Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

Tiết 59

GIẢI TÍCH 12

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC.

A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong.Thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và
khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay.
2.Kỷ năng.
-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,đọc trước bài học.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.
e

Tính tích phân:

∫x

0

2

ln xdx

?


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

3.Nội dung bài mới.
a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong các khái niệm tính chất và phương pháp
tính tích phân.Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về các ứng dụng của tích phân trong
hình học.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ
TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.

Cho HS tiến hành hoạt động 1

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong
và trục hoành:

Diện tích S của hình phẳng giới hạng bởi đồ thị

Xây dựng công thức tính diện
[ a; b] , trục hoành
tích S của hình phẳng giới hạng hàm số f(x) liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng x = a, x =b được cho bởi
bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục
b
trên đoạn [ a; b] , trục hoành và
công thức S = ∫ f ( x ) dx
a
hai đường thẳng x = a, x = b
Hướng dẫn giải VD1
Hãy bỏ dấu trị tuyệt đối
Cho HS giải VD1

Vd1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường
thẳng x = -1 và x = 2
2

0

3

−1

x4
=−
4

Giới thiệu công thức tính diện

tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong

2

3
Giải: S = ∫ x dx = ∫ ( − x )dx + ∫ x dx
3

0

−1

x4
+
4

−1

2

=
0

0

17
4

1. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

Diện tích S của hình
phẳng giới hạng bởi đồ
thị của hai hàm số f1(x)
và f2(x) liên tục trên
đoạn [ a; b] và hai đường


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN
thẳng

GIẢI TÍCH 12

x = a, x = b được cho bởi công thức

b

S = ∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a

Cách tính tích phân theo công thức
Từ công thức

• Giải phương trình f 1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 trên đoạn
[a; b] giả sử có 2 nghiệm c, d và c < d
b

b

S = ∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

• S = ∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx =
a

a

d

∫[ f

1

( x ) − f 2 ( x )]dx +

c

Hướng dẫn rút ra cách tính tích
phân theo công thức

c

∫[ f

1

( x ) − f 2 ( x )]dx +

a

b

∫[ f

1

( x ) − f 2 ( x )]dx

d

Vd2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hs f 1 ( x ) = cos x; f 2 ( x ) = sin x và hai đường
thẳng x = 0; x = π
Giải. Ta có f 1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔ cos x − sin x = 0
⇔x=

π
∈ [ 0; π ]
4

Đưa ra Vd2

π

Vậy diện tich cần tính là S = ∫ cos x − sin x dx
0

=
Hãy giải phương trình
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0

π

Vậy S = ∫ cos x − sin x dx =?
0

π
4

π

∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( cos x − sin x ) dx = 2
0

2

π
4

Vd3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong y = x 3 − x vaÌy = x - x 2 .


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

Cho hs tiến hành hoạt động
nhóm giải ví dụ 2

4.Củng cố.
-Nhắc lại bảng các nguyên hàm cách tính diện tích của hình thang cong giới hạn

bởi các đường cho trước.
5.Dặn dò.
-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ,đọc trước phần tiếp theo của bài hoc.
*****************************************************


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

Tiết 60

GIẢI TÍCH 12

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC.

A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong.Thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và
khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay.
2.Kỷ năng.
-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,đọc trước bài học.
D.Tiến trình bài dạy.

1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

e

Tính tích phân:

∫x

2

ln xdx

?

0

3.Nội dung bài mới.
a. Đặt vấn đề.Các em đã được học xong các khái niệm tính chất và phương pháp
tính tích phân.Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về các ứng dụng của tích phân trong
hình học.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC

Hoạt động 1 : Em hãy nêu lại công II. TÍNH THỂ TÍCH
thức tính thể tích khối lăng trụ có diện
1. Thể tích của vật thể:
tích đáy bằng B và chiều cao h.
Cắt vật thể V bởi hai mặt phẳng (P)
Hình thành công thức tính thể tích của
và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại
vật thể
x = a, x = b(a < b). Một mặt phẳng tùy ý
vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt V
theo thiết diện có diện tích S(x).Người ta
chứng minh được rằng thể tích V của vật
thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và
(Q) được tính bởi công thức
Hình thành công thức tính thể tích khối
b
lăng trụ thông qua Vd4
V = ∫ S ( x)dx
a
Hãy nhắc lại công thức tính thể tích
khối chóp, khối chóp cụt
Vd4: (sgk)
Hướng dẫn chứng minh công thức
Chú ý: hai hình đồng dạng thì tỉ số diện 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt:
tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
1
+ Thể tích khối chóp: V = B.h (B:
3

diện tích đáy, h: chiều cao khối chóp)


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12
1
3

+ Khối chóp cụt: V = ( B + BB ' + B ' ).h
(B: diện tích đáy lớn, B’: diện tích đáy
nhỏ, h: chiều cao khối chóp cụt)
III. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY.
Bài toán: (SGK)
Hoạt động 2 : Em hãy nhắc lại khái
niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay
trong hình học.

Xây dựng công thức tính thể tích vật
thể tròn xoay qua bài toán sgk

y

y=f(x)
x

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b quay quanh trục Ox

b

V = π ∫ f 2 ( x )dx
a

Hướng dẫn hs giải vd5, Hãy nhắc lại
công thức tính thể tích khối cầu
Hướng dẫn hs chứng minh qua vd6
Hãy nhắc lại công thức phương trình
đường tròn tâm O bán kính R

Vd5: sgk

Ta có thể xem khối cầu bán kính R là
vật thể tròn xoay sinh ra bởi nữa

Vd6: sgk


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN
đường tròn y = R 2 − x 2 ( − R ≤ x ≤ R )
và đường thẳng y=0 khi quay quanh
trục O vậy V = ?

GIẢI TÍCH 12

Khối cầu bán kính R là vật thể tròn xoay
sinh ra bởi nữa đường tròn y = R 2 − x 2
( − R ≤ x ≤ R ) và đường thẳng y = 0 khi
quay quanh trục Ox

R

4
V = π ∫ ( R 2 − x 2 )dx = πR 3
3
−R

4.Củng cố.
-Nhắc lại bảng các nguyên hàm cách tính diện tích của hình thang cong giới hạn
bởi các đường cho trước và công thức tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
5.Dặn dò.
-Học sinh về nhà học thuộc bài cũ.
-Làm các bài tập trong sgk.
*****************************************************


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

Tiết 61

GIẢI TÍCH 12

BÀI TẬP.

A.Mục tiêu:
1.Kiến thức:
-Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong.Thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và
khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay.
2.Kỷ năng.

-Rèn luyện tư duy logic,tính sáng tạo.
3.Thái độ .
- Giáo dục học sinh ý thức tự giác,nghiêm túc.
B.Phương pháp.
-Gợi mở,vấn đáp, đan xen thảo luận nhóm.
C.Chuẩn bị.
1.Giáo viên. Giáo án, sách giáo khoa,sách tham khảo.
2.Học sinh. Ôn lại bài cũ,đọc trước bài học.
D.Tiến trình bài dạy.
1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2.Kiểm tra bài cũ.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = x2- 4 , trục Ox
và hai đường thẳng x =1, x = 4?
3.Nội dung bài mới.


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

a. Đặt vấn đề.Các em đã được học các ứng dụng của tích phân trong hình học.Vận
dụng vào giải toán một cách có hiệu quả là nhiệm vụ của các em trong tiết học hôm
nay.
b.Triển khai bài.
HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ

NỘI DUNG KIẾN THỨC
Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường
a. y = x 2 , y = x + 2

Chia hs thành 2 nhóm mỗi nhóm
giải một câu
Cho tiến hành hoạt động nhóm

Ta có: x2 – (x + 2) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒ x = - 1, x = 2
2

 x3 x2

9
S = ∫ ( x − x − 2)dx = 
−
− 2 x  =
2
 3
 −1 2
−1
2

2

Hãy nhận xét bài làm của 2 nhóm
Bài tập tương tự: Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi các đường
a) y = x 2 , y = x + 2 và x = −2, x = 4
c) y = ( x − 6) , y = 6 x − x và x = 1,
x=5
2

b. y = ( x − 6) 2 , y = 6 x − x 2
( x − 6) 2 − ( 6 x − x 2 ) = 0 ⇔ 2 x 2 − 18 x + 36 = 0
x = 3, x = 6

2

6

S = ∫ ( 2 x 2 − 18 x + 36)dx
3

6

 2x3

=
− 9 x 2 + 36 x  = 9
 3


3

Bài 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đường cong y = x2+1, tiếp tuyến tại M(2;5)
và trục Oy
Phương trình tiềp tuyến tại M(2:5)


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

f’(x0) = 2x0 = 4
y – 5 = 4(x-2) ⇔ y = 4x – 3
đặt f1(x) = x2+1, f2(x) = 4x – 3
Hãy nhắc lại công thức phương
trình tiềp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x) tại một điểm
Trục Oy có phương trình ?
y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x 0 )

• f1(x) – f2(x) = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2
2

 x3

8
S = ∫ ( x − 4 x + 4)dx = 
− 2 x 2 + 4 x  =
 3
0 3
0
2

2

Bài 3.Tính thể tích khối tròn xoay do hình
phẳng giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox

a.y = 1 – x2, y = 0
1 – x2 = 0 ⇔ x = - 1; x = 1
1

Trục Oy có phương trình x = 0

(

)

1

2

V = π ∫ 1 − x 2 dx = π ∫ (1 − 2 x 2 + x 4 )dx
−1

−1

1


2x3 x5 
16π
 =
= π  x −
+
3
5  −1
15



b.y = cosx, y = 0, x = 0, x = π
π

ππ
V = π ∫ cos xdx = ∫ (1 + cos 2 x )dx
20
0
2

Hãy nhắc công thức tính thể tích
khối tròn xoay

π

π

π
π
π2
= x + sin 2 x =
2 0 4
2
0

Câu a) hệ số a, b trong công thức là c.y = tanx, y = 0, x = 0, x = π
4
gì ?

Hỏi tương tự với câu b và c
Cho tiến hành hoạt động nhóm


TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU THUẬN

GIẢI TÍCH 12

Gọi trình bài lời giải
4.Củng cố.
-Nhắc lại bảng các nguyên hàm cách tính diện tích của hình thang cong giới hạn
bởi các đường cho trước và công thức tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
5.Dặn dò.
-Học sinh về nhà học ôn lại toàn bộ nội dung chương tích phân.
-Làm các bài tập ở phần ôn tập chương.
*****************************************************