Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ LỚP 12
Tiết 41: TÍCH PHÂN.
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức :
-Biết khái niệm về diện tích hình thang cong; Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên
tục
2. Về kỹ năng: Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định
nghĩa
3. Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Chuẩn bị:
1. Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2. Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở
nhà.
III. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
IV. Tiến trình tiết dạy
1.Kiểm tra bài cũ :
-Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp. Tính : ∫ ( x + 1)dx
-GV nhắc lại công thức :

f ' ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

2. Bài mới

Hoạt động của Giáo viên

Hoạt động của Học sinh

Nội dung ghi bảng


Ký hiệu T là hình thang vng
Thảo luận nhóm để:
I- Khái niệm tích phân
giới hạn bởi đường thẳng y = 2x +
+ Tính diện tích S của hình T
1. Diện tích hình thang cong
1, trục hồnh và hai đường thẳng
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) (SGK)
y
x = 1; x = t
(1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK, trang
102)
1. Hãy tính diện tích S của
hình T khi t = 5. (H46, SGK,
trang 102)
2. Hãy tính diện tích S(t) của
hình T khi t ∈ [1; 5].

+ Chứng minh S(t) là một
ngun hàm của

a

f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện
tích S = S(5) – S(1).
“Cho hàm số y = f(x) liên tục,
khơng đổi dấu trên đoạn [a ; b]
.Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y = f(x), trục hồnh và
hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong
(H47a, SGK, trang 102)”

GV dẫn dắt đưa tới đẳng
thức:
S(x) − S(x0)
= f (x0)
x→ x0
x − x0
lim+

Tương tự với x ∈ [a; x0), ta
cũng có:

A

f(x)
x

O

a

b

f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện
tích Sy = S(5) – S(1).

3. Hãy chứng minh S(t) là
một ngun hàm của

Câu hỏi: So sánh các đại
lượng
SMNPQ ,
SMNQE , SMNEF .

B

+ Tính diện tích S(t) của hình T
khi t ∈ [1; 5].

b

x

2. Định nghĩa tích phân :
A

“Cho f(x) là hàm số liên tục
trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là
một ngun hàm của f(x) trên
đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích

phân từ a đến b (hay tích phân
xác định trên đoạn [a; b]) của
hàm số f(x), ký hiệu:


S(x) − S(x0)
= f (x0)
x→ x0
x − x0

Thảo luận nhóm để chứng
minh

lim−

F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
Em rút ra kết luận gì về

S(x) − S(x0)
= f (x0)
x − x0
0

b

∫ f ( x) dx
a

Ta còn ký hiệu:
b

Ta có : xlim
→x

F ( x) a = F (b) − F ( a) .

Vậy:

Dẫn dắt đưa ra S(x) = F(x) + C

S(x) có đạo hàm tại x0 và
S’(x0) = f(x0).

( Với F(x) là ng/hàm của h/s
f(x))

S = S(a)- S(b)= F(b)+ C– (F(a)
+C) = F(b) – F(a)

S(x) − S(x0)
=?
x→ x0
x − x0
lim

Em hãy tính S = S(a)- S(b)=?

Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta
qui ước :

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

a

= F (b) − F (a )
“Cho f(x) là hàm số liên tục
trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là
một ngun hàm của f(x) trên
đoạn [a; b]. Hiệu số

Gv giới thiệu với Hs nội dung
định nghĩa :
Gv giới thiệu với Hs nội
dung định nghĩa

b

+ Nếu hàm số f(x) liên tục và
khơng âm trên đoạn [a; b] thì
b

∫ f ( x) dx

là diện tích S của

F(b) – F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b (hay tích phân

xác định trên đoạn [a; b]) của
hàm số f(x), ký hiệu:

a

a

b

a

a

a

b

∫ f ( x) dx = 0; ∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx
Gv giới thiệu cho Hs vd 2
(SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ
định nghĩa vừa nêu.

hình thang giới hạn bởi đồ thị
của f(x), trục Ox và hai đường
thẳng x = a; x = b. (H 47 a,
trang 102)
b

Vậy : S = ∫ f ( x) dx
a

b

∫ f ( x) dx
a

Ta còn ký hiệu:
b

F ( x) a = F (b) − F ( a) .
b

f ( x)dx = F ( x)
Vậy: ∫
a

= F (b) − F (a)
Nhận xét:SGK
4. Củng cố :
Nhắc lại định nghĩa tích phân và cho HS làm các VD sau:

b
a


VD1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thò hàm số y = x3 trục hoành
và hai đường thẳng x = 1; x = 2.
VD2:Một ô tô c/đ có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = 2t + 3t2 .Tính quãng
đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1 đến thời điểm t =
5.

5. Hướng dẫn về nhà :
u cầu HS xem trước phần tính chất của tích phân. Làm bài tập trong SGK trang 52

----------------------------------------------------------------------


Ngày

/

/
Tiết 42: Tích phân (tt)

I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức : Biết các tính chất của tích phân
2. Về kỹ năng
-Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng cách sử dụng tính chất
-Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
3. Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
1. Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2. Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở
nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy :

1.Kiểm tra bài cũ : Trình bày các tính chất của nguyên hàm.
1

Tính các tích phân sau: I= ∫ x dx
0

2

e

; J=

∫
1

dx
e
= ln x 1 = ln e − ln 1 = 1
x

2 . Bài mới
Hoạt động của Giáo viên

Hoạt động của Học sinh

Nội dung ghi bảng


GV: Nhắc lại
a

∫ f(x)dx = 0 và
a

b

II. Các tính chất của tích phân
+ Tính chất 1:

∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx
b

J = ∫ 5 − 4 f ( x )  dx

a

0

b

b

b

a

a

a

∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
+ Tính chất 3:

∫ sin 2 xdx − ∫ cos xdx = -

I = ∫ 3 f ( x ) − g ( x )  dx

a

+ Tính chất 2:

1

3

b

3

Gv cho học sinh họp
3
3
nhóm và chứng minh = ∫ 5dx − 4∫ f ( x ) dx
1
1
các tính chất còn lại.
4
Sau đó, mỗi nhóm = 5 x 1 + 8 = 23
cử đại diện lên bảng
chứng minh từng tính HS:I=

π
chất.
π /2
2
GV: Ta có

b

∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx

HS: Ta có

a

a

Chứng minh: tính
chất 1;2 và 3 (sách
giáo khoa).

0

1
cos2x | π0 / 2 - sinx | π0 / 2
2

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
( a < c < b)
3

Ví dụ: Cho

3

3

1

1

= ∫ 3 f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx
3

1

=0

3

3

Hs: Ta có

1

2

= 3∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −9

Ta có

∫ g ( x ) dx = 3 .Hãy tính:
1

3

2x

K= ∫ e − 2e + 1dx
2

=

=> J= ∫ (− x + 2)dx +
1

3

∫ ( x − 2)dx
2

( e − 1)
x

∫

-1

2

1

=

x2
x2
= [- + 2 x ] 12 +[ − 2 x
2
2

] =1

2

3

∫ 5 − 4 f ( x )  dx

dx

1

π /2

ex − 1dx

∫

-1
0

∫ (sin 2 x − cos x)dx

I=

0

1

= − ∫ (ex − 1)dx + ∫ (ex − 1)dx

(

và

1

Ví dụ :Tính các tích phân sau:

-1

3
2

∫ 3 f ( x ) − g ( x )  dx

x

-1

 x − 2, nÕu x ≥ 2
x− 2 = 
2 - x, nÕu x ≤ 2

∫ f ( x ) dx = −2 và
1

1

0

)

(

3

J=

∫
1

)

x
1
= − ex − x 0
−1 + e − x 0

1
1 
=  + 2÷+ ( e− 2) = e+
e
e 

3

∫ ( x − 2)dx
2

2

x − 2 dx = ∫ (− x + 2)dx +
1


= [-

x2
x2
+ 2 x ] 12 +[ − 2 x ] 32 = 1
2
2

4. Củng cố : Nhắc lại cho Hs các tính chất của tích phân sau đó cho Hs làm các ví dụ sau
Cho biết

2

5

5

5

1

1

1

2

∫ f ( x)dx =-4, ∫ f ( x)dx =6, ∫ g ( x)dx =8.Tính a) ∫ f ( x)dx

5

b) ∫ [ 4 f ( x) − g ( x)] dx Ta

1

có:
5. Hướng dẫn về nhà Chú ý xem lại các tính chất của tích phân.
Chuẩn bò bài tập sgk. T. 152-153 để học trong tiết sau.
----------------------------------------------------------------------


Ngy

/

/
Tit 43: Tớch phõn (tt)

I. Mc tiờu:
1. V kin thc : Bit phng phỏp i bin s tớnh tớch phõn
2. V k nng: S dng phng phỏp i bin s tớnh tớch phõn
3. V t duy v thỏi :
-Thỏi : tớch cc xõy dng bi, ch ng,sỏng to trong quỏ trỡnh tip cn tri thc mi .
- T duy: hỡnh thnh t duy logic, lp lun cht ch, v linh hot trong quỏ trỡnh suy ngh.
II. Phng phỏp :
- Thuyt trỡnh, kt hp tho lun nhúm v hi ỏp.
- Phng tin dy hc: SGK.
III. Chun b:
1. Chun b ca giỏo viờn :Phiu hc tp, bng ph.
2. Chun b ca hc sinh :Hon thnh cỏc nhim v nh; c qua ni dung bi mi nh.
IV. Tin trỡnh tit dy :
1. Kim tra bi c:Trỡnh by cỏc tớnh cht ca tớch phõn.
2. Bi mi

Hot ng ca Giỏo viờn

Hot ng ca Hc sinh

Qui tắc đổi biến số dạng 1.
1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là
hàm số có đạo hàm liên tục trên
[; ], f(u(t)) xác định trên [;
] và
u() = a; u() =b.
2) Biến đổi f(x)dx =

Ni dung ghi bng
III-Phng phỏp tớnh tớch phõn

Do đó:
I1 =

1

0

=



0

2

1. Phng phỏp i bin s:


1 x2 dx = 2 cos2 t.dt

1+ cos2t
dt
2

0

Cho hm s f(x) liờn tc trờn on
[a; b]. Gi s hm s
x = (t) cú o hm liờn tc trờn on
[; ] sao cho () = a; () = b v a
(t) b vi mi t thuc [; ] .


f(u(t).u’(t)dt

1 1
π
π
=  t + sin2t ÷ 02 = .
2 2
4


= g(t)dt.
3) T×m mét nguyªn hµm G(t)

cña g(t).
4) KÕt luËn

∫

b

a

f(x)dx = G(t) βα

I 2=∫

π
6

=t
  π π
§Æt x = sint  t ∈  − ;  ÷.
  2 2 

π
3
π
6

(1+ tan2 t)

(

2

)

1+ tan t

dt

vµ dx = cost.dt.
b) §æi biÕn sè d¹ng 2.
LÊy t = v(x) lµm biÕn sè míi,
khi ®ã ta biÕn ®æi ®îc f(x)
thµnh biÓu thøc d¹ng
g(v(t)).v’(t). §Æt t = v(x)
⇒ dt=v’(x)dx vµ ta cã:

∫ f ( x) dx

u (b )

b

∫

f ( x) dx =

a

(

⇒ x2dx =

)

du
15

Khi ®ã

∫

g (u ) du

u (a )

1

VÝ dô 1. TÝnh I 1 = ∫0 1− x2 dx .

1

18 5
u6 8
I 3 = ∫ u du =
3
15 3
90
=> KQ

VÝ dô 2. TÝnh I 2 = ∫0

(HD: §Æt x +

1
3
=
tgt )
2
4

I 3 = ∫ x2 ( 5x3 + 3) dx
1

2π
du
u = 3x −
=> dx =
3
3
4π
13

.
∫ cosudu

3π

3

1
= sinu

3

dx
x + x+1
2

VÝ dô 3. TÝnh

HS: §Æt

=> I 4 =

ta chọn hàm

Khi đó ta có:

Ta § Æt u= 5x3 + 3

 π
v× t ∈  0; 
 2

[a; b]. Để tính

số u = u(x) làm biến mới, với u(x)
liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [α;
β]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x).

π
6

=

b

a

 π
⇒ Ta ®Æt x = sint víi t ∈  0;  .
 2

cos2 t = cost

α

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

HS:

1− x2 = 1− sin2 t =

a

Chú ý:

Khi x=0 ⇒ t=0; khi x =1⇒ t=1/2

Ta cã:

β

'
Khi đó:” ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ (t ) dt

Hs: Ta cã
π
3

b

4π
3
π
3

5

0

2π

VÝ dô 4. I 4 = ∫π

2π 

cos 3x − ÷dx
3


VÝ dô 5: TÝnh

π

=> KQ

3

3

a) I 1 = ∫π 4 cotgxdx; b)I 2 = ∫
6

VÝ dô 6:

1

0

dx
4 − x2




b

a

b

f (x)dx = g( v(x)) .v'(x)dx

a

=

v(b)

v(a)



b) Đặt x = 2sint, t ;
2 2

g(t)dt
x = 0 t = 0; x=1 t =

Qui tắc đổi biến số dạng 2.
1) Đặt t = v(x), v(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục.
2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt.
Giả sử f(x)dx = g(t)dt.
3) Tính một nguyên hàm G(t)
của g(t).
4) Tính



v(b)

v(a)

v(b)

g(t)dt = G(t) v(a)

Hớng dẫn giải ví dụ 5:

Đặt x = 2sint với
0 t


dx = 2costdt
6


(Vì 0 t cost > 0 )
6


I 2 = 0 6


2costdt
= 6 dt
0
2cost


6

cosx
I 1 = 4 cotgxdx = 4
dx
6
6 sinx

b)Đặt

Đặt sinx = t dt = cosxdx

t = e x dt =



x = 6 t = 12; x = 4
2

t = 2 2 I1 =

= ln t

2
1
2

2

2

1
2

e

Hớng dẫn giải Ví dụ 6:
1
x

a) Đặt t = 1+lnx dt = dx ;
x = 1 t = 1;x=e t = 2.

1

Hớng dẫn giải.
2

(A + B)x + B 6A
A = 1
A + B = 3

7


B 6A = 2 B = 20

7
1
1 20dx

dx
J1 =
+
0 7(x + 1)
0 7(x 6)
1

e2

I 2 = 2dt = 2t e = 2e2 2e

2
1 1
= ln
ln = ln2
2
2 2

1 2xdx
3x + 2
dx;b)J
=
2
0 x2 4
0 x2 5x 6

a)J 1 =

20
1

= lnx + 1 + lnx 6
7
7
0

1
.e x dx;
2 x
x = 1 t = e,x = 4 t = e2
e2

dt
t

Ví dụ7: Tính

a.G/s:





1

3x + 2
A
B
=
+

3x + 2 =
x 5x 6 x + 1 x 6
2
2
2
4 x = 4 4sin t = 4cos t = 2cost

Có

= t 06 =

a) Có


6

a) I 1 =

x
4e
1+ lnx
dx; b) I 2 =
dx
1
x
x

e

=

1
20
10
ln2+ ln5 ln6
7
7
7

b) Tơng tự ta phân tích đợc:
2x
1
1
=
+
Do đó:
x 4 x+ 2 x 2
2

1 dx
dx
+
=
0 x+ 2
0 x 2

J2 =

1

( lnx + 2 )

1
0

+ ( lnx 2 ) = ln3
1

0


⇒ I1 = ∫

e

1

2

(

)

2
2 1
1+ lnx
2 3
2
dx = ∫ tdt = ∫ t 2dt = t 2 = 2 2 − 1
1

1
x
3 1 3

3. Cñng cè: Nhắc lại cho hs các phương pháp tính tích phân
π
6

2

TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: J = (1 − cos3 x) sin 3 xdx K =
∫
0

∫
0

4 − x 2 dx ; L= I 2 =

∫

π

0

2

x.cosxdx

4. Híng dÉn vÒ nhµ : Làm các bài tập SGK và SBT

---------------------------------------------------------------------Ngày /

/
Tiết 44: Tích phân (tt)

I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức : Biết phương pháp tích phân từng phần
2. Về kỹ năng:-Sử dụng phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần để tính tích phân
3. Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Chuẩn bị:
1. Chuẩn bị của giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ.
2. Chuẩn bị của học sinh :Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà; Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
III. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
IV. Tiến trình tiết dạy :
1. Kiểm tra bài cũ : Nêu phương pháp đổi biến số


2. Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên

GV: Chøng minh.
Ta cã:[ u(x).v(x)] ' = u'(x).v(x)
+ u(x).v'(x)

Hoạt động của Học sinh

=> ∫ [ u(x).v(x)] 'dx =
a

∫

b

a

b

u'(x)v(x)dx + ∫ v'(x).u(x)dx
a

=>∫ u(x).v'(x)dx
a

= [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x).u'(x)dx
b

b

a

V× du = u’.dx; dv = v’.dx nªn ta
cã:

∫

b

a

b

udv = uv a − ∫ vdu
b

“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm
số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;
b] thì

Khi ®ã
e

e

x3
1 2
e3 x 3
I3 =
ln x − ∫ x dx = −
3
31
3 9 1
1
e3 e3 − 1 2e3 + 1
= −
=

3
9
9

3.§Æt

b

2. Phương pháp tính tích phân từng
phần:

dx

du =

u
=
ln
x


x
⇒
2.§Æt 
2
3
 dv = x dx v = x

3

e

b

Nội dung ghi bảng

∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x))
'

a

b

− ∫ u ' ( x)v( x) dx

Khi ®ã

b

b

Hay ∫ u dv = uv − ∫ v du ”
b
a

a

a

VÝ dô1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1

1

2 x
x
I3= x e 0 − 2 ∫ xe dx = e − 2 J
0

π
2

1. I1= (2 x − 1) cos xdx
∫
0

1

víi J = ∫ xe dx
x

GV: Híng dÉn vµ lµm mÉu cho
HS

e

2
2. I2= ∫ x ln xdx

0

1.§Æt 

u = x
du = dx
⇒
§Æt 

x
x
 dv = e dx v = e

Khi ®ã:

Khi ®ã

u = 2 x − 1
du = 2dx
⇒
.
 dv = cos xdx v = sin x

1

1

2 x
3. I3= ∫ x e dx
0

e2

π
2
0

π
2

I1 = (2 x − 1) sin 2 x − 2 ∫ sin xdx =
0

π
2
0

π − 1 + 2 cos x = π − 3

GV: Đặt u=lnx, dv=x-1/2dx
ta có: du= dx/x; v= 2.x1/2



1
I 3 = e − 2  xe x − ∫ e x dx ÷
0
0


1

1

= −e + 2 e x = e − 2
0

5. §Æt

b
a

a

u = x 2
 du = 2 xdx
⇒


x
x
 dv = e dx v = e

a

b

4. ∫
1

ln x

x

dx

lnx
dx
0 x3

5. I 1 = ∫

1

e

6. I 6 = ∫ lnxdx .
1

VÝ dô 2. TÝnh


e2

ln x

∫

x

1

dx = 2 x

e2

ln x | − ∫ 2 x −1 / 2 dx
e2
1

1/ 2

1

2

=4e-4x1/2| 1e =4.
1

 u = lnx  du = dx
⇒
x
6. §Æt 

 dv = dx  v = x

e

=> I 5 = (xlnx) 1 − ∫ dx
e

π

dx

du =
u = lnx



x

dx ⇒ 
dv = x3
v = − 1
2x2

Do ®ã:I 1 = ∫

2

1

1

e

= (xlnx) 1 − x 1 = e− (e− 1) = 1

GV: híng dÉn HS lªn b¶ng lµm
vµ ch÷a bµi
b) §Æt

2lnxdx

 u = ( lnx)
du =
⇒
x

 v = x
 dv = dx
2

2

Gi¶i:

lnx
dx
x3

 u = ex
du = exdx
⇒
a) §Æt 

 dv = cosxdx  v = sinx

2

(

)

⇒ I 1 = ex sinx

2

ln2 1  1 
3 ln2
+ − 2 ÷ = −
8 2  2x  1 16 8

c) §Æt

π

2

π

− ∫ 2 ex sinxdx
0

0

π

π

= e 2 − ∫ 2 ex sinxdx
0

x
 du = exdx
 u1 = e
⇒
§Æt 
 dv1 = sinxdx  v = − cosx

dx

 u = ln(x − 1)  du =
⇒
x−1

 dv = 2xdx
 v = x
⇒ I 3 = (x2 − 1)ln(x − 1)

1

c) I 3 = ∫ 2xln(x − 1)dx;

1 2 dx
 lnx 
= − 2 ÷ + ∫ 3
 2x  1 2 1 x
=−

2

5

1

e

e

b) I 2 = ∫ ( lnx) dx

a) I 1 = ∫ 2 exdx;

π

(

)

⇒ ∫ 2 ex sinxdx = − ex cosx
0

π

2

0

π

+ ∫ 2 ex cosxdx = 1+ I 1

5

0

2
5

(

)

⇒ I 2 = xln2 x

e
1

e

− 2∫ lnxdx
1

e

= e− 2∫ lnxdx
1

Ta ®· tÝnh ®îc

∫

e

1

lnxdx = 1⇒ I 2 = e− 2

 x2

− ∫ (x + 1)dx = 48ln2 −  + x÷ ⇒ Ta cã:
2
 2
2
5

= 48ln2−

27
2

π

e 2 −1
I 1 = e − ( 1+ I 1 ) ⇒ I 1 =
2
π

2