Tổng hợp kiến thức môn xác suất thống kê

TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ
XÁC SUẤT
I – Tính Xác suất bằng địng nghĩa cổ điển
P(A) =
 Một số tính chất
1.
=0 ; p( )=1
2.
3.
thì:
P(A
) = P(A) + P(B).
4. P(A) = 1 – P(A)
5. P(B\A) = P(B) – P(AB)
6. AB = B\A
II – Xác suất có điều kiện
P(A/B) =
Hay ta có công thức nhân xác suất: P(AB) = P(B).P(A/B)
Nếu A và B độc lập thì P(A/B) = P(A) nên:
P(AB) = P(A).P(B)
 Một họ các biến cố được gọi là họ đầy đủ các biến cố: {
nếu thỏa mãn:
+ Chúng xung khắc
= (i
= 1,n )
+ Chúng đầy đủ:
+
=
 Công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P(
.P(A/

+ P(
.P(A/
+ ... + P(
.P(A/
Với {
} Là một họ đầu đủ các biến cố
⁄
 Công thức Bayes: P(
A) =

}

III –Dãy phép thử Bernoulli
Điều kiện:
- Mỗi phép thử có hai kết quả A và A
- P(A) = p đối với mọi phép thử
Xác suất cho biến cố A xảy ra m lần là: P(m,p) =
.
Số lần xảy ra có khả năng nhất:
- pn + p – 1 là số nguyên thì
là np + p – 1 và np + p
- pn + P – 1 là sô thực thì
là [np + p – 1] + 1
IV – Biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biến ngẫu nhiên là biến nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng là
một số thực.
- Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó gồm một số
hữu hạn điểm hoặc vô hạn đếm được.
F(x) = p(X < x)
gọi là hàm phân phối của X

V – Biến ngẫu nhiên liên tục


 Nếu hàm phân phối của nó là hàm liên tục và tồn tại hàm mật độ p(x) sao
cho
+ p(x) 0
+ F(x) = ∫
 Tính chất
- ∫
- F’(x) =p(x)
p(x) liên tục
- p(a
)=∫
= F(b) – F(a)
- p(XVI – Kì vọng EX
∑
EX = {
∫
Tính chất:
 Nếu X
thì EX
 Nếu X = c thì EX = c

ta có: E(cX) = cEX
 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ) = EX + EY
 Nếu X là f(x) thì
∑
Ef(x) = {
∫

 X, Y độc lập thì E(XY) = EX.EY
VII - Phương sai DX = E(
Tính chất:
 DX
 D(cX) =
 Nếu X, Y độc lập thì D(X
= DX + DY
VIII – Một số phân phối xác suất quan trọng
 Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Tên gọi
Kí hiệu
X nhận các p(X=k)
EX, DX
Ghi chú
giá trị
pp nhị thức X B(n,p) 0,1,2, ... , n
EX=np
Giống với dãy
DX=np(1-p) n phép thử
Bernoulli
pp Poisson X P( )
0,1,2, ... , n
Là số quan sát
EX= DX =
trong một
khoảng thời
gian hoặc
không gian

 Biến ngẫu nhiên liên tục
Kí hiệu
p(x)

Tên
gọi
pp đều X

F(x)

EX=

{
pp
chuẩn

pp mũ

X N(

{

)

DX=

Y=
là pp chuẩn tắc.
Nên p(a= ( )

(
sau đó tra bảng

√

X E(

EX, DX

{

gọi

EX=
DX=

)
EX=

{

DX=
IX – Vectơ ngẫu nhiên
Trong giới hạn học phần chỉ nghiên cứu Vectơ 2 chiều {X, } rời rạc
Tính chất:

 ∑ ∑
=1

)=∑


=p( ).p( ) Nếu X và Y độc lập

THỐNG KÊ
I – Mẫu ngẫu nhiên
- Là một bộ phận của tổng thể cần nghiên cứu được chọn lựa một các ngẫu
nhiên.
- Trung bình mẫu: X = ∑
- Phương sai mẫu:

= ∑

–

∑
- Phương sai mẫu hiệu chỉnh: =
II – Ước lượng điểm
- Ước lượng điểm cho kỳ vọng EX là: X
- Ước lượng điểm cho phương sai là:
- Ước lượng điểm cho tỉ lệ là: =
III – Ước lượng khoảng
 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng

–

Ghi
chú


Kí hiệu EX= , DX= Và X được giả thiết là có phân phối chuẩn hoặc n đủ lớn

(n
. Khi đó với độ tin cậy 1 Trong đó đươc xác định như sau:
+ TH1: Nếu DX đã biết thì:
.
với (
) = 1√
+ TH2: Nếu DX chưa biết và X có phân phối chuẩn thì:
. với
được lấy từ bảng phân phối Student
√
+ TH3: Nếu DX chưa biết và X không phải là phân phối chuẩn thì:
.
√

 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ:
Có 3 trường hợp nhưng ta chỉ xét tường hợp p không quá gần 0 và gần 1
P

(

√

√
√

)

√

IV – Bài toán kiểm định giả thiết

 Kiểm định giả thiết giá trị trung bình EX=
Giả sử có hai giả thiết {
+TH1: Phương sai DX đã biết =
- Ta tính u =
√ sau đó so sánh u với u( )
- Nếu |u| u( ) ta Bác bỏ H ngược lại thì ta chấp nhận H
- Tương tự với kiểm định 1 phía
+TH2: Phương sai DX chưa biết
- Ta tính X, s và sau đó tính t =
Rồi so sánh với
√
bảng phân phối Student
- Nếu |t|
( ) thì Bác bỏ H, ngược lại thì chấp nhận H
- Tương tự với kiểm định một phía
 Kiểm định giả thiết về tỉ lệ
{
Tính u =
Nếu |u|

√

√ và so sánh |u| với u( )

u( ) Thì bác bỏ H ngược lại thì chấp nhận H

( ) từ


V – Hệ số tương quan của X và Y

 Biến ngẫu nhiên X và Y:
=
 Mẫu ngẫu nhiên X và Y: r(

√

)=

√

với

= ∑

VI – Phương trình hồi quy
Biểu diễn sự phụ thuộc của Y theo X bởi phưng trình Y=aX + b là phương trình
hồi quy với a và b là:
{

√

Tương tự với các mẫu ngẫu nhiên thì thay