Giáo án Hình học 12 chương 3 bài 2: Phương trình mặt phẳng

GIÁO ÁN HÌNH HỌC 12
 PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG.
I. Mục đích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: vector pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình tổng quát của mặt phẳng,
điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Kỹ năng:
+ Biết tìm toạ độ của vector pháp tuyến của mặt phẳng.
+ Biết viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.
+ Biết chứng minh hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc.
+ Biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong
đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp:
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Nội dung và tiến trình lên lớp:
Hoạt đđộng của Gv
Hoạt đđộng của Hs
I. VECTOR PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG.
Định nghĩa:
r
r
Cho mặt phẳng (α). Nếu vector n khác 0 và có
r
giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là
vector pháp tuyến của (α).
r
* Chú ý: Nếu vector n là vector pháp tuyến của
r

mặt phẳng (α) thì vector k n cũng là vector pháp
tuyến của (α).
Gv giới thiệu với Hs bài toán (SGK, trang 70)
để Hs hiểu rõ và biết cách tìm vector pháp tuyến
của mặt phẳng bằng cách tính tích có hướng của
hai vector có giá song song hoặc nằm trong mp
(α).
r r r  a a3 a3 a2 a1 a2 
n = a Λb =  2
;
;
÷
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
r r r
Hay n = [a , b ] = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a2b3 ; a1b2 − a2b1 )
Hoạt động 1:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; - 1;
3), B(4; 0; 1), C(- 10; 5; 3). Hãy tìm vector pháp
tuyến của mp (ABC)?

Hs thảo luận nhóm để tìm vector pháp tuyến
của mp u
(ABC).
uur
+ Tính AB


II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT
PHẲNG.
Qua việc giới thiệu hai bài toán 1, 2 (SGK, trang

71, 72) cho Hs , Gv làm nổi bật lên hai vấn đề sau
cho Hs nắm được:
+ Vấn đề 1: Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y;
z) thuộc mp (α) là
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
+ Phương trình Ax +r By + Cz + D = 0 là một mặt
phẳng nhận vector n = (A; B; C) làm vector pháp
tuyến của mp.
Từ đó, đi đến định nghĩa sau:

uuur
+ Tính AC
r uuur uuur
r uuur uuur
+ Tính n = ABΛ AC (hay n = [ AB, AC ]

1. Định nghĩa:
“Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, (1)
trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi
là phương trình tổng quát của mặt phẳng.”
* Nhận xét:
a) Nếu (α) có pt : Ax + By + Cz + D = 0 thì

n = ( A; B; C) là một véctơ pháp tuyến của nó .
b) Nếu mp(α) đi qua điểm M0(x0 ; y0 ;z0) và có

véctơ pháp tuyến n = (A; B; C) thì phương trình
của nó có dạng :
A ( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0

Hoạt động 2:
Em hãy tìm một vector pháp tuyến của mặt
phẳng (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0.
Hoạt động 3:
Em hãy lập phương trình tổng quát của mặt
phẳng (MNP) với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

2. Các trường hợp riêng:
a) Nếu D = 0 thì mp(1) đi qua gốc tạo độ (H3.6,
SGK, trang 72)

Hs thảo luận nhóm để
+ Tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng
(α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0.
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
(MNP) với u
M(1;
uuu
r 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
. Tính MN
uuur
. Tính MP
r uuur
r uuur
r uuuu
r uuuu
. Tính n = MN Λ MP (hay n = [ MN , MP ]
. Lập phương trình mặt phẳng.

A = 0

b) Nếu B ≠ 0 thì mp(1) chứa hoặc song song
C ≠ 0

với trục Ox. (H3.7, SGK, trang 72)
Hs thảo luận nhóm để tìm xem khi B = 0 hoặc C
Hoạt động 4:
Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (1) có đặc = 0 thì mặt phẳng (1) có đặc điểm gì. (Dựa vào
trường hợp A = 0)
điểm gì?
c) Nếu ptrình mp có dạng : Cz + D = 0 thì mặt
phẳng đó song song hoặc trùng với mp (Oxy).
(H3.8, SGK, trang 72)
Hoạt động 5:
Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc B = C = 0 và A ≠ 0
thì mặt phẳng (1) có đặc điểm gì?
* Nhận xét:
Nếu A , B , C , D ≠ 0 thì bằng cách đặt như sau
D
D
D
: a = − ; b = − ; c = − ta có phương trình
A
B
C
x y z
dạng : + + = 1 và được gọi là phương trình
a b c
của mặt phẳng theo đoạn chắn (Hay nói cách khác

phương trình trên là phương mặt phẳng đi qua 3
điểm nằm trên 3 trục Ox , Oy , Oz lần lượt là : (a ;
0 ; 0) , (0 ; b ; 0) , (0 ; 0 ;c)) .
Gv giới thiệu với Hs vd (SGK, trang 74) để Hs
hiểu rõ và biết cách viết phương trình của mặt
phẳng theo đoạn chắn.
III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG
SONG, VUÔNG GÓC.
Hoạt động 6:
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:
(α): x – 2y + 3z + 1 = 0
(β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0
Em có nhận xét về toạ độ hai vector pháp tuyến
của hai mặt phẳng này ?
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song :
Ta thấy hai mặt phẳng song song với nhau khi
và chỉ khi hai vector pháp tuyến của chúng cùng
phương. (H.3.10) ur
uu
r
Khi đó ta có : n1 = k n2
Nếu D1 = kD2 thì ta có hai mặt phẳng trùng

Hs thảo luận nhóm để tìm toạ độ hai vector
pháp tuyến của hai mặt phẳng này và nhận xét.


nhau.
Nếu D1 ≠ kD2 thì hai mặt phẳng song song với
nhau.

Từ đó ta có :
ur
uu
r
n1 = k n2

(α ) || ( β ) ⇔ 

 D1 ≠ kD2
ur
uu
r

n1 = k n2
(α ) ≡ ( β ) ⇔ 

 D1 = kD2

* Chú ý:
ur
uu
r
Hai mặt phẳng cắt nhau ⇔ n1 ≠ k n2
Gv giới thiệu với Hs vd (SGK, trang 76) để Hs
hiểu rõ và biết cách viết phương trình của mặt
phẳng khi biết nó song song với mặt phẳng khác.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
Ta thấy hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi
và chỉ khi hai vector pháp tuyến của chúng vuông
góc với nhau.

Do đó ta có:
ur uu
r
( α1 ) ⊥ ( α 2 ) ⇔ n1.n2 = 0
⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0

Gv giới thiệu với Hs vd (SGK, trang 76) để Hs
hiểu rõ và biết cách viết phương trình của mặt
phẳng khi biết nó vuông góc với mặt phẳng khác.
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT
MẶT PHẲNG.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt
phẳng (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0
và điểm M0(x0 ; y0 ; z0). Khoảng cách từ đểm M0
đến mp(α) ký hiệu là d(M0 , (α)), được tính bởi
công thức :
| Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D |
d (M 0 , (α)) =
A 2 + B2 + C2
Gv hướng dẫn Hs đọc phần chứng minh của
SGK, trang 78, để hiểu rõ định lý vừa nêu.


Gv giới thiệu với Hs vd 1, 2 (SGK, trang 79) để
Hs hiểu rõ và biết cách tính khoảng cách từ đểm
M0 đến mp(α).
Hoạt động 7:
Em hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
sau:

(α): x – 2 = 0
(β):x – 8 = 0

Hs thảo luận nhóm để tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng sau:
(α): x – 2 = 0
(β): x – 8 = 0

IV. Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: 1..10, SGK, trang 80, 81.