Phương pháp giải bài tập vật lí 12 (đầy đủ các chương)

CHƯƠNG I:

DAO ĐỘNG CƠ HỌC

DẠNG I: XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG TRONG DĐĐH.
A. Cách giải
Dạng này có thể chia thành các loại bài toán như sau:
Loại 1: Tìm A, T, f,  , (t   ) .
- Nếu cho trước phương trình dao động, chẳng hạn phương trình dao động có dạng x = Acos( t   ) thì
ta có thể xác định các đại lượng bằng cách đồng nhất theo t như tim vận tốc , gia tốc, li độ.
* Tìm chu kì tần số : Việc tìm chu kì tần số thì ta chỉ việc áp dung các biểu thức có liên quan như :
2 1
 .
+ Mối liên hệ giữa T, f và  : T =
(1)

f
m
k
.
(2)
; 
k
m
g
l
; 
+ Với con lắc đơn: T 2
.
(3)
g

l
* Tìm biên độ:
+ Nếu cho chiều dài quỹ đạo là l thì ta có: A = l/2.
+ Với con lăc lò xó ta có: T 2

v2
+ Nếu cho biết x, v thì ta có thể tính theo biểu thức: A x  2 . (4)

2
2
a
v
+ Nếu cho biết trước a, v thì ta có: A 2  4  2 .
(5)


+ Nêu cho biết trước vmax hoặc amax thì ta có thể áp dụng công thức:
vmax = A
(6) hoặc amax =  2 A
(7).
+ Nªu cho biÕt qu·ng ®êng trong mét chu k× th× ta cã: S = 4A
+ NÕu biÕt qu·ng ®êng trong nöa chu k× th× ta cã S = 2A
* Xác định pha dao động: khi xác định pha dao động thì có thể xảy ra các trường hợp sau
+ Nều biết t thì ta chỉ việc thay t vào đại lượng t   là ta xác định được phai dao động tại thời điểm đó.
+ Nều cho biết một trong các đại lượng x, v hoặc a và chiều chuyển động thì ta có thể tìm được pha dao
động thông qua nghiệm cua phương trình lượng giác. Chẳng hạn cho biết x thì ta có : x = Acos( t   ),
giải phương trình này ta được nghiệm t     k 2 .
Loại 2: tìm x, v, a, Fph
- Nếu cho biết t và phương trình dao động thì để tìm các đại lượng này thì ta chỉ cần thay t vào biểu thức
của chúng: x  A cos(t   ); v  A sin(t   ); a   2 Asos(t   )   2 x

- Khi đó ta sẽ tìm được x, v, a tại thời điểm t.
Nếu bài toán cho trước một hoặc hai đại lượng trên yêu cầu đi tìm các đại lượng khác thì ta cũng có thể
áp dung các công thức (4); (5); (6); (7).
- Đối với lực phục hồi thì ta có: F = -kx. ( lưc này gọi là lực kéo về) Dấu “ – “ cho biết lực phục hồi luôn
hướng về vị trí cân bằng, hay lực phục hồi luôn ngược pha với li độ và nó cũng cung pha với gia tốc.
Chú ý: Nều v > 0 thì vật đang chuyển động theo chiều dương
Nều v < 0 thì vật đang chuyển động theo chiều âm.
Nều a > 0 thì vật đang ở bên âm so với gốc toạ độ, a <0 thì vật đang ở bên dương.
Nếu a.v > 0 thì vật đang chuyển động nhanh dần ( không đều).
Nếu a.v < 0 thi vật đang chuyển động chậm dần.
Loại 3: Xác định li độ , vận tốc của vật sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t . Biết tại
thời điểm t vật có li độ x0.
Cách giải bài toán này như sau:
- Biết tại t vật có li độ là x0 nên từ phương trình dao động điều hoà ta có
2

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

1

2

Tổng


x = x0= Acos( t   ) . Giải phương trình lượng giác này ta tìm được:
+ t    khi vật đó đang chuyển động theo chiều âm ( x giảm).
+ t     khi vật đó đang chuyển động theo chiều dương (x tăng).

Vậy lúc này ta hoàn toàn có thể tim được li độ, vận tốc của vật sau(trước) thời điểm t một khoảng thời
gian t .
- Li đô, vận tốc sau thời điểm t một khoảng thoài gian t là:
 x  A cos(.t   )
 x  A cos(.t   )
( với x giảm). hoặc 
( với x tăng)

 v  A sin(.t   )
 v  A sin(.t   )
- Li độ và vận tốc của vật trước thời điểm t một khoảng thời gian t là:
 x  A cos( .t   )
 x  A cos( .t   )
( với x giảm). hoặc 
( với x tăng).

 v  A sin( .t   )
 v  A sin( .t   )
B. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos10 t ( cm). Hãy xác định
a. Biên độ, chu kì, tần số của vật
b. Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại
c. Pha dao động, li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t = 0,5s.
Đa: a)5cm; 0,2s; 5Hz . b) 50  cm/s; 500  2 cm/s2. c) -5cm; 0cm/s; 500  cm/s2.
Bài 2: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos10t (cm)
2
a. Tìm vận tốc của vật khi pha dao động bằng
(rad).
3
b. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi vật có li độ x = 3cm.

Đa: a) -20 2 cm/s; b) 10 7 cm/s; -300cm/s2.
Bài 3: Một vật dao động theo một trục xác định có phương tình dao động là:
2 



  3 cos 5t   (cm).
x = 3cos  5t 
3 
6


a. Tìm biên độ và pha dao động của vật
b. Tìm vận tốc của vật khi vật có li độ x = 3cm.
5
Đa: a) 3 2 cm;
rad. b) 15 cm/s.
12
Bài 4: Một vật dao động điều hoà, khi vật có li độ x 1 = 3cm thì vận tốc v1 = 40cm/s, khi vật qua vị trí cân
bằng thì vận tốc có độ lớn là 50cm/s.
a. Tìm tần số và biên độ dao động của vật.
b. Tìm li độ dao động của vật khi vât có tốc độ là 30cm/s.
5
Đa: f  Hz; A =5cm. b) x = 4cm,



Bài 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos  2t   (cm). Vận tốc của vật này khi có
3



li độ x = 3cm có độ lớn bằng bao nhiêu?
Đa: 8 cm/s
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại và gia tốc cực đại lần lượt là v max = 3m/s; amax =
18m/s2. Xác định tần số biên độ dao động của hệ .
Đa;  6rad / s ; A = 0,5m.
Bài 7: Trong 1 phút Một vật thực hiện được 40 dao động toàn phần với biên độ là 8cm. Tìm vận tốc cực
32
128 2
đại và gia tốc cực đại.
Đa:
cm/s2
cm / s;
3
9


Bài 8: Một vật dao động theo phương trình x = 5cos  2t   (cm).
2

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

2

Tổng


a. Xỏc nh tn s, chu kỡ dao ng.

b. Xỏc inh pha dao ng ti thi im t = 0,25s t ú suy ra li ti thi im y.
a: a) 1Hz; 1s. b) rad; -5cm

Bi 9: Mt vt dao ng theo phng trỡnh x =4cos( 2t ) (cm).
6
a. Lp biu thc vn tc v gia tc.
b. Tớnh vn tc, gia tc, li ti thi im t = 0,5s v hóy cho biờt ti thi im vt ang chuyn ng
theo chiu no?
a: b) x = - 2 3 cm; v = 4 cm/s; a = 8 3 2 cm/s2. ang chuyn ng theo chiu +

Bi 10: Mt vt dao đng theo phng trỡnh x = 10cos( 4t ) (cm).
8
a. Bit li ca vt ti thi im t l 4cm v ang chuyn ng theo chiu dng. Xỏc nh li ca vt
sau ú 0,25s
b. Bit li ca vt ti thi im t l -6cm đang chuyển động theo chiêu âm. Xỏc nh li
v vn tc ca vt sau ú 0,125s.
c. Bit li ca vt ti thi im t l 5cm ang chuyn ng theo chiu dng. Xỏc nh li , vn tc
trc ú 0,3125s.
a: a)
5
Bi 11: Mt ch im dao ng theo phng trỡnh x = 10cos( 4t
) ( cm). Tại thời điểm t vật
6
có li độ 6cm và chuyển động theo chiều dơng thì tại thời điểm t = (t+1,5) vật
có li độ bằng bao nhiêu?
a: -6cm
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Một vật dao động điều hoà với tần số góc 10rad/s. khi vật có tốc độ là
20cm/s thì gia tốc của nó bằng 2 3 m/s2. Tính biên độ dao động
A. 20cm

B. 16cm
C. 8cm
D. 4cm
Câu 2: Một vật dao động điều hoà. Khi vật qua vị trí cân băng thì tốc độ của
vật bằng 40cm/s, khi vật tại vị trí biên thì gia tốc có độ lớn bằng 200cm/s 2. Biên
độ dao đông của vật là:
A. 10cm
B. 8cm
C. 5cm
D. 12cm
Câu 3: một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T = / 5 s. Khi vật có li độ
3cm thì tốc độ là 40cm/s. Biên độ dao động của vật là:
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
Câu 4: Một con lăc lò xo đợc treo thẳng đứng có độ cứng k = 100N/m, vật năng
có khối lợng 100g. Khi vật dao động điều hoà thì vận tốc cực đại bằng 62,8cm/s.
Biên độ dao động của vật bằng:
A. 2cm
B. 3,6cm
C. 62,8cm
D. 2 cm.
Câu 5: Một con lăc lò xo năm ngang không có ma sát, cú độ cứng k = 100N/m, một
đầu cố định đầu còn lại đợc gắn với vật có khối lợng 1kg. Kéo vật ra khỏi vị trí
cân bằng một đoạn x0= 10cm rồi truyền chuyền cho vật một vận tốc ban đầu
-2,4m/s để cho hệ dao động điều hoà. Biện độ dạo động bằng
A. 0,26m
B. 0,24m
C. 0,58m

D. 4,17m
Câu 6 :Một vật dao động điều hoà với chu kì t = 3,14s. Xác định pha dao động
tai thời điểm vật qua v trí có x = 2cm và v = 4cm/s.



A. k 2
B. k 2
C. k 2
D. k 2
4
6
3
PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

3

Tng


Câu 7: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4cos( t ) (cm). Tại
thời điểm ban đầu vt có li độ 2cm và đang chuyển động theo chiều dơng. Pha
ban đầu của dao động là:




A.

B.
C.
D.
3
3
6
6
Câu 8: Một vật dao động điều hoà với tần số 2Hz. Khi pha dao đông của vật là
2 / 3 thì gia tốc của vật là 8m/s2. Biên độ dao động là:
A. 20cm
B. 8cm
D. 15cm
D, 10cm.
Câu 9: một vật dao động điều hoà, biết tại thời điểm t =0 thì x = 3 cm, v =
-10 cm/s và gia tốc a = -10 3 m/s2. Biết phơng trình dao động có dạng hàm cos,
biên độ và pha ban đầu bằng.
A. 10cm; / 6 rad
B. 10cm; / 6 rad
C. 2cm; / 6 rad
D. 2cm; / 6
rad
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 4cm, khi vât có li độ
bằng nửa biên độ thì vận tốc của vật có độ lớn băng 8 3 cm/s. Chu kì dao động
bằng:
A. 0,4s
B. 0,5s
D. 0,3s
C. 2s
Câu 11: Một vật dao động điều hoà với gia tốc phụ thuộc vào li độ theo phơng
trình a = - 400 x. Số dao động toàn phần trong mỗi giây là

A. 20
B. 10
C. 40
D. 5
Câu 12: Một chất điểm dao động điều hoà. Tại thời điểm t 1 vật có li độ x1 =
3cm và vận tốc là v1 = - 60 3 cm/s. Tại thời điểm t2 li độ bằng 3 2 cm và vận tốc
bằng 60 2 cm/s. Biên độ và tần số góc bằng
A. 6cm; 20rad/s
B. 6cm; 12rad/s
C. 12cm; 20rad/s
12cm;
10rad/s
Câu 13: Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phơng thẳng đứng. Khi ở vị trớ
cân bằng lò xo gian một đoạn là 10cm. Tần số dao động bằng
A. 1,59Hz
B. 0, 628Hz
C. 0,314Hz
D. 0,1Hz
Câu 14: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 4cos( 10t+ / 3 ). Vào
thời điểm t = 0 thì li độ và chiều chuyển động của vật là:
A. x = 2cm và chuyển động theo chiều dơng
B. x = 2cm và chuyển
động theo chiều âm.
C. x = 3cm và chuyển động theo chiều dơng
D. x = 3cm và chuyển
động theo chiều âm.
Câu 15: Một chất điểm dao động điều hoà. Tại thời điểm t 1 vật có li độ là x1 =
15cm và có vận tốc là v1 = 80cm/s. Tại thời điểm t2 = t1 + 0,45s vật có li độ là
A. 16,1cm
B. 18cm

C. 20cm
D. 8,05cm.
Câu 16: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = 5cos(2 t) cm. Nu tại
thời điểm t nào đó vật có li độ là 3cm và đang chuyển động theo chiều dơng
thì sau đó 0,25s vật có li độ là
A. - 4cm
B. 4cm
C. -3cm
D. 0

PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

4

Tng


DANG II: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
A. Cách giải
Để viết phương trình dao động điều hoà ta có thể làm như sau:
- Viết phương trình tổng quát: x = a cos( t   )
Khi đó ta chỉ việc xác đinh A,  ,  rồi thay vào phương trình tổng quát thì ta sẽ thu được phương trình
dao động.
- Xác đinh  : Ta có thê xác đinh theo các công thức tinh chu kì, tần số, hoặc các công thức có liên qua
như ở dạng 1.
g
+ Nếu lò xo treo thẳng đứng mà tại vị trí cân bằng là xo gián (nén) một đoạn là l thì ta có:  
l

- Xác đinh A: xác định như ở dang 1.
- Xác đinh  :
+ Lúc t = 0 vật thoả mãn điều kiện x0, v0 ta có hệ:
x0

 cos   A
 x 0  A cos 
 
  =?.

v0
 v 0  A sin 
 sin  
A

Từ hệ trên cũng cho thấy nếu vật chuyển đông theo chiều dương thì   0 . Nếu vật chuyển động theo
chiều âm thì ngược lại.
+ Nếu lúc t = 0 cho biết trước v0 và a0 lúc này ta có hệ:
 v 0  A sin 
v
 tan   0  

2
a0
 a 0   A cos 
+ Nếu chon lúc t = t1 vật có li độ và vận tốc là x1 và v1 thì ta có hệ:
 x1  A cos(t1   )


 v 0  A sin(t1   )

B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo 4cm, thời gian ngắn nhất để vật qua hai vị trí có vận tốc
băng 0 liên tiếp là 0,1s. Viết phương trình dao động. Chọn gốc thời gia là lúc vật qua vị trí cân bằng theo
chiều âm.
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

5

Tổng




Đa: x = 2cos 10t   cm.
2

Bài 2: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại bằng 16cm/s và gia tốc cực đại là 128cm/s 2. Viết
phương trình dao động của vật, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ 1cm và đang chuyển động theo
chiều dương.


Đa: x = 2cos  8t   cm.
3

Bài 3: Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s. Vào thời điểm t 1= 0 thì vật qua vị trí có li độ x 1 = 4cm
theo chiều âm. Vào thời điểm t2 vật có li độ 8cm và có vận tốc v2 = 0. Viết phương trình dao động.

Đa: x = 8cos( t  )cm.

3
Bài 4: Một vật dao động điều hoà khi pha dao động ở thời điểm t là  / 3 thì vật có li độ 5cm, vận tốc là
-100 3 cm/s. Viết phương trình dao động của vật, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ 5 3 cm và đang
chuyển động theo chiều dương.

Đa: x = 10cos(20t - )cm.
6
Bài 5: Một vật dao động điều hoà, vật thực hiện được 5 dao động toàn phân trong 2,5s, khi vật qua vị trí
cân băng thi vận tốc có độ lớn là 62,5cm.s. Viết phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc vật có li
độ cực đại bên dương.
Đa: x = 5cos 4t cm.
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với chu kì T = 0,314s. Chon gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, sau khi hệ
dao động được một khoảng thời gian t = 1,5T thì vật có li độ x = - 2 5 cm và đang đi theo chiều âm với
vận tốc - 40cm/s. Viết phương trình dao động.

Đa: x = 4cos(20t + )cm.
6
Bài 7: Một vật dao động điều hoà cứ sau 1/8s thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường mà vật đi
trong 0,5s là 16cm. Chon gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Viết phương trình dao
động.

Đa: x = 4cos( 4t  )cm.
2
Bài 8: Một quả cầu nhỏ được gắn vào một lò xo có độ cứng k = 80N/m để tạo thành một con lăc lò xo.
Con lắc thực hiện được 100 dao động trong thời gian 31,4s. Bỏ qua mọi ma sát.
a. Tính khối lượng quả cầu
b. Viết phương trình dao động của quả cầu, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ 2cm và đang chuyển
động theo chiều dương với vận tốc 40 3 (cm/s).

Đa: a)m = 0,2kg: b) x = 4cos(20t - )cm.

3
Bài 9: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có chiều dài tự nhiện l 0 = 29,5cm, được treo thẳng đứng
phia dưới được treo với vật năng có khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hoà thì chiều dài của
lò xo biến đổi trong khoảng từ 29cm đến 35cm. Chon g = 10m/s2.
a. Tính chu kì dao động của con lắc
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chon gốc thời gian là lúc là xo có chiều dài 33,5cm và đang
chuyển động về vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.

2
Đa: a)
s: b) x = 3cos(20t )cm,
10
3

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

6

Tổng


Bài 10: Một vật nặng m = 100g được gắn với một lò xo có khối lượng không đáng kể đầu kia được treo
với giá. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số 3,5Hz. Trong quá trình dao đông thì chiều dài
của lò xo biến đổi từ 38cm đến 46cm. Chon chiều dương hướng lên, gốc toạ độ tại vị trí cân băng.
a. Viết phương trình dao động chon gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng và đang đi xuống.
b. Tính chiều dài tự nhiên của lò xo.

Đa: a) x = 4cos( 7t  )cm: b) l0 = 42cm

2
Bài 11: Một con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m; m= 400g, không có ma sát. Kéo vật ra khỏi vị trí
cân băng một đoạn 2cm rồi truyền cho nó một vận tốc ban đầu có độ lớn 15 5 cm/s theo phương ngang.
Lấy  2 10 . Chon chiều dương hướng xuống.
a. Tính chu kì, biên độ của con lắc
b. Viết phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài lớn nhất.
Đa:a) T =0,4s; A = 3cm: b) x = 3cos( 5t )cm.
Bài 12: Một con lắc lò xo thằng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất cách nhau
6cm là 1s. Chọn gốc thời gian là lức vật ở vị trí thấp nhất, chọn chiều dương hướng xuống.
a. Tính chu kì, biên độ dao động
b. Viết phương trình dao động
c. Tìm vận tốc cực đại, gia tốc cực đại.
Đa: a)T =2s; A = 3cm: b) x = 3cos( t ) cm: c) 3 cm / s;3 2 m/s2.
Bài 13: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k, vật có khối lượng m. Khi vật ở vị trí cân băng người
ta truyền cho nó một vận tốc ban đầu theo chiều dương có độ lớn 1m/s, sau đó vật dao động điều hoà.

Biết cứ sau những khoảng thời gian ngắn nhất
s thì động năng lại bằng thế năng. Viết phương trình
40
dao động, chon, gốc thời gian là lúc kích thích dao động.

Đa: x = 5cos(20t - )cm.
2
Bài 14: Một con lắc lò xo gồm m = 500g, cơ năng của con lắc là0,01J. Chon gốc thời gian là lúc vật có
vận tốc 0,1m/s và gia tốc là - 3 m/s. Viết phương trình dao động.

Đa: x = 2cos(10t - )cm.
6
Bài 15: Một con lắc lò xo thẳng đứng dao động điều hoà với biên độ 5cm, chu kì 0,628s. Chon gốc toạ độ


tại vị trí cân bằng và chiều dương trục tọa độ hướng xuống. Tại thời điểm t =
s kể từ lúc bắt đầu dao
30
động vật qua vị trí cân băng và hướng theo chiều dương. Viết phương trình dao động.
5
Đa: x = 5cos(10t )cm.
6
Bài 16: Một vật dao động điều hoà với chu kì là 5s. Biết rằng tại thời điểm t = 5s kể từ lúc bắt đầu dao
2
2
động thì vật có x =
cm và v =
 cm/s. Viết phương trình dao động.
2
5
2

t  )cm.
Đa: x = cos(
5
4

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

7

Tổng

DẠNG III. BÀI TOÁN VỀ DĐĐH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỜI GIAN
A. Hướng dẫn cách giải
Đối với dạng bài toàn này ta có thể chia thành các loại như sau:
1: Bài toán tính khoảng thời điểm thoả mãn các điều kiện nào đó
Loại bài toán này thường là những bài toán tìm thời điểm khi vật qua vị trí M có x 0, v0, a0, Wd0, Wt0 , F
nào đó, hoặc vật qua các vị trí này lần thứ n nào đó, hoặc kèm theo điều kiện li độ vận tốc. Dưới đây tôi
sẽ giới thiêu cho các em cách giải loại bài toán này với điều kiện của x và v còn các bài toán với các điều
kiện còn lại ta cũng giải tương tự. Loại bài toán này có thể giải theo hai cách như sau:
Cách 1: Phương pháp đại số
1.1. Khi vật có li độ x0:
Giải phương trình: x0 = Acos( t   )
   k 2

 t1    
x0
 cos(t   )   t     k 2  
    k 2
A
t2 




*
Với k  N khi     0 và k  N khi     0 .
- Số lần (n) chẵn khi vật qua điểm này ứng với nghiệm t 2 (nếu     0 ), và ứng với nghiệm t1 ( nếu
    0 ).
- Số lần (n) lẻ đi qua điểm x0 ứng với ngiệm t1 ( nêu     0 ) và ứng với nghiệm t2 ( nếu     0 )
  

n 1
n
 0 thì k 
+ Khi
nếu n lẻ; k =  1 khi n chẵn.

2
2
  
n 1
n
 0 thì k 
+ Khi
nếu n lẻ; k  nếu n chẵn.

2
2
1.2. Khi vật có vận tốc là v0.
Giải phương trình: v 0  A sin(t   )

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

8

Tổng


k 2

t


1

t





k
2












k 2
t k 2 t 2

0
0
Vi k N khi
v k N * khi
.
0
0
- S ln (n) chn khi vt qua im ny ng vi nghim t 2 (nu 0 ), v ng vi nghim t1 ( nu
0 ).
- S ln (n) l i qua im v0 ng vi ngim t1 ( nờu 0 ) v ng vi nghim t2 ( nu 0 )
0
n 1
n
+ Khi
thỡ k
nu n l; k = 1 khi n chn.
2
2
0
0
n 1
n
+ Khi
thỡ k
nu n l; k nu n chn.
2
2
0

Chỳ ý: Nu cú thờm c li v vn tục thỡ ta s loi bt c mt nghim.
Nu v > 0 vt i qua x0 theo chiu dng chon nghim t2.
Nu v < 0 vt qua x0 theo chiu õm ly nghim t1
Cỏch 2: Phng phỏp lng giỏc
Ta chuyn dao ng iu ho sang chuyn ng trũn u ca im M ri ta lm nh sau:
a) Vi vt cú li x0.
Xỏc nh v trớ ban u M0 (ng vi t = 0) v v trớ M ng vi li x0 trờn ng trũn:

- Thi im vt qua v trớ ny ln th nht t1 =
. Trong
M

ú l gúc quột ca bỏn kớnh t M0 n ln th nht M .
M0
n 1
T + t1
- Thi im vt qua v trớ ny ln th n l: t =
2
O
-A
A
nu n l s nguyờn l
n 2
T t1 ; nhng t1 lỳc
- Nu n l s chn thi ta cú: t
2
ny thi im vt qua v trớ cú li x0 ln th 2.
Chỳ ý: Trong trng hp vt qua v trớ cú lớ x 0 theo mt chiu cho trc thỡ ta cú thi im vt qua v
trớ ny ln th n c xỏc nh nh sau:
t = (n 1) T + t1 ( Vi t1 l thi im vt tho món iu kin ny ln u tiờn).

b) khi vt cú vn tc v0
Cỏch lm cng tng t nh trờn, nhng biờn lỳc ny l A .
2: Tớnh khong thi gian ngn nht vt i t x1 n x2.
Cỏch 1: Phng phỏp i s
1.1/ Dựng khi cha cú phng trỡnh dao ng
- Gi s phng trỡnh dao ng cú dng: x = Acos( t ) sau ú ta lm nh sau:
- Chon t = 0 ng vi thi im vt cú li x 1 v vt ang chuyn ng theo chiu dng t ú suy ra
t ú ta c phng trỡnh dao ng.
- Khi vt cú li x = x2 gii phng trỡnh x2 = Acos( t ) ta s tỡm c t.
ể tìm khoảng thời gian ngắn nhất thì ta chon k sao cho t min > 0 ( tuỳ vào từng trờng hợp nà ta có thể
chon k = 0 hoặc k = 1).
1.2/ Dùng khụng có phơng trình dao động
- Ta tìm thời điểm t1khi vật qua vị trí có li độ x 1
M2
theo k1.
M1
- Tìm thời điểm t2 khi vật qua vị trí có li độ x2 theo
PPGBTVL12
Tng
9
O
x
hp : inh Cụng Tin
v
sin(t ) 0 sin
A


k2.
Chon k1 và k2 sao cho t1, t2 có giá trị nhỏ nhất và dơng

đối với thời gian.
Khi đó khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ vị trí
có li độ x1 đến x2 là t t 2 t1 .
Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa DĐĐH Với CĐ tròn đều
Ta làm nh sau:
- Biểu diễn dao động điều hoà đó bằng chuyển động tròn đều.
- Tìm vị trí M1 ứng với li độ x1 và vị trí M2 ứng với li độ x2 trên đờng tròn.
- Xác định góc quét nhỏ nhất của bán kính từ M1 đến M2: góc này là 2 1 2 1 .
Với 1 , 2 lần lợt là pha dao động của vật tại thời điểm t 1 và t2 ( ứng với giá trị nhỏ
x
x
nhất của thời gian ), Cũn 1 , 2 c xỏc nh bi: cos 1 1 ; cos 2 2
A
A
2 1

Khi đó ta có khoảng thời gian ngắn nhất là t
.


B. Bài tập vân dụng
Tỡm thi im

Bài 1: Một vật dao động điều hoà với phơng trình x = Acos( 2t ). Tỡm nhng thi
3
im m vt qua v trớ cõn bng theo chiu õm.
5
k vi k =0,1,2,3.....
a: t =
12

Bi 2: Mt vt dao ng iu ho theo phng trỡnh x = 8cos 2t (cm). Tỡm thi im u tiờn m vt qua
v trớ cõn bng.
a : t = 0,25s.

Bi 3 : Mt vt dao ng iu ho vi phng trỡnh x = 4cos( 4t ) (cm). Tỡm thi im ln th 3 vt
6
qua v trớ cú li x = 2cm theo chiu dng.
a : t = 0,521s

Bi 4 : Mt cht im dao ng iu ho theo phng trỡnh x =2cos( 2t ) (cm). Hi trong ln th
6
2007 vt qua v trớ cú li x = -1cm vo thi im no ?
a : t = 1003,25s
Bi 5 : Mt cht im dao ng iu ho theo phng trỡnh x =Acos 5t (cm). Hi k t lc t = 0 vt qua
v trớ m ng nng bng th nng ln th 9 vo thi im no ?
a : t = 0,85s


Bi 6 : Mt vt dao ng iu ho theo phng trỡnh x = 10cos( t ) cm. Hi vt qua v trớ cú li x
2
3
= - 5 3 cm ln th 2 vo thi im no ?
a : t = 3s

Bi 7: Mt vt dao ng iu ho theo phng trinh x = 8cos( 2t ) cm. Vt qua v trớ cú vn tc - 8
6
cm/s ln th 1010 vo thi im no ?
a : t = 1004,5s.

Bi 8 : Mt vt dao ng iu ho theo phng trỡnh x = 8cos( t ) cm. Hi vt qua v trớ m ng

4
nng bng 3 ln th nng ln th 2010 vo thi im no ?
a : t = 12059/12 (s).
PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

10

Tng


Bài 9 : Một vật dao động theo phương trình x = 8cos( 2t 


) cm. Vật qua vị trí mà động năng bằng thế
3

năng lần thứ nhất vào thời điểm nào ?
Đa : t = 1/24s.
Bài 10 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos( 4t 


)cm. Hỏi vật qua vị trí có li độ x
6

= 2cm lần thứ 2009 vào thời điểm nào ?
Đa : 12049/24 (s)
Tìm khoảng thời gian
Bài 11 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 8cos t (cm). Vật qua vị trí có li độ x = 4cm lần

thứ 2008 theo chiều âm vào thời điểm nào ?
Đa : 12044/3s

Bài 12 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos( 10t  )cm. Tìm khoảng thời gian ngắn
6
nhất để vật đi từ li độ -3 2 cm đến li độ 3 3 cm.
Đa : 0,058s
Bài 13 : Một vật dao động diều hoà với biên độ A , chu kì T = 2s. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để
A 3
đi từ li độ 
đến li độ A/2
2
Đa : 0,5s
Bài 14 : Một vật dao động điều hoà với biên độ 8cm, chu kì dao động là 0,2s. Tìm khoảng thời gian ngắn
nhất để vật đi từ vị trí có li độ -4cm đến li độ 2cm.
Đa : 0,067s
Bài 15 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 2s, biên độ 5cm. Tính khoảng thời gian ngắn nhất
để vật tăng tốc từ 2,5  cm/s đến 5  cm/s.
Đa: 1/3s
Bài 16: Một vật dao động diều hoà với chu kì 2s, vận tốc qua vị trí cân bằng có đọ lớn là 6  cm/s. Tính
khoảng thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3 2 cm/s đến 3 3 cm/s.
Đa: 1/12s
Bài 17: Một vật dao động điều hoà với biên độ 2cm, chu kì là 2/3s. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất mà
vật qua 2 vị trí có động năng băng 3 thế năng liên tiếp nhau?
Đa: 1/ 36s
Bài 18: Một con lắc lò xo thẳng đứng có k= 100N/m, m = 100g, biên độ dao động là 5 2 cm. Tính
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có lực đàn hồi cực đại đến vị trí vật có lực đàn hồi cực tiểu.
3
Đa:
s.

8 5

Bài 19: ( CĐ- 2011) Một con lắc đơn có l =1m dao động điều hoà với biên độ góc là
rad tại nơi có g =
20
 3
10m/s2. Lấy  2 10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc
rad
40
bằng bao nhiêu?
Đa:1/3s
2
t (cm). (x tính bằng
Bài 20: (ĐH-2011) Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos
3
cm, t tính bằng giây). Kể từ lúc t = 0 chất điểm qua vị trí có li độ x = -2cm lần thứ 2011 vào thời điểm
nào?
Đa: 3016s.
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

11

Tổng


Bài 21: ( HSG- 2012) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì là T =2s, biên độ là A. Chọn gốc thời
A 3
gian là lúc vật qua vị trí có li độ là

theo chiều dương. Tìm thời điểm mà vật qua vị trí mà tại đó
2
động năng bằng thế năng lần thứ 2012 .
Đa: 12071/12s
Bài 22: (ĐH-2010) Một con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kì là T biên độ dao động là 5cm. Biết
trong một chu kì khoảng thời gian nhỏ nhất của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm/s 2 là
T/3. Lấy  2 10 . Tính tần số dao động của con lắc
Đa: 1Hz
Bài 23: (ĐH – 2012) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m và vật nhỏ có khối lượng
m. Con lắc dao động điều hoà theo phương nằm ngang với chu kì là T. Biết thời điểm t vật có li độ 5cm, ở
T
thời điểm t +
vật có tốc độ 50cm/s. Giá trị m bằng bao nhiêu?
4
Đa: 1kg

DẠNG IV: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN QUÃNG ĐƯỜNG
A. Hướng dẫn cách giải:
Dạng bài tập này được chia thành các loại sau:
Loại 1: Tính quãng đường trong khoảng thời gian vật đi từ t1 đến t2.
Phương pháp đại số:
1/ Khi vật xuất phát từ VTCB hoặc từ vị trí biên.
- Quãng đường vật đi được từ thời điểm t =0 đến thời điểm t= T/ 4 là S = A.
- Quãng đường mà vật đi được từ lúc t = 0 đến thời điểm t = nT/4 là S = nA.
- Quãng đường mà vật đi được từ lúc t = 0 đến đến khi t = nT/4 = t ( với t  T / 4 ) là S = nA +
x ( nT / 4 t )  x nT / 4
2/ Khi vật xuất phát từ vị trí bất kì
+ Quãng đường đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = nT/2 (n là số tự nhiên) là S = n.2A
+ Quãng đường đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = t 0 + nT/4 + t (với t0 là thời điểm lần đầu
tiên vật đến VTCB hoặc vị trí biên; 0  t0; t < T/4) là:

S = x to  x 0 + nA + x to nT / 4 t  x to nT / 4 .
3/ Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
a. Nếu t2 – t1 = nT/2 với n là một số tự nhiên thì quãng đường đi được là S = n.2A.
t = T thì S = 4A.
b. Trường hợp tổng quát.
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

12

Tổng


* Gọi S1 và S2 lần lượt là quãng đường đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t 1 và đến thời điểm t2.
Với S1 và S2 tính theo mục trên. Quãng đường đi được từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 là S = S2 – S1.
T
T
* Hoặc phân tích: t2 – t1 = n +  t (n �N; 0 ≤  t < ). Quãng đường đi được trong thời gian nT là
2
2
S1 = 2nA, trong thời gian  t là S2. Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2. Tính S2 theo một trong 2
cách sau đây:
T
Cách 1: Xác định: x1, v1 ứng với thời điểm t1 + n ; x2, v2 ứng với thời điểm t2 ( v1, v2 chỉ cần xác định
2
dấu)
Nếu v1.v2 0
Nếu v1.v2 <0
 S  x 2  x1

 v  0  S 2 2 A  x1  x 2 ; (t  T / 2)
  1
  2
v1  0  S 2 2 A  x1  x 2 ; (t  T / 2)

Ngoài ra để đơn giản hơn thì ta có thể đổi gốc thời thời gian sang t1 thì này ta chì cẩn lại phương trình.
Khi này khoảng thời gian t = t2 – t1.
Hoặc: sau khi đã xác định được vị trí và chiều chuyển động tại các điểm ta vẽ trên trục toạ độ từ đó ta suy
ra quãng đường.
Cách 2: Dựa vào chuyển động tròn đều:
Tìm các vị trí M và N ứng với các li độ x1, x2 khi vật ở các thời điểm t1 và t2.
Tìm quãng đường S2 trên hình chiếu.
Loại 2: Tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất ( với t < T/2)
- Khi vật dao động điều hoà thì khi càng gần VTCB thì tốc độ càng lớn, vật càng gần vị trí biên thì tốc độ
càng nhỏ.
- Nêu trong cùng một khoảng thời gian thì nếu vật vật đi trên một đoạn thằng lấy VTCB làm trung điểm
thì quãng đường đi lớn nhất, còn vật qua vị trí biên lấy vị trí biên để chia đôi thời gian thì quãng đường
nhỏ nhất.
* Vậy với quy luật trên muốn tìm quãng đường lớn
nhất thì ta phải tìm hai điểm M, N đối xứng nhau
qua vị trí cân bằng sau cho thời gian để vật đi từ M,
N theo một chiều bằng khoảng thời gian đã cho.
Khi đó
Smax = /2xM/.
* Tìm quãng đường nhỏ nhất thì ta phải tìm toạ độ
của điểm M sao cho khoảng thời gian vật đi từ M
đến biên rồi về M bằng khoảng thời gian đã cho khi
đó Smin = 2( A- /xM/)
Ngoài ra: ta cũng có thê dùng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà như

hình vẽ:
Chẳng hạn : với t = T/4 thì: S max= A 2 còn Smin =

-A

x<0,a>0

VTCB

v nhỏ
v lớn
2
).
2 A(1 
2
Loại 3: Tìm tốc độ trung bình
Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian t được xác định bởi biểu thức :
S
vtb =
. Trong đó S là quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t .
t
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

13

+
v nhỏ A
A

x>0,a
<0

Tổng


Từ biểu thức cũng cho thấy tốc độ trung bình lớn nhất khi quãng đường đi được lớn nhất và tốc độ trung
bình nhỏ nhất khi Smin.
* Trong trường hợp cho trước quãng đường thì v tb lớn nhất khi khoảng thời gian phải ngắn nhất ( thường
là gần VTCB).
B. Bài tập vận dung
Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trinh x = 2cos( 10t 


) cm. Tính quãng đường mà vật đi
3

được trong khoảng thời gian 1,1s đầu tiên.
Đa : 44cm
Bài 2 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos( t 


)cm. Tính quãng đường mà vật đi
2

được trong 2,25s đầu tiên.
Đa : 16 + 2 2 cm.
Bài 3 : Một con lắc lò xó có k = 100N/m, m = 250g. Vật dao động điều hoà với biên độ 5cm. Tính quãng


đường và tốc độ trung bình mà vật đi được trong thời gian t =
s đầu tiên.
Đa : 20cm
10

Bài 4 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 3cos( 2t  )cm. Tính quãng đường và tốc độ
2
trung bình sau thời gian 1s và 1,5s kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động.
Đa : 12cm ; 18cm ; 12cm/s ; 12cm/s
Bài 5 : Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có m =200g ; k = 100N/m. Người ta kéo cho lò xo giãn 6cm
rồi thả nhẹ cho vật dao động. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ vị trí có lực tác dụng lên điểm treo cực
90 5
đại đến vị trí lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu ứng với thời gian ngắn nhất.
Đa :

cm/s ;
Bài 6 : Một vật dao động điều hoà với biên độ 10cm, chu kì T = 1s. Gọi M, N là hai biên, O là vị trí cân
bằng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OM và ON. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ I đến J ứng với
thời gian ngắn nhất.
Đa : 60 (cm/s).
Bài 7 : Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s. Khi ở vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vật tốc
ban đầu 5  cm/s. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ vị trí vận tốc v = 0 đến vị trí vật có li độ x = 2,5cm
ứng với thời gian ngắn nhất.
Đa : 7,5cm/s.
Bài 8 : Một vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng AB = 20cm, vị trí cân bằng là O, chu kì dao đông T =
1s. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
a. Tính tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì
b. Tính tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ M đến N
Đa : a. 40cm/s ; b. 60cm/s.
2

Bài 9 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos( 8t 
)cm.
3
a. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ - 2 3 cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 2 3
cm theo chiều dương.
b. Tính thời gian để vật đi được quãng đường 2 + 2 2 cm kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
Đa :a) 48 3 cm/s : b) 0.052s.

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

14

Tổng



) cm. Quãng đường mà vật đi
2
được trong khoảng thời gian từ t1 – 1,5s đến t2 = 13/3S bằng bao nhiêu ?
Đa : 50+5 3 cm.

Bài 11 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x= 5cos( 10t  )cm. Tính thời gian mà vật đi
2
được quãng đường 7,5cm kể từ lúc chuyển động.
Đa :1/12s.
Bài 12 : Một vật dao động điều hoà đi từ điểm M trên quỹ đạo đến vị trí cân bằng thì hết 1/3 chu kì.
Trong 5/12 chu kì tiếp theo vật đi được quãng đường 15cm. Vật đi tiếp 0,5s nữa thì lại về M đủ một chu
kì. Tìm A và T.

Đa : T = 2s ; A = 10cm.
Bài 13 : (ĐH- 2010) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất
khi đi từ vị trí biên x = A đến vị trí x = - A/2, chất điểm có tốc độ trung bình băng bao nhiêu ?
Đa : 9A/2T
Bài 14 : (ĐH-2009) Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là 31,4cm/s. Tốc độ trung bình trong
một chu kì dao động bằng bao nhiêu ?
Đa : 20cm/s
Bài 15 : Một vật dao động điều hoà với biên độ A, chu kì T. Tìm quãng đường
a. nhỏ nhất vật đi được trong 1/6 chu kì.
b. lớn nhất mà vật đi được trong ¼ chu kì.
c. nhỏ nhất mà vật đi được trong 2/3 chu kì.
Đa: a) s = 2A - A 3 : b) A 2 : c) A(4  3)
Bài 16: Một vật dao động điều hoà với chu kì T, biên độ A. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ
3 3A
trung bình lớn nhất mà vật đi được trong 1/3 chu kì.
Đa:
.
T
Bài 17: (HSG-2011) Một vật dao động điều hoà với biên độ 10cm, tần số 1Hz. Tìm tốc độ trung bình lớn
nhất mà vật có được khi đi hết quãng đường 30cm.
Đa: 45cm/s
Bài 18: (ĐH-2012) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T. Gọi vTB là tốc độ trung bình trong một

chu kì, v là tốc độ tức thời tại một thời điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v � vTB bằng bao
4
nhiêu chu kì?
Đa: 2T/3.
Bài 10 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos( t 

DẠNG V. BÀI TOÁN VỀ CHU KÌ VÀ BIÊN ĐỘ CỦA CON LẮC

A. Hướng dẫn cách giải
1/ Con lắc lò xo
2
m
.
2

k
* Đối với con lắc lò xo thẳng đứng, khi ở vị trí cân bằng lò xo bị biến dạng một đoạn là l thì ta có: T =
l
2
.
g
t
* Nếu trong thời gian t con lắc thực hiện được N dao động thì T =
.
N
Từ biểu thức ta thấy T phụ thuộc vào m và k, do đó muốn thay đổi t thì ta chỉ cần thay đổi m và k.
l
* Nếu con lắc bị nghiêng đi một góc  thì ta có T = 2
g , sin 
a) Ghép lò xo
PPGBTVL12
Tổng
15
hợp : Đinh Công Tiến
* Chu kì của con lắc lò xo T =


Nếu hai lò xo có độ cứng k1 và k2 ghép với nhau thì ta có hai cách ghép như sau:

* Ghép song song: thì lúc này độ cứng của hệ lò xo là k = k1 + k2.
1 1
1
* Ghép nối tiếp thì độ cứng của hệ lò xo được xác định theo biểu thức:  
.
k k1 k 2
b) Cắt lò xo:
Nếu một lò xo có độ cứng là k chiều dài là l bị cắt thành hai lò xo có chiều dài l1 và l2 thì khi đó độ cứng
k1 và k2 của lò xo được xác định như sau:
l
l
k1 = k và k2 = k .
l1
l2
Chú ý: Nếu cùng một lò xo, khi gắn vật m1 thì nó dao động với chu kì T1, khi gắn vật m2 chúng dao động
với chu kì là T2 . Khi đó nếu gắn vật m = m1 m2 thì chu kì dao động là:
T = T12 T22 .
2/ Con lắc đơn và con lắc vật lí:
l
Chu kì của con lắc đơn được xác định theo biểu thức: T 2
.
g
Từ biểu thức cũng cho thấy chu kì của con lắc phụ thuộc voà chiều dài l và gia tốc g. Vậy muốn thay đổi
T thì ta phải thay đổi l hoặc g .
mgd
* Đối với con lắc vật lí: thì chu kì dao động là T = 2
. Vậy muôn thay đổi chu kì củacon lắc ta có
I
thể thay đổi I, m g hoặc d.
a) l Thay đổi:

- l thay đổi do sự nở dài vì nhiệt thì ta có l = l0( 1+ t ). l0 là chiều dài của dây treo ở nhiệt độ 0 o C,  là
hệ số nở dài.
b) Thay đổi g:
M
- Ở mặt đất thì g = G 2 . Trong đó G = 6,67.10-11 N.m2/kg2 là hằng số hấp dẫn; M là khối lượng trái đất;
R
R là bán kính trái đất.
l
l
 2 R
Khi này chu kì dao động của con lắc khi ở mặt đất là: Tmđ = 2
g md
GM
M
R 2
g (
) .
- Khi vật ở độ cao h so với mặt đất thì gh = G
2
Rh
( R  h)
Chu kì dao động của con lắc ở độ cao h là: Th = 2 ( R  h)

l
GM

c) Xác định sai số của chu kì:
Gọi T1 là chu kì chạy đúng của con lắc; T2 là chu kì khi chạy sai
Khi đó sai số tuyệt đối là: T  T2  T1 .
T2  T1

.100% .
T2
Khi đó phần thời gian tăng lên hoặc giảm đi trong khoảng thời gian t là : t   .t
d) Dao đông của con lắc đơn chịu tác dung của một lực không đổi
* Con lắc chịu tác dụng của một ngoại lực không đổi.
- Nếu con lắc chịu tác dụng của một lực không đổi F ( ngoài lực căng và trọng lực). Thì lực này gây ra gia
tốc phụ ap cho vật dao động cùng hướng với lực F (F = map).
Sai số tỉ đối là  

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

16

Tổng


Lúc này con lắc chịu tác dụng của một trong lực hiệu dụng ( trong lực biểu kiến) là : P ' P  F . Trọng
F
lực biểu kiến này gây ra một gia tổc trọng trường biểu kiên (gia tốc hiệu dụng) là g '  g  a p  g  .
m
- Vị trí cân bằng của con lắc lúc này trùng với phương của P' , và chu kì của con lắc lúc này được xác
l
định theo biểu thức : T ' 2
.
g'
Vậy muốn xác định T’ thì ta chỉ cân xác định g’( với g’ được xác định theo quy tắc tổng hợp hai vectơ).
* Con Lắc chịu tác dụng của một lực quán tính không đổi
- Khi con lắc được đặt trong một hệ chuyển động với gia tốc là a ( hệ quy chiếu không quán tinh) thì

ngoài trong lực và lực căng thì khi xét trong hệ quy chiếu quán tính vật con chịu tác dụng thêm của một
lực quán tính là F  ma .
- Trọng lực hiệu dụng là : P ' P  F . Khi đó ta cũng tính được gia tốc hiệu dụng theo biểu thức :
F
g  a .
m
Xét một số trường hợp thường gặp sau
TH1 : Con lắc chịu tác dụng của lực điện trường
Ta có : F  q E .
g ' g 

* Nếu lực điện có phương thẳng đứng hướng lên thì ta có g’ = g -

qE
m

. Vậy ta có chu kì là

l

T ' 2
g

qE .
m

* Nếu lực điện thẳng đứng hướng xuống thi g’ = g +

qE
m

. Chu kì là :

2

* Nếu E có phương ngang thì : g’ =

l

T ' 2

 qE
 . Chu kì dao động là :
g 2  

m



g

qE .
m
l

T ' 2

2

 qE .


g  

 m 
Vị trí cân bằng của con lắc lúc nàylà vị trí mà dây treo hợp vơi phương thằng đứng một góc  được xác
qE
định theo biểu thức ; tan  
.
mg
TH2 : Con lắc chịu tác dụng của lực quán tính khi gắn vào thanh máy chuyển động :
* Thang máy chuyển động lên với gia tốc có độ lớn là a :
l
- Nếu nhanh dần đều ta có gia tốc hiệu dụnglà g’ = g +a. Vậy chu kì là : T ' 2
.
g a
- Nếu chậm dần đều ta có g’ = g – a. Chu kì là: T ' 2

2

l
g a

* Thang máy chuyển động xuống với gia tốc là a :
- Nếu nhanh dần thì g’ = g – a. Chu kì là : T ' 2
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

l
g a

17

Tổng


l
g a
* Nếu con lắc được treo trên xe chuyển động với gia tốc a theo phương ngang thì ta có :
l
g’ = g 2  a 2 . Vậy chu kì là T ' 2
. Vị trí cân bằng cũng được xác định theo biểu thức :
2
g  a2
- Nếu chậm dần thì g’ = g + a. Chu kì là : T ' 2

a
tan   .
g
Hoặc ta có g’ = g/cos  . Nên ta có : T ' 2

l cos 
T cos  .
g

3/ Dao động của con lăc có sự va chạm:
Khi giải các bài toán về con lắc va chạm thường là ta phải áp dụng định luật bảo toàn động lượng (áp
dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương). Để cụ thể ta xét hai trường hợp sau:
TH1: Hai vật va chạm với nhau rồi nhập thành một để trở thành vật năng của con lắc:
Khi nay ta có động lượng trước và chạm theo phương dao động là: P m1 v  m 2 v 2 .

động lượng sau va chạm là : P (m 2  m2 )v . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có
m1 v1  m 2 v 2 (m1  m 2 )v ; Kết hợp với điều kiện về chiều chuyển động ta tìm được v của hệ ngay sau
khi va chạm. Từ vận tốc này ta sẽ tìm được biên độ, và cũng tìm được chu kì dao động .
TH 2 : Hai vật dang gắn làm một rồi bị tách thành 2 rồi chỉ còn một vật được găn với con lăc lúc này ta
cũng có :
Động lượng trước khi tách là : P (m 2  m2 )v .
Động lượng sau vo chạm là : P m1 v  m 2 v 2
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có : (m1  m 2 )v m1 v1  m 2 v 2 .
B. Bài tập vận dung
Con lắc lò xo
Bài 1 : Hai lò xo có chiều dài bằng nhau và có độ cứng là k 1 và k2. Khi mắc lò xo k1 vào vật m thì nó dao
động với chu kì là T1 = 0,6s. Khi mắc k2 với vật m thì nó dao động với chu kì T 2 = 0,8s. Hỏi mắc vật m
với hai lò xo đó đặt song song với nhau thì chu kì dao động bằng bao nhiêu?
Đa: 0,48s.
Bài 2: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối m =200g, trong 20s con lắc thực hiện được 50
dao động toàn phần. Tính độ cứng của lò xo.
Đa: 50N/m
Bài 3: Khi gắn vật m1 = 4kg vào lò xo có khối lượng không đáng kể, thì chu kì dao động của con lắc là
1s. Khi gắn vật khác có khối lượng m2 thi chu kì dao động là T2 = 0,5s. Tính khối lượng m2.
Đa: 1kg
Bài 4: Một vật m lần lượt được gắn vào lò xo có độ cứng là k 1 và k2 thì chu kì dao động tương ứng là T 1
và T2. Biết T2 = 2T1 và k1 + k2 = 5N/m. Tìm k1 và k2.
Đa: k1 = 4N/m; k2 = 1N/m.
Bài 5: (HSG-2012) Cho một con lắc lò xo nằm ngang nhẹ có chiều dài tự nhiện l0, độ cứng là k. Một đầu
được gắn cố định, đầu còn lại được gắn với vật nhỏ có khối lượng m. Kích thích cho vật năng dao động
với biên độ là A. Trong qua trình dao động, khi vật tới vị trí cân bằng thì người ta giữ chặt lò xo tại điểm
M cách vật một đoạn là l0/3, sau đó vật dao động với biên độ A’. Tìm tỉ số A’/A.
1
Đa:
3

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

18

Tổng


Bài 6: Một vật có khối lượng 2kg được nối với 2 lò xo có độ cứng k 1 và k2. Nếu hai lò xo ghép nối tiếp
với nhau thi chu kì dao động là T 1 = 2 s. Nếu hai lò xo ghép song song thì chu kì dao động là: T 2 =
2
s. Tính độ cứng k1, k2 của hai lò xo. Đa: 6N/m và 12N/m.
3
Bài 7: (ĐH-2011) Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ một đầu cố định, đầu
kia gắn với vật nhỏ m1. Ban đầu giữ cho vật m1 tại vị trí lò xo bị nén 8cm, đặt vật nhỏ m 2 ( có khối lượng
băng m1) trên mặt phẳng nằm ngang sát với vật m1. Bỏ qua mọi ma sát. ở thời điểm lò xo có chiều dài cực
đại lần đầu tiên thì khoảng cách giữa hai vật m 1 và m2 bằng bao nhiêu?
Đa:
3,2cm.
Bài 8: Một con lắc lò xo được dựng thẳng đứng có k = 50N/m, đầu dưới cố định đầu trên được gắn với
vật nhỏ có khối lượng m =300g và có dạng như một cái đĩa. Hệ có thể dao động theo phương thẳng đứng
mà không ảnh hưởng của các yếu tô bên ngoài. Từ độ cao h so với m tại vị trí cân bằng người ta thả một
vật nhỏ có khối lượng m1 = 200g xuống va chạm với m. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao
động điều hoà với biên độ 10cm. Lấy g =10m/s2. Tính độ cao h.
Đa: 26,25cm
Bài 9: Một con lắc lò xo dao động trên phương ngang được bố trí như hình vẽ
vật có khối lượng m = 100g gắn voà lò xo k 1 = 60N/m. Lò
xo thứ hai có k2 = 40N/m tại vị trí cân bằng thì các lò xo
không bị biến dạng và vật m tiếp xúc với k 2. Kéo vật sao

cho lò xo k1 bị nén 5cm rồi thả nhẹ nhàng cho vật chuyển
động. Bỏ qua mọi mà sát. Tính chu kì của con lắc và độ nén
tối đa của lò xo k2 trong quá trình dao động.
Đa: 0,227s và 3,873cm.
Bài 10: Một con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m, m= 250g. Khi vật dang ở vị trí cân bằng người ta
cho vật m0 = 100g chuyển động thẳng đều dọc theo trục của lò xo và tới va chạm xuyên tâm với vật m
làm cho lò xo bị nén tối đa 2cm. Bỏ qua mọi ma sát. Sau khi hai vật tách khỏi nhau thì vật m dao động
với biên độ bằng bao nhiêu?
Đa: 1,69cm
Bài 11: Con lắc lò xo có k = 40N/m vật m = 100g dao động điều hoà với biên độ 5cm. Khi vật về tới vị trí
cân bằng thì người ta thả một vật m 0 = 50g nhẹ nhàng lên trên vật m. Sau khi đặt, hai vật đó dính vào
nhau và cùng dao động điều hoà. Tìm biên độ dao động và chu kì dao động của hệ lúc này.
Bài 12: Treo đồng thời hai vật m1 và m2 vào một lò xo thì hệ dao động với tần số f = 2Hz. Nếu bỏ m 2 ra
thì hệ dao động với tần số là 2,5HZ. Biết m 2 = 225g, lấy  2 . Tính m1 và độ cứng k.
Đa: k = 100N/m; m1 = 400g
Bài 13: Gắn quả cầu có khối lượng m vào lò xo. Gắn thêm vật m 1 = 120g vào con lắc lò xo thì tần số dao
động của hệ là 2,5Hz. Lại gắn thêm vật m2 = 180g thì tần số của hệ là 2Hz. Tìm khối lượng m và tân số
dao động của hệ khi chỉ có m.
Đa: m =200g; f =3,2Hz
Con lắc đơn
Bài 14: Hai con lắc đơn có chiều dài l1 và l2. Tại cùng một nơi thì con lắc có chiều dài l1 + l2 dao động với
chu kì là 2,7s, còn con lắc có chiều dài l1 – l2 dao động với chu kì là 0,9s. Tính chu kì của con lắc có chiều
dài l1 và l2.
Đa: 2s và 1,8s
Bài 15: Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc l1 thực hiện được 5 dao động toàn phần, con lắc l2 thực
hiện được 9 dao động toàn phần. Hiệu chiều dài của hai con lắc là 112cm. Tìm độ dài l1 và l2 của hai con
lắc.
Đa: 162cm và 50cm
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

19

Tổng


Bài 16: Một con lăc đơn có độ dài l. Trong khoảng thời gian t nó thực hiện được 12 dao động toàn
phần. Nếu giảm độ dài của con lắc đi 16cm thì cũng trong khoảng thời gian t nó thực hiện được 20 dao
động toàn phần. Tính độ dài ban đầu của con lắc.
Đa: 25cm.
Bài 17: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m được treo trên một bức tường và sát với tường, nhưng trong
quá trình dao động vật không chạm với tường. Tại vị trí cách điểm treo một đoạn là 50cm người ta có gắn
một cái đinh để nó có thể chạm dây trong quá trình dao động. Keo con lắc lệch một góc nhỏ rồi thả cho
nó dao động. Tính chu kì của con lắc. Lấy g =  2 10 m/s2.
Đa: 1,71s
Bài 18: Một xe toa trượt không ma sát trên một đường dốc xuống dưới với tốc, góc nghiêng so với mặt
phẳng nằm ngang là 300. Trên trần xe có một con lắc đơn có chiều dài dây treo là l = 1m. Trong thời gian
xe trượt xuống kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ góc nhỏ. Lấy g = 10m/s 2. Tính chu kì
của con lắc.
Đa: 2,135s
Bài 19: Một con lắc đồng hồ chạy đúng giờ tại mặt đất thì chu kì dao động của nó là T. Khi đưa con lắc
này lên cao 10km so với mặt đất thì phải giảm độ dài một lượng bằng bao nhiêu phần trăm so với chiều
dài ban đầu? Biết bán kính trái đất là R = 6400km.
Đa: giảm 3%.
Bài 20: Một con lắc đơn có chiều dài 1m ở 200C, gia tốc rơi tự do là g =  2 m/s2.
a. Tính chu kì của con lắc
b. Tăng nhiệt độ lên đến 400C thì chu kì của con lắc tăng hay giảm bao nhiêu? Biết hệ số nở dài vì nhiệt
của dây treo là 2.10-5 K-1.
Đa: a) 2s; b) 4.10-4s.

Bài 21: Người ta đưa con lắc đồng hồ từ Trái Đất lên Mặt Trăng mà không điều chỉnh lại. Theo đồng hồ
này trên Mặt Trăng thì thời gian mà trái đất tự quay quanh mình nó một vòng bằng bao nhiêu? Biết gia
tốc rơi tự do ở trên Mặt Trăng băng 1/6 gia tốc rơi tự do ở Trái Đất.
Đa:
9h48p.
Bài 22: Một con lắc đồng chạy đúng giờ khi ở mặt đất. Khi đưa đồng hồ lên cao 10km so với mặt đất mà
không chỉnh lại thì một ngày đêm động hồ nay chạy nhanh hay chậm một khoảng thời gian bằng bao
nhiêu? Biết bán kính trái đất là R = 6400km.
Đa: 2,25phút
Bài 23: Một con lắc đồng hồ chạy đúng ở nhịêt độ 200C. Vào Mùa hè nhiệt độ lên đến 360C . Hỏi vào
ngày này mùa hè một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm một khoảng thời gian bằng bao nhiêu?
Biết hệ số nở dài là 2. 10-5 K-1.
Bài 24: Một con lắc đơn có chiều dài 1m vật năng có khối lương 10g được tích điện q = 10 -5C. Con lắc
này được đặt trong một điện trường đều có E = 50000V/m. Lấy g = 10m/s 2. Hãy xác định góc lệch của
dây treo tại vị trí cân bằng và chu kì dao động của con lắc trong các trường hợp sau:
a. Điện trường thẳng đứng hướng xuống.
b. Điện trường thẳng đứng hướng lên.
c. Điện trường thẳng có phương ngang.
Bài 25: Một con lắc đơn được treo trên trần của một thang máy tại nơi có g = 9,8m/s 2. Khi thang máy
đứng yên thì chu kì dao động của con lắc là 2s. Tìm chu kì dao động của con lắc khi:
a. Thang máy chuyển động nhanh đần đều lên trên với gia tốc a = 1,14m/s2.
b. Thang máy chuyển động đị lên chậm dần đều với gia tốc 0,86m/s2.
c. Thang máy chuyển động đều.
d. Thang máy chuyển động xuống chậm dần đều với gia tốc 1m/s2.
Bài 26: Cho cơ hệ như hình vẽ:
K = 100N/m; l = 25cm, hai vật m 1 , m2 giống nhau và có khối lượng
100g. Kéo vật m1 để cho dây lệch một góc nhỏ rôi buông nhẹ. Biết
khi tới vị trí cân bằng hai vật va chạm xuyên tâm với nhau. Bỏ qua
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

20

Tổng


mi ma sỏt ly g = 2 10 m/s2. Tớnh chu kỡ dao ng ca c h.
Bi 27: Mt con lc n cú l = 1m, vt nng cú khi lng m = 1kg. Khi vt nng ang v trớ cõn bng
ngi ta bn mt viờn n cú khi lng 20g theo phng ngang vi vn tc l v = 50m/s ti gm vo vt
v nm trong vt nng. Khớ ú h dao ng iu ho. Tỡm biờn gúc v chu kỡ dao ng.
Bi 28: (H -2010) Con lc n cú chiu di l =50cm, vt nh cú m = 0,01kg mang in tớch q = +5.10 6
C, c coi l in tớch im. Con lc dao ng trong in trng u c vect cng in trng
thng ng hng xung di cú ln 10000V/m. Ly g =10m/s2. Tớnh chu kỡ dao ng ca con lc.
a: 1,15s
Bi 29: (H 2012) Mt con lc n gm dõy treo cú chiu di 1m v vt nh cú khi lng 100g mang
in tớch 2.10-5C. Treo con lc trong in trng u cú in trng hng theo phng ngang v cú
ln 5.104 V/m, Trong mt phng thng ng i qua im treo v song song vi vect cng in
trng, kộo vt nh theo chiu in trng sao cho dõy treo hp vi phng thng ng mt gúc 540 ri
buụng nh cho con lc dao ng iu ho. Ly g = 10m/s. Trong quỏ trỡnh dao ng tc cc i ca
vt nh bng bao nhiờu?
a: 0,59m/s
Bi 30: Mt con lc n cú chiờu di l dao ng vi chu kỡ l T. Nu tng chiu di ca con lc thờm
44cm thỡ chu kỡ dao ng ca con lc lỳc ny tng thờm 0,4s. Ly g = 10 = 2 m/s2. Xỏc nh chu kỡ ban
u T ca con lc trờn.
a: 2s.
Con lc vt lớ
Bi 31: Mt thanh rn cú chiu di l khi lng m phõn b u cú trc quay nm ngang i qua u thanh
to thnh con lc vt lớ. Ly g =10m/s2. Tỡm chu kỡ dao ng.
Bi 32: Mt con lc vt lớ cú khi lng m =2kg, momen quỏn tớnh vi trc quay l I = 0,5kg.m 2. Vt dao

ng vi chu kỡ T =2s. Ly g = 2 m/s2 . Tớnh khong cỏch t trong tõm n trc quay.
Bi 33: Mt thanh rn cú tit din u ng cht, chiu di l. Cú trc quay nm ngang i qua u thanh
to thnh con lc vt lớ. Momen quỏn tớnh vi trc quay l ml2/3. Tớnh chu kỡ dao ng ca con lc.

DNG VI: BI TON LIấN QUAN N NNG LNG CA CON LC
A. Hng dn cỏch gii (xột vi con lc lũ xo)
1. Biểu thức cơ năng
- C nng = ng nng + Th nng W = W + Wt
1
1
1 2 2
2
2 2
2
- ng nng W m.v m. A sin (t ) kA sin (t )
2
2
2
1 2 1 2
2
- Th nng
Wt k .x kA cos (t )
2
2
- Từ biểu thức trên cho thấy động năng và thế năng của con lắc biến thiên tuần
hoàn với tần số 2f hoặc tần số góc 2 hay chu kì T = T/2
PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

21

Tng


- nh lut bo ton c nng

W = W + Wt =

1
1
k . A2 m. 2 . A2 = Wmax = Wtmax =
2
2

const
Nếu bỏ qua mọi ma sát và lực cản thì cơ năng là đại lợng đợc bảo toàn.
* Từ định luật bảo toàn cơ năng ta thấy, giữa động năng và thế năng có sự
chuyển hoá lấn nhau cụ thể là:
- Khi đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên thi động năng giảm, thế năng tăng
( động năng chuyển hoá thành thế năng).
- Khi đi từ vị trí biên đến vị trí cân băng thì động năng tăng, thế năng giảm
( thế năng chuyển thành động năng).
1 2
1
2 2
+ Động năng cực đại Wđ = mv max m A
( động năng đạt cực đại tại vị trí
2
2

cân bằng).
1 2
+ Thế năng cực đại Wt = kA ( đạt giá trị cực đại tại hai vị trí biên).
2
2. Tìm mối liên hệ giữa động năng thế năng với li độ
2
Ư Wd m v 2 A
. 2 1 .
* Ta có :
Ư Wt
k x
x
Wd
Wt x 2
x2
1 2 và

W
W A2
A
a) Nếu Wđ = nWt thì ta có :
x2
1
A
v2
v2
n
n
n
2

x


;
hoặc
;
hay
.

n
.

2
v A
v max
2
2
2
n 1
A
n 1
n 1
n 1
x
n 1
A
b) Nếu Wt = nWđ thì ta có :
v max

v2
2
A
x2
n
n
x2
n
v n


v



;
hay
;
hay
.


x


A


x

2
2
n 1
A
n 1
n 1
A
n 1
n 1

v2 2
c) Nếu Wđ = Wt thì ta có :
A 2
A 2
hay ta cng có v .x hay v
.
x
2
2
Chú ý:
- Do tính tuần hoàn của động năng và thế năng nên ta có các trờng hợp trên đợc
lặp lại 4 lần trong một dao động toàn phần của vật (tr trng hp cc i hoc
bng 0 ca ng nng hoc th nng).
- Khi Wđ = Wt thì cứ sao một khoảng thời gian T/4 thì quá trình lại đợc lặp lại.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Hai con lắc lò xo A và B có vật năng cùng khối lợng, chu kì và biên độ là T B
= 3TA; AB = 2AA. Tìm tỉ số cơ năng giữa hai con lắc.
Bài 2: Con lắc lò xo thănge đứng, đầu đợc treovới vật có khối lợng 100g. Khi vật ở
VTCB lò xo giãn một đoạn 2,5cm. Từ VTCB ngời ta kéo vật xuống dới sao cho lò xo

giãn một đoạn là 6,5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Tính năng lợng của con
lắc và tính động năng khi vật cách VTCB 2cm.
Bài 3: Một vật đao động điều hoà với tần số 2,5Hz. Khi vật có li độ 1,2cm thì
động năng bằng 96% cơ năng của vật dao động. Tính tốc độ trung bình của vật
trong một chu kì.
Bài 4: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox, vật thực hiện đợc 24 dao động
toàn phần trong 12s, vận tốc cực đại là 20 cm/s. Tìm vị trí mà tại đó động
năng bằng 1/3 thế năng.
* Ta có:

PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

22

Tng


Bài 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k, vật năng m =100g. Vật dao động điều hoà
với tần số 5Hz, cơ năng W = 0,08J. Tìm tỉ số giữa động năng và thế năng tại vị
trí vật có li độ 2cm.
Bài 6: ( CĐ- 2010) Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, vật nhẹ có khối lợng m
dao động điều hoà với biên độ A. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khoảng thời
gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là 0,1s. Lấy 2 10 . Tính khối
lợng m của con lắc.
Đa: 40g
Bài 7: (ĐH- 2009) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật dao động điều hoà theo
phơng ngang với tần số 10rad/s. Biết rằng khi động năng bằng thế năng ( mốc thế
năng tại vị trí cân bằng) thì vận tốc có độ lớn là 0,6m/s. Tìm biên độ dao động

của con lắc.
Đa: 6 2 cm.
Bài 8: (ĐH- 2009) Một con lắc lò xo nhẹ, vật nhỏ có khối lợng 50g. Con lắc dao
động điều hoà theo phơng nằm ngang với phơng trình x = Acos t . Cứ sau
những khoảng thời gian 0,05s thì động năng và thế năng lại bằng nhau. Lấy
2 10 . Tính độ cứng của lò xo.
Đa: 50N/m.
Bài 9: (H- 2010) Vt nh ca con lc lũ xo dao ng iu ho theo phng ngang, mc th nng ti v
trớ cõn bng. Khi gia tc ca vt bng na gia tc cc i thỡ t s gia ng nng v th nng ca vt l:
A. ẵ
B. 3
C. 2
D. 1/3 .
Bi 10: (H- 2011) Mt cht im dao ng iu ho trờn trc Ox vi biờn 10cm chu kỡ 2s. Mc th
nng ti VTCB. Tc trung bỡnh ca cht im trong khong thi gian ngn nht khi cht im i t v
trớ cú ng nng bng 3 ln th nng n v trớ cú ng nng bng 1/3 th nng l:
A. 26,12cm/s
B. 7,32cm/s
C. 14,64cm/s
D. 21,96cm/s
Bi 11: Mt con lc lũ xo vt nng cú khi lng 2 kg dao ng iu ho vi vn tc cc i 60cm/s.
Ti v trớ vt cú li 3 2 cm thỡ ng nng bng th nng. Tớnh cng ca lũ xo.
a: 100 2 N/m
Bi 12: Mt vt dao ng iu ho vi biờn 6cm. Mc th nng ti v trớ cõn bng. Khi vt qua v trớ
ng nng bng ắ c nng thỡ vt cỏch v trớ mt on bng bao nhiờu?
a: 3cm
Bi 13: Mt con lc lũ xo cú cng k = 36N/m v vt nh cú m =100g. Ly 2 10 . ng nng ca
con lc biờn thiờn tin hon vi tõn s bng bao nhiờu?
a: 6Hz
Bi 14: (H 2011) Dao ng ca mt cht im cú khi lng 100g l tng hp hai dao ng iu ho

cựng phng cựng tn s ln lt l x1 = 5cos10t v x2 = 10cos10t ( x1; x2 tớch bng cm, t tớnh bng s).
Mc th nng ti v trớ cõn bng. C nng ca cht im bng bao nhiờu?
a: 0,225J.
Bi 15: (H 2012) Hai cht im M v N cú cựng khi lng, dao ng iu ho cựng tn s dc theo
hai ng thng song song k nhau v cựng song song vi trc to Ox. V trớ cõn bng ca M v N u
nm trờn mt ng thng i qua gc to v vuụng gúc vi Ox. Biờn ca M l 6cm, ca N l 8cm.
Trong quỏ trỡnh dao ng khong cỏch ln nht gia M v N theo Ox l 10cm. Mc th nng ti v trớ cõn
bng. thi im m M cú ng nng bng th nng, t s ng nng ca M v ng nng ca N bng
bao nhiờu?
A : 9/16

PPGBTVL12

hp : inh Cụng Tin

23

Tng


DẠNG VII. BÀI TOÁN LIÊN QIAN ĐẾN CÁC LỰC
A. Hướng dẫn cách giải
1/ Lực kéo về ( lực phục hồi)
- Đó là lực gây ra dao động điều hoà cho vật và nó có độ lớn tỉ lệ với độ dời, có hướng luôn hướng về vị
trí cân bằng ( lực này khác với lực đàn hồi).
- Biểu thức: Fph = - kx =  m 2 x ma ; độ lớn là Fph k x
- Lực phục hồi có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí biên với Fmax = kA.
- Lực phục hồi có độ lớn nhỏ nhất khi vật qua vị trí cân bằng Fmin = 0.
- Đối với con lắc đơn thì F kv = - mg.sin  . Lực kéo về trong con lắc đơn cũng có độ lớn cực đại tai hai
biêm và băng 0 tại vị trí cân bằng.

2/ Lực đàn hồi của lò xo
- Lực đàn hồi là lực chống nhân gây ra biến dạng và có độ lớn là F = k( l  x) .
Khi vật dao động thì lực đàn hồi cung luôn biến thiên.
* Con Lắc lò xo nằm ngang
Ta có l 0 như vậy F = kx. Vậy lực kéo về lực này chính là lực đàn hồi.
* Với Con lắc thẳng đứng hoặc nằm nghiêng.
- Nếu A l thì lực đàn hồi có gí trị cực đại khi vật ở vị trí thấp nhất và gia tri cực đại này là: F max = k(
l  A ). Lực đàn hồi có giá trị nhỏ nhất khi lò xo có chiều dài ngắn nhất tức là khi vật ở vị trí cao nhất.
Fmin = k ( l  A)  0.
- Nếu A l thì lực đàn hồi có giá trị lớn nhất khi vật ở vị trí thấp nhất F max = k( l  A ). Còn lực đàn
hồi có giá trị nhỏ nhất khi vật ở vị trí mà lò xo không bị biến dạng với
Fmin = 0.
- Lực đẩy hay nén lên lò xo là lực ngược lại với lực đàn hồi.
* Độ biến dạng của lò xo
Độ biến dạng của lò xo là: l  x . Vậy độ biến dạng cực đại là: l  A .
Độ biến dạng cực tiểu là l  A ( nếu A l ); là 0 khi A  l .
3/ Lực tác dụng lên điểm treo.
Lực tác dụng lên điểm treo có độ lớn bằng độ lớn của lực đàn hồi nhưng ngược chiều với lực đàn hồi.
4/ Lực hướng tâm và lực căng của dây treo trong con lắc đơn.
a) Lực hướng tâm
- Lực hoặc hợp lực luôn hướng vào tâm của quỹ đạo được gọi là lực hướng tâm.
2 gl (cos   cos  0 )
v2
Độ lớn Fht = m m
2mg (cos   cos  0 ) . (vì v  2 gl (cos   cos  0 ) ).
l
l
b) Lực căng của dây treo
T = Fht + P.cos 
Thay biểu thức trên ta có: T mg (3 cos   2 cos  0 ) .

Khi này lực tác dụng lên điểm treo sẽ có độ lớn bằng T.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một con lắc lò xo động điều hoà theo phương thẳng đứng, độ cứng k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s2.
a. Lập phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc vật có vận tốc 20cm/s và gia tốc là 2 3 cm/s2.
b. Tính lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng tại thời điểm t = 5T/12s.
Bài 2: Quả cầu có khối lượng m= 100g được treo vào một lò xo có k = 50N/m. Tại VTCB truyền cho vật
một năng lượng ban đầu 0,0225J làm cho con lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng.Tại vị trí
mà lực đàn hồi có độ lớn nhỏ nhất thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn bằng bao nhiêu?
PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

24

Tổng


Bài 3: Một quả cầu có khối lượng 100g được gắn vào một lò xo, đầu còn lại của lò xo được treo vào một
điểm cố định. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng xuống dưới một đoạn 10cm rồi buông nhẹ, quả cầu dao
động với chu kì 2s.
a. Tính tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng.
b. Tính độ lớn gia tốc của nó khi nó cách vị trí cân bằng 5cm.
c. Tính lực cực đại tác dụng lên quả cầu.
d. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có lực đand hồi cực đại đến vị trí có lực đàn hồi cực
tiểu.
Bài 4: Một con lắc lò xo có k =25N/m; m= 100g dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ
4cm. lấy g =10m/s2. Tính lực đàn hối của lò xo khi vật cách vị trí cân bằng 2cm ở phía dưới\.
Bài 5: Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ 3cm. Trong thời gian 20s vật
thực hiện được 50 dao động toàn phần. Tìm tỉ số giữ lực đàn hồi cực đại với lực đàn hồi cực tiểu.

Bài 6: Con lắc lò xo thẳng đứng, vật nhỏ có m =100g. Lò xo có chiều dài tự nhiên 50cm. Khi dao động lò
xo coá chiều thay đổi từ 58cm đến 62cm. Khi lò xo có chiều dài 59,5cm thì lực đàn hồi có độ lớn bằng
bao nhiêu?
Bài 7: Con lắc lò xó dao động thẳng đứng có k =50N/m. Lấy g = 10m/s 2. Trong quá trình dao động lực
tác dụng lên điểm treo có độ lớn cực đại và cực tiểu lần lượt là 4N và 2N. Tìm vận tốc cực đại của vật.
Bài 8: Con lắc đơn dao động thẳng đứng, vật có m = 200g. Chiều dài tự nhiện của lò xo là 30cm. Khi lò
xo có chiều dài 28cm thì vận tốc bằng 0, lực đàn hồi lúc này có độ lớn là 2N. Tìm cơ năng của con lắc.
Bài 9: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng với biên độ 10cm, lấy g =10m/s 2. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực
tiểu với lực đàn hồi cực đại là 3/7. Tìm tần số dao động.
Bài 10: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng với biên độ 12cm. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại với lực đàn
hồi cực tiểu băng 4. Tìm độ giãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng và chiều dài cực đại của lò xo trong
quá trình dao động.
Bài 11: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng gồm vật m= 100g, lò xo có khối lượng
không đáng kể. Chon gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên. Phương trình dao động của

con lắc là x = 4cos( t  )cm. Tìm lực đàn hồi của lò xo khi vật đi được quãng đường 3cm kể từ lúc bắt
3
đầu dao động.

PPGBTVL12

hợp : Đinh Công Tiến

25

Tổng