Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN LÊ TUÂN

ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
TRONG PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN LÊ TUÂN

ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
TRONG PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. Trần Vũ Thiệu

THÁI NGUYÊN - 2017


i

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC............................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .............................................................................. ii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................. 4
1.1. TẬP LỒI ĐA DIỆN ......................................................................................... 4
1.2. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ...................................................... 7
1.2.1. Nội dung bài toán .......................................................................................... 7
1.2.2. Các tính chất cơ bản ...................................................................................... 8
1.3. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU ............................... 10
1.4. QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ................. 12
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU ........................... 15
2.1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ .......................................... 15
2.1.1. Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................. 15
2.1.2. Hiệu quả tƣơng đối ..................................................................................... 16
2.1.3. Trƣờng hợp một đầu vào - một đầu ra ........................................................ 16
2.2. MÔ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ............................................. 22
2.3. MÔ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ĐỐI NGẪU ........................ 29
2.4. ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA ................................ 35
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 39


ii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.2. .............................................. 10
Hình 1.2. Tập ràng buộc của cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.5. ......................... 14
Hình 2.1. Biên giới hiệu quả. ................................................................................ 19
Hình 2.2. Phƣơng pháp đồ thị. .............................................................................. 21


1

MỞ ĐẦU
Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt là
trong phân tích định lƣợng các hoạt động kinh tế. Luận văn này đề cập tới một
ứng dụng của qui hoạch tuyến tính (còn ít đƣợc đề cập đến) trong vấn đề phân
tích gói dữ liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu quả tƣơng đối, dựa trên tập hợp dữ liệu
thu thập đƣợc của các đơn vị khác nhau cùng tham gia trong một lĩnh vực hoạt
động nào đó, chẳng hạn các chi nhánh ngân hàng trong một thành phố, các đơn vị
sản xuất trong một xí nghiệp, các lớp trong một trƣờng học, v.v ...
Phân tích gói dữ liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt là DEA) là một
phƣơng pháp toán học ngày càng phổ biến trong nghiên cứu kinh tế. DEA đƣợc
dùng để đánh giá hoạt động của các cơ sở sản xuất, các ngân hàng, bệnh viện,
trƣờng học, ... Cách tiếp cận thống kê truyền thống thƣờng có xu hƣớng đánh giá
so với cơ sở sản xuất đại diện (mẫu) hoặc trung bình. Trái lại, DEA so sánh mỗi
cơ sở sản xuất với chỉ một cơ sở sản xuất "tốt nhất" (xu hƣớng tối ƣu hóa).
Với các cơ sở sản xuất, quá trình sản xuất ở mỗi cơ sở sử dụng một tập hợp
các vật vào - yếu tố sản xuất (inputs) và sản xuất ra một tập hợp các vật ra - sản
phẩm (outputs). Với các ngân hàng, mỗi ngân hàng có một số nhân viên, một số
diện tích giao dịch và một số ngƣời quản lý nhất định (vật vào). Có một số chỉ
tiêu để đánh giá hoạt động của mỗi ngân hàng, ví nhƣ lƣợng tiền gửi, số tiền cho
vay, v.v ... (vật ra). DEA cố gắng xác định xem ngân hàng nào hoạt động hiệu

quả nhất và chỉ ra sự hoạt động không hiệu quả cụ thể của các ngân hàng khác.
Giả thiết cơ bản ẩn sau phƣơng pháp này là nếu cơ sở sản xuất nào đó,
chẳng hạn A, có khả năng sản xuất Y(A) đơn vị sản phẩm (vật ra) bằng cách sử
dụng X(A) đơn vị vật vào, thì các cơ sở sản xuất khác cũng sẽ làm đƣợc nhƣ vậy,
nếu nhƣ họ hoạt động có hiệu quả. Khi đó, cơ sở sản xuất A, B và các cơ sở sản
xuất khác có thể kết hợp lại tạo nên một cơ sở sản xuất "hợp" với các vật vào hợp
và các vật ra hợp. Do cơ sở sản xuất hợp này không nhất thiết tồn tại, nên nó
thƣờng đƣợc gọi là cơ sở sản xuất ảo.


2
Cốt lõi của phân tích gói dữ liệu chính là tìm ra đƣợc cơ sở sản xuất ảo "tốt
nhất" cho mỗi cơ sở sản xuất thực. Nếu cơ sở ảo này tốt hơn cơ sở ban đầu, do
làm đƣợc nhiều vật ra hơn với cùng một lƣợng vật vào, hoặc làm đƣợc cùng một
lƣợng vật ra nhƣ thế nhƣng tốn ít vật vào hơn, thì cơ sở sản xuất ban đầu đó là
kém hiệu quả. Sự tinh tế của DEA là ở chỗ đƣa ra đƣợc các cách khác nhau, theo
đó các cơ sở sản xuất A và B có thể mở rộng hay thu hẹp quy mô và kết hợp lại.
Để làm đƣợc điều này, phân tích gói dữ liệu (DEA) phải sử dụng đến công
cụ toán học mà trƣớc hết là qui hoạch toán học, nói riêng là qui hoạch tuyến tính.
Vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn:
"Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu"
nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày ý tƣởng, nội dung phƣơng pháp phân
tích gói dữ liệu, thông qua phân tích các ví dụ cụ thể từ đơn giản (một vật vào một hay hai vật ra) đến phức tạp (nhiều vật vào - nhiều vật ra) và tổng quát hóa ở
dạng ma trận; đồng thời tìm hiểu mô hình, phƣơng pháp xây dựng hiệu quả tƣơng
đối và tìm ra cơ sở sản xuất tốt nhất, theo nghĩa đạt hiệu quả cao nhất. Luận văn
đƣợc viết dựa trên các tài liệu tham khảo [1] - [5], trong đó chủ yếu là [3] và [5].
Nội dung luận văn gồm hai chƣơng.
• Chƣơng 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại các kiến thức cần thiết về tập lồi
đa diện, bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán đối ngẫu của nó và các quan hệ
đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính.

• Chƣơng 2 “Phân tích gói dữ liệu” trình bày nội dung phân tích gói dữ liệu
và ví dụ, mô hình Charnes–Cooper–Rhodes và mô hình Charnes–Cooper–Rhodes
đối ngẫu, phân tích những điểm mạnh và điểm yếu của phƣơng pháp DEA.
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,
tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt
ra. Trong quá trình viết luận văn cũng nhƣ trong soạn thảo văn bản chắc chắn
không tránh khỏi có những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận


3
đƣợc sự góp ý của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn
thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn
GS.TS. Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác
giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán-Tin, Trƣờng
Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin
thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Lê Tuân


4

Chƣơng 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chƣơng này nhắc lại một số kiến thức cần thiết về tập lồi đa diện, về bài
toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu và về các quan
hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Nội dung của chƣơng tham khảo chủ yếu
từ các tài liệu [1], [2] và [5].
1.1. TẬP LỒI ĐA DIỆN
Trƣớc hết chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan tới các tập lồi.
Định nghĩa 1.1. Tập C  ℝn đƣợc gọi là một tập lồi nếu a + (1 - )b  C
với mọi a, b  C và mọi 0 ≤  ≤ 1. Nói cách khác, tập C là lồi nếu nó chứa trọn
đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói riêng, tập , tập gồm duy nhất một
phần tử và toàn bộ không gian ℝn là các tập lồi.
Ví dụ 1.1. Các tập sau đây đều là tập lồi:
a) Tập afin là tập chứa trọn đƣờng thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó.
b) Siêu phẳng là tập có dạng H = {x  ℝn : aTx = , a  ℝn \ {0},   ℝ}.
c) Nửa không gian đóng H1 = {x  ℝn : aTx ≤ }, H2 = {x  ℝn : aTx ≥ }.
d) Nửa không gian mở K1 = {x  ℝn : aTx < }, K2 = {x  ℝn : aTx > }.
e) Hình cầu mở B(a, r) = {x  ℝn : ||x - a|| < r} (a  ℝn, r > 0 cho trƣớc).
f) Tập lồi đa diện D = {x  ℝn : Ax ≤ b}, trong đó A  ℝm×n, b  ℝm.
g) Nón lồi đa diện K = {x  ℝn : Ax ≤ 0}, trong đó A  ℝm×n, 0  ℝm.
• Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi.
b) Tổng của hai tập lồi và hiệu của hai tập lồi cũng là các tập lồi.


5

c) Nếu C  ℝm, D  ℝn lồi thì tích C × D = {(x, y) : x  C, y  D} là một
tập lồi trong ℝm+n. (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi).
d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a  M và L là một
không gian con, gọi là không gian con song song với M, hay tƣơng đƣơng: M là
một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm của một hệ phƣơng trình tuyến tính,

tức có biểu diễn M = {x  ℝn : Ax = b, A  ℝm×n, b  ℝm}. Giao của một số bất
kỳ các tập afin là một tập afin.
Định nghĩa 1.2. a) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + ... + kak với ai 
ℝn, i ≥ 0, 1 + ... + k = 1, gọi là một tổ hợp lồi của các điểm a1, a2, ... , ak.
b) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + ... + kak với ai  ℝn, 1 + 2 + ...
+ k = 1, gọi là một tổ hợp afin của các điểm a1, a2, ... , ak.
c) Điểm x  ℝn có dạng x = 1a1 + 2a2 + ... + kak với ai  ℝn, i ≥ 0, gọi là
một tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các điểm a1, a2, ... , ak.
Định nghĩa 1.3. Cho tập E bất kỳ trong ℝn. a) Giao của tất cả các tập afin
chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là aff E. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.
b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là conv E.
Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E.
Định nghĩa 1.4. a) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập afin M, ký hiệu
dim M, là số chiều của không gian con song song với nó. Qui ƣớc dim  = - 1.
b) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dim C, là thứ
nguyên hay số chiều của bao afin aff C của nó. Một tập lồi C trong ℝn gọi là có
thứ nguyên đầy đủ (full rank) nếu dim C = n.
Định nghĩa 1.5. Một tập con K của ℝn đƣợc gọi là một nón (cone) hay tập
nón (mũi tại 0) nếu với mọi x  K và mọi  > 0 thì x  K. Nón K đƣợc gọi là
một nón lồi (convex cone) nếu K là tập lồi.


6
Tiếp theo chúng tôi nêu lại các khái niệm có liên quan tới tập lồi đa diện.
Định nghĩa 1.6. Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không
gian đóng. Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phƣơng
trình tuyến tính:
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, . . . , m,

(1.1)

nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (aij) ∈ Rm×n, b = (b1, ... , bm)T.
Nhận xét 1.1. Do một phƣơng trình tuyến tính tƣơng đƣơng với hai bất
phƣơng trình tuyến tính, nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phƣơng trình và
bất phƣơng trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện:
Một tập lồi đa diện có thể bi chặn (giới nội) hoặc không bị chặn (không giới
nội). Một tập lồi đa diện bị chặn còn đƣợc gọi là một đa diện lồi. Các đa giác lồi
theo nghĩa thông thƣờng trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông, hình
tròn, ...) là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi trong ℝ2.
Cho D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất phƣơng trình tuyến tính
(1.1). Sau đây để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đƣờng thẳng nào (tức là ∄a,
b ∈ D sao cho a + (1 - )b ∈ D với mọi  ∈ ℝ).
Hai yếu tố chính cấu tạo nên tập lồi đa diện D là các đỉnh và các cạnh vô
hạn của D. Có thể hiểu các khái niệm này nhƣ sau.
Định nghĩa 1.7. Điểm x0 ∈ D đƣợc gọi là một đỉnh của D nếu
rank {ai : <ai, x0> = bi} = n (với ai = (ai1, . . . , ain)T, i = 1, ... , m).
Định nghĩa tƣơng đƣơng: x0 ∈ D là một đỉnh của D nếu x0 không thể là điểm
nằm ở bên trong một đoạn thẳng nào đó nối hai điểm thuộc D.
Định nghĩa 1.8. Đoạn thẳng [x1, x2], x1 ≠ x2, đƣợc gọi là một cạnh hữu hạn
của D nếu x1, x2 là các đỉnh của D và rank {ai : <ai, x1> = <ai, x2> = bi} = n - 1.
Định nghĩa 1.9. Tia  = {x0 + d :  ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0 ∈ D, d ∈ ℝn,
đƣợc gọi là một cạnh vô hạn của D nếu


7

rank {ai : <ai, x> = bi, ∀x ∈ } = n - 1.
Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện ta cũng cần biết một số khái niệm sau đây.
Định nghĩa 1.10. Véctơ d ∈ ℝn, d ≠ 0, đƣợc gọi là một hướng lùi xa của D
nếu ∃x0 ∈ D sao cho {x0 + d :  ≥ 0} ⊆ D. Tập hợp các hƣớng lùi xa của D

cộng với gốc 0 tạo thành một nón lồi đóng, gọi là nón lùi xa của D, ký hiệu rec D.
Định nghĩa 1.11. Hƣớng lùi xa d của D đƣợc gọi là một hướng cực biên nếu
không tồn tại hai hƣớng lùi xa khác d1, d2 sao cho d = 1d1 + 2d2 với 1, 2 > 0.
Có thể chứng minh đƣợc rằng tập lồi đa diện D không bị chặn khi và chỉ khi
rec D ≠ {0}, nghĩa là khi và chỉ khi D có ít nhất một hƣớng lùi xa.
Trong các bài toán tối ƣu, ta thƣờng gặp tập lồi đa diện có dạng
S = {x ∈ ℝn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝm,
tức S là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phƣơng trình
tuyến tính.
Tập này không chứa đƣờng thẳng nào (do x ≥ 0) nên S có đỉnh. Từ các định
nghĩa nêu trên cho thấy:
a) x0 ∈ S là một đỉnh ⇔ rank ({ak : <ak, x0> = bk} ∪ {ek : x 0k = 0}) = n.
b) Các hƣớng cực biên (chuẩn hóa) của S là các nghiệm cơ sở của hệ Ay ≤
0, eTy = 1, y ≥ 0, trong đó eT = (1, ... , 1)  ℝn.
c) Giả sử tia  = {x0 + d :  ≥ 0}, trong đó x0 là một đỉnh và d là một
hƣớng cực biên của S. Khi đó,  là một cạnh vô hạn của S khi và chỉ khi
rank ({ak : <ak, x> = bk, ∀x ∈ } ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ }) = n - 1.
1.2. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
1.2.1. Nội dung bài toán
Bằng các phép biến đổi đơn giản, một bài toán qui hoạch tuyến tính bất kỳ
có thể đƣa đƣợc về một trong hai dạng chính sau đây.


8
• Dạng chuẩn tắc:
min {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0},
trong đó A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝm, c  ℝn, x ≥ 0 có nghĩa x ∈ ℝ n . Trong bài toán
này tập ràng buộc D = {x ∈ ℝn : Ax ≥ b, x ≥ 0} là một tập lồi đa diện.
• Dạng chính tắc:
min {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0},

trong đó A, b, c và x đƣợc xác định nhƣ ở trên. Trong bài toán này tập ràng
buộc D = {x ∈ ℝn : Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện.
Có thể dễ dàng chuyển từ dạng chuẩn tắc sang dạng chính tắc và ngƣợc lại.
Trong các bài toán trên f(x) đƣợc gọi là hàm mục tiêu. Mỗi bất phƣơng trình
(Ax)i ≥ bi hay phƣơng trình (Ax)i = bi gọi là một ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1, ...
, n, gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu. Véctơ (điểm) x ∈ D
gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án. Một phƣơng án đạt cực
tiểu của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay một nghiệm tối ưu
của bài toán.
Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính, chỉ có một trong ba khả năng:
a) Bài toán không có nghiệm chấp nhận đƣợc (miền ràng buộc D = ).
b) Bài toán có trị tối ƣu vô cực (f(x)  -  đối với bài toán min).
c) Bài toán có nghiệm tối ƣu (min {f(x) : x  D} > - ).
1.2.2. Các tính chất cơ bản
Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ƣu.
Định lý 1.1. Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và
nếu hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui
hoạch đó chắc chắn có nghiệm tối ưu.


9
Định lý 1.2. Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến
tính dạng bất kỳ và nếu x1, x2 (x1 ≠ x2) là hai phương án thỏa mãn x0 = x1 + (1 
)x2,

0 <  < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu của bài toán.
Định nghĩa 1.12. Một nghiệm chấp nhận đƣợc x ∈ D mà đồng thời là một

đỉnh của D đƣợc gọi là một nghiệm cơ sở hay một phương án cực biên, nghĩa là x
không thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng một tổ hợp lồi của bất kỳ hai nghiệm chấp

nhận đƣợc (phƣơng án) nào khác của bài toán.
Định lý sau nêu một tính chất đặc trƣng cho phƣơng án cực biên (nghiệm cơ
sở) của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc với giả thiêt m ≤ n và rank(A) = m.
Định lý 1.3. Để một nghiệm chấp nhận được x = { x1 , x 2 , ... , x n } của qui
hoạch tuyến tính chính tắc là nghiệm cơ sở thì cần và đủ là các véctơ cột Aj của
ma trận A ứng với các thành phần x j > 0 là độc lập tuyến tính.
Ngƣời ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không suy biến nếu nghiệm đó có số
thành phần dƣơng bằng m và suy biến nếu nó có số thành phần dƣơng nhỏ hơn m.
Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính chính tắc có phƣơng án cực biên.
Định lý 1.4. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một
phương án thì nó cũng có phương án cực biên, nghĩa là tập ràng buộc D có đỉnh.
Định lý sau cho phép tìm phƣơng án tối ƣu của bài toán qui hoạch tuyến tính
chính tắc trong số các phƣơng án cực biên của bài toán (số này hữu hạn).
Định lý 1.5. Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối
ưu thì nó cũng có phương án cực biên tối ưu.
Ví dụ 1.2. Xét bài toán qui hoạch tuyến tính
f(x) =  x1 + x2  min,
với các điều kiện:

x1  3x2  2, x1  x2  4,
 3x1 + x2  3, x1  0, x2  0.


10
Tập ràng buộc của bài toán vẽ ở Hình 1.1. Bài toán này có nghiệm cực tiểu.
Theo Định lý 1.5, nghiệm tối ƣu của bài toán đạt đƣợc tại một trong các đỉnh.
Tọa độ các đỉnh: O = (0, 0), A = (2, 0), B = (5, 1), C = (0, 3). Tính giá trị hàm
mục tiêu tại các đỉnh này, ta đƣợc: f(O) = 0, f(A) =  2, f(B) =  4, f(C) = 3. Từ
đó cho thấy cực tiểu của hàm f đạt tại đỉnh B = (5, 1) với giá trị cực tiểu fmin =  4.

Hình 1.1. Tập ràng buộc của bài toán ở Ví dụ 1.2.

1.3. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU
Đối ngẫu là phƣơng pháp mà ứng với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính đã
cho (gọi là bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán qui hoạch khác (gọi là
bài toán đối ngẫu) sao cho từ nghiệm của bài toán này ta sẽ thu đƣợc thông tin về
nghiệm của bài toán kia.
Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thƣờng gặp.
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (qui hoạch gốc)
(P)

min {f(x) = cTx : Ax ≥ b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):
(Q)

max {g(y) = bTy : ATy ≤ c, y ≥ 0}

(AT là ma trận chuyển vị của ma trận A).
Ví dụ 1.3. Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc
f(x) = 25x1 + 10x2  min,
x1 + 3x2  20,
x1 + x2  30,


11

2x1 + x2  40,
x1  0, x2  0,
là bài toán qui hoạch tuyến tính:

g(y) = 20y1 + 30y2 + 40y3  max,
y1 +

y2 + 2y3  25,

3y1 + y2 +

y3  10,

y1  0, y2  0, y3  0.
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (qui hoạch gốc):
(P)

min {f(x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0}

là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu):
(Q)

max {g(y) = bTy : ATy ≤ c}.

Ví dụ 1.4. Đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc
f(x) = 0,6x1 + 0,2x4 + 0,8x5  min,
2x1 + x3 + x5 = 150,
+ 2x2 + x5 = 300,
x2 + 2x3 + 3x4 = 500,
xj  0, j = 1, 2, 3, 4, 5.
là bài toán qui hoạch tuyến tính:
g(y) = 150y1 + 300y2 + 500y3  max,
2y1  0,6
2y2 + y3  0,

y1 + 2y3  0,
3y3  0,2
y1 + y2  0,8.
Dễ kiểm tra lại rằng lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu ta đƣợc lại bài toán
gốc. Vì thế ta gọi (P) và (Q) là cặp bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau.


12
1.4. QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH
Các kết quả dƣới đây đúng cho cặp bài toán đối ngẫu (P), (Q) dạng bất kỳ.
Định lý 1.6 (Đối ngẫu yếu). Nếu x là một lời giải chấp nhận được của bài
toán gốc (P) và y là một lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q) thì
f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + ... + bmym,
nghĩa là giá trị mục tiêu của một phương án gốc bất kỳ (bài toán min) không nhỏ
hơn giá trị mục tiêu của một phương án đối ngẫu bất kỳ (bài toán max).
Định lý 1.7 (Đối ngẫu mạnh). Nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu thì qui
hoạch đối ngẫu của nó cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu bằng nhau.
Các định lý trên cho thấy quan hệ sau giữa hai qui hoạch gốc và đối ngẫu.
Định lý 1.8 (Định lý đối ngẫu cơ bản). Đối với một cặp bài toán qui hoạch
tuyến tính đối ngẫu nhau chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây:
a) Cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được.
b) Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được. Khi đó, cả hai đều có
nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau.
c) Một bài toán có nghiệm chấp nhận được và bài toán kia không có nghiệm
chấp nhận được. Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ có giá trị tối ưu
vô cực (+ ∞ hay - ∞ tùy theo bài toán max hay min).
Các ví dụ sau đây minh hoạ cho các tình huống a) - c) nêu trên.
a) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu không có phƣơng án.
f(x) = x1

 min,

g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1,

y1  y2 = 1,

x1  x2  1,

y1  y2 = 0,

x1, x2 tuỳ ý.

y1  0, y2  0.


13

b) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có phƣơng án.
f(x) = 5x1 + 10x2  min,
g(y) = 14y1 + 12y2  max,
2x1 + 3x2  14,
x1 + 4x2  12,
x1  0, x2  0.

2y1 +

y2 

5,

3y1 + 4y2  10,
y1  0, y2  0.

Phƣơng án tối ƣu của hai bài toán là x* = (4; 2) và y* = (2; 1) với f(x*) =
g(y*) = 40.
c) Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu đều không có phƣơng án tối ƣu.
f(x) = x1

 min,

g(y) = y1 + y2  max,

x1 + x2  1,

y1  y2  1,

x1  x2  1,

y1  y2  0,

x1  0, x2  0.

y1  0, y2  0.

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau còn thể hiện ở định lý sau đây.
Định lý 1.9 (Định lý độ lệch bù yếu). Một cặp nghiệm chấp nhận được x, y
của hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu nhau (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu khi
và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

n

yi(  a ij x j  bi) = 0 i = 1, 2, ... , m ⇔ yT(Ax  b) = 0,
j1

xj(cj 

m

 a ij y i ) = 0 j = 1, 2, ... , n ⇔ xT(c  ATy) = 0.

i 1

Ví dụ 1.5. Xét cặp bài toán đối ngẫu chuẩn tắc:
min {4x1 : x1 + x2  2, x1  x2  2, xj  0, x2  0} và
max {2y1 + 2y2 : y1 + y2  4, y1  y2  0, y1  0, y2  0}.

Áp dụng Định lý 1.9 vào cặp bài toán đối ngẫu cho ở Ví dụ 1.5, ta thấy x và
y là nghiệm tối ƣu của các bài toán gốc và đối ngẫu tƣơng ứng khi và chỉ khi x, y
thỏa mãn hệ điều kiện sau:


14

x1 + x2  2, x1  x2  2, x1  0, x2  0 (chấp nhận đƣợc gốc),
y1 + y2  4, y1  y2  0, y1  0, y2  0 (chấp nhận đƣợc đối ngẫu),
y1(x1 + x2  2) = 0, y2(x1  x2  2) = 0, (độ lệch bù yếu),
x1(4  y1  y2) = 0, x2( y1 + y2) = 0 (độ lệch bù yếu).
Kiểm tra trực tiếp cho thấy rằng x* = (2, 0) và y* = (0, 4) thỏa mãn hệ điều
kiện trên. Vì thế, x* là phƣơng án tối ƣu của bài toán gốc và y* là phƣơng án tối

ƣu của bài toán đối ngẫu tƣơng ứng và ta có hệ thức f(x *) = g(y*) = 8.
x2

4

2

y2

y*
2

0

4

2
Bài toán gốc

x1

x*

0
Bài toán đối ngẫu

4

y1

Hình 1.2. Tập ràng buộc của cặp bài toán đối ngẫu ở Ví dụ 1.5.

Tóm tắt chƣơng. Chƣơng này đã trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản
cần thiết về tập lồi đa diện, bài toán qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch
tuyến tính đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Các kiến
thức này sẽ đƣợc dùng đến ở chƣơng sau.


15

Chƣơng 2

PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GÓI DỮ LIỆU
Chƣơng này trình bày nội dung cơ bản của phƣơng pháp phân tích gói dữ
liệu, bắt đầu từ phƣơng pháp đồ thị đơn giản, sau đó là mô hình Charnes–
Cooper–Rhodes và mô hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu. Cuối chƣơng nêu
một số lĩnh vực áp dụng và lƣu ý các điểm mạnh và điểm yếu của phân tích gói
dữ liệu. Nội dung của chƣơng tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3] - [5].
2.1. PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ
Trƣớc hết ta tìm hiểu một số khái niệm dùng trong phân tích gói dữ liệu.
2.1.1. Đối tượng nghiên cứu
Phân tích gói dữ liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt là DEA), đôi khi
còn đƣợc gọi là phân tích biên giới (Frontier Analysis), do Charnes, Cooper và
Rhodes (gọi tắt CCR) đề xuất năm 1978. DEA là một kỹ thuật đo hiệu suất, đƣợc
sử dụng để đánh giá hiệu quả hoạt động tƣơng đối của các đơn vị (sản xuất, kinh
doanh, dịch vụ, nghiên cứu, ...), ví dụ nhƣ: các cơ sở sản xuất, các ngân hàng, các
chi cục thuế, bệnh viện, trƣờng học, cơ sở quốc phòng, cửa hàng, v.v ...
Để cho gọn, ta sẽ gọi chung tất cả các đối tƣợng cần nghiên cứu, đánh giá
hiệu quả hoạt động là các "đợn vị" (unit). Các đơn vị này có đặc điểm chung là
đều sử dụng một tập hợp các vật vào - yếu tố sản xuất (inputs - đầu vào) để tạo ra

một tập hợp các vật ra - sản phẩm (outputs - đầu ra). Với ngân hàng, mỗi đơn vị
có một số nhân viên, một số diện tích giao dịch và một số ngƣời quản lý nhất
định (đầu vào). Có một số chỉ tiêu phản ánh hoạt động của mỗi ngân hàng, ví dụ
nhƣ số ngƣời đến giao dịch, lƣợng tiền gửi, số tiền cho vay hàng tháng, v.v ...
(đầu ra). Nhƣ vậy, "đơn vị" là một thuật ngữ trừu tƣợng dùng để ám chỉ các đối
tƣợng nghiên cứu nào đó, có thể biến đổi "đầu vào" thành "đầu ra" và DEA là
phƣơng pháp phân tích định lƣợng, chỉ sử dụng dữ liệu liên quan tới đầu vào và
đầu ra của các đơn vị đƣợc xét mà không sử dụng thêm thông tin nào khác.


16
DEA có thể đƣợc áp dụng cho nhiều tình huống đa dạng, với điều kiện là:
1. Các đơn vị đƣợc xét có cùng các đầu vào và đầu ra nhƣ nhau.
2. Các đầu vào và đầu ra của các đơn vị có thể đo đƣợc bằng các con số.
2.1.2. Hiệu quả tương đối
DEA sẽ nói về hiệu quả tƣơng đối (relative efficiency) của các đơn vị đƣợc
xét. Hiệu quả (efficiency) đƣợc xác định theo công thức toán học sau đây:
hiệu quả =

đâu và o
.
đâu ra

Trong định nghĩa hiệu quả trên đây, ta không thấy có liên hệ gì đến tính
tƣơng đối. Quả thực là nhƣ vậy. Tính tƣơng đối sẽ đƣợc đề cập sau.
Trong mục nhỏ sau ta sẽ minh họa DEA thông qua một ví dụ đơn giản liên
quan đến các chi nhánh ngân hàng ở một vùng X nào đó. Nội dung trình bày sau
đây là cách tiếp cận bằng đồ thị của DEA. Điều này rất có lợi để có thể hình dung
cách tiếp cận toán học tổng quát của DEA tiếp sau.
2.1.3. Trường hợp một đầu vào - một đầu ra

Ví dụ 2.1. Quan sát 4 chi nhánh ngân hàng ở một vùng X. Với mỗi chi
nhánh ta có số liệu về đầu ra duy nhất: số giao dịch cá nhân thực hiện trong một
tuần. Ta cũng có số liệu về đầu vào duy nhất: số nhân viên của mỗi chi nhánh.
Số liệu đã có đƣợc ghi lại trong bảng sau:
Giao dịch

Số nhân

cá nhân

viên

R

125

18

A

44

16

K

80

17

H

23

11

Chi nhánh


17
Các đơn vị đƣợc xét ở đây là các chi nhánh ngân hàng R, A, K và H. Làm
thế nào có thể so sánh các đơn vị này và đo hiệu suất hoạt động của họ, dựa trên
các số liệu đã thu thập đƣợc? Cách thông thƣờng là lập các tỉ số, nghĩa là ta sẽ so
sánh các hiệu quả hoạt động của các chi nhánh ngân hàng.
Với các chi nhánh cho ở trên, có một đầu vào duy nhất: số nhân viên và một
đầu ra duy nhất: số giao dịch cá nhân. Do đó theo công thức toán học:
hiệu quả =

đâu và o
đâu ra

ta có
Chi nhánh

Giao dịch cá nhân /
số nhân viên

R

6,94

A

2,75

K

4,71

H

2,09

Nhìn vào cột "Giao dịch cá nhân / số nhân viên" ta thấy rằng chi nhánh R có
tỉ số lớn nhất, chi nhánh H có tỉ số nhỏ nhất. Nhƣ vậy, so sánh các chi nhánh với
nhau, thì R khá nhất (hiệu quả cao nhất), H kém nhất (hiệu quả thấp nhất).
Vì R là chi nhánh hiệu quả cao nhất, với tỉ số lớn nhất 6,94, nên việc so sánh
các chi nhánh khác với chi nhánh R là có ý nghĩa. Muốn vậy, ta tính hiệu quả
tƣơng đối của các chi nhánh đối với R: Chia tỉ số ở mỗi chi nhánh cho hiệu quả
6,94 của R, rồi nhân với 100% (tức là 1) để tính theo tỉ lệ %. Ta nhận đƣợc:
Chi nhánh

Hiệu quả tƣơng đối

R

100%(6,94 / 6,94) = 100%

A

100%(2,75 / 6,94) = 40%

K

100%(4,71 / 6,94) = 68%

H

100%(2,09 / 6,94) = 30%


18
Các chi nhánh khác không sánh kịp so với chi nhánh R. Nghĩa là các chi
nhánh đó kém hiệu quả một cách tƣơng đối trong việc sử dụng nguồn lực đầu vào
đã có của họ (số nhân viên) để tạo ra sản phẩm đầu ra (số giao dịch cá nhân).
Nhận xét 2.1. Nếu muốn, ta có thể dùng sự so sánh với R để đặt ra đích
(target) vƣơn tới cho các chi nhánh khác.
1. Ta có thể đặt đích cho chi nhánh H là tiếp tục tạo ra cùng một mức sản
phẩm đầu ra, nhƣng với số nhân viên ít hơn một ngƣời. Đó là một ví dụ về đích
đầu vào, bởi vì nó có liên quan đến số đo đầu vào.
2. Một ví dụ về đích đầu ra của H có thể là tăng số giao dịch cá nhân thêm
10%, chẳng hạn bằng cách thu hút thêm tài khoản mới.
Tất nhiên cũng có thể đặt ra cho H các đích đầu vào và đầu ra hỗn hợp mà ta
mong muốn H đạt tới.
2.1.4. Trường hợp một đầu vào - hai đầu ra
Trong các bài toán thực tế thƣờng có nhiều hơn một đầu vào và một đầu ra.
Sau đây ta xét trƣờng hợp có một đầu vào và hai đầu ra. Trƣờng hợp này đủ đơn
giản để có thể phân tích bằng dồ thị.
Ví dụ 2.2. Ta mở rộng Ví dụ 2.1 về 4 ngân hàng trƣớc đây, bằng cách xét
thêm đầu ra thứ hai là số giao dịch kinh doanh thực hiện trong một tuần. Bây giờ

ta có bảng dữ liệu:
Chi nhánh

Giao dịch cá

Giao dịch kinh Số nhân viên

nhân (y1)

doanh (y2)

(x1)

R

125

50

18

A

44

20

16

K

80

55

17

H

23

12

11

Cũng nhƣ trƣớc, để so sánh các chi nhánh ta dùng phƣơng pháp tỉ số: chia
mỗi số liệu đầu ra cho số liệu đầu vào tƣơng ứng. Ta nhận đƣợc bảng:


19

Chi nhánh

Giao dịch cá nhân /
Giao dịch kinh
số nhân viên
doanh / số nhân viên

R
6,94

2,78
A
2,75
1,25
K
4,71
3,24
H
2,09
1,09
Ta thấy rằng R có tỉ số cao nhất về giao dịch cá nhân / số nhân viên và K có
tỉ số cao nhất về giao dịch kinh doanh / số nhân viên. Vì thế, R và K tỏ ra hoạt
động khá nhất. A và H không sánh kịp so với R và K. Nghĩa là A và H kém hiệu
quả một cách tƣơng đối trong việc sử dụng nguồn lực đầu vào đã có của họ (số
nhân viên) để tạo ra sản phẩm đầu ra (giao dịch cá nhân và kinh doanh).
Ta sẽ phân tích các tỉ số này bằng phƣơng pháp đồ thị (xem Hình 2.1).

Hình 2.1. Biên giới hiệu quả.

Vị trí của R, K trong hình vẽ cho thấy rằng R và K ở trên A và H. R và K là
các điểm cực biên (đỉnh), còn A và H là các điểm trong của miền đa giác. Đƣờng
đậm nét ở hình vẽ đƣợc gọi là biên giới hiệu quả (efficient frontier).
Nhận xét 2.2. Tên gọi phân tích gói dữ liệu nảy sinh từ ý tƣởng: đƣờng biên
giới hiệu quả bao gói hay chứa đựng toàn bộ dữ liệu đầu vào và đầu ra mà ta có.
Định nghĩa 2.1. Ta nói một đơn vị (chi nhánh trong ví dụ đang xét) đạt hiệu
quả 100% (100% efficient) nếu đơn vị đó ở trên biên giới hiệu quả.


20
Điều này chỉ có ý nói rằng không có đơn vị nào khác, tốt hơn (có tỉ số các

đầu ra lớn hơn) đơn vị hiệu quả 100%. Trong ví dụ về ngân hàng ở trên, chi
nhánh R và chi nhánh K là hai đơn vị hiệu quả 100%.
Với các đơn vị không nằm trên biên giới hiệu quả thì sao? Liệu có thể gán
cho mỗi đơn vị này một số biểu thị hiệu quả không? Ta chọn H làm ví dụ cho chi
nhánh không hiệu quả. Có thể thấy rằng với cả hai tỉ số, R và K đều vƣợt trội H.
Rõ ràng là H đạt hiệu quả ít hơn 100%. Nhƣng cụ thể bằng bao nhiêu? H có:
 số nhân viên 11
 giao dịch cá nhân 23
 giao dịch cá nhân / số nhân viên 23 / 11 = 2,09
 giao dịch kinh doanh 12
 giao dịch kinh doanh / số nhân viên 12 / 11 = 1,09.
Với H ta có tỉ số
Giao dich cá nhân
23
=
= 1,92.
Giao dich kinh doanh 12

Điều này nghĩa là có 1,92 giao dịch cá nhân với mỗi giao dịch kinh doanh.
Số 1,92 này cũng là tỉ số

2,09
Giao dich cá nhân trên sô nhân viên
=
= 1,92.
Giao dich kinh doanh trên sô nhân viên
1,09
Số 1,92 này gọi là hỗn hợp kinh doanh (business mix) của chi nhánh H. Nó
cũng có thể đƣợc giải thích nhƣ là chi nhánh H đánh trọng số cho các sản phẩm
đầu ra của H (giao dịch cá nhân và giao dịch kinh doanh), sao cho giao dịch cá

nhân có trọng số 1,92 và giao dịch kinh doanh có trọng số 1.
Bây giờ ta xét biểu đồ dƣới đây. Trong biểu đồ ta loại bỏ mọi chi nhánh
không hiệu quả, chỉ để lại chi nhánh H. Thƣớc chia vạch phần trăm đính kèm
đƣợc vẽ qua H biểu thị tất cả các chi nhánh có thể mà ta sẽ gọi là chi nhánh ảo
(virtual branch), có cùng hỗn hợp kinh doanh nhƣ chi nhánh H.


21

Hình 2.2. Phƣơng pháp đồ thị.

Chi nhánh ảo Tốt nhất (Best) nằm ở biên giới hiệu quả, xem Hình 2.2. Nó
biểu thị chi nhánh (nếu nó tồn tại) có cùng hỗn hợp kinh doanh nhƣ H và có hiệu
quả 100%. Bây giờ do Tốt nhất và H có cùng hỗn hợp kinh doanh, nên có thể so
sánh bằng số hai đơn vị này: vị trí tƣơng đối của H trên thƣớc, đi từ chi nhánh tồi
nhất với cùng hỗn hợp kinh doanh (điểm gốc) tới chi nhánh tốt nhất với cùng hỗn
hợp kinh doanh, là 36%. Nói một cách khác, 36% thƣớc là trƣớc H và 64% thƣớc
là sau H. Vì thế có ý nghĩa khi nói rằng H đạt hiệu quả 36% (tƣơng đối so với chi
nhánh tốt nhất), hay có thể nói: không hiệu quả 64%.
Nhƣ vậy, từ sự phân tích bằng đồ thị nhƣ trên, ta có định nghĩa sau về hiệu
quả tƣơng đối của đơn vị với hai đầu ra và một đầu vào.
Định nghĩa 2.2. Kẻ một đoạn thẳng đi từ gốc qua H (đơn vị đang xét) cho
tới khi gặp biên giới hiệu quả. Hiệu quả tƣơng đối của H đƣợc đo bằng tỉ số

đô dài đoan thăng tu gôc toi H
 100%.
toàn đô dài đoan thăng
Nhận xét 2.3. Nhìn vào Hình 2.2 với thƣớc chia vạch từ gốc qua H tới biên
giới hiệu quả. Điểm "Tốt nhất" trên biên giới hiệu quả đại diện cho sự thực hiện
tốt nhất mà H có thể hy vọng đạt tới đƣợc. Có nhiều cách để H có thể chuyển tới

điểm đó: