Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
Biết công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích
phân.
2. Về kỹ năng:
Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhờ tích phân
3. Về tư duy, thái độ:
- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích
- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Chuẩn bị của giáo viên: bảng phụ các hình vẽ SGK, giáo án, SGK.
2 . Chuẩn bị của học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài
mới.
IV. Tiến trình bài học
Ngày

/

/
Tiết 49
2

2
1. Kiểm tra bài cũ: Tính I    x  3x  2.dx
1

2. Bài mới
Hoạt động
Hoạt động của giáo viên

- Cho học sinh tiến hành hoạt động
1 SGK

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường


- GV treo bảng phụ hình vẽ 51,52
SGK

cong và trục hoành
-Tiến hành hoạt động 1

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách
tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox - Hs suy nghĩ
và các đường thẳng x = a, x = b.
- GV giới thiệu 3 trường hợp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục
Ox và các đường thẳng x = a, x =
b được tính theo công thức:
b

S   f ( x ) dx
a

Ví dụ 1: SGK

+ Nếu hàm y = f(x) liên tục và
không âm trên  a; b . Diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của f(x), trục Ox và các đường

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng
giới
hạn
bởi
Parabol
2
y  x  3x  2 và trục hoành
Ox .

b

thẳng x = a, x = b là: S  f ( x )dx
a

Bài giải

+ Nếu hàm y = f(x)  0 trên  a; b .

Hoành độ giao điểm của Parabol
y  x 2  3x  2 và trục hoành Ox
là nghiệm của phương trình

b

Diện tích S  (  f ( x ))dx
a

 x 1
 x 2  3x  2 0   1
.
 x 2 2

b

+ Tổng quát: S   f ( x ) dx
a

2

- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, hướng
dẫn học sinh thực hiện





S  x 2  3x  2 .dx
1

- Giải ví dụ 1 SGK
- Tiến hành hoạt động
nhóm

Hoạt động
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

- GV treo bảng phụ hình vẽ 54
SGK

2. Hình phẳng giới hạn bởi
hai đường cong

- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách
- Theo dõi hình vẽ
tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f 1(x), và y =
f2(x) và hai đường thẳng x = a, x =
b

Cho hai hàm số y = f 1(x) và y
= f2(x) liên tục trên  a; b . Gọi
D là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số đó và các
đường thẳng x = a, x = b trong
hình 54 thì diện tích của hình
phẳng được tính theo công

- Từ công thức tính diện tích của - Hs lĩnh hội và ghi nhớ
hình thang cong suy ra được diện
tích của hình phẳng trên được tính
b

thức: S  f1 ( x )  f 2 ( x ) dx
a

bởi công thức S  f1 ( x )  f 2 ( x ) dx

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện
theo các cách

a

Cách 1: Chia khoảng, xét dấu
biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử
dấu trị tuyệt đối

- Gv hướng dẫn học sinh giải vd2,
vd3 SGK
+ Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện
- Theo dõi, thực hiện

+ Trình bày cách giải

b

- Hs tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo

viên.
- Hs thảo luận theo nhóm
và tiến hành giải.

Cách 2: Tìm nghiệm của
phương trình f1(x) – f2(x) = 0.
Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d
(c < d) thuộc  a; b thì:


Hoành độ giao điểm của 2
đường đã cho là nghiệm
của ptrình

c

S   f 1 ( x )  f 2 ( x ) dx
a

d



2

x +1=3–x

f

1

( x )  f 2 ( x ) dx

1

( x )  f 2 ( x ) dx

c

b

f

 x2 + x – 2 = 0



 x 1
 
 x  2

  f 1 ( x )  f 2 ( x )  dx

d

c

a

d

1

S  x 2  1  (3  x )



 ( x 2  x  2)dx ...

1

( x )  f 2 ( x )  dx

1

( x )  f 2 ( x )  dx

c

2

1

 f
b



 f
d

2



9
2

3. Củng cố:Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học
4. Bài tập về nhà:Giải các bài tập SGK
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x 0, x 1, y 0, y 5 x 4  3x 2  3 .; b. y  x 2  1, x  y 3 .


y  x 2  2, y 3 x .

c.

d. y 4 x  x 2 , y 0 .

e. y ln x, y 0, x e .;

g. x  y 3 , y 1, x 8 .

---------------------------------------------------------------------Ngày

/

/
TIẾT 50:BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Kiểm tra bài cũ: Nêu công thức tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),liên
tục ,trục hoành và 2 đường x=a,x=b
2. Bài mới:
Hoạt động: Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Hoạt động của GV
+Tính S giới hạn bởi

Hoạt động của HS
+Hs trả lời

3

y =x -x,trục ox,đthẳng

Ghi bảng
b

1

S=  f ( x) dx =
a

0

x=-1,x=1

x

3

1

3
3
= ( x  x)dx - ( x  x)dx
1

+ Gv cho hs lên bảng
giải,hs dưới lớp tự giải
đđể nhận xét

0

=1/2
+Hs vận dụng công thức tính
HS mở dấu giá trị tuyệt đối để
tính tích phân

Hoạt động:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong
Hoạt động của GV

 x dx

1

Hoạt động của HS

Ghi bảng

+Nêu công thức tính diện
tích giới hạn bởi đồ thi
hàm số y=f(x),y=g(x) và
2 đường thẳng x=a,x=b

Hs trả lời

+Gv cho hs nhận xét và
cho điểm

S=  f ( x)  g ( x) dx
a

Xét pt hđgđ

+Gv cho hs tính câu 1a ở
sgk
+GVvẽ hình minh hoạ
trên bảng phụ để hs thây
rõ

b

 x  1

Hs tìm pt hoành độ giao điểm
Sau đó áp dụng công thức
tính diện tích

x2=x+2  x2-x-2=0  
 x 2
2

2
2

S= x - x - 2 dx =
1

(x

2

- x - 2)dx

1

=9/2(đvdt)

+Gv gợi ý hs giải bài tập
1b,c tương tự
Hoạt động: Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong
Hoạt động của GV
+GV gợi ý hs giải câu 2 ở
sgk

Hoạt động của HS

Ghi bảng

+Hs viết pttt taị điểm M(2;5)
Pttt:y-5=4(x-2) � y=4x-3

+GVvẽ hình minh hoạ trên
bảng phụ để hs thấy rõ
+Gv cho hs nhận xét

+Hs áp dụng cong thức tính
diện tích hình phẳng cần tìm

2
2
S= ( x  4 x  4)dx =8/3(đvdt)
0

Hs lên bảng tính
3. Củng cố :
Giáo viên nhấn mạnh các dạng toán cơ bản và phương pháp giải trong bài
4. Bài tập về nhà
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và yêu cầu học sinh giải các bài tập về
thể tích khối tròn xoay
----------------------------------------------------------------------


Ngày

/

/

TIẾT 51 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)
1. Kiểm tra bài cũ :
- Viết công thức diện tích
+Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b.
+ Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a,
x = b.
Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trình bày
2. Bài mới:
Hoạt động
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

- Giáo viên đặt vấn đề như - Hs giải quyết vấn đề đưa II. Tính thể tích
SGK và thông báo công ra dưới sự định hướng của
1. Thể tích của vật thể
thức tính thể tich vật thể giáo viên
(treo hình vẽ đã chuẩn bị
Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và
lên bảng)
(Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông
góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là
giao điểm của (P) và (Q) với Ox. Gọi
một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (
x   a; b ) cắt V theo thiết diện có diện
tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên
 a; b . Khi đó thể tích của vật thể V được

b

- Hướng dẫn Hs giải vd4
SGK
- Thực hiện theo sự
hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động

tính bởi công thức: V  S ( x )dx
a


Hoạt động của giáo viên
- Xét khối nón (khối chóp)
đỉnh A và diện tích đáy là
S, đường cao AI = h. Tính
diện tích S(x) của thiết
diện của khối chóp (khối
nón) cắt bởi mp song song
với đáy? Tính tích phân
trên.
- Đối với khối chóp cụt,
nón cụt giới hạn bởi mp
đáy có hoành độ AI0 = h0
và AI1 = h1 (h0 < h1). Gọi
S0 và S1 lần lượt là diện
tích 2 mặt đáy tương ứng.
Viết công thức tính thể tích
của khối chóp cụt này.
- Củng cố công thức:

Hoạt động của học sinh
S ( x) S.

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

x2
h2

* Thể tích khối chóp:

Do đó, thể tích của khối
chóp (khối nón) là:

h

V  S .
0

h

x2
S .h
dx 
2
h
3

2

V  S .
0

x
S .h
dx 
2
h
3

* Thể tích khối chóp cụt:
V 

h
S 0  S 0 .S1  S1
3



O

- Hs tiến hành giải quyết
vấn đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo viên.
Thể tích của khối chóp
cụt (nón cụt) là:
V 

h
S 0  S 0 .S1  S1

3



x2  9

- Hs tính được diện tích
Yêu cầu Hs làm việc theo của thiết diện là:
nhóm
S ( x ) 2 x. x 2  9

- Gv yêu cầu Hs trình bày
- Do đó thể tích của vật
5

S ( x)dx
thể là: V  �
3

S(x)

x



+ Tính thể tích của vật thể
nằm giữa 2 mp x = 3 và x
= 5, biết rằng thiết diện
của vật thể bị cắt bởi mp - Hs giải bài tập dưới sự
vuông góc với Ox tại điểm định hướng của giáo viên

có hoành độ x ( x   3;5 ) là theo nhóm
một hình chữ nhật có độ
dài các cạnh là 2x,

Ghi bảng

B

I




5
- Đánh giá bài làm và
128
�
2 x. x 2  9dx  ... 
chính xác hoá kết quả
3
3

- Thực hiện theo yêu cầu
của giáo viên
- Các nhóm nhận xét bài
làm trên bảng
3. Củng cố
Giáo viên nhấn mạnh các kiến thức trọng tâm học sinh cần nhớ.
4. Bài tập về nhà
Làm các bài tập liên quan trong SGK và SBT

----------------------------------------------------------------------


Ngày

/

/

TIẾT 52 : BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)

1. Kiểm tra bài cũ :
- Viết công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt
Giáo viên gọi một học sinh lên bảng trình bày
2. Bài mới:
Hoạt động


Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường cong : y=x2 ; y 

+ Học sinh vẽ hình

x2
,

27

9

y

8
7
6

27
y
x

5
4
3
2
1
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

x
1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2
-3

Gọi học sinh lên bảng vẽ hình chỉ ra
miền cần tính diện tích

-4
-5
-6
-7
-8
-9

Gọi học sinh lên bảng viết công thức
tính diện tích.

Lên bảng đưa công thức tính diện tích và tính

Hoạt động
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
2
đường cong : y  x  4 x  3 ; y 3

? Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm
số?
? Vẽ hình tìm miền cần tính diện tích?
? Lên bảng trình bày

Hs trả lời

Hs tìm pt hoành độ giao điểm
Sau đó áp dụng công thức tính diện tích

Hoạt động
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

? Tính thể tích khối cầu bán kính R=7 cm

Ghi nội dung bài tập

GV gọi học sinh lên bảng

Lên bảng đưa ra công thức tính thể tích và tính

Gọi học sinh nhận xét, đưa ra lời giải hoàn


chình nếu cần

Nhận xét bài làm trên bảng

GV nêu cách làm khác nếu cần
3. Củng cố : Giáo viên hệ thống các dạng bài tập cơ bản và pp pháp giải đã được học
trong phần ứng dụng
4. Bài tập về nhà: Làm bài tập sau:
Bài 1: Đh Công Đoàn 2000: x  y ; x  y  2 0; y 0 . Đs:

5
( Có thể vẽ hình or theo
6

y)
Bài 2 : Kinh Tế Quốc Dân-Khối A 2000
(P): y2=2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x2+y2=8 thành 2 phần.Tính diện tích
của mỗi phần đó
---------------------------------------------------------------------Ngày

/

/

TIẾT 53 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)
1. Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa mặt tròn xoay và khối tròn xoay
2. Bài mới:
Hoạt động
Hoạt động của giáo viên
- Giáo viên nhắc lại khái niệm khối
tròn xoay: Một mp quay quanh một
trục nào đó tạo nên khối tròn xoay

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng
III. Thể tích khối tròn xoay
1. Thể tích khối tròn xoay

+ Gv định hướng Hs tính thể tích
khối tròn xoay (treo bảng phụ trình
bày hình vẽ 60SGK). Xét bài toán
b
cho hàm số y = f(x) liên tục và không
V  .f 2 ( x )dx
âm trên  a; b . Hình phẳng giới hạn - Thiết diện khối tròn
a
bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và xoay cắt bởi mp vuông
2. Thể tích khối cầu bán kính
đường thẳng x = a, x = b quay quanh góc với Ox là hình tròn có
trục Ox tạo nên khối tròn xoay.


Tính diện tích S(x) của thiết diện bán kính y = f(x) nên diện R
khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc tích của thiết diện là:
với trục Ox? Viết công thức tính thể
S ( x )  . f 2 ( x )
tích của khối tròn xoay này.

4
V  R 3
3

Suy ra thể tích của khối
tròn xoay là:
b

V  .f 2 ( x )dx
a

Hoạt động
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

- Gv hướng dẫn Hs giải vd5, - Dưới sự định hướng của
vd6 SGK
giáo viên Hs hình thành
công thức tính thể tích
khối cầu và giải vd5 SGK

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng (H) xác
định bởi các đường sau quanh trục
Ox:

+ Đối với câu a) Gv hướng
dẫn Hs vẽ hình cho dễ hình
dung

3
2
a) y  x  x , y = 0, x = 0 ; x = 3

1
3

b) y e x . cos x , y = 0, x =


,x= 
2

Giải:
2

81
�1 3
2�
V �
� x  x �dx 
3
35
�
0�
3

b)


V �
 e2 x .cos2 x  dx 

2

+ Đánh giá bài làm và chính
xác hoá kết quả

3. Củng cố
1.Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học


(3.e 2  e )
8


2.Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của
thể tích khối chóp, khối nón
3.Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay
4. Bài tập về nhà: Giải các bài tập SGK và SBT .
---------------------------------------------------------------------Ngày

/

/
TIẾT 54:BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (tt)

1. Kiểm tra bài cũ: Đan xen vào các hoạt động trong giờ học
2. Bài mới
Hoạt động: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay
Hoạt động của GV
+Nêu công thức tính thể
tích khối tròn xoay sinh ra
bởi hình phẳng giới hạn
bởi các đường

Hoạt động của HS

Ghi bảng

+Hs trả lời
b
2
V= p�f ( x)dx
a

y =f(x); y=0;x=a;x=b
quay quanh trục ox
+Gv cho hs giải bài tập 4a

+Hs vận dụng lên bảng
trình bày
a. PTHĐGĐ

* Tính thể tích khối tròn xoay sinh
ra bởi

1-x2= � x=1hoăc x=-1
1

16
(1 - x ) dx = p
V= p�
15
- 1
2 2

+Gv gợi ý hs giải bài4c

tương tự

p

cos 2 x.dx =
b. V= p�
0

a. y =1-x2 ;y=0
b. y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p

p2
2

Hoạt động: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng


+Gv gợi ý hs xem hình vẽ
dẫn dắt hs tính được thể
tích khối tròn xoay

+Gv gợi ý hs tìm GTLN
của V theo a
+Gv gợi ý đặt t= cos a
�

1 �
với t ��;1�
�
2 �
�
�

+Hs lâp được công thức
theo hướng dẫn của gv

Btập 5(sgk)
Rcosa

a. V= p�
0

+Hs tính được diện tích
tam giác vuông OMP.Sau
đó áp dụng công thức tính
thể tích
+Hs nêu cách tìm GTLN
và áp dung tìm

tan 2 a.x 2 dx

pR 3
(cosa -cos 3a )
=
3

b.MaxV( a )=

2 3pR 3
27

Hoạt động:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay

Hoạt động của GV
+Gv phát phiếu hoc tập
cho hs giải theo nhóm
+Gv cho các nhóm nhận
xét sau đó đánh giá tổng
kết

Hoạt động của HS

Ghi bảng

Hs giải và mỗi nhóm lên
16p
a.
;
bảng trình bày
15

p
b. (p- 2)
8

c. 2p(ln 2 - 1) 2 ;

+Gv treo kết qủa ở bảng
phụ

d.

64
p
15

3.Củng cố
Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để giải
các bài toán tính diện tích và thể tích
4. Bài tập về nhà: Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319324 trang 158-159 ở sách bài tập
----------------------------------------------------------------------