SKKN Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt kết quả từ một bài toán trong sách giáo khoa chương trình đại số cấp THCS

I/ §ÆT VÊN §Ò:
1. Lí do chọn đề tài:
Sự phát triển của một đất nước liên quan mật thiết đến trình độ dân trí của
đất nước đó. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí
góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám.Toán học không chỉ cung cấp cho
con người những kỹ năng tính toán cần thiết, mà rèn luyện cho con người khả
năng tư duy lôgích, một phương pháp luận khoa học.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán học, người thầy giáo đóng góp vai trò
quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy lôgích và phương pháp
luận khoa học cho học sinh.
Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và
giải toán thì tìm ra kết quả một bài toán chưa có thể coi là kết thúc được mà phải
tiến hành khai thác, mổ xẻ và phân tích bài toán đó.
Việc dạy học, giải toán người dạy cũng như người học cần tạo cho mình 1
thói quen suy nghĩ, khai thác bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có, đã tìm được
kết quả. Chính vì lý do đó tôi chọn đề tài:
"Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt kết quả từ một bài toán
trong sách giáo khoa chương trình đại số cấp THCS".
Nhằm phát triển tư duy lôgích và phương pháp luận khoa học. Thông qua
đề tài hình thành cho học sinh khả năng thích ứng với những thay đổi thực tiễn
để tự chủ, tự lập trong lao động, học tập. Hình thành cho học sinh năng lực ứng
xử, kĩ năng diễn đạt ( bằng lời, bằng viết) kích thích trí tưởng tượng, gây hứng
thú học tập toán góp phần rèn luyện phương pháp học tập, chủ động linh hoạt
sáng tạo.
2. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy chương trỡnh đại số 8
Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Thiếp
3. Mục tiờu, nhiệm vụ nghiờn cứu:
Chỉ ra những phương pháp giúp học sinh biết vận dụng giải các bài tập từ kết
quả bài toán cơ bản.
Nhằm đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là

chất
1


lượng mụn toỏn.
II/ NỘI DUNG:
1. Cơ sở lí luận:
Giải bài tập toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái
đó cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nh−ng các quy tắc suy luận,cũng
nh− các ph−ơng pháp chứng minh ch−a đ−ợc dạy t−ờng minh. Do đó, học sinh
th−ờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy
rằng học sinh khá giỏi th−ờng nhiều kinh nghiệm, còn học sinh trung bình, yếu
kém gặp nhiều lúng túng. Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện
tập. Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng. Việc luyên
tập sẽ có nhiều hiệu quả nếu nh− biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang
một loạt bài tập t−ơng tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một
ph−ơng pháp chứng minh nào đó.
Quan sát đặc điểm bài toán là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự
khái quát h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì
không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giảI đề bài trong một loạt vấn đề nào
đó. Do đó h−ớng suy nghĩ và ph−ơng pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý
nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát đ−ợc h−ớng suy nghĩ và
cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề
cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề
mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề
khác”. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác h−ớng suy nghĩ và
cách giải.
2. Cơ sở thực tiễn.
Với quan điểm hiện nay là dạy học phát huy tính tích cực độc lập sáng tạo trong
nhận thức của học sinh. Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh ngại giải các bài

toán lạ, ít khi tỡm tũi thêm xung quanh bài toán đó và không biết cách liên kết
các bài toán có nội dung gần giống nhau. Vỡ vậy trong quỏ trỡnh dạy học từ một
bài toỏn cơ bản tôi đó hướng dẫn học sinh khai thác bài toán khác từ kết quả của
bài toán cơ bản đó.
Khi chưa thực hiện được đề tài này: Học sinh thường giải bài tập xong là
xong, khi đưa ra bài toán khai thác thì ít học sinh làm được.

2


Kết quả khi thực hiện đề tài này: Trong quá trình giải bài toán đưa ra các
bài tập tương tự bài đã làm, nhưng thay đổi cấu trúc bài toán thì học sinh làm tốt
hơn.
3. Những biện pháp thực hiện:
* Học sinh có kiến thức cơ bản tổng hợp.
* Hướng dẫn học sinh nhìn thấy cấu trúc lôgích của bài toán đặc biệt nhìn
thấy sự liên hệ giữa các bài toán.
* Rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận, tư duy lôgích, khả năng phán
đoán khi giải bài toán.
4. Giải pháp:
* Xuất phát từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa chương trình đại
số lớp 8.
* Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:
Bài toán 1: Phân tích đa thức:

a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhân tử.

Để phân tích đa thức : a3 + b3 +c3 -3abc thành nhân tử sử dụng phương
pháp dùng hằng đẳng thức.
A3 + B3 =( A+ B) ( A2 -AB + B2 ). Và phương pháp đặt nhân tử chung.

Lời giải:
a3 + b3 +c3 -3abc = ( a+b)3 -3a2b - 3ab2 +c3 - 3 abc
=( a+b)3 +c3 -3ab( a+b+c) =
=( a+b+c) [(a+b)2 - c(a+b) + c2] - 3ab( a+b+c) =
=( a+b+c)( a2 + b2 + c2 -ab-bc-ac)
Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: (x-y)3 +( y-z)3 +(z-x)3 = 3( x-y)(y-z)
(z-x)
Từ bài toán 1 học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán 2. Nếu ta gợi ý
học sinh đặt: x- y = a
y- z = b
z- x = c
Lêi gi¶i v¾n t¾t :
®Æt:

x- y = a
y- z = b => a+b+c=0
3


z- x = c
Do đó theo bài toán 1 ta có :

a3 + b3 + c3- 3abc = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc

hay ( x-y)3 +(y-z)3 +(z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) ( đpcm).
Bài toán 3:
Cho

1 1 1

0
a b c

Tính giá trị của biểu thức : M =

ab bc ca


c2 a2 b2

Theo bài toán 1 nếu có: a+ b+ c = 0 thì có : a 3 + b3+ c3 =
3abc
áp dụng vào bài toán đã cho ta có:

1
1
1
3 3
3
a
b
c

bằng bao

nhiêu?
ở đây học sinh dễ dàng tính đợc

1
1

1
3
3 3=
3
abc
a
b
c

(suy ra

từ bài toán 1)
Lời giải vắn tắt:

Thật vậy nếu ta có a+b+c = 0 thì

có a3 +b3+c3 = 3abc
( suy ra từ bài toán 1)
áp dụng vào bài toán đã cho ta có:
Do đó: M=

1
1
1
3
3 3=
3
abc
a
b

c

1
1
3
ab bc ca abc abc abc
1
2 2 = 3 3 3 abc 3 3 3 abc.
2
abc
c
a
b
b
c
c
a
b
a

=3
Vậy M = 3
Bài toán 4:
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Biết a 3 +b3+c3
= 3abc (1)
Chứng minh tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c thoả mãn
điều kiện (1) là tam giác đều.
Lời giải: Dễ dàng chứng minh đợc bài toán 4 suy ra từ bài
toán 1.
4

Thật vậy : a3+b3+c3 = 3abc
a3+b3+c3-3abc = 0
(a+b+c)(a2+b2+c2- ab-bc-ac) = 0

Mà a+b+c>0 ( tổng độ dài 3 cạnh trong tam giác)
a2+b2+c2- ab- bc- ac = 0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 0
a = b = c.

Vậy tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c thoả mãn điều kiện
(1) là tam giác đều.
Bài toán 5: Cho : a3 +b3+c3 = 3abc
a
b

b
c

c
a

Tính giá trị của biểu thức : A=(1+ )(1+ )(1+ ). Nếu
không có bài toán một thì trong quá trình tính giá trị của
biểu thức A thì học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn.Dựa vào bài
toán 1 học sinh dễ dàng tìm đợc các giá trị của A ứng với các
trờng hợp.
Lời giải vắn tắt:
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc =0

(a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0



a+b+c=0
a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac = 0
a
b

* Nếu: a + b + c = 0

b
c

c
a

A = (1+ )(1+ )(1+ ) =

a b b c a c
.
.
=
b
c
a
c a b abc
.
.

= -1
abc
b c a

=


* Nếu:

A = -1

a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac = 0

2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
5


(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = 0
a=b=c
a
b

b
c

c
a

Khi đó: A= (1+ )(1+ )(1+ ) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8
Bài toán 6:

Cho:

a+b+c=1
a2+ b2+c2 = 1
a3+ b3+c3 = 1

Tính giá trị của biểu thức: P = a2004 + b2005 + c2006
Rõ ràng bài toán ở đây phức tạp hơn những vận dụng kết
quả bài toán 1 để tìm ra giá trị của a, b,c. Từ đó tính đợc giá
trị của biểu thức P đối với các trờng hợp.
Lời giải:
Ta có: a3 + b3 +c3- 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2- ab- bc- ac)
(bài toán 1)
1-3abc = 1.(1- ab- bc- ac)

(vì a+b+c =1;

a2+b2+c2 =1; a3+b3+c3 = 1)
3abc = ab +bc +ac

Ta lại có: a2 + b2 +c2 = 1(gt)

ab +bc +ac = 0 3abc

=0
a=0


b=0
c=0

* Nếu a = 0:


b+c =1
b2+c2=1
b3+c3=1

Từ b+c = 1 b2+c2+2ac = 1 2ac = 0 (vì b2+c2=1)


b = 0 c =1
c=0

b=1
6


a=0



b=0

a=0
hoặc

c=1

b=1
c=0

P=1

Nếu b = 0 làm tơng tự, ta có:
a = 0
a=1
b= 0

hoặc

b=0
c = 1
c=0
P=1



Nếu c = 0 làm tơng tự ta có:

a=0
a=1
b=1

hoặc

b=0
c=0
c=0

P=1

Nh vậy trong mọi trờng hợp ta đều có P = 1.
Bài toán 7:
Cho:

x+y+z=a
x2+y2+z2=b2
1 1 1 1

x y z c

Tính x3+y3+z3 theo a,b,c

7


Tơng tự bài toán 6 vận dụng kết quả bài toán 1 học sinh
dễ dàng tính đợc giá trị của tổng x3+y3+z3 theo a,b,c
Lời giải:
Ta

có:

x3+y3+z3

-3xyz

=

(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

(bài toán 1)


x3+y3+z3 = 3xyz+a[b2- (xy+yz+zx)]

(1)

(vì x+y+z=a; x2+y2+z2 = b2)
Mặt khác từ: x+y+z = a x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) = a2

1

1

1

1

(2)

x2+y2+z2 = b2)

(Vì
Từ x y z c

a2 b2

2

xy+yz+xz =



xy yz xz 1

xyz
c





xyz = c(xy+yz+xz)



xyz = c.

a2 b2
2

(3)

Kết hợp (1),(2),(3) ta có:
3

3

3

x +y +z
Hay:

2
2
a2 b2
2 a b
= 3c.
+ a(b )
2
2

x3+y3+z3 =

3c(a 2 b 2 ) a (3b 2 a 2 )
2

Bi tp b sung:
Bài tập 1:
Rút gọn biểu thức:

x 3 y 3 z 3 3xyz
[ x y y z z x ]
2

2

2

Bài tập 2:
Cho x, y là 2 số thoả mãn:
ax+by=c
bx+cy= a
cx+ay= b
Chứng minh rằng: a3+b3+c3 = 3abc
8


Bài tập 3:
Cho a, b, c là 3 số khác không thoả mãn:
a3b3+b3c3+c3a3=3 a2b2c2
Tính giá trị của biểu thức:




a
b

b
c

c
a

P= 1 1 1

III/ KếT LUậN Và KIếN NGHị:
Bằng phơng pháp xây dựng các bài toán có cùng phơng
pháp giải nh trên. Tôi thấy hc sinh pháp huy đợc tính tích cực,
sáng tạo trong học tập, đến thời điểm này so sánh đối chứng
với khảo sát ban đầu có kết quả nh sau:

Khi cha thực
hiện đề tài
Khi thực

Làm đợc
SL
%
7/34
21
17/34

50

Gợi ý làm đợc
SL
%
10/34
29
13/34

Không làm đợc
SL
%
17/34

50

38

4/34

12

hiện đề tài
Khi thực hiện đề tài này thì số học sinh làm đợc bài toán
khai thác tăng

10 em, số học sinh không làm đợc giảm 13

em .
Trên đây là một số bài toán cho phơng pháp vận dụng
linh hoạt kết quả bài
toán quen thuộc trong sỏch giỏo khoa chơng trình đại số 8 để rèn
luyện cho học sinh cách học toán nhằm làm cho quá trình dạy
và học toán càng sáng tạo hơn và sinh động hơn, phát huy đợc
tính tích cực sáng tạo của học sinh.
Bài viết trên đây chắc chắn còn thiếu sót, rất mong
đợc sự góp ý trao đổi của các bậc thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp để vấn đề trên hoàn thiện hơn..
Xin chân thành cảm ơn!

9


10