Dàn và đại số Boole

Khãa luËn tèt
nghiÖp

Vò ThÞ
LÞch

Líp K32DTo¸n

1


Khóa luận tốt
nghiệp

Trườngưđạiưhọcưsưưphạmưhàưnộiư2ư Khoaư:ưToán
***************

Vũưthịưlịch

Dànưvàưđạiưsốưboole
Khóaưluậnưtốtưnghiệpưđạiưhọc
Chuyênưngànhư:ưĐạiưsố

Ngườiưhướngưdẫnưkhoaưhọc
ThạcưsĩưHàưThịưThuưHiền

hàưnộiư-2010

Vũ Thị
Lịch

Lớp K32DToán

2


lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa Toán trờng ĐHSPHN 2 đợc
sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy, cô giáo em đã tiếp
thu đợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phơng pháp
học tập mới, bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa
học. Trớc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận đợc sự giúp đỡ,
động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa. Qua đây,
em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy, cô và các bạn
trong khoa. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô,
thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, ngời đã hớng dẫn tận tình để
giúp em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 05 năm
2010 Sinh viên

Vũ Thị Lịch


lời cam đoan

Khóa luận của em đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của cô,
thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bản
thân.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em
có tham khảo tài liệu của một số tác giả (có nêu trong mục

tài liệu tham khảo ). Em xin cam đoan những kết quả
trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không
trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm
2010 Sinh viên

Vũ Thị Lịch


mục lục
Phần 1. mở đầu

Trang

1. Lý do chọn đề tài

5

2. Mục đích nghiên cứu

5

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

5

4. Phơng pháp nghiên cứu

6

5. Cấu trúc khóa luận

6

phần 2. nội dung

7

Chơng 1. Quan hệ thứ tự

7

1.1.
nghĩa quan hệ thứ tự

Định
7

1.2.
trội trực tiếp

Trội và
8

1.3.
đồ Hasse

Biểu

8

1.4.
phần tử cực trị

Các
10

1.5.
trên và chặn dới

Chặn
12

1.6.
hệ thứ tự toàn phần

Quan
12

1.7.
về quan hệ thứ tự

Bài tập
13

Chơng 2 . Dàn

17

2.1.
nghĩa dàn và quan hệ thứ tự trên dàn

Định
17

2.2.
về dàn

Bài tập
19

2.3.
con

Dàn
21

2.4.
về dàn con

Bài tập
24

2.5.
cấu

Đồng
25

2.6.
về đồng cấu

Bài tập
28

Chơng 3. Đại số Boole

30

3.1.
nghĩa Đại số Boole và các ví dụ

Định
30

3.2.
Boole và dàn

Đại số
31

3.3.
Boole con

Đại số
33

3.4.

về Đại số Boole

Bài tập
34

Chơng 4. Đồng cấu và Đại số Boole hữu hạn

35

4.1.
cấu

Đồng
35

4.2.
Boole hữu hạn

Đại số
36

4.3.
trận

Ma
39


4.4.
về đồng cấu và Đại số Boole hữu hạn

Chơng 5. Hàm Boole

Bài tập
40
41

5.1.
nghĩa hàm Boole và các ví dụ

Định
41

5.2.
Boole các hàm Boole

Đại số
42

5.3.
thu gọn và dạng tối tiểu

Dạng
45

5.4.
về hàm Boole

Bài tập
45

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49


phần 1. mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Đại số học là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong KH
Toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán học
hiện đại. Ngày nay nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán,
các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều ngời khác quan tâm đến
Toán học nói chung và môn Đại Số nói riêng, ngày càng gia
tăng nhằm nâng cao hiểu biết của mình.Với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dới góc độ một sinh viên
s phạm Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp
cùng với sự giúp đỡ của cô giáo, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em
xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề
tài : Dàn và Đại số Boole.
George Boole (1815-1864) và De Morgan (1806-1871) đã
sáng lập ngành Logic Toán độc lập với Triết học. Sau đó
Boole đã dành nhiều công sức cho tác phẩm chủ yếu của
mình Các định luật của t duy xuất bản năm 1854,
đó chính là nguồn gốc của đại số Boole ngày nay.
Trong đề tài này, em chỉ tập trung vào trình bày những
vấn đề cơ bản về: Quan hệ thứ tự, Dàn (một tiền cấu trúc
của đại số Boole), và đại số Boole.

2.Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bớc đầu làm
quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về


đại số học, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về Dàn và đại
số Boole.

3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này đợc nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm
nổi bật các đặc trng của Dàn và đại số Boole.


4.Phơng pháp nghiên cứu
Đề tài đợc hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phơng pháp :
- Nghiên cứu lý luận .
- Phân tích.
-Tổng hợp.
- Đánh giá.

5.Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham
khảo, khóa luận gồm 5 chơng:
Chơng 1. Quan hệ thứ
tự. Chơng 2. Dàn.
Chơng 3. Đại số Boole.
Chơng 4. Đồng cấu và đại số Boole
hữu hạn. Chơng 5. Hàm Boole.

Trong suốt quá trình nghiên cứu đợc cô, thạc sĩ Hà Thị
Thu Hiền chỉ bảo giúp đỡ tận tình em đã hoàn thành khóa
luận này. Một lần nữa cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
cô. Em rất mong các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên trong
khoa đóng góp ý kiến để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm
2010 Sinh viên


Vò ThÞ LÞch


phần 2. nội dung
Chơng 1. Quan hệ thứ tự
1.1. Định nghĩa quan hệ thứ tự
Định nghĩa 1. Cho tập A, một quan hệ hai ngôi trong A
đợc gọi là một quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản xạ, phản
đối xứng và bắc cầu.
i) Tính phản xạ : x x với mọi
x A ii)Tính phản đối xứng
:
xy
thì x=y
yx

iii)Tính bắc
cầu :
xy

thì x z

yz

Kí hiệu quan hệ thứ tự bởi
dấu hay

A nếu muốn nhấn mạnh tập

A.Tập

A với quan hệ thứ tự thì ngời ta viết là (A, ) hay (A, A ).
Ví dụ:
i) Với n N * , gọi U

n

là tập các ớc nguyên dơng của n. Quan hệ
trên U n


®îc cho bëi a  b nÕu a lµ íc cña b th× (U n ,  ) lµ mét quan hÖ
thø tù.


ii)

E là một tập cho trớc, P(E) là tập luỹ thừa bao tất cả các

tập con của E với quan hệ , , , tức là A,BP(E) thì A B nếu
A B. Khi đó (P(E), ) là một quan hệ thứ tự.

1.2. Trội và trội trực tiếp.
Định nghĩa 2. (A, ) là một quan hệ thứ tự cho trớc.
i)
Nếu x y thì ta nói rằng y là một trội của x còn x đợc
trội bởi y.
ii)

Nếu y x và y là một trội của x, đồng thời không

tồn tại một phần tử z khác x và y nào để x z y thì y đợc
gọi là một trội của x.
Ví dụ :
i) (Q,) một quan hệ thứ tự thì mọi số hữu tỉ đều không
có trội trực tiếp.
Tính chất này gọi là tính trù mật của Q.
ii) (U n , u) thì trội trực tiếp của 1 là toàn bộ các ớc nguyên tố
của n.
iii) ( Z, ) là một quan hệ thứ tự thì trội trực tiếp của n là n+1.
iv) (P(E), ) thì trội trực tiếp của là tất cả các tập con của E
chỉ có 1 phần
tử. Còn trội trực tiếp của tập AP(E) là các tập con
của E có dạng A b, b A.
1.3. Biểu đồ Hasse
Định nghĩa 3. Cho A là một tập hữu hạn phần tử còn (A, )
là một quan hệ thứ tự trên A. Một biểu đồ Hasse của (A, ) là
một đồ thị hữu hạn định hớng trong mặt phẳng (V,C) đợc
xác định nh sau:
i) Tập các đỉnh V có tơng ứng 1-1 với các phần tử của A.

ii) x,yA t¬ng øng víi a,bV th× a vµ b ®îc nèi bëi mét cung
®i khái a vµ ®i tíi b nÕu y lµ mét tréi trùc tiÕp cña x.


VÝ dô:
i) A=8, 7,..., 1, 0 víi quan hÖ  th«ng thêng, th× (A  ) cã biÓu
®å Hasse lµ:
|

|

-8 . . . -3

ii)

|

|

|

-2

-1

0

1

|

2

|

3

5

15

E={1,3,5} th× biÓu ®å Hasse cña (P(E),  ) cã d¹ng
{3}


{1}

{1,3}
{3,5}

{5}

{1,5}

{1,3,5}

|

3 ... 8

BiÓu ®å Hasse cña (U15 , u) nh sau:

1

iii)

|


1.4. Các phần tử cực trị
Định nghĩa 4.Với một quan hệ thứ tự (A, ) cho trớc, ta nói
rằng:
i)
Nếu a A và a không có một trội thực sự nào thì a là
một phần tử tối
đại của A.
ii)

Nếu b A và b không là một thực sự của một phần tử

nào thì b là một phần tử tối tiểu của A.
iii)

Nếu m A và x m, với mọi x A hay m là trội của tất cả

các phần tử của A thì m đợc gọi là một phần tử lớn nhất
của A.
iv)

Nếu n A và n x, với mọi x A hay mỗi phần tử của A

đều là một trội của n thì n là một phần tử nhỏ nhất của A.
v)
Các phần tử tối đại hay tối tiểu của A đợc gọi chung là
phần tử cực
trị.
Ví dụ:
i) ( R, ) không có phần tử cực trị nào.
ii)

(U 9 , u) có phần tử tối tiểu và là phần tử nhỏ nhất chính

là số 1, có phần tử tối đại đồng thời là phần tử lớn nhất đó là
số 9.
iii)

E={2,4,6} thì (P(E), ) có phần tử tối đại và là phần tử

lớn nhất E, có phần tử tối tiểu và là phần tử nhỏ nhất .Với tập
E bất kỳ cũng nh vậy.
Định lý 1.Với (A, ) là một quan hệ thứ tự cho trớc, khi đó ta
có:
i) Phần tử lớn nhất nếu tồn tại, thì đó cũng là phần tử tối đại
duy nhất.


ii)

Phần tử nhỏ nhất nếu tồn tại, thì đó cũng là phần tử

tối tiểu duy nhất. Chứng minh:

i) Giả sử m là phần tử lớn nhất của (A, ) . Khi đó theo định
nghĩa ta có x m, x A.
Nếu m x thì từ trên ta có: m=x i).


ii)

Giả sử n là phần tử nhỏ nhất

của (A, ). Theo định nghĩa ta có
n x, x A.
Nếu x n thì theo trên ta có : n=x ii).
Định lý 2. (A, ) là một quan hệ thứ tự với tập A hữu hạn thì ta
có:
i) (A, ) luôn có phần tử tối đại và phần tử tối tiểu, và mọi phần
tử của A đều là trội của một phần tử tối tiểu và đợc trội bởi
một phần tử tối đại.
ii)

Nếu A chỉ có duy nhất một phần tử tối đại, thì đó cũng

là phần tử lớn nhất của A.
iii)

Nếu A chỉ có duy nhất một phần tử tối tiểu, thì đó

cũng là phần tử nhỏ nhất của A.
Chứng minh:
i) Với a A, nếu a không tối đại thì a có một trội thực sự là a 1 .
+ Nếu a 1 tối đại thì có nghĩa A tồn tại phần tử tối đại là

trội của a (đạt yêu cầu).
+ Nếu a 1 không tối đại khi đó tồn tại a 2 là một trội thực
sự của a 1
+ Lặp lại lập luận này, ta sẽ đợc một dãy tăng: a a1 a2 ... an
...

mà phần tử sau là một trội thực sự của phần tử trớc.
+ Vì A hữu hạn cho nên sau hữu hạn bớc sẽ phải kết
thúc. Ta gọi b là phần tử cuối cùng của quá trình này thì b là
một trội của a và b tối đại.
+ Tơng tự nh vậy ta cũng chỉ ra sự tồn tại phần tử tối tiểu
đợc trội bởi


a.
ii) Giả sử m là phần tử tối đại duy nhất của A. Với x A bất kỳ
theo i) thì tồn tại một y tối đại là trội của x. Bởi tính duy
nhất của phần tử tối đại trong A, nên y=m. Do đó m là một
trội của x với mọi x A. Vậy m là phần tử lớn nhất.
iii) Chứng minh tơng tự ii).


1.5. Chặn trên và chặn dới
Định nghĩa 5. B là 1 tập con của một tập A và là một
quan hệ thứ tự trên A. Khi đó, ta nói rằng:
i) c A gọi là một chặn trên của B nếu b c với mọi b B.
ii)
iii)

d A gọi là một chặn dới của B nếu d b với mọi b B.

Phần tử c A đợc gọi là phần tử lớn nhất của B và kí hiệu

là maxB nếu c B và c là một chặn trên của B.
iv) Phần tử d A đợc gọi là phần tử nhỏ nhất của B và kí hiệu
là d=minB nếu d B và d là một chặn dới của B.
v)

Phần tử bé nhất của tập {c A | c là một chặn trên của B}

đợc gọi là một chặn trên đúng của B và kí hiệu là supB.
vi)

Phần tử lớn nhất của tập {d A | d là một chặn dới của B}

đợc gọi là chặn dới đúng của B và kí hiệu là infB.
Ví dụ:
i) Tập số thực R với quan hệ thông thờng và B=(0,2) thì
maxB và minB không tồn tại nhng supB=2, infB=0.
ii)

( Z, ) và B={2,3,4,5} thì infB=minB=2; supB=maxB=5.

1.6. Quan hệ thứ tự toàn phần.
Định nghĩa 6. Một quan hệ thứ tự trên A, (A, ) là một
quan hệ thứ tự toàn phần nếu nh hai phần tử bất kỳ của A
luôn so sánh đợc với nhau. Tức là nếu x,yA thì hoặc x y
hoặc y x.
Nhận xét: A là một tập hữu hạn và (A, ) là một quan hệ thứ
tự thì (A, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần nếu và chỉ
nếu biểu đồ Hasse của nó là một đồ thị liên thông.

Ví dụ:
i) ( R, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần.
ii) Cho n là hợp số lớn hơn 2 thì (U n , ) không phải là quan
hệ thứ tự toàn phần, vì nếu gọi p,q là các ớc nguyên tố
khác nhau của n thì p,q không so sánh đợc.
iii) (P(E), ) với E nhiều hơn một phần tử cũng không phải là
quan hệ thứ tự toàn phần, vì với a,b là 2 phần tử khác
nhau của E, thì A={a}, B={b} không so sánh đợc.
1.7. Bài tập
n

Bài 1. N là tập các số tự nhiên A=N với n nguyên dơng,
trên A ta xây dựng một quan hệ < nh sau:
a=( x1 , x2 ,..., xn ,...) A, b ( y1, y2 ,..., yn ,...) thì
B

an để
và

xk yk .

a)Chứng minh rằng (A, ) là một quan hệ thứ tự, ngời ta gọi
quan hệ này là quan hệ thứ tự từ điển.
b)(A, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần.
c) Mọi B A và khác rỗng đều tồn tại minB.
d)Mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB.
e)Nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn.

f) Cho biết các trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất.
Giải
a) . Tính phản xạ: a a, a A.
Thật vậy với a (x1, x2 ,..., xn ) A thì tồn tại k n để
x1 x1 , x2 x2 ,..., xk 1 xk 1, xk xk a a.


. Tính phản đối xứng: a (x1, x2 ,..., xn ) A, b ( y1 , y2
,..., yn ) B

thì

a
(1)

n để b
(2)

tồn tại k n để Từ (1)
và (2) a=b.
.Tính bắc cầu:
a (x1, x2 ,..., xn ) A, b ( y1, y2 ,..., yn ) B, c (z1, z2 ,..., zn )
C

thì

a

(3)

y1 z1, y2 z2 ,..., yk 1 zk 1 , yk zk b c

(4)

n để b
tồn tại k n để
Từ (3) và (4) ta có k x1 z1, x2 z2 ,..., xk 1 zk 1, xk zk a c a c
n để
Vậy (A, ) là một quan hệ thứ tự, ngời ta gọi quan hệ này là
quan hệ thứ tự từ
điển.
b)Theo phần a) thì (A, ) là một quan hệ
thứ tự.Với

a, b A thì a,b luôn

so

sánh đợc với nhau vì a (x1, x2 ,..., xn ) A, b ( y1 , y2 ,..., yn ) A thì k n
để
x1 y1 , x2 y2 ,..., xk 1 yk 1 , xk yk a
hay k n
để

x1 y1 , x2 y2 ,..., xk 1 yk 1 , xk yk a>b

a, b A thì a b hoặc b a .

Vậy (A, ) là một quan hệ thứ tự toàn phần.
c) Giả sử của B.


B A, B , b thì
B

d A : d b d B


và d là một chặn
dới

d là phần tử nhỏ nhất của B tức

d=minB. Vậy mọi B A và khác rỗng
đều tồn tại minB.
d) B A, B ,

B hữu hạn thì b B, c A : b c c là một chặn trên
của B(B

hữu hạn ) và do B A c B c =maxB.


Vậy mọi tập con hữu hạn B khác rỗng của A đều có maxB.
e)

B A, B đạt supB nên theo định nghĩa ta có tồn tại c A là

phần tử bé nhất của tập {c A | c là một chặn trên của B}.
B hữu hạn vì nếu B không hữu hạn thì không tồn tại c là
chặn trên của B. Khi
đó không tồn tại supB.
Vậy nếu một tập con B của A có supB thì B hữu hạn.
f) Các trội trực tiếp của phần tử
nhỏ nhất Ta thấy phần tử nhỏ
nhất của A là N
Do đó các trội trực tiếp
của N là

2

N NN

Bài 2. Cho một quan hệ (A, ) với biểu đồ Hasse nh sau:

b

a

e

c

f

d

g

h

k

Hãy cho biết:
a)Các trội trực tiếp của a ?
b)min{b,c,d}; inf{b,c,d} ?
c) Cho biết các phần tử tối tiểu và các phần tử tối đại ?
d)(A, ) có phần tử lớn nhất không ?