Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân

GIÁO ÁN TOÁN 12
Tiết 52,53

2013

TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích
phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân
từng phần)
- Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả
hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số.
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán
học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau
này cho xã hội.
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy
nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
-

Phiếu học tập, bảng phụ.

+ Chuẩn bị của học sinh :
-

Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.

-

Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.

IV. Tiến trình tiết dạy :


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
- Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút
gọn).
3. Vào bài mới
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động
của Hs

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.

TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong:

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.

Hoạt động 1 :
Ký hiệu T là hình thang vuông giới
hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t
(1  t  5) (H45, SGK, trang 102)
1. Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5. (H46, SGK, trang 102)
2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T
khi t  [1; 5].
3. Hãy chứng minh S(t) là một
nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t  [1; 5] và diện tích S =
S(5) – S(1).

Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới

Nội dung ghi bảng

Thảo luận
nhóm để:
+ Tính diện
tích S của
hình T khi t
= 5. (H46,
SGK, trang

102)
+ Tính diện
tích S(t) của
hình T khi t
 [1; 5].
+ Chứng
minh S(t) là
một nguyên
hàm của
f(t) = 2t + 1,
t  [1; 5] và
diện tích S =
S(5) – S(1).

1. Diện tích hình thang cong:
( sgk )


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK,
trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc
tính diện tích hình thang cong.
2. Định nghĩa tích phân :

Hoạt động 2 :
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên
hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) –
F(a) = G(b) – G(a). (tức là hiệu số F(b) –
F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên
hàm).

2. Định nghĩa tích phân :

Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến Thảo luận
nhóm để
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
chứng minh
b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
F(b) – F(a)
= G(b) –
G(a).

b

f ( x) dx
�
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a ) .
b

Vậy:

f ( x)dx F ( x)

b
a

F (b)  F (a )

a

Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui


2013

GIÁO ÁN TOÁN 12
ước :
a

f ( x) dx  0;
�
a

b

a

a

b

f ( x ) dx   �
f ( x ) dx
�

Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK,
trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa
nêu.

“Cho f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;
b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân
từ a đến b (hay tích phân xác định
trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x),
ký hiệu:
b

f ( x) dx
�
a

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a F (b)  F (a)
.
Vậy:
b

f ( x)dx F ( x)

b
a

F (b)  F (a )

a

Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a
b

đến b có thể ký hiệu là

f ( x) dx
�
a

b

hay

f (t ) dt . Tích phân đó chỉ phụ

�
a

thuộc vào hàm f, các cận a, b mà
không phụ thuộc vào biến số x hay
t.
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN.

+ Nếu hàm số f(x) liên tục và
không âm trên đoạn [a; b] thì


2013

GIÁO ÁN TOÁN 12
b

f ( x) dx
�

là diện tích S của hình

a

thang giới hạn bởi đồ thị của f(x),
trục Ox và hai đường thẳng x = a;
x = b. (H 47 a, trang 102)
b

Vậy : S =

f ( x) dx
�
a

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN.
+ Tính chất 1:
b

b

a

a

kf ( x) dx  k �
f ( x) dx
�

Hoạt động 3 :

+ Tính chất 2:

Hãy chứng minh các tính chất 1, 2.
Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK,
trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính
chất vừa nêu.

(2 x  1) 2 dx
Cho tích phân I = �
0

a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x +
1)2.
b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx
thành g(u)du.

b

a

a

a

+ Tính chất 3:
b

c

b

a

a

c

f ( x) dx  �
f ( x) dx  �
f ( x) dx
�

1. Phương pháp đổi biến số:

1

b

[f ( x) �g ( x)] dx  �
f ( x) dx ��
g ( x) dx
�

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.

Hoạt động 4 :

b

( a  c  b)

Thảo luận
nhóm để
chứng minh
các tính chất
1, 2.

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên


2013

GIÁO ÁN TOÁN 12
u (1)

�g (u ) du và so sánh với kết

c/ Tính:

u (0)

quả ở câu a.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b]. Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[; ] sao cho () = a; () = b và a 
(t)  b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:”

đoạn [a; b]. Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên
đoạn [; ] sao cho () = a; ()
= b và a  (t)  b với mọi t thuộc

[; ] . Khi đó:”
b



a



f ( x) dx  �
f ( (t )). ' (t ) dt
�

Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên
b



b

f ( x) dx  �
f ( (t )). ' (t ) dt
�


a

Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.

Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
f ( x) dx
�

ta chọn hàm số u =

a

u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
[a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi
f(x) = g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
u (b )

b

f ( x) dx
�
a

=

�g (u ) du

u(a)

Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu.
2. Phương pháp tính tích phân từng phần:

f ( x) dx
�

ta

a

chọn hàm số u = u(x) làm biến
mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và
u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x).
Khi đó ta có:
u (b )

b

b

b]. Để tính

đoạn [a; b]. Để tính

f ( x) dx
�
a

=

�g (u ) du

u(a)


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

Hoạt động 5 :
( x  1)e x dx bằng phương
a/ Hãy tính �

pháp nguyên hàm từng phần.
1

( x  1)e x dx
b/ Từ đó, hãy tính: �
0

Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

u ( x)v ( x ) dx  (u ( x )v ( x))
�
'

2. Phương pháp tính tích phân từng

phần:

b

b
a

a

“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai
hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn [a; b] thì

�
u ' ( x)v( x) dx
a

b

b

a

a

u dv  uv ba  �
v du
Hay �

”

b

b

a

a

u ( x)v ' ( x ) dx  (u ( x)v( x)) ba  �
u ' ( x)v( x) dx
�

Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK,
trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa
nêu.

b

b

a

a

u dv  uv ba  �
v du
Hay �

Thảo luận

nhóm để:
+ Tính
( x  1)e
�

x

dx

bằng
phương
pháp nguyên
hàm từng

”


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

phần
+ Tính:
1

( x  1)e
�

x

dx

0

V. Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức.
+ Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113.

TIẾT 54,55: BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Ngày soạn:

I.MỤC TIÊU BÀI HỌC


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

Qua bài học,học sinh cần nắm được:
1.Về kiến thức
- Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần
- Biết 2 phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương
pháp tích phân từng phần
2.Về kĩ năng
- Vận dụng thành thạo và linh hoạt 2 phương pháp này để giải các bài toán tính tích
phân
- Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng.
3Về tư duy, thái độ
- Tích cực, chủ động,độc lập, sáng tạo
- Biết quy lạ về quen

- Biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
- Tư duy lôgic và làm việc có hệ thống

II.CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC
1.Chuẩn bị của giáo viên
Giáo án,phấn bảng,đồ dùng dạy học cần thiết khác
2.Chuẩn bị của học sinh
Ngoài đồ dùng học tập cần thiết,cần có:
- Kiến thức cũ về nguyên hàm,địng nghĩa tích phân,và hai phương pháp tính tích
phân
- Giấy nháp và MTBT,các đồ dùng học tập khác


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

III.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Chủ yếu là vấn đáp gợi mở,kết hợp với các hoạt động tư duy của học sinh.
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Ổn định tổ chức lớp,kiểm tra sĩ số
2.Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Hãy trình bày phương pháp đổi biến số
Câu 2: Hãy nêu công thức tính tích phân từng phần

Giáo viên:
-

Cho HS nhận xét câu trả lời của bạn,chỉnh sửa,bổ sung(nếu cần thiết)
Nhận xét câu trả lời của học sinh,đánh giá và cho điểm

Mục tiêu của bài học mới

3.Bài mới
Bài tập tích phân
HĐ1:Luyện tập về công thức đổi biến số
Tính các tích phân sau:
3

a) I =

�x  1dx
0

Hoạt động của giáo viên


6

2

b) J = (1  cos3 x) sin 3 xdx
�

c) K =

0

Hoạt động của học sinh

�4  x

0

2

dx


2013

GIÁO ÁN TOÁN 12
-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Theo dõi học sinh làm việc,gợi y cho
HS nếu cần thiết
-Cho HS nhận dạng và nêu cách giải
quyết cho từng câu

-Nhận nhiệm vụ, suy nghĩ và làm viẹc trên
giấy nháp

-Trả lời câu hỏi của GV:
a)Đặt u(x) = x+1 � u(0) = 1, u(3) = 4
Khi đó
I=
4

- Nêu cách giải khác (nếu có)

4

4

1
2

4
2 32
2
2
14
udu

u
du

u

u
u
 (8  1) 
�
�
1
3 1 3
3
3
1
1


b)Đặt u(x) = 1 – cos3x � u (0)  0, u ( )  1

6

1

1

u
u2
1

Khi đó J = �du 
3
6 0 6
0
�  �
 ,
c)Đặt u(x) = 2sint, t ��
.Khi đó
�2 2�
�


2

�4  4sin

- Nêu dạng tổng quát và cách giải
K=

0


2

2


2

t 2 cos tdt  �
4 cos 2 tdt 
0



2�
(1  cos 2t ) dt  (2t  sin 2t ) 02  
0

HĐ2: Luyện tập tính tích phân từng phần
Tính các tích phân sau


GIÁO ÁN TOÁN 12

2

1. I1= (2 x  1) cos xdx
�

2013

2. I2=

0

e

x ln xdx
�
2

3. I3=

1
1

x e dx
�
2 x

0

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Ghi lại công thức tính tích phân
từng phần mà hs đã trả lời ở trên

-Nhận nhiệm vụ và suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
bài toán

b

b

b

udv  uv a  �
vdu
�
a

a

u  2x 1
�
�du  2dx
��
. Khi đó:
v  sin x
�dv  cos xdx �

1.Đặt �

-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Cho học sinh nhận dạng bài toán
trên và nêu cách giải tương ứng
-Gọi học sinh giải trên bảng

Theo dõi các học sinh khác làm
việc,định hướng,gợi ý khi cần thiết
-Nhận xét bài giải của học
sinh,chỉnh sửa và đưa ra bài giải
đúng
-Nêu cách giải tổng quát cho các
bài toán trên


2
0


2

0

dx
�
du 
�
u

ln
x
�
�
x
��
2.Đặt �

2
3
dv  x dx � x
�
v
� 3
e

Khi đó

e

e

x3
1 2
e3 x 3
e3 e3  1 2e3  1
x dx  
 

I2= ln x  �
3
3
3
9
3
9
9
1

1
1
u  x2
�du  2 xdx
�
�� x
3.Đặt �
x
ve
�dv  e dx �
2 x 1

I3= x e

0

1

Khi đó
1

 2�
xe dx  e  2 J với J  �
xe x dx
x

0

(Tính J tương tự như I3)

HĐ3: Củng cố bài



I1= (2 x  1)sin 2 x  2 sin xdx    1  2 cos x 2    3
�
0

0


GIÁO ÁN TOÁN 12
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- Từ bài toán 1,đưa ra cách giải chung nhất -Lĩnh hôi kiến thức,và ghi bài
cho bài toán tích phân dùng phép đổi biến
Kiểu 1: Đặt t = u(x), với tích phân có dạng
b

f (u ( x)).u '( x)dx
�
a

Kiểu 2: Đặt x = u(t) với tích phân có dạng
b

f ( x, m 2  x 2 ) dx hay
�

a

b

f ( x,
�
x
a

2

-Đưa ra cách đổi biến, đổi cận

1
)dx
 m2

,v.v....
- Từ bài toán 2,đưa ra một số dạng tổng
quát có thể trực tiếp dùng tích phân tưng
phần
1.

b

b

a

a

�  �
 ,
-Đặt x= msint, t ��
�2 2�
�
�  �
x=mtant, t �� , �
� 2 2�

f ( x)sin kxdx hay �
f ( x ) cos kxdx
�

b

2.

f ( x )e
�

kx

dx
u  f ( x)
u  f ( x)
�
�
hay �
dv  sin kxdx

dv  cos kxdx
�
�

a

Đặt �
b

3.

f ( x) ln
�
a

k

xdx ,v.v.....

u  f ( x)
�

Đặt �

dv  e kx dx
�

�
u  ln k x
Đặt �

dv  f ( x) dx
�

2013


GIÁO ÁN TOÁN 12

2013

V.HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ VÀ BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.Xem lai cách giải các bài toán đã giải,cách giải tổng quát và làm các bài tập còn lại
trong SGK
2.Tính các tích phân sau:
1

1

ln  1  x 2  dx
2. �

x ln(1  x 2 )dx
1. �
0

3

3.

0

e
5. �
0

e

7 x4

�sin(ln x)dx

6.

�e
0

x

 1dx

�x sin
0

ln 2

dx

4.

1

2
4

2

7.

x
�
2

1

4  x 2 dx

xdx