Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Giáo án toán 12 chương trình chuẩn
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
(3 TIẾT)
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục
Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và
các đường thẳng x = a, x = b.
- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung
- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn
xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox
2. Về kỹ năng:
- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối
chóp, khối nón và khối nón cụt
- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng
3. Về tư duy, thái độ:
- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích
- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK
2. Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2

2
2. Kiểm tra bài cũ: Tính I = ∫ ( − x + 3x − 2 ).dx
1

3. Bài mới:
Tiết 1:

HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Ghi bảng
HĐTP 1: Xây dựng công
I. Tính diện tích hình phẳng
thức
1. Hình phẳng giới hạn bởi đường
- Cho học sinh tiến hành - Tiến hành giải hoạt động cong và trục hoành
hoạt động 1 SGK
1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
- GV treo bảng phụ hình
thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox
vẽ 51, 52 SGK
và các đường thẳng x = a, x = b được
b
- GV đặt vấn đề nghiên - Hs suy nghĩ
S
=
tính theo công thức:
∫a f ( x ) dx
cứu cách tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x),
trục Ox và các đường
thẳng x = a, x = b.


- GV giới thiệu 3 trường
hợp:

+ Nếu hàm y = f(x) liên
tục và không âm trên
[ a; b] . Diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của f(x), trục Ox
và các đường thẳng x = a,
b

x = b là: S = ∫ f ( x )dx
a

+ Nếu hàm y = f(x) ≤ 0
trên [ a; b] . Diện tích
b

S = ∫ ( − f ( x ))dx
a

+

Tổng

quát:

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

HĐTP2: Củng cố công

Ví dụ 1: SGK
thức
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng
- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, - Giải ví dụ 1 SGK
giới hạn bởi Parabol y = − x 2 + 3x − 2
hướng dẫn học sinh thực
và trục hoành Ox .
hiện
Bài giải
- Gv phát phiếu học tập
Hoành độ giao điểm của Parabol
số 1
y = − x 2 + 3x − 2 và trục hoành Ox là
+ Phân nhóm, yêu cầu Hs - Tiến hành hoạt động
nghiệm
của
phương
trình
thực hiện
nhóm
x = 1
− x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔  1
.
 x2 = 2

2

S = ∫ ( − x 2 + 3x − 2 ).dx
1

2

 x3

x2
= −
+3
− 2 x  = ...
2
 3
1

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
HĐTP 1: Xây dựng công
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai
thức
đường cong
- GV treo bảng phụ hình - Theo dõi hình vẽ
Cho hai hàm số y = f 1(x) và y = f2(x)
vẽ 54 SGK
liên tục trên [ a; b] . Gọi D là hình
- GV đặt vấn đề nghiên
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
cứu cách tính diện tích - Hs lĩnh hội và ghi nhớ
đó và các đường thẳng x = a, x = b
hình phẳng giới hạn bởi
trong hình 54 thì diện tích của hình
đồ thị hàm số y = f1(x), và
phẳng được tính theo công thức
y = f2(x) và hai đường

thẳng x = a, x = b
- Từ công thức tính diện
tích của hình thang cong
suy ra được diện tích của
hình phẳng trên được tính
bởi
công
thức

b

S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo
các cách
Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu
thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt
đối
Cách 2: Tìm nghiệm của phương
trình f1(x) – f2(x) = 0. Giả sử ptrình
có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc [ a; b]
thì:

b

S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

c

HĐTP2: Củng cố công
thức
- Gv hướng dẫn học sinh
giải vd2, vd3 SGK
- Gv phát phiếu học tập số
2
+ Phân nhóm, yêu cầu Hs
thực hiện

S =∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

d

- Theo dõi, thực hiện

+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
c

b

- Hs tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo
viên.
- Hs thảo luận theo nhóm
và tiến hành giải.
Hoành độ giao điểm của 2

đường đã cho là nghiệm
của ptrình
+ Treo bảng phụ, trình 2
x +1=3–x
bày cách giải bài tập ⇔ 2
x +x–2=0
trong phiếu học tập số 2

+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
d

c

= ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
a

d

+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
c

b

+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx
d

x = 1
⇔
 x = −2
1

S=

∫x

2

+ 1 − (3 − x )

−2
1

=

∫ (x

2

+ x − 2)dx = ...

−2

=

9
2

Tiết 2:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = x 2 và y = x .

3. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể


TG Hoạt động của giáo viên
- Giáo viên đặt vấn đề
như SGK và thông báo
công thức tính thể tich
vật thể (treo hình vẽ đã
chuẩn bị lên bảng)

Hoạt động của học sinh
- Hs giải quyết vấn đề đưa
ra dưới sự định hướng của
giáo viên

Ghi bảng
II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P)
và (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox
vuông góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a
< b) là giao điểm của (P) và (Q) với
Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với
Ox tại x ( x ∈ [ a; b] ) cắt V theo thiết
diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x)
liên tục trên [ a; b] . Khi đó thể tích của
- Thực hiện theo sự vật thể V được tính bởi công thức
- Hướng dẫn Hs giải vd4 hướng dẫn của giáo viên
b

SGK
V = ∫ S ( x )dx
a

HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt
- Xét khối nón (khối
2. Thể tích khối chóp và khối chóp
x2
S ( x) = S. 2
chóp) đỉnh A và diện tích
cụt
h
đáy là S, đường cao AI = Do đó, thể tích của khối * Thể tích khối chóp:
h
h. Tính diện tích S(x) của chóp (khối nón) là:
x2
S .h
V
=
S
.
dx =
2
h
∫
thiết diện của khối chóp
2
h
3
x

S .h
0
(khối nón) cắt bởi mp V = ∫ S . 2 dx =
h
3
* Thể tích khối chóp cụt:
0
song song với đáy? Tính
h
tích phân trên.
V = S 0 + S 0 .S1 + S1
3
- Đối với khối chóp cụt,
nón cụt giới hạn bởi mp - Hs tiến hành giải quyết
đáy có hoành độ AI0 = h0 vấn đề đưa ra dưới sự
và AI1 = h1 (h0 < h1). Gọi định hướng của giáo viên.
S0 và S1 lần lượt là diện Thể tích của khối chóp
tích 2 mặt đáy tương ứng. cụt (nón cụt) là:
Viết công thức tính thể V = h S 0 + S 0 .S1 + S1
3
tích của khối chóp cụt
này.
- Hs giải bài tập dưới sự
- Củng cố công thức:
+ Giáo viên phát phiếu định hướng của giáo viên
học tập số 3: Tính thể tích theo nhóm
của vật thể nằm giữa 2
mp x = 3 và x = 5, biết
rằng thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mp vuông góc - Hs tính được diện tích

với Ox tại điểm có hoành của thiết diện là:
độ x ( x ∈ [ 3;5] ) là một S ( x ) = 2 x. x 2 − 9
hình chữ nhật có độ dài - Do đó thể tích của vật
thể là:
các cạnh là 2x, x 2 − 9

(

(

)

)


5
Yêu cầu Hs làm việc theo
V
=
∫3 S ( x )dx
nhóm
- Gv yêu cầu Hs trình bày
5

= ∫ 2 x. x 2 − 9dx = ... =
3

128
3

- Đánh giá bài làm và - Thực hiện theo yêu cầu
chính xác hoá kết quả
của giáo viên
- Các nhóm nhận xét bài
làm trên bảng
Tiết 3:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay
TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Ghi bảng
- Giáo viên nhắc lại khái
III. Thể tích khối tròn xoay
niệm khối tròn xoay: Một
1. Thể tích khối tròn xoay
mp quay quanh một trục
nào đó tạo nên khối tròn
b
xoay
2
V
=
π
.
∫a f ( x )dx
+ Gv định hướng Hs tính - Thiết diện khối tròn
thể tích khối tròn xoay xoay cắt bởi mp vuông
2. Thể tích khối cầu bán kính R
(treo bảng phụ trình bày góc với Ox là hình tròn có
4

hình vẽ 60SGK). Xét bài bán kính y = f(x) nên diện
V = πR 3
3
toán cho hàm số y = f(x) tích của thiết diện là:
liên tục và không âm trên S ( x ) = π . f 2 ( x )
[ a; b] . Hình phẳng giới Suy ra thể tích của khối
hạn bởi đồ thị y = f(x), tròn xoay là:
b
trục hoành và đường
2
thẳng x = a, x = b quay V = π .∫ f ( x )dx
a
quanh trục Ox tạo nên
khối tròn xoay.
Tính diện tích S(x) của
thiết diện khối tròn xoay
cắt bởi mp vuông góc với
trục Ox? Viết công thức
tính thể tích của khối tròn
xoay này.
HĐ2: Củng cố công thức
- Gv hướng dẫn Hs giải - Dưới sự định hướng của
vd5, vd6 SGK
giáo viên Hs hình thành Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo
công thức tính thể tích thành khi quay hình phẳng (H) xác
- Chia nhóm học sinh, khối cầu và giải vd5 SGK định bởi các đường sau quanh trục
yêu cầu Hs làm việc theo
Ox
nhóm để giải vdụ

1 3
+ Đối với câu a) Gv - Tiến hành làm việc theo
2
a) y = x − x , y = 0, x = 0 và x = 3
hướng dẫn Hs vẽ hình nhóm.
3
cho dễ hình dung
π
b) y = e x . cos x , y = 0, x = , x = π
2

Giải:
2

3

1

V = π ∫  x 3 − x 2  dx
3

0

- Đại diện các nhóm lên
trình bày và nhận xét bài
làm của nhóm khác

3
 x6 2


81π
= π ∫  − x 5 + x 4 dx =
9 3
35

0

π

V = π ∫ ( e 2 x . cos 2 x ) dx
π
2

+ Đánh giá bài làm và
chính xác hoá kết quả

π

π

b) = π e 2 x .dx + π e 2 x . cos 2 xdx
∫
∫
2

π
2

= ... =

2

π
2

π
(3.e 2π − eπ )
8

IV. Củng cố:
1. Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học
2. Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể
tích khối chóp, khối nón
3. Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay
Bài tập về nhà:
- Giải các bài tập SGK
- Bài tập làm thêm:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5 x 4 + 3 x 2 + 3 .
b) y = x 2 + 1, x + y = 3 .
c) y = x 2 + 2, y = 3 x .
d) y = 4 x − x 2 , y = 0 .
e) y = ln x, y = 0, x = e .
f) x = y 3 , y = 1, x = 8 .
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x 2 − 2 x + 2 tiếp tuyến với nó tại
điểm M(3;5) và trục tung .
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
khi nó quay xung quanh trục Ox .
π

a) y = cos x, y = 0, x = 0, x = .
4
b) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π .
2

x

c) y = xe 2 , y = 0, x = 0, x = 1 .


BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
(Chương trình chuẩn)
Số tiết:2
I/ MỤC TIÊU:
1.Về kiến thức:
Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân
Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính
diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân
2.Về kỹ năng:
Biết tính được diện tích một số hình phẳng,thể tích một số khối nhờ tích phân
3.Về thái độ:
Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm ta lại bài của học
sinh
Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
Có tinh thần hợp tác trong học tập
II/CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
+Giáo viên:Giáo án,bảng phụ,phiếu học tập
+Học sinh :Sách giáo khoa,kiến thức về công thức tính tích phân,vở bài tập đã chuẩn bị ở
nhà
III/PHƯƠNG PHÁP:

Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,hoạt động nhóm
IV/TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI DẠY:
1. Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs
2. Kiểm tra bài cũ:kiểm tra đan xen vào bài tập
3. Bài mới:
*Tiết1
HĐ1:Baì toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

+Nêu công thức tính
diện tích giới hạn bởi
đồ thị hàm số
y=f(x),liên tục ,trục
10’ hoành và 2 đường
x=a,x=b
+Tính S giới hạn bởi
y =x3-x,trục ox,đthẳng
x=-1,x=1
+ +Gv cho hs lên bảng
giải,hs dưới lớp tự giải
đđể nhận xét

+Hs trả lời

Ghi bảng
b

S= ò f ( x) dx

a

1

+Hs vận dụng công thức
tính
HS mở dấu giá trị tuyệt
đối để tính tích phân

òx

3

- x dx =

- 1

0

ò( x

1
3

- 1

=1/2

- x)dx -

ò(x
0

3

- x)dx


HĐ2:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong
TG

10’

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

+Nêu công thức tính
diện tích giới hạn bởi
đồ thi hàm số
y=f(x),y=g(x) và 2
đường thẳng x=a,x=b
+Gv cho hs tính câu 1a
ở sgk
+GVvẽ hình minh hoạ
trên bảng phụ để hs
thây rõ
+Gv cho hs nhận xét và
cho điểm
+Gv gợi ý hs giải bài

tập 1b,c tương tự

Hs trả lời

Ghi bảng
b

S= ò f ( x) - g ( x) dx
a

PTHĐGĐ
Û x2 - x - 2 = 0
Hs tìm pt hoành độ giao
éx = 2
x2=x+2
điểm
Û ê
ê
Sau đó áp dụng công thức
ëx =- 1
tính diện tích
S=
2

2

2
ò x - x - 2 dx =
- 1

ò(x

2

- x - 2)dx

- 1

=9/2(đvdt)

HĐ3:Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong
TG Hoạt động của GV

10’

+GV gợi ý hs giải câu 2
ở sgk
+GVvẽ hình minh hoạ
trên bảng phụ để hs
thấy rõ
+Gv cho hs nhận xét

Hoạt động của HS
+Hs viết pttt taị điểm
M(2;5)

Ghi bảng
Pttt:y-5=4(x-2) Û y=4x-3

2

+Hs áp dụng cong thức
2
tính diện tích hình phẳng S= ò ( x +1 - (4 x - 3))dx
0
cần tìm
2
Hs lên bảng tính
2
= ò ( x - 4 x + 4) dx =8/3(đvdt)
0

HĐ4:Giáo viên tổng kết lại một số bài toán về diện tích
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng


+Gv phát phiếu hoc tập
cho hs giải theo nhóm
+Gv cho các nhóm
10’ nhận xét sau đó đánh
giá tổng kết
+Gv treo kết qủa ở
bảng phụ

+Hs giải và mỗi nhóm
lên bảng trình bày

Kết quả
a. 9/8
b. 17/12
c. 4/3
4
(4p + 3)
d.
3

• Củng cố hướng dẫn làm bài tập ở nhà:(5’)
Gv hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và dặn dò hs giải các bài tập về thể tích khối tròn
xoay
*Tiết 2:
Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs
Bài mới:
HĐ5: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay
TG Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng

+Nêu công thức tính thể +Hs trả lời
b
tích khối tròn xoay sinh
2
V= pò f ( x)dx
ra bởi hình phẳng giới
a
15’ hạn bởi các đường

y =f(x); y=0;x=a;x=b
quay quanh trục ox
+Hs vận dụng lên bảng
* Tính thể tích khối tròn xoay sinh
+Gv cho hs giải bài tập trình bày
ra bởi
4a
a. PTHĐGĐ
a. y =1-x2 ;y=0
1-x2= Û x=1hoăc x=-1
b. y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p
1
+Gv gợi ý hs giải bài4c
tương tự

2 2
V= pò (1 - x ) dx =
- 1

16
p
15
p
2
b. V= pò cos x.dx =
0

p2
2

HĐ6: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay


TG Hoạt động của GV
+Gv gợi ý hs xem hình
vẽ dẫn dắt hs tính được
thể tích khối tròn xoay

Hoạt động của HS
+Hs lâp được công thức
theo hướng dẫn của gv

+Gv gợi ý hs tìm
GTLN của V theo a
+Gv gợi ý đặt t= cos a
é1 ù
với t Î ê ;1ú
ê
ë2 ú
û

Btập 5(sgk)
a. V= pò

Rcosa

0

+Hs tính được diện tích
tam giác vuông OMP.Sau

đó áp dụng công thức
tính thể tích

15’

Ghi bảng
tan 2 a.x 2 dx

3

=

pR
(cosa -cos3a )
3

b.MaxV( a )=

+Hs nêu cách tìm GTLN
và áp dung tìm

2 3pR 3
27

HĐ7:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay
TG
10’

Hoạt động của GV
+Gv phát phiếu hoc tập

cho hs giải theo nhóm
+Gv cho các nhóm
nhận xét sau đó đánh
giá tổng kết
+Gv treo kết qủa ở
bảng phụ

Hoạt động của HS

Ghi bảng

Hs giải và mỗi nhóm lên
16p
a.
bảng trình bày
15
p
b. (p- 2)
8
c. 2p(ln 2 - 1) 2
64
d. p
15

4.Củng cố và dặn dò: (5’)
. Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để giải
các bài toán tính diện tích và thể tích
. Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319-324 trang 158-159 ở
sách bài tập
V/ PHỤ LỤC

1.Phiếu học tập
* Phiếu học tập 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a. y =x2-2x+2 và y =-x2-x+3
b. y=x3 ;y =2-x2 và x=0
c. y =x2-4x+3 và trục 0x
d. y2 =6x và x2+y2=16


*Phiếu học tập 2:Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi
a.y=2x-x2 ;y=0
p
b.y=sinx;y=0;x=0;x=
4
c. y=lnx;y=0;x=1;x=2
d. y=x2;y=2x
quay quanh trục ox
2.Bảng phụ

KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục,trục hoành và
hai đường thẳng x=a,x=b là:
b

S= ò f ( x)dx
a

2.Hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x=a;x=b là:
b

S= ò f ( x) -

g ( x) dx

a

3.Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x) ;y=0;x=a;x=b quay quanh trục 0x
b
2
V= pò f ( x)dx
a