Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành
cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả
nước. Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng
quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, hình học xạ
ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Thế mạnh của môn học là giúp chúng ta giải quyết các bài toán
về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng ) một cách
tổng quát.Với niềm đam mê Toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn
Hình học, tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các
vấn đề liên quan đến hình học.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các khái
niệm, định lý về ánh xạ xạ ảnh và biến đổi ánh xạ rất quan trọng khi giải
bài tập và tư duy hình học.
Dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy tôi đã phần nào làm
được điều đó. Trong khuôn khổ một khóa luận và thời gian nghiên cứu
nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu
xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh ”
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ
ảnh cùng các tính chất của nó.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán

Page 1

4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu.
Tìm hiểu tổng quan về Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và
thấu xạ xạ ảnh
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất về ánh xạ xạ ảnh
Tìm hiểu về phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ
Định hướng cách giải một số bài toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh
và phép chiếu xuyên tâm
6. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh”
giúp em hiểu thêm về hình học xạ ảnh và biết cách áp dụng giải bài tập
và có cái nhìn đúng đắn hơn về môn học này


Chương 1. ÁNH XẠ XẠ ẢNH
1.1. Định nghĩa

Cho các K- không gian xạ ảnh (P,p, V) và (P', p', V').
Một ánh xạ f : P → P' được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ
tuyến tính φ : V → V', sao cho nếu véc tơ x C V là đại diện cho điểm
X C P thì véc tơ φ (x) C V' là đại diện cho điểm f (X) C P' nói cách
khác, nếu p(





) = X thì:

x

p

(
x)



f ( X )

Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính là φ là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f.
1.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh

Cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P', có đại diện là ánh xạ tuyến tính
φ: V → V'.
Khi đó:
1.2.1. Ánh xạ tuyến tính φ là đơn cấu.
Thật vậy, nếu có véc tơ x C V \ {0 } là đại diện cho điểm X C P,

thì véc tơ φ( x ) đại diện cho điểm f (X) nên φ( x ) C V' \{ 0 }


Ker

 0

1.2.2. Ánh xạ f là ánh xạ đơn ánh.
Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P mà f (A) = f (B). Khi




đó, nếu gọi a và b là các véc tơ đại diện của A và B thì φ( a ) và φ( b )
cùng đại diện cho một điểm f (A) = f (B) nên φ( a ) = kφ( b ), k ≠ 0 .
Vì φ đơn cấu nên suy ra a = k b , tức là A và B trùng nhau.
1.2.3. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ


điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính của hệ véc tơ).
Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều


của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và
của chùm bốn siêu phẳng.
1.2.4. Ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỷ số kép



C A1
 B Nếu1 

 D
1 A 1
B



thì F (C) 1F ( A) 1F (B)




F (D) 1F ( A) 1F (B)



C 
1 A
1 B
hay 
D 2 A2 B
( ABCD) ( ABCD)
1.2.5. Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' là đại diện cho một ánh xạ xạ
ảnh duy nhất f : P → P'. Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' và φ' : V →
V' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P → P' khi và chỉ khi có số
k C K \ {0 } sao cho φ = kφ'.
1.3. . Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh
1.3.1 Định lý: Cho trong P mục tiêu xạ ảnh R=S ,U và trong Pn
i
n



n

mục tiêu

RS,

n

n
. Khi đó có và duy nhất ánh xạ xạ ảnh f:P → P

U n
i

sao cho f (Si ) Si(i 
0, n)
f (U ) U 

Chứng minh

+) Gọi ε,ε’ là các cơ sở đại diện của R và R’


Khi đó có và duy nhất ánh xạ tuyến tính F : V


F (ei ) ei, (i o, n) .

Gọi f là ánh xạ xạ ảnh xác định bởi F thì

n+1

n+1

→ V’

sao cho

f (Si )  và do :
S i


n



n

n


F (  ei )
 F (ei )
 ei
0

i0



nên F(U) = U’ (i o, n)

0

n

n

+) Nếu có ánh xạ xạ ảnh g: P →P’ mà g (S i ) S i, g (U ) U (i 0,
n)

Gọi G là ánh xạ đại diện của g




G (ei )
ki ei (i 0, n)
n



n 

G ( ei ) k .( ei)
n

n

0

0

n

n



n





Do G (  ei )  G (ei ) ki .eik (  ei)
 k.ei
0
n

i

i0



i0

0

0



 (k ki).ei0
i0

k  i 0, n




ki
Vậy G (ei ) k.eik.F (ei )i 0, n


 
n 1
hay G=k.F suy ra g = f
G ( x) k .F ( x)x V

1.4. Đẳng cấu xạ ảnh. Hình học xạ ảnh
Dễ thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f : P → P' là một song ánh khi và chỉ khi
P và P' có cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và
hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu.
n

Nếu trong không gian xạ ảnh P cho hai mục tiêu xạ ảnh { S i ,E} và
n

{ Si , E}, thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của P , biến các điểm Si

thành các điểm S i(i = 0,1,..., n) và biến E thành E'.


1.5. Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh
n

n

Cho f : P → P là phép biến đổi xạ ảnh của K - không gian xạ ảnh
n

P , liên kết với không gian véc tơ V

n+1

. Ta hãy chọn mục tiêu xạ ảnh nào

đó {Si, E}. Với mỗi điểm X bất kì, gọi (x0 : x1 : ... : xn) là tọa độ của nó
và ( x0 : x1 : ... :
x n

xi
và

xi

) là tọa độ của X' = f (X). Ta hãy tìm sự liên kết giữa


n+1



 

Gọi ( e0 , e1,..., en ) là cơ sở trong
V

φ: V

n+1

→V

n+1

đại diện cho mục tiêu {Si, E} và

là biến đổi tuyến tính của V

n+1

đại diện cho biến đổi xạ

ảnh f. Giả sử đối với cơ sở đó, có biểu thức tọa độ:
n

k≠0

kxi a ij x j ,i 

(0.0.1)

0,1, 2,...,n
j0

Trong đó, ma trận A = ( aij ) có hạng bằng n+1, tức là det A ≠ 0 . Ma
trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở ( ei ) sang cơ sở ảnh của nó

qua phép φ.
Để ý đến mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ
của véc tơ đại diện nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và X'
là:

kx 
i

n

aij x j ,i 0,1,2,...,n;k 0
j0

Trong đó, ma trận A = ( aij ) ; i, j = 0 ,1 , 2 , . . . , n có hạng bằng n +
1 (tức là có định thức khác không), nó được gọi là ma trận của phép
biến đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E}.
Các cột của A là các cột tọa độ của các điểm f (Si), nhưng phải chọn
sao cho:
n

n

j0

j0

n

( a0 j :  a1 j :...:  anj )
j0

là tọa độ của điểm f (E).
Biểu thức (0 .0 .1 ) có thể viết dưới dạng ma trận: k.x' =Ax , trong đó
'

x và x' là ma trận cột tọa độ của điểm X và điểm X .
1.6. Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin


n

Trong không gian xạ ảnh P cho mục tiêu
phẳng có phương trình

Si ; E,

gọi W là siêu
n

x0 0 . Xét phép biến đổi xạ ảnh f → Pn sao
:P


cho f (W) = W.
n

n

Ta gọi như thường lệ, A = P \ W là không gian Afin. Vì f (W) = W
n

nên f (A ) = An nên ta có ánh xạ hạn chế :
n

n

f' = f | A : A → A

n

Khi đó bằng cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh của một điểm trong trong
n

A thành tọa độ A fin của nó (đối với mục tiêu A fin sinh bởi mục tiêu
xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ của f':
n

X i aij X i ai0 ,i 1, 2,..., n
j0

aij
i, j 1, 2,..., n
aij
a
 00

Trong đó :

Như đã nói, ma trận A' = ( a ); i, j = 1 , 2 , . . . , n có hạng n. Do đó,
ij

ma trận A" = ( a); i, j = 1 , 2 ,.. . , n cũng có hạng n. Từ đó suy ra f' là
ij

phép

n

biến đổi Afin của A , ta gọi nó là phép biến đổi Afin sinh bởi

phép biến
đổi xạ ảnh f.
n

Như vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh f : P →
n

n

n

P sinh ra một phép biến đổi Afin f' : A → A nếu f (W) = W.
Ngược lại: Mọi phép biến đổi Afin đều được sinh ra bởi một phép
biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f (W) = W (ta nói rằng f biến điểm vô
tận).


Chương 2. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
2.1. Định nghĩa
Trong không gian xạ ảnh

C 
\
Pn
{




 } và

sao cho CX


n

P cho 2 siêu phẳng α và β và điểm

pc : 




sao cho X



thành pc ( X ) X 

X '

Khi đó pc được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm chiếu C.
Nhận xét:
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn
toàn xác định bởi cặp siêu
phẳng α , β và tâm chiếu C.
- Phép chiếu xuyên tâm biến
những điểm giao của hai siêu
phẳng α và β thành chính nó

2.2. Một số định lý
2.2.1.Định lý 1 :
Nếu coi 2 siêu phẳng α và β là 2 không gian xạ ảnh (n – 1) - chiều thì
phép chiếu xuyên tâm là một đẳng cấu xạ ảnh.
Chứng minh:
n

Gọi W và
Đặt



W'

n

là 2 không gian vectơ nền của α và β

  

là (n – 2)
- phẳng
Cho {A1 , ..., An 1 , An } hệ điểm độc lập xạ ảnh của α
Trong đó:


i 1, n 1

Ai




An \ 
'

Ta có: A p ( A )
n

c

n

'

Hệ {A1 ,..., An1 , An } độc lập xạ ảnh.
Thật vậy: nếu {A ,...,

A

1

'


Thì A


, A' } phụ thuộc xạ ảnh
n 1

n

'
(vô
độc lập xạ ảnh trong )

A 
lý ) (Do
A
,...,
A
1
n 1
n

n
Gọi e là véc tơ đại diện của Ai i 1, n
i


'
 là véc tơ đại diện của A
e

n
n

e là véc tơ đại diện của C
Ta có:

'
C, A n , A n thẳng hàng




Suy ra: en aen be
Nếu:



'

a 0 e  be An C
 

n


'


b 0

A A
e 
ae
n
n
n
n
 

Vậy a,b 0 chọn a =1
enen be
suy ra:



  
{e1 ,...,en1 ,e n }


Đặt



   là 2 cơ sở của W n và W 'n
{e1 ,...,en1 ,en }

Do d im W

n

: W n

d im W  suy ra tồn tại duy nhất đẳng cấu tuyến
n

tính
n

' sao cho


W




(e i ) i 1, n (e n e n
1 và
ei
)


Ta sẽ chứng minh X



có vectơ đại diện x thì sẽ có pc ( X ) X '


véc tơ đại diện là ( x ) x '
Lấy X


Do

X



có véc tơ đại diện x suy ra: p c ( X )



X ' 





x x0 e0 x1 e0 ... xn en

.







 x  e x  e
xn  e n
0
0
1
0
( x )

 .... 



'

 x' e  x' e ... x e
( x )
.

n n
0 0 1



1
 x' e  x' e ....
be
( x )
x e

0

0
1 1
n
n





 x 0 e 0 x1 e0 ... xn en x n be
( x ) 
. 




(c x n b )
 x

( x ) ce

  
Suy ra: ( x ) , x phụ thuộc tuyến tính nên ba điểm mà ( x ),
,e
x, e









 









đại diện thẳng hàng, tức

( x)

thẳng CX .

đại diện cho một điểm nào đó thuộc đường


Mặt khác:




(x)




Dẫn đến:

và C X

W
n



X '

là vectơ đại diện của X’

( x )

Vậy ta đã chứng minh p được cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính
c

sao

cho X





pc ( X ) X '

có vectơ đại diện x thì sẽ
có

vectơ đại


diện là( x) x ' pc là một đẳng cấu xạ ảnh.
. Do đó
2.2.2. Định lý 2:
Cho 2 siêu phẳng

, '

trong Pn [V
n1

thì ánh xạ xạ ảnh

]

f : ' là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi
phần tử của



là tự ứng. Tức là

 M
'






 ',

f ( M ) M


Chứng minh:
n-2

Gọi P

= α ∩ β.

+) Chiều thuận: f là một phép
chiếu xuyên tâm thì hiền nhiên
nó giữ bất động những điểm nằm
n-2

trên P .
+) Chiều đảo: f là ánh xạ xạ ảnh
có tính chất f(M) = M với mọi M
n-2

thuộc P

cần chứng minh f là

phép chiếu xuyên tâm.
Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2,
n-2

n-2

…, An-1 thuộc P , ta có An, E không thuộc P

, gọi A’n = f(An) và

E’ = f(E).
Trên β ta có mục tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là ảnh của mục tiêu
{A1, A2, …An-1,An, E} qua f. Gọi M = AnE ∩ β thì M thuộc P

n-2

do f(M)

= M nên đường thẳng A’nE’ cũng qua M. Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo
bởi hai đường thẳng AnE và A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’.
Gọi f’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền là α và β với tâm chiếu là C.
Ta có: f’(Ai) = Ai với i = 1, 2,…, n-1 do Ai với i = 1, 2,…, n-1 nằm trên
P

n-2

và f’(An) = A’n và f’(E) = E’. Do sự xác định duy nhất của phép biến

đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n,
E’} nên f ≡ f’.
Vậy f là phép chiếu xuyên tâm.
2.2.3. Định lý 3:
Trong Pn với cho hai siêu phẳng
Giả sử

và' .

f:




' là

một ánh xạ xạ ảnh, không phải là phép chiếu xuyên tâm. Khi đó ta có thể
phân tích f thành tích của m phép chiếu xuyên tâm với


m n 1


Chứng minh:
+) Xét trường
hợp

 và trong 
 '
'

điểm của đều tự ứng đối với f

0 

có một p - phẳng mà mọi

p n 2 .

Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên ' .
Lấy một điểm A



nhưng A



' , điểm I , điểm B trên
đường

thẳng IA mà không trùng với I, A.
Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I.
Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó.
Lấy một siêu phẳng 1 chứa β và A nhưng không chứa A’ thì chứa
cả B.
Gọi g : '
1


là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C.

1

Khi đó, tích g1  f : 
là một ánh xạ xạ ảnh, (p+1) - phẳng tổng


1




A

nằm trên giao
1



đều bất động đối với g1  f (vì các điểm trên β đều bất động khi


A

và mọi điểm của (p+1) - phẳng tổng

qua f và g1 nên β bất động qua g1  f và A qua f biến thành A’ mà A’
qua g1 biến thành giao điểm của CA’ với α1 tức là điểm A vậy A bất biến
qua

g1  f

, mọi điểm thuộc 

đều biểu thị qua p + 1 điểm độc lập


A

trong β và A suy ra nó bất động ).
Nếu g1  f




A

không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là

1 ) đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép
thì cho g 1  f

chiếu xuyên tâm

g 2 : 1


sao cho g2  g1  f : 

2

giữ bất



2

động mọi điểm của một (p + 2) - phẳng nào đó nằm trong

 2 . Tiếp tục cách làm như thế sau một số hữu hạn
bước ta có thể tìm được
các phép chiếu xuyên tâm g : '  , g : 
1
1
2
1
2 ,...., g p : p 1

p


sao cho tích h g  ....  g : 
giữ bất động các điểm của một
q
1
 f


q

(n - 2) - phẳng
Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm.
Suy ra

f1g
h

1

 ....  g

1

Vì q



p n
2 nên

+) Xét trường hợp



là tích của q + 1 phép chiếu xuyên tâm.

q

p 1 n 1.

q 1
n

 và trong 
 '
'

đối với f. Lấy một điểm C



không có điểm nào tự ứng

, đặt C’=f(C) rồi lấy một siêu phẳng

''

đi qua C, không đi qua C’ mà

xuyên tâm bởi tâm là một điểm

ánh xạ xạ ảnh có điểm C

''  s : '
. Gọi 
 ''

U CC ' s  : 

là một
f
, thì

 ''



''

suy ra là tích của một số

là phép chiếu

tự ứng . Áp dụng trường hợp trên

n 1 phép chiếu xuyên tâm. Do đó f là
tích


của một số 
n

phép chiếu xuyên tâm.

+) Cuối cùng xét trường hợp ' . Chỉ cần lấy một phép
chiếu xuyên
tâm

r :

nào đó thì r  f : 
là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào


'''
 '''

một trong hai trường hợp trên. Suy ra f là tích của một số n phép
chiếu xuyên tâm.
1
2.3. Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm:
Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì
phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối
ngẫu.
2.3.1 Định nghĩa:
Trong không gian xạ ảnh



n
P

n

P cho 2 điểm A và A’ và siêu phẳng

\ AA

Tập các siêu phẳng đi qua A được gọi là bó siêu phẳng tâm A
Gọi B là bó siêu phẳng tâm A , B’ là bó siêu phẳng tâm A’

và pα : B

‹ B’

 
sao cho 
Khi đó pđược gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ A lên
A’ với cơ sở và 2 tâm A, A’
n = 2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu
xuyên trục.
2.3.2. Một số định lý:
Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu
xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng.
Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ
ảnh đều có thể phân tích thành không quá n + 1 phép chiếu xuyên siêu
phẳng.
2

2.4. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P :
2.4.1. Định nghĩa :
a) Định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi
là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các
điểm tương ứng luôn đi qua một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm
phối cảnh.

b)Đối ngẫu của định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường
thẳng được gọi là phép chiếu xuyên trục (phép phối cành) nếu giao điểm
của các cặp đường thẳng tương ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cố
định, đường thẳng t được gọi là trục phối cảnh.

2.4.2.Định lý:
a) Định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai hàng điểm
{m} và {m’} là phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng,
tức f(O) = O.
b) Định lý đối ngẫu của định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai chùm đường
thẳng {S} và {S’} là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối S và S’
tự ứng, tức f(SS’) = SS’.

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN

K35G Sư phạm Toán

Page 15