Sáng kiến kinh nghiệm toán thpt

Sáng kiến kinh nghiệm
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP
THƯỜNG GẶP

Giáo Viên: Nguyễn Đức Năng
LONG THÀNH, THÁNG 12 NĂM 2005
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm
Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập ra môn
hình học giải tích .Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay
cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới
đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của toán học và nhiều lónh vực khác.
Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm
rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất. Sau đây tôi xin trình
bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
PHẦN I: LÝ THUYẾT
I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG.
1. Đònh nghóa : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với
nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vò
1 2
,e e
ur uur
.Như vậy ta có một hệ trục toạ
độ Descartes vuông góc Oxy.
2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. Hạ MH
vuông góc x’Ox và MK vuông góc y’Oy. Theo qui tắc hình bình hành, ta có:

OM OH OK= +
uuuur uuur uuur

1 2
xe ye= +
ur ur
Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác đònh bởi điểm M và được gọi là toạ độ của
điểm M, ký hiệu M(x, y).
Cho
a
ur
trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho
OM a=
uuuur ur
. Gọi (x,y)
là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ
a
ur
trên hệ trục Oxy và ký
hiệu là
a
ur
= (x,y).
3. Các phép tính véc tơ :
Cho hai véc tơ
1 2 1 2
, ,( ) ; ( )a a a b b b= =
r
ur
và k là một số thực.

Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích vô
hướng hai véc tơ được xác đònh như sau:
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
( , )
( , )
. ( , )
.
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka
a b a b a b
+ = + +
− = − −
=
= +
r
ur
r
ur
ur
r
ur
4. Các công thức về lượng :
Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm
Cho hai véc tơ
1 2 1 2

; ;( ) ; ( )a a a b b b= =
r
ur
và gọi
α
là góc tạo bởi hai véctơ đó
. .a b a b=
r r
ur ur
khi và chỉ khi
a
r
và
b
r
là hai véctơ cùng hướng
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
. ..
cos
.
a b a ba b
a b
a a b b
α
+
= =
+ +
r

ur
r
ur
Khoảng cách từ điểm M(x
0
, y
0
) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là :
2 2
( , )
o o
Ax By C
d M D
A B
+ +
=
+
5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn .
* Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x
0
, y
0
) và nhận véctơ
( , )n A B=
r
làm véc tơ pháp tuyến là:
A(x – x
0
) + B(y – y
0

) = 0
* Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN.
1. Đònh nghóa :
Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi
một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vò
1 2 3
, ,e e e
ur uur uur
. Như vậy ta có một hệ trục toạ
độ Descartes vuông góc Oxyz.
2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ .
Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz. Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc
y’Oy và ML vuông góc z’Oz. Theo qui tắc hình hộp, ta có :
1 2 3
OM OH OK OL
xe ye ze
= + +
= + +
uuuuur uuuur uuuur uuur
ur uur uur
Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác đònh bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu
M(x,y,z).
Cho
a

ur
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho
OM a=
uuuuur
ur
. Gọi (x, y. z) là
toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ
a
ur
trên hệ trục Oxyz và ký
hiệu là
a
ur
= (x,y,z).
3. Các phép tính véc tơ :
Cho hai véc tơ
1 2 3 1 2 3
, ,( , ) ; ( , )a a a a b b b b= =
r
ur
và k là một số thực.
Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng,
tích có hướng hai vectơ được xác đònh như sau:
Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm
1 2 2 2
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
2 3 3 1

1 2
2 3 3 1 1 2
( , )
( , )
. ( , )
.
. ( , , )
a b a b a b
a b a b a b
k a ka ka
a b a b a b
a a a a
a a
a b
b b b b b b
 
 
+ = + +
− = − −
=
= +
=
r
ur
r
ur
ur
r
ur
r

ur
4. Các công thức về lượng :
Cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
, ,
( , ) ; ( , )a a a a b b b b
= =
r
ur
và gọi
α
là góc tạo bởi hai vectơ đó
. .a b a b=
r r
ur ur
khi và ch ỉ khi
a
r
và
b
r
là hai vectơ cùng hướng
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
.
cos
.
a b a b a b

a b
a b
a a a b b b
α
+ +
= =
+ + + +
r
ur
r
ur
Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
1, 2 3
( , )a a a a
=
r
và điểm
M. Giả sử ta tính được
1, 2 3
( , )AM b b b
=
uuuur
Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D)
được tính là :
2 2 2
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
2 2 2
1 2 3

( , )
a a a a
a a
b b b b b b
d M D
a a a
+ +
=
+ +
5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.
a. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x
0
,y
0,
z
0
) và có cặp vectơ chỉ
phương
1 2 3 1 2 3
, ,
( , ) ; ( , )a a a a b b b b
= =
r
ur
là :
2 3 3 1
1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
( ) ( ) ( ) 0

a a a a
a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =
b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x
0
,y
0
,z
0
) v à nhận
vectơ
1 2 3
,
( , )a a a a
=
ur
làm vectơ chỉ phương là:
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t






= +
= +
= +
(t là tham số)
c. Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) và có bán kính R là :
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm
PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN
III. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG:
1. CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ :
Bài 1: Cho 4 số thực x
1
, x
2
, x
3
, x
4
.
chứng minh rằng (x
1
2

+y
1
2
)(x
2
2
+y
2
2
)
≥
(x
1
x
2
+ y
1
y
2
)
2
Giải:
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ :
1 1 2 2
( , ); ( , )a x y b x y= =
r
ur
Ta có
2
2

2
. ( . )a b a b a b a b≥ ⇒ ≥
r r r r
ur ur ur ur
vậy (x
1
2
+y
1
2
) (x
2
2
+y
2
2
)
≥
(x
1
x
2
+ y
1
y
2
)
2
đẳng thức xãy ra
1 2 2 1

//a b x y x y⇔ ⇔ =
r
ur
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z+ + + + + > + +
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2 2 2 2
y z y z
x y x z y z+ + + + + > − + +
Xét 3 điểm
3 3 3
2 2 2 2 2 2
( , ) ; (0, ) ; ( ,0)
y y z
A x z B y z C+ + −
(1)
⇔
AB + AC > BC
Ta có
AB AC BC+ ≥
với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây
3
2 2
3
2 2

( , )
( , )
y
AB x y
z
AC x z







= − −
= − − −
uuur
uuuur
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xãy ra
đẳng thức AB + AC > BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Bài 3 Giải bất phương trình:

2
1 3 2( 3) 2 2(1)x x x x− + − ≥ − + −
Giải
Điều kiện
1x ≥
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:
Trang 5
Sáng kiến kinh nghiệm

( 3, 1)
(1,1)
u x x
v

= − −


=


r
r

2
( 3) 1
3
. 1 3
u x x
v
u v x x

= − + −


⇒ =


= − + −



r
r
r r
Suy ra bất phương trình (1) tương đương
. .u v u v≥
r r r r

2
2
3 1
6 9 1
3
7 10 0
3
5
2
3
5
u v
x x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x

⇔ ↑↑
⇔ − = −

− + = −
⇔

≥


− + =
⇔

≥


=



⇔
=



≥

⇔ =
r r
Vậy x=5 là nghiệm duy nhất.
Bài 4

Chứng minh rằng:
4 4
cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R
+ − + ≤ ∀ ∈
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

2
2
(cos ,1)
(cos2 ,0)
(sin ,1)
a x
a b x
b x

=

⇒ − =

=


r
r r
r
Khi đó, từ
4 4
cos 1 sin 1 cos 2 ( )
a b a b

x x x dpcm
− ≤ −
⇒ + − + ≤ ⇒
r r r r
Bài 5 Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số:
2 2
( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x= = − + + + +
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ:
(1 cos ,2)
(2 cos ,2)
a x
b x

= −


= +


r
r
Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm
Khi đó :
2 2 2
2 2 2
2 2
(1 cos ) 2 cos 2cos 5
(2 cos ) 2 cos 4cos 8

3 4 5
a x x x
b x x x
a b

= − + = − +


= + + = + +



+ = + =

r
r
r r

từ
a b a b+ ≥ +
r r r r
<=>
5y ≥
Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại
2
3
x
π
=
Vậy miny=5

Bài 6 : T ìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
2 2 2 2 ( )y x px p x qx q p q= − + + − + ≠
Gi ải
Ta c ó
2 2 2 2
( ) ( )y x p p x q q= − + + − +
Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox
sao cho (MA +MB) đạt giá trò nhỏ nhất.
Xét hai trường hợp:
- Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O .Khi đó (MA + MB) nhỏ
nhất
⇔
M trùng O, tức là
2 2
min
2 2 2( )y p q p q= + = +
đạt được khi x = 0
- Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’
đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời :
' 'MA MB MA MB A B+ = + ≥
Đẳng thức xãy ra
⇔
A’, M, B thẳng hàng
2 2
min
2 2
( )
' '
( )

2
' ( ) ( )
2( )
x p k q p
A M k A B
p k q p
p
k
p q
pq
x
p q
y A B p q p q
p q










− = −
⇔ = ⇔
= +
=
+
⇔

=
+
= = − + +
= +
uuuuuur uuuuur
đạt được khi x = 2pq/(p+q)
Trang 7
A
A
’
B
MO
x
y
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài 7 Giải phương trình:

2 2 2
2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + +

Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

( 1,1)
(3 2,5)
(2 3, 4)
u x
u v x
v x


= −

⇒ + = +

= +


r
r r
r

2
2
2
2 2
4 12 25
9 12 29
u x x
v x x
u v x x

= − +


⇒ = + +



+ = + +


r
r
r r

Suy ra phương trình (1) tương đương:

u v u v+ = +
r r r r


( 0)
1 (2 3)
1 .4
1
4
1
1 (2 3)
4
1
4
4 4 2 3
1
4
7
2
u kv k
x k x
k
k
x x

k
x x
k
x
⇔ = >
− = +

⇔

=


=


⇔


− = +



=

⇔


− = +



=


⇔


=


r r


Trang 8