SKKN Giúp học sinh tư duy sáng tạo và linh hoạt trong giải toán cho học sinh lớp 8

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình dạy học giải bài tập toán, nhiệm vụ của người thầy giáo
không chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn, giúp học sinh tìm ra lời giải của bài toán
đó. Để có thể giúp học sinh rèn luyện khả năng suy luận hợp lý, hợp lôgic, khả
năng quan sát, dự đoán đồng thời bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy, hình
thành thói quen tự học như mục tiêu môn toán đã đề ra, người thầy giáo cần phải
biết định hướng cho học sinh tìm tòi, đề xuất những bài toán mới, từ đó sẽ khơi
gợi cho học sinh sự hứng thú khi học toán.
Với khuôn khổ bài viết này, tôi muốn đề cập đến một bài tập trong sách
bài tập toán 8 mà việc giải nó sẽ có thể giúp chúng ta đề xuất những bài học
mới.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu quá trình phát triển tư duy giải toán của học sinh thông qua một
bài toán cụ thể.
- Nghiên cứu quá trình phát triển tư duy sáng tạo và linh hoạt trong giải toán cho
học sinh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Học sinh lớp 8 trong độ tuổi 14 - 15 ở trường, vì lứa tuổi này năng lực tiếp thu
của các em tương đối ổn định.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- phân tích, tổng hợp đúc rút kinh nghiệm.
- Kiểm tra kết quả.
5. Giả thiết khoa học.
- Nếu chúng ta thường xuyên hướng cho học sinh từ một bài toán cơ bản rồi phát
hiện ra những bài toán mới. Từ đó tạo nên sự hứng thú trong học tập và nâng
cao hiệu quả của việc giải toán thì kết quả học tập của các em sẽ được nâng lên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lý luận:
1

Chúng ta biết rằng mọi sự vật, hiện tượng đều do một số nguyên nhân sinh ra.
Nên khi điều kiện trong nguyên nhân thay đổi thì kết quả sẽ thay đổi theo. Và
củng có thể từ những nguyên nhân ấy cũng có thể tạo ra được kết quả mới. Từ
một số điều kiện hoặc những cái đã biết ta phải chỉ ra được những cái thu được.
Nhưng việc chỉ ra được kết quả chỉ là một vấn đề yêu cầu trước mắt của bài
toán. Mà phải rèn cho học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy
khoa học, có khả năng suy xét tìm tòi thêm những gì sau khi giải được bài tập là
hết sức quan trọng. Chẳng hạn sau khi giải xong bài tập đó các em còn có thể
chứng minh thêm được những gì. Hay thay đổi một số điều kiện trong giả thiết
thì thu được bài toán mới nào.
2. Cơ sở thực tiễn:
Qua nhiều năm giảng dạy và tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngoài
huyện tôi nhận ra rằng:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư
duy trong quá trình học tập.
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực,
độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng
tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,
không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo
bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát

triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
2


toán. Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
3. Các biện pháp thực hiện:
Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp các
bài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít. Những
bài toán tương tự, mở rộng, các bài toán này có cùng phương pháp giải. Nếu
giáo viên định hướng cho học sinh kỷ năng thường xuyên liên hệ một bài toán
mới với những bài toán đã biết thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán
đó không mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán từ đó
định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực và chủ động. Sau
đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và để thể hiện nội
dung của đề tài.
* Bài toán:
Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung
điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào?
1. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
?1: Khi M di chuyển trên BC, các em hãy dự đoán I di chuyển trên đường
nào ?
Cho M trùng với các điểm đặc biệt của đoạn BC với mỗi vị trí đó, I nằm ở
A
đâu ?
HS: M ≡ B => I ≡ P (trung điểm của AB)
M ≡ C => I

≡ Q (trung điểm của AC)

Dự đoán: I di chuyển trên đoạn PQ
?2: Em có thể khẳng định dự đoán này đúng

I

P

Q

đúng không? Muốn chứng minh I di chuyển
B

H

K

M

trên đoạn PQ cần chỉ ra I thoã mãn điều kiện gì? Vì sao? Hãy để ý đến vai trò
của đoạn PQ trong tam giác ABC?

3

C


HS: PQ là đường trung bình của ∆ ABC => PQ // BC. Do đó cần chứng minh
I cách BC một khoảng không đổi: Kẻ IK ⊥ BC (K ∈ BC), cần chứng minh IK
không đổi.

?3: Các em hãy suy nghĩ xem có thể so sánh IK với một khoảng cách không
đổi nào? Lưu ý: ∆ ABC đã cho nên có các độ dài nào không đổi?
HS: Độ dài các cạnh AB, BC, AC.
?4: Có thể so sánh IK với các đoạn đó không? Hãy tìm các độ dài không đổi
khác có thể so sánh với IK?
?5: Khoảng cách từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện có thay đổi
không? Vì sao?
?6: Với giả thiết I là trung điểm của AM và IK vuông gốc với BC, ta nghĩ
đến so sánh IK với độ dài đường cao hạ từ đỉnh nào?
HS: Kẻ AH ⊥ BC ta có thể so sánh IK với AH vì IK là đường trung bình của
∆ AHM.

2. Lời giải:
Kẻ IK ⊥ BC, AH ⊥ BC (K, H ∈ BC) => IK //AH
I là trung điểm của AM (gt)
Suy ra IK là đường trung bình của ∆ AHM do đó IK =
Vì AH không đổi nên IK =

AH
2

AH
không đổi. Nói một cách khác I nằm trên
2

đường thẳng song song với BC mà cách BC một khoảng
Khi M ≡ B thì I ≡ P ( trung điểm của AB)
Khi M ≡ C thì I ≡ Q ( trung điểm của AC)
M nằm trên cạnh BC => I nằm trong tam giác ABC

AH
(1)
2
(2)
(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I di chuyển trên đoạn PQ (P là trung điểm của AB, Q
là trung điểm của AC) khi M di chuyển trên cạnh BC.
3. Xem xét lời giải của bài toán, từ đó đề xuất bài toán mới:
Qua lời giải trên ta nhận thấy, đễ chứng minh I nằm trên một đường thẳng
song song với BC ta cần chứng minh IK không đổi bằng cách so sánh với
4


đoạn không đổi AH. Với các giả thiết như vậy, có thể thay đổi vị trí I sao cho
IK không đổi ta sẽ được bài toán mới: Em nào có thể đề xuất bài toán mới
tương tự bài trên?
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC.Lấy điểm I 1
trên đoạn AM sao cho AM = 4I1M. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì I 1 di
chuyển trên đường nào ?
A
Bằng cách so sánh I1K1 với IK, IK với AH

AH
( với I1K1, IK, AH là các khoảng cách
4
P1
từ I1, I, A, đến BC; I là trung điểm của AM)

I

=>I1K1=

I1

Q1

Lời giải tương tự bài 1:
B

H

K K1 M

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển
trên cạnh BC. Gọi I2 là điểm đối xứng với A qua M.
I2 di chuyển trên đường nào ?

B

A

H M

K2 C

I2

Bài toán 3: (Tổng quát cho trường hợp thay đổi vị trí của I trên đường thẳng
AM). Cho tam giác ABC. M là điểm di chuyển trên cạnh BC. Gọi I 3 là điểm

thuộc đường thẳng AM sao cho AM = mMI 3 (m >0). I3 di chuyển trên đường
nào?

5

C


Để giải bài toán 3 cần chia thành 3 trường hợp tương ứng với 3 vị trí của I
trên đường thẳng AM.
TH1: I nằm giữa A, M => I di chuyển trên một đoạn thẳng.
TH2: I nằm trên tia đối của tia MA => I di chuyển trên một đường thẳng nằm
trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A (bài 2)
TH3: I nằm trên tia đối của tia AM => I di chuyển trên 1 đường thẳng thuộc
nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A.
Ta còn có thể thay đổi vị trí của các điểm nào để có các bài toán tương tự?
Với việc thay đổi vị trí của M cũng cho ta các bài toán:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên tia đối của BC, I 1 là
trung điểm của AM. I1 di chuyển trên đường nào ?
A

I1

z

M

D

C

B

Bài toán 5: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên đường thẳng BC. Gọi
I2 là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho AM = m.MI 2 (m>0) di chuyển trên
đường nào.
Đồng thời với thay đổi vị trí I, M thay đổi vị trí của A ta có:
Bài toán 6: (Bài toán tổng quát )
Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, A di chuyển trên đường thẳng song
song với BC và cách BC một khoảng không đổi h. M di chuyển trên đường
thẳng BC. Gọi I là 1 điểm thuộc đường thẳng AM sao cho AM = mIM (m>0).
I di chuyển trên đường nào ?

6


Trong các bài toán trên, giả thiết cho cạnh BC cố định ngoài việc đảm bảo
khoảng cách từ A đến đường thẳng BC không đổi còn nhằm mục đích giới
hạn miền di chuyển của I, nếu không tính đến giới hạn của I, ta có thể thay
giả thiết cho cạnh BC cố định bằng giả thiết cho đường thẳng cố định ta có
bài toán tổng quát cho tất cả các bài toán trên.
Bài toán 7: Cho hai đường thẳng song song a và d. Một đường thẳng c thay
đổi nhưng luôn cắt a và d. Gọi A, M thứ tự là giao điểm của c với a, c với d.
Gọi I là một điểm trên đường thẳng c sao cho AM = m.IM (m >0). Khi c thay
đổi thì I di chuyển trên đường nào?
c

a

A

I

M
d

H

K

Em hãy nêu hướng giải quyết bài toán này? Đưa về bài toán đã biết?
HS: Kẻ AH ⊥ d (tại H). Kẻ đường IK ⊥ d (tại K). Bài toán này trở thành bài
toán 6.
Ở bài toán I ta có thể thay đổi vị trí của các điểm nhưng luôn luôn đảm
bảo khoảng cách AH không đổi ta được các bài toán tổng quát hơn. Bây giờ,
nếu cố định một số điểm ta được các bài toán là trường hợp riêng của bài
toán 7.
7


Bài toán 8: (Cố định A và B) cho khác góc bẹt. Trên tia Bx lấy điểm A sao
cho AB = 2cm. M là một điểm bất kỳ thuộc tia By. Gọi I là trung điểm của
AM. Khi M di chuyển trên tia By thì I di chuyển trên đường nào ?
Thay đổi số đo của

ta được các bài toán là trường hợp đặc biệt của bài

toán 8.
Bài toán 9: Cho = 900 trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB = 2cm. M là điểm
bất kỳ trên tia By. Gọi I là trung điểm của AM. Khi M di chuyển trên tia By
thì I di chuyển trên đường nào?

x
A
I

z

D

y
B

M

K

Bài toán 10: Cho góc =300. Trên tia Bx lấy điểm A sao cho BA=2 cm. M là
tia bất kỳ trên tia By. Khi M di chuyển trên tia By thì trung điểm I của AM di
chuyển trên đường nào?
x

A
D

I

z

300
B

H

K

M

y

Trở lại với bài toán ban đầu, có thể thay giả thiết I là trung điểm của AM
bằng các giả thiết khác mà từ đó cũng suy ra được I là trung điểm của AM
không? Nhớ lại tính chất của đường chéo hình bình hành? Để có được I là
8


trung điểm của AM, hãy tạo ra một hình bình hành nhận AM là đường chéo?
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 11: Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ MD//
AC (D∈ AB), ME // AB ( E ∈ AC ) . Gọi I là trung điểm của DE, khi M di
chuyển trên cạnh BC thì I di chuyển trên đường nào?
Ta dễ dàng nhận thấy, bài toán 11 chính là bài toán I sau khi chứng minh
được I là trung điểm của AM

A
M

D
I

P

B

H

Q

K

C

E

Từ bài toán 11, ta có thể đề xuất các bài toán mới là trường hợp riêng của nó
bằng cách thay đổi số đo góc A.
Bài toán 12: Cho tam giác ABC vuông ở A. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.
Gọi D, E thứ tự là chân các đường vuông góc kể từ M đến AB, AC .
Gọi I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên cạnh BC thì I di chuyển
trên đường nào?

B
M
D
P

K
I

H

9

A

E

Q

C

Nếu tiếp tục thay đổi vị trí của M trên đường thẳng BC, thay đổi vị trí của A
như các bài toán trên ta lại được những bài toán mới nữa.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình giảng dạy năm học vừa qua khi áp dụng kinh nghiệp
của mình để soạn giảng và vận dụng vào thực tế thì tôi thấy có sự thay đổi:
- Học sinh đã có những thái độ học tập tích cực, thích thú hơn trong
tiết học, chủ động nêu lên những thắc mắc, khó khăn về bộ môn với giáo
viên, các em hưởng ứng rất nhiệt tình. Bên cạnh đó những bài tập giao về
nhà đã được các em làm một cách nghiêm túc, tự giác học bài và nắm được
các kiến thức cơ bản sau khi học xong mỗi bài.
- Phần lớn chất lượng các bài kiểm tra đã được nâng lên.
Cuối năm học kết quả cụ thể lớp 8A với 35 học sinh là.
Tổng số
HS
Đầu năm
Cuối năm

Giỏi
SL

%
7
20
10
28,6

Khá
SL
%
16 45,7
18 51,4

TB
SL
12
7

%
34,3
20

Yếu
SL
%
0
0
0
0

Kém

SL
%
0
0
0
0

C. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ:
Như vậy từ một bài toán ta có thể xây dựng được nhiều bài toán khác. Muốn
vậy học sinh phải nắm được các yếu tố bản chất cũng như không bản chất
của bài toán đó để thay đổi các yếu tố không bản chất và giữ lại các yếu tố
bản chất để có bài toán mới. Từ đó giúp học sinh giải quyết được rất nhiều
bài toán chỉ từ một bài tập. Đồng thời rèn cho học sinh khả năng biết nhận
dạng bài toán, đưa nó về dạng quen thuộc.
Trong quá trình thực hiện đề tài, bản thân tôi đã có nhiều cố gắng song không
thể tránh khỏi những sai sót, mong rằng bạn đọc góp ý bổ sung để đề tài được
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
10


Thạch Hà, tháng 09 năm 2016

11