Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN

Tiết 52,53

TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
- Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai
phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv,
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong
đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
-

Phiếu học tập, bảng phụ.

+ Chuẩn bị của học sinh :
-

Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.

-

Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.

IV. Tiến trình tiết dạy :
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
- Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn).
3. Vào bài mới
Hoạt động của giáo viên
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1. Diện tích hình thang cong:
Hoạt động 1 :
Ký hiệu T là hình thang vuông giới
hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t
(1  t  5) (H45, SGK, trang 102)
1. Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)
2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T
khi t  [1; 5].
3. Hãy chứng minh S(t) là một

Hoạt động của
Hs

Nội dung ghi bảng
TÍCH PHÂN
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.

1. Diện tích hình thang cong: ( sgk )

Thảo luận
nhóm để:
+ Tính diện
tích S của
hình T khi t =
5. (H46, SGK,
trang 102)
+ Tính diện
tích S(t) của
1


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t  [1; 5] và diện tích S =
S(5) – S(1).

BAN CƠ BẢN

hình T khi t 
[1; 5].
+ Chứng minh
S(t) là một
nguyên hàm
của
f(t) = 2t + 1, t
 [1; 5] và

diện tích S =
S(5) – S(1).

Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK,
trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc
tính diện tích hình thang cong.
2. Định nghĩa tích phân :
Hoạt động 2 :
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên
hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) –
F(a) = G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) –
F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên
hàm).
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; Thảo luận
b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
nhóm để
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số
chứng minh
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến F(b) – F(a) =

b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
G(b) – G(a).
b]) của hàm số f(x), ký hiệu:

“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b])
của hàm số f(x), ký hiệu:

b

f ( x) dx
�
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a) .
b

Vậy:

f ( x)dx F ( x)

b
a

2. Định nghĩa tích phân :

F (b)  F (a )

a

b

f ( x) dx
�

Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui
ước :
a

b

a

a

a

b

a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a) .

f ( x) dx  0; �
f ( x) dx   �
f ( x) dx
�

b

Vậy:

Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK,
trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa
nêu.

b

f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a)
a

Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b có
b

thể ký hiệu là

f ( x) dx
�
a

b

hay

f (t ) dt . Tích
�
a

phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận
a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay
t.
2


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN

+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không
âm trên đoạn [a; b] thì
b

f ( x ) dx
�

là diện tích S của hình thang giới

a

hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang
102)

b

Vậy : S =

f ( x) dx
�
a

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN.
+ Tính chất 1:

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN.

b

b

a

a

kf ( x) dx  k �
f ( x ) dx
�

+ Tính chất 2:
b

b

b

a

a

a

[f ( x) �g ( x)] dx  �
f ( x) dx ��
g ( x) dx
�

+ Tính chất 3:
b

c

b

a

a

c

f ( x) dx  �
f ( x) dx  �
f ( x) dx

�

Hoạt động 3 :
Hãy chứng minh các tính chất 1, 2.
Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK,
trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính
chất vừa nêu.
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số:
Hoạt động 4 :

Thảo luận
nhóm để
chứng minh
các tính chất
1, 2.

1

(2 x  1) 2 dx
Cho tích phân I = �
0

a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x +
1)2.
b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx
thành g(u)du.

�g (u ) du

và so sánh với kết



a



b

f ( x) dx
�

b]. Để tính

quả ở câu a.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[; ] sao cho () = a; () = b và a 
(t)  b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:”

ta chọn hàm số u =

a

u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên

[a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
b

u (b )

a

u(a)

f ( x) dx =
�



f ( x) dx  �
f ( (t )). (t ) dt
�
'

a

b

Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;

u (0)

b

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [;
] sao cho () = a; () = b và a  (t) 
b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:”
f ( x) dx  �
f ( (t )). ' (t ) dt
�

u (1)

c/ Tính:

( a  c  b)



Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK,
3

�g (u ) du


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN

trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b

b]. Để tính

f ( x) dx
�

ta chọn hàm số u =

a

u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
[a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi
f(x) = g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
u (b )

b

f ( x) dx
�
a

=

�g (u ) du

u(a)

Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
Hoạt động 5 :

2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì

( x  1)e dx bằng phương
a/ Hãy tính �

u ( x )v ' ( x ) dx  (u ( x)v ( x )) ba  �
u ' ( x )v( x ) dx
�

x

b

1

Thảo luận
nhóm để:
+ Tính

0

( x  1)e x dx
�

pháp nguyên hàm từng phần.
( x  1)e x dx
b/ Từ đó, hãy tính: �

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

a

a

u ( x)v ' ( x) dx  (u ( x )v ( x )) ba  �
u ' ( x)v( x) dx
�
b

b

b

a

a

b

b

a

a

u dv  uv ba  �
v du ”
Hay �

bằng phương
pháp nguyên
hàm từng
phần
+ Tính:
1

( x  1)e
�

x

dx

0

u dv  uv  �
v du ”
Hay �
b
a

a

a

Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK,
trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa
nêu.
V. Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113.

4


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN

TIẾT 54,55: BÀI TẬP TÍCH PHÂN
I.MỤC TIÊU BÀI HỌC
Qua bài học,học sinh cần nắm được:
1.Về kiến thức
- Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần

- Biết 2 phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân
từng phần
2.Về kĩ năng
- Vận dụng thành thạo và linh hoạt 2 phương pháp này để giải các bài toán tính tích phân
- Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng.
3Về tư duy, thái độ
- Tích cực, chủ động,độc lập, sáng tạo
- Biết quy lạ về quen
- Biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
- Tư duy lôgic và làm việc có hệ thống
II.CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC
1.Chuẩn bị của giáo viên
Giáo án,phấn bảng,đồ dùng dạy học cần thiết khác
2.Chuẩn bị của học sinh
Ngoài đồ dùng học tập cần thiết,cần có:
- Kiến thức cũ về nguyên hàm,địng nghĩa tích phân,và hai phương pháp tính tích phân
- Giấy nháp và MTBT,các đồ dùng học tập khác
III.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Chủ yếu là vấn đáp gợi mở,kết hợp với các hoạt động tư duy của học sinh.
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Ổn định tổ chức lớp,kiểm tra sĩ số
2.Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Hãy trình bày phương pháp đổi biến số
Câu 2: Hãy nêu công thức tính tích phân từng phần
Giáo viên:
- Cho HS nhận xét câu trả lời của bạn,chỉnh sửa,bổ sung(nếu cần thiết)
- Nhận xét câu trả lời của học sinh,đánh giá và cho điểm
- Mục tiêu của bài học mới
3.Bài mới

Bài tập tích phân
HĐ1:Luyện tập về công thức đổi biến số
Tính các tích phân sau:
3

a)

I=

�x  1dx
0

Hoạt động của giáo viên


6

2

b) J = (1  cos3 x) sin 3 xdx
�

c) K =

0

Hoạt động của học sinh

5

�4  x
0

2

dx


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN

-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Theo dõi học sinh làm việc,gợi y cho HS nếu
cần thiết
-Cho HS nhận dạng và nêu cách giải quyết
cho từng câu

-Nhận nhiệm vụ, suy nghĩ và làm viẹc trên giấy
nháp
-Trả lời câu hỏi của GV:
a)Đặt u(x) = x+1 � u(0) = 1, u(3) = 4
Khi đó
I=
4

4

4

4
2 32
2
2
14
udu

u
du

u

u
u
 (8  1) 
�
�
1
3 1 3
3
3
1
1

- Nêu cách giải khác (nếu có)

1
2



b)Đặt u(x) = 1 – cos3x � u (0)  0, u ( )  1
6
1

1

u
u2
1

Khi đó J = �du 
3
6 0 6
0
�  �
 ,
c)Đặt u(x) = 2sint, t ��
.Khi đó
�2 2�
�

- Nêu dạng tổng quát và cách giải


2

�4  4sin
0

K=

2


2

t 2 cos tdt  �
4 cos 2 tdt 
0


2



2�
(1  cos 2t ) dt  (2t  sin 2t ) 02  
0

HĐ2: Luyện tập tính tích phân từng phần
Tính các tích phân sau

2

1

e

1. I1= (2 x  1) cos xdx
�

0

2. I2=

b

b

udv  uv a  �
vdu
�
a

0

1

Hoạt động của giáo viên
Ghi lại công thức tính tích phân từng phần
mà hs đã trả lời ở trên
b

x 2 e x dx
3. I3= �

x ln xdx
�
2

a

-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Cho học sinh nhận dạng bài toán trên và
nêu cách giải tương ứng
-Gọi học sinh giải trên bảng
Theo dõi các học sinh khác làm việc,định
hướng,gợi ý khi cần thiết
-Nhận xét bài giải của học sinh,chỉnh sửa và
đưa ra bài giải đúng
-Nêu cách giải tổng quát cho các bài toán
trên

Hoạt động của học sinh
-Nhận nhiệm vụ và suy nghĩ tìm ra cách giải quyết bài
toán
u  2x 1
du  2dx
�
�
��
1.Đặt �
. Khi đó:
v  sin x
�dv  cos xdx �

2
0


2



I1= (2 x  1)sin 2 x  2 sin xdx    1  2 cos x 2    3
�
0
0

dx
�
du 
�
u  ln x
�
�
x
��
2.Đặt �
2
3
dv  x dx � x
�
v
� 3
e

e

Khi đó
e

x3
1 2
e3 x 3
e3 e3  1 2e3  1
ln x  �
x dx  
 

I2=
3
3
3
9
3
9
9
1
1
1
u  x2
�du  2 xdx
�
�
3.Đặt �
�
x
v  ex
�dv  e dx �
1

Khi đó

1

1

0

0

2 x
xe x dx  e  2 J với J  �
xe x dx
I3= x e 0  2 �

6


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12

BAN CƠ BẢN
(Tính J tương tự như I3)

HĐ3: Củng cố bài
Hoạt động của giáo viên
- Từ bài toán 1,đưa ra cách giải chung nhất
cho bài toán tích phân dùng phép đổi biến
Kiểu 1: Đặt t = u(x), với tích phân có dạng

Hoạt động của học sinh
-Lĩnh hôi kiến thức,và ghi bài

b

f (u ( x)).u '( x)dx
�

-Đưa ra cách đổi biến, đổi cận

Kiểu 2: Đặt x = u(t) với tích phân có dạng
b
b
1
2
2
f
(
x
,
m

x
)
dx
f ( x, 2
) dx
hay �
�
x  m2

a
a
,v.v....
- Từ bài toán 2,đưa ra một số dạng tổng quát
có thể trực tiếp dùng tích phân tưng phần

�  �
 ,
-Đặt x= msint, t ��
�2 2�
�
�  �
x=mtant, t �� , �
� 2 2�

a

1.

b

b

a

a

f ( x)sin kxdx hay �
f ( x) cos kxdx
�

u  f ( x)
u  f ( x)
�
�
hay �
Đặt �
dv  sin kxdx
dv  cos kxdx
�
�

b

2.

f ( x )e
�

kx

dx

a

u  f ( x)
�
Đặt �
dv  e kx dx
�

b

3.

f ( x) ln
�

k

xdx ,v.v.....

a

�
u  ln k x
Đặt �
�dv  f ( x)dx
V.HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ VÀ BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.Xem lai cách giải các bài toán đã giải,cách giải tổng quát và làm các bài tập còn lại trong SGK
2.Tính các tích phân sau:
1

1.

x ln(1  x
�

1

2

e

ln  1  x 2  dx
2. �

)dx

0

3.

0

3

e
5. �
0

7 x4

�sin(ln x)dx

6.

x
�e  1dx
0

7

�x sin
0

ln 2

dx

4.

1

2
4

2

7.

x
�
2

1

4  x 2 dx

xdx