.Dạng 1: Bài toán tìm quỹ tích,tìm điểm.
II.Dạng 2: Bài toán chứng minh.
III. Dạng 3:Bài toán dựng hình.
D. Kết thúc.

1


PHẦN NỘI DUNG :
A. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP DỜI
HÌNH:
I. ĐỊNH NGHĨA:
Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được
một điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương
ứng với M,N thì : M'N' = MN.
II. TÍNH CHẤT :
1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất
kỳ.
2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C
thành 3 điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'.
3. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một doạn thănghr thành một đoạn thẳng bằng nó.
4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến
một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường
tròn bằng nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia.
5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình
Mở rộng:
Tích của n phép dời hình là một phép dời hình.

B. ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ PHÉP DỜI HÌNH :
I. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường
thẳng d gọi là phép đối xứng trục.
d : trục đối xứng
Kí hiệu : Đd(M) = M'
2. Chú ý: cho Đd
- Nếu M  d thì M'  M
- Đd Hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng d
- Qua phép đối xứng Đd đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành
chính nó
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
1. Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O
được gọi là Phép đối xứng tâm.

2


O : Tâm đối xứng
KH : Đo(M) = M'.
2. Chú ý: Cho Đo
- Nếu M  O thì M'  O.
- Đo hoàn toàn xác định khi biết O.
- Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó.
III. PHÉP TỊNH TIẾN:
1. Định nghĩa:
Phép
đặt tương

ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho
.
 
 

MM '  v với v  0 được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

KH: Tv  M   M ' ; v : được gọi là vectơ tịnh tiến
2. Chú ý :
- đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó
- Tv hoàn toàn xác định khi biết v .
IV. PHÉP QUAY:
1. định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O . Với mỗi điểm M ta xác định
điểm M' như sau: Đa(M) = M1 ; Đb(M1) = M'.Phép đặt tương ứng với mỗi
điểm M một điểm M' xác định như trên gọi là phép quay tâm O.
Trong đó : O : Tâm phép quay .
OM = OM' : Bán kính quay .
^MOM' =  : Góc quay.
Kí hiệu : QO.
2. Chú ý:
- QO(O) = O
- Khi  = 180 o thì QO  ĐO
- QO xác định khi biết O và .
C.CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH, TÌM ĐIỂM.
Bài số 1: Cho 2 điểm phân biệt A,B cùng nằm trong nửa mặt phẳng
bờ là đường thẳng d cho trước. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho tổng
AM + MB nhỏ nhất ?
B

A
Lời giải
Đd(A) =A' ; Mọi M  d:
AM +MB = A'M + MB
M
Để AM + MB nhỏ nhất
thì A'M + MB nhỏ nhất .
A'

3


Điều đó xẩy ra khi A',M,B thẳng hàng
Vậy {M} = A'B  d.
Bài số 2:Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm
trên Ox một điểm B, trên Oy một điểm C sao cho ABC có chu vi nhỏ
nhất.
Lời giải:
x
Đox(A) = M;Đoy(A) = N
M
MN  Ox = {B}
MN  Oy = {C}
B
A
ABC có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh:
CV ABC = AB + BC +CA
C
O

=MB + BC + CN = MN
B’ Ox , C’ Oy ;B’ B , C’ C
N
CV AB’C’ = MB’ + B’C’+ C’N > MN.
Bài số 3:Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc
d,d' . Tìm M d; M'  d' sao cho ABMM' là hình bình hành ?
Lời giải:
 : M  M'.
d
Vì MM' = BA  T
BA
M
Mà M  d , nên M'  d''

là ảnh của d qua T
BA
B
vậy {M'} = d'  d'' .
d''
Do đó ta có cách xác định M,M' :
 : d  d'' ; d''  d' = {M'} ;
M'
T
BA
 (M') = M  d.
T
AB

A

Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là hbh.

d'

Bài số 4:
Cho (O;R) và điểm M  (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm
trên đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của
M'
hình bình hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước
Lời giải:
B
Vì ABMM' là hbh
O'


nên MM' = BA  TBA (M) = M'
.
Mà M  (O) nên M'  (O') là ảnh của (O) qua T
BA

Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua T
BA

M

A
4

O

y


Bài số 5:
Cho (O;R) và 2 điểm B,C cố định thuộc (O;R) . một điểm A di động
trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC?
A
Lời giải:
Kẻ đường kính BD,
D
vì AH  BC , DC  BC  AH // DC (1)
Tương tự : CH  AB , DA  AB  CH // DA (2)
Từ
(1), (2)  
ABCD là hình bình hành
H
 
AH  DC mà DC là vectơ cố định

B

C

  A  H
 T
DC

O'



Mà A (O;R) nên H(O';R) là ảnh của (O;R) qua T
DC
Vậy quỹ tích trực tâm H của ABC là (O';R) .

Bài số 6 :Cho Mdi chuyển trên nửa đường tròn (O) đường kính AB.
dựng ra ngoài AMB một hình vuông MBCD.
a) Tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên.
b) Trên tia Bx vuông góc với AB tai B và nằm cùng phía với nửa
đường tròn, lấy O' sao cho: BO' = BO ; C/M OM  O'C.
Lời giải:
a) Ta có : QB-90(M) = C
mà M di chuyển
D
trên (O;

AB
) nên C
2

di chuyển trên (O1;

M
O'

A' B '
)
2

A

A
O
(A'B' = AB) sao cho :
B
(O1) là ảnh của (O)
qua QB-90 (theo gt O1  O')
b) Vì QB-90 {O;M} = {O';C'} nên OM  O'C ,
(ta còn suy ra OM = O'C)
II.DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Bài số 1:Cho ABC trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông
ABMN và ACPQ.
a) C/M : NC  BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC . C/M : AH  QN.

5

C


Lời giải:
a) Ta có:
QA90 (N) = B
QA90 (C) = Q
Q
 NC biến thành BQ
Qua QA90
N
Vậy : NC  BQ
A
NC = BQ

b) ĐA(B) = (B1); QA90(C; B1) = (Q; N)
M
Do đó : CB1  QN.
B
Mà AH là đường trung bình của tam giác CBB1
C
H
nên AH // CB .Do đó : AM  QN.
Bài số 2:
Qua tâm G của ABC đều , Kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB
tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, Đồng thời tạo với a
một góc 600. C/M: Tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Lời giải:
A
Ta có :
a  CB = {M}
N
b  BA = {Q}
P
k
-120
mà : QG
biến
G
Q
a thành b (1)
j
C thành B ; B thành A
C
 CB  BA (2)

M
B
Từ (1), (2)  M  Q
 GM = GQ.
 GMQ cân
Tương tự: GNP cân  MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
Bài số 3:
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ
M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các
đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các
D
đường thẳng này đồng quy.
P
Lời giải:
j
O'
C
Theo g/t: MQ // NP
Q
MN // PQ  MNPQ
I
O
A
M

6

N

c1

B

P


là hình bình hành.
Gọi {I} = MP  NQ
Ta có: ĐI(M) = P
Suy ra ĐI biến MO
thành đường thẳng đi qua P và song song với MO,
Đó chính là đường thẳng PP1. mà MO  AB  PP1  AB
Tương tự :
ĐI : NO  QQ1 , PO  MM1 , QO  NN1
Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O
Nên PP1, QQ1, MM1, NN1 đồng quy tại O' với ĐI(O) = O'
III.DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Bài số 1:
Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt Oy tại S. Dựng đường thẳng
m vuông góc với d, cắt Ox , Oy tại A,B sao cho A,B cách đều d ?
x

Lời giải:
A
* phân tích : Giả sử đã
d
dựng được đường thẳng
m thoả mãn điều kiện
đề bài, Ta có:

y
O
B
S
Đd(B) = A
m
Mà B  Oy nên nằm trên
đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y'
Suy ra; {A} = O'y'  Ox
O'
* Cách xác định M:
Đd(O) = O' ; Đd(S) = S  Đd(Oy) =O'S  O'S  Ox = {A}
Đd(A) = B . m là đường thẳng qua AB.
Bài số 2:
Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình
vuông ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d?
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề
bài.
Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A  (Q) nên C  (Q1) là ảnh của (Q) qua
ĐBD
 {C} = (Q1)  (Q').
Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề
bài như sau: Đd(Q) = (Q1)

7


{C} = (Q1)  (Q') ; Đd(C) = A
Giả sử AC  d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC

Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD .
* Biện luận:
- Nếu (Q1) (Q') {C; C'} Bài toán có 2 nghiệm.
- Nếu (Q1)  (Q') = {C} Bài toán có một nghiệm.
- Nếu (Q1)  (Q') =  Bài toán vô nghiệm.
Bài số 3:
Cho ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng  cân đỉnh P có
đáy song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ABC.
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử đã
A
A'
dựng được PBC thoả mãn
điều kiện đề bài . Thế thì :
B1
C1
với IB = IC ta có PI BC
Do đó: ĐPI(B1) = C1
P
Mà B1 AB nên C1 A'B'
B'
C
là ảnh của AB qua ĐPI.
B
d
Suy ra: {C1} = A'B' AC.
* Cách xác định:
Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường
thẳng đó là d).
Đd(AB) = A'B' ; A'B'  AC = {C1} ; Đd(C1) = B1

Khi đó ta có : PB1C1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài.
Bài số 4:
Cho góc xOy và một điểm A thuộc miền trong góc đó. Hãy xác định
đường thẳng qua A cắt 0x tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của
BC.
Lời giải:
Vì A là trung điểm BC
nên ta có ĐA(B) =C .
Vậy ta có cách xác định
đường thẳng qua A cắt
Ox, Oy lần lượt tại B,C
sao cho AB = AC :
ĐA(Ox) = x'
Khi đó x' Oy = {C}

B

x
x'

A

O

8

C

y

ĐA(C) = B  Ox
Vậy đường thẳng cần tìm là BC.
Bài số 5:Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2
đỉnh B,D nằm trên (O;R) cho trước?
Lời giải:
* Phân tích:
vì ABCD là HBH nên
AC  BD = {I} với I
là trung điểm mỗi đường.
Từ đó :
 B,D là ảnh của
A
B
nhau qua ĐI
 B,D nằm trên (O') là
I
ảnh của (O) qua ĐI.
* Cách xác định:
O
D
Láy trung điểm I của AC , ĐI(O) =(O').
C
Khi đó: (O')  (O) = {B,D}.
Ta có hình bình hành ABCD thoả mãn ĐK đề bài.
* Biện luận:
- Nếu I thuộc miền trong (O) thì XĐ 1 hình bình hành ABCD.
- Nếu I thuộc miền ngoài (O) thì bài toán vô nghiệm.
- Nếu I  (O) thì B  D  I suy ra hbh suy biến thành đoạn thẳng AC
IV.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài số 1:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau x,y và 2 điểm A,B không nằm trên x,y.
Xác định 2 điểm C,D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác
ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy.
Bài số 2:
Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R>r ).
Hãy xác định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O;r), cắt đường tròn (O;r)
tại B, cắt (O;R) tại C,D sao cho : CD = 3AB
Bài số 3:
Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R). Xác định hình vuông ABCD sao cho
A(O); C  b ; B,D  a.
Bài số 4 :
Cho ABC . Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho
MN // BC và AM = CN.
Bài số 5:
Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C không nằm trên 2 đường

9


thng ú . Tỡm trờn a,b ln lt 2 im A,B sao cho ABC u
V. PHN THAM KHO:
Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay.
1. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là 1 và 2 song
song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phương vuông góc
với 2 trục, có hướng từ 1 đến 2 và có mô đun bằng hai lần khoẩng cách
giửa hai trục đó.
2. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục 1 , 2 cắt nhau
ở một điểm O là một phép quay tâm O , góc quay 2(1,2).
3. Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc là một phép

quay góc .
4. Tích cua 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép
quay với góc quay bằng tổng của 2 góc quay của 2 phép quay đã cho ( Đặc
biệt đó sẽ là một phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã cho có các góc đối
nhau.)

10


KẾT LUẬN:
Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá
một số phép dời hình cơ bản.Đồng thời đưa ra một số dạng toán giải bằng
cách sử dụng các phép dời hình nhằm củng cố kỹ năng vận dụng thực hành.
Qua đó đưa ra cho mỗi phần một số bài toán nhằm củng cố kỹ năng vận
dụng, thực hành .giúp các em học sinh hệ thống kiến thức.
Cuối cùng rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng
nghiệp.

11