Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến

ƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
TR
2 KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG

MỘT SỐ LÝ THUYẾT THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU VỀ
TINH THỂ PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI. 2012
1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp của mình.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lí, tới
các bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo
T.S Phạm Thị Minh Hạnh - người đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ
em hoàn thành khóa luận này.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng, nhưng đây là bước đầu làm quen với
công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong sự góp ý,chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đọc
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Ánh Hồng.

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của bản thân em qua quá trình học
tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em luôn được sự quan tâm tạo điều kiện của
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lí, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
cô giáo T.s Phạm Thị Minh Hạnh.
Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Em cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Ánh Hồng.


MỤC LỤC

Trang

A. MỞ ĐẦU.......................................

1. Lí do chọn đề tài.............................

2. Mục đích nghiên cứu......................

3. Đối tượng nghiên cứu.....................

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.....................
5. Phương pháp nghiên cứu

2

B. NỘI DUNG...................................

Chƣơng 1: Cấu trúc tinh
thể.......................................................
1.1.

Các dạng liên kết trong

1.1.1. Lực Van-der-van...........

1.2.

1.1.2.

Liên kết ion................

1.1.3.

Liên kết cộng hóa trị...

1.1.4.

Liên kết kim loại........

1.1.5.

Liên kết hiđro.............

1.1.6.

So sánh các loại liên k

Mạng tinh thể...............

1.2.1. Mạng không gian..........

1.2.2. Các hệ tinh thể..............

1.2.3. Một số kiểu tinh thể điể

1.2.4. Cấu trúc tinh thể...........

1.2.5. Chỉ số Miller................

1.2.6. Mật độ nguyên tử trong
1.3.

Tính đối xứng của tinh

1.3.1. Tâm đối xứng...............

1.3.2. Mặt chiếu gương..........

1.3.3. Trục đối xứng...............

1.3.4. Phép tịnh tiến................

1.4.

Mạng đảo...................................................................................15
1.4.1. Định nghĩa.................................................................................15
1.4.2. Tính chất của vecto mạng đảo...................................................16

1.5.

Sai lệch mạng tinh thể...............................................................17
1.5.1. Sai lệch điểm.............................................................................17
1.5.2. Sai lệch đường lệch...................................................................18
1.5.3. Sai lệch mặt...............................................................................19
1.5.4. Sai lệch khối..............................................................................19
1.5.5. Vai trò của sai lệch đối với tính chất của vật rắn.......................19

1.6.

Đơn tinh thể và đa tinh thể........................................................19
1.6.1. Đơn tinh thể, các đặc tính, ứng dụng.........................................19
1.6.2. Đa tinh thể.................................................................................20

1.7.

Kết luận chương 1.....................................................................21

Chƣơng 2: Hiệu ứng phi tuyến của tinh thể. Các lý thuyết chủ yếu nghiên
cứu hiệu ứng phi tuyến của tinh thể............................................................22
2.1. Hiệu ứng phi tuyến của tinh thể................................................................22
2.2. Lý thuyết động lực mạng tinh thể.............................................................24
2.3. Lý thuyết phonon tự hợp.......................................................................... 28

2.4. Phương pháp hàm phân bố một hạt..........................................................32
2.5. Phương pháp Monte – Carlo.....................................................................38
2.5.1. Sự ra đời của phương pháp Monte – Carlo .................................................... 39
2.5.2. Phương pháp Monte – Carlo là gì?..................................................................39
2.5.3. Phương pháp Monte – Carlo trong các trạng thái vật lí...................................40
2.5.4. Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học Monte –
Carlo

41

2.6. Kết luận chương 2....................................................................................43
C. KẾT LUẬN...............................................................................................44
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................45


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất
rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn đã tạo ra những vật liệu
cho các ngành kĩ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng
nguyên tử v…v… Trong những năm gần đây xuất hiện hàng loạt công trình
về siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lí chất rắn càng thêm nổi bật.
Phần lớn các vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa là các hạt tạo nên chúng
được sắp xếp một cách có trật tự. Chính vì vậy, tinh thể vật rắn có tính tuần
hoàn theo không gian và tạo thành mạng tinh thể có cấu trúc đối xứng. Các
hạt ở nút mạng tinh thể dao động xung quanh vị trí cân bằng với biên độ nhỏ.
Trong trường hợp này có thể xem tinh thể như hệ các dao tử điều hòa độc lập.
Điều đó có thể cho phép giải thích được một số tính chất nhiệt động như nhiệt
dung của tinh thể ở nhiệt độ thấp. Tuy nhiên, trên cơ sở này không giải thích
được các tính chất nhiệt động khác như hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung ở nhiệt

độ cao, hằng số mạng…..
Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh. Dao động
của các hạt bây giờ không phải là điều hòa mà là phi điều hòa. Từ đó chúng ta
giải thích được nhiều tính chất nhiệt động của tinh thể, nhất là ở nhiệt độ cao.
Dao động của các hạt ứng với trường hợp phi điều hòa được goi là dao động
phi tuyến. Các hiệu ứng tương ứng trong tinh thể được gọi là hiệu ứng phi
tuyến. Khi tính tới hiệu ứng phi tuyến này chúng ta có thể giải thích được sự
phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm của nhiều đại lượng vĩ mô như hệ số
dãn nở nhiệt, hệ số nén, nhiệt dung ở nhiệt độ cao.v...v…. Vì vậy em đã chọn
đề tài nghiên cứu: “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi
tuyến”.


2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu là vật rắn.
- Phạm vi nghiên cứu: vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến, các hiệu ứng phi tuyến,
giới thiệu một số phương pháp lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi
tuyến của tinh thể.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Tra cứu, tìm kiếm và nghiên cứu tài liệu.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ
1.1. Các dạng liên kết trong vật rắn. [1]

1.1.1. Lực Van-der-van.
- Đây là loại liên kết thường gặp nhất xuất hiện giữa hai nguyên tử và phân
tử bất kì.
- Phương trình Van-der-van:
a 

V − b)
P
+
2  (

V

= RT


.

(1.1)

- Đây là loại lực xuất hiện giữa các phần tử có liên kết hóa học bão hòa và các
phần tử khí trơ.
- Trong trường hợp tổng quát, lực liên kết Van-der-van gồm ba loại liên kết
chính: tương tác tán xạ, tương tác định hướng, tương tác cảm ứng.
• Tương tác tán xạ.
Năng lượng tương tác tán xạ được tính theo biểu thức:
3α
Utx

trong đó: α: độ phân

=−
r

2

J

,

(1.2)

4

6

cực,
J: năng lượng kích thích,
r: khoảng cách.
• Tương tác định hướng.
Năng lượng tương tác định hướng được tính theo biểu thức:
M2 .
+ Ở nhiệt độ thấp: Udh = −
2
2πε
0r

(1.3)

+ Ở nhiệt độ cao: Udh
= −

M

4

1

24π 0 k BT r
2

ε

2

6

.

(1.4)


Trong đó: M: mômen lưỡng cực: M =αε (ε: cường độ điện trường),
ε 0 : hằng số điện môi,
kB : hằng số Boltzmann,

T: nhiệt độ tuyệt đối.
• Tương tác cảm ứng:
Năng lượng tương tác cảm ứng được tính theo biểu thức:

α M2 1

U cu = −
8πε

2
0

r6

.

(1.5)

Trong trường hợp tổng quát, khi hai nguyên tử lại gần nhau thì xuất
hiện đồng thời ba loại liên kết nên Utx
U =
+
Ucu 

1.1.2. Liên kết
ion.

Udh
+

Ucu .

Utx Udh .

;

- Đây là loại liên kết xuất hiện ở kim loại điển hình kết hợp với nhóm
halogen.
- Bản chất của liên kết ion là lực hút tĩnh điện giữa hai ion trái dấu.
- Đặc điểm: Sự phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu.
- Năng lượng tương tác:
B

q

2

U = n −
,
r
4πε 0 r

(1.6)

trong đó: q: điện tích ion,
B, n: hằng số,
r: khoảng cách.
1.1.3. Liên kết cộng hóa trị.
- Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp electron có spin đối song,
đây là loại liên kết mạnh mặc dù nó là liên kết giữa các nguyên tử trung hòa.
Ví dụ liên kết trong kim cương, Silic, GaAs, GaP, AlP, ….


- Đặc điểm: Liên kết cộng hóa trị có tính bão hòa, tính định hướng.

• Tính bão hòa: Mỗi nguyên tử chỉ có khả năng tạo thành liên kết cộng hóa
trị với một số nhất định nguyên tử lân cận.
• Tính định hướng: Theo hướng đó sự phân bố lớp mây điện tử là lớn nhất,
phù hợp với các điện tử hóa trị.
1.1.4. Liên kết kim loại.
Đây là liên kết xuất hiện trong kim loại. Trong kim loại, liên kết xuất
hiện giữa ion dương và khí điện tử. Lực hút giữa các điện tử nằm giữa các ion
và ion này cân bằng với lực đẩy giữa các ion dương với nhau. Khi giảm
khoảng cách giữa các ion, mật độ khí điện tử tăng lên. Mặt khác, lúc này lực
đẩy giữa các ion cũng tăng đẩy chúng ra xa nhau, đến khoảng cách nào đó lực
hút cân bằng với lực đẩy, mạng ở trạng thái ổn định.
1.1.5. Liên kết hiđrô.
Liên kết hiđrô xuất hiện khi nguyên tử H liên kết với những nguyên tử
có tính âm điện lớn như nguyên tử O, nguyên tử F, nguyên tử Cl. Khi đó các
nguyên tử này nhận một điện tử liên kết và mang điện tích âm, nguyên tử H
mất một điện tử và mang điện tích dương.
1.1.6. So sánh các loại liên kết.
 Liên kết thường gặp nhất là liên kết Van-der-van, có năng lượng thấp nhất,
4
xuất hiện trong mọi trường hợp, năng lượng liên kết cỡ khoảng 10

J/mol, là loại liên kết yếu nhất.
- Liên kết này xuất hiện giữa nguyên tử, phân tử trung hòa có lớp vỏ
bên trong đầy. Lực Van- der - van xuất hiện ở trạng thái rắn, lỏng, khí của
chất hữu cơ và nhiều chất vô cơ.
- Điểm nóng chảy của các cấu trúc có liên kết này thấp.
 Liên kết ion là liên kết hóa học điển hình thường gặp trong hợp chất vô cơ,
trong các hợp chất kim loại với halogen, oxit kim loại, sunfua và các hợp
6

chất phân cực khác, năng lượng liên kết cỡ khoảng 10 J/mol.
10


Vật rắn có liên kết này thường có nhiệt dung, điểm nóng chảy cao.
 Liên kết cộng hóa trị: Ít có mặt trong hợp chất hữu cơ, hay gặp trong hợp
chất vô cơ, một số ít kim loại và rất nhiều hợp chất của kim loại chuyển
6

tiếp, năng lượng liên kết cỡ khoảng 10 J/mol.
Vật rắn có liên kết này thường có nhiệt dung, điểm nóng chảy cao.
 Liên kết hiđrô: Đây là loại liên kết yếu.
Trong vật rắn rất ít khi gặp một loại liên kết mà thường gặp hai hoặc
nhiều hơn hai loại liên kết. Loại liên kết nào chiếm ưu thế thì quy định cấu
trúc của vật rắn đó.
1.2. Mạng tinh thể. [1]
Mạng tinh thể được dùng để mô tả cấu trúc bên trong của tinh thể.
1.2.1. Mạng không gian.
Trong vật rắn, nguyên tử và phân tử được sắp xếp đều đặn tuần hoàn
trong không gian tạo thành mạng tinh thể.
Tinh thể lí tưởng là tinh thể trong đó:
- Sự sắp xếp nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn.
- Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi nó đều chứa
những nguyên tử, phân tử phân bố như nhau.
- Kích thước trải rộng vô hạn.
VD: Hình 1.1 diễn tả mạng tinh thể nhận được bằng cách tịnh tiến các
hạt dọc theo ba trục.
Theo Ox những đoạn a1 , 2a1 , 3a1 ,
....,
Theo Oy những đoạn

a2 , 2a2 , 3a2 ,

Theo Oz những đoạn ...,

a3 , 2a3 , 3a3 ,
....,

12

n1 a1 .
n2a2 .

n3a3 .


Hình 1.1
Khi đó vị trí của một hạt bất kì của mạng được xác định nhờ




vecto: r = n1a1 n2a2 n3a3
(1.7)
+
+
,
trong đó: n1 , n2 ,
n3
 
a 1 , a2 ,


a

là các số nguyên,
là ba vecto cơ sở.
3


Khi đó tập hợp các giá trị khác nhau của các điểm có bán kính r được
xác định theo (1.7) với giá trị khác nhau của n1 , n2 ,

tạo thành mạng không

n3

gian, và các điểm đó được gọi là nút của mạng không gian hay nút mạng.




Hình hộp được tạo thành từ ba vecto cơ sở a1 , a2 ,



là ô cơ sở

a3

hay ô sơ cấp.

Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng kích thước và hình dạng.
Về mặt nguyên tắc, để mô tả một ô cơ sở cần 6 đại lượng: a1 , a2 , a3 và

α , β , γ (hình 1.2), trong đó α là góc hợp
bởi hai vecto



 và a3 ,
a2

β là góc hợp bởi hai vecto


a
1



a và a3 ,

và a2 .

γ là góc hợp bởi hai vecto



a3

β

α
O

γ

a2

a1
Hình 1.2
+ Ô cơ sở hay ô nguyên thủy là loại ô chỉ chứa các hạt tại các đỉnh và ô
này chỉ chứa một hạt trên một ô cơ sở.
+ Ô phức tạp là ô cơ sở ngoài chứa hạt ở đỉnh còn có hạt ở đỉnh khác.
1.2.2. Các hệ tinh thể.
Căn cứ vào tính chất đối xứng của mạng không gian mà người ta chia
chúng thành bảy hệ ứng với bảy ô sơ cấp khác nhau, mỗi hệ đặc trưng bởi
quan hệ giữa các vecto.
(1). Hệ tam tà.

a ≠ b ≠ c.

α ≠ β ≠ γ .

(2). Hệ đơn tà.
a1 ≠ a2
≠ a3.

Có hai loại đơn tà và đơn tà tâm đáy (có hạt ở hai đáy).
β =
= γ 90°.




α ≠ 90°.


Đơn tà

Đơn tà tâm đáy

(3). Hệ thoi: Ô sơ cấp là hình hộp chữ nhật.
α

a ≠ b ≠ c.

= β = γ = 90°.

Thoi đơn giản Thoi tâm đáy Thoi tâm khối Thoi tâm mặt

(4). Hệ tứ giác.

a = b ≠ c.

α = β = γ = 90°.

Ô sơ cấp có dạng lăng trụ, đáy mỏng. Hai phương
phương c khác. Có hai loại: Tứ giác và tứ giác tâm khối.

a, b là tương đương,


Tứ giác

Tứ giác tâm khối

(5). Hệ tam giác:

β = γ

a = b = c.

α = < 120° ≠ 90°.

(6). Hệ lục giác.

a = b ≠ c.

α = β = 90°.
 = 120°.
γ

Ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy hình thoi, góc =90 °
(7). Hệ lập phương.

a = b = c.

= β = γ = 90°.

.

α
Có ba loại, lập phương, lập phương tâm mặt và lập phương tâm khối.


LP đơn giản

LP tâm khối

LP tâm mặt

1.2.3. Một số kiểu tinh thể điển hình. [2]
1.2.3.1. Mạng kim cương.
Kim cương là một trong những dạng thù hình của các bon có liên kết
trao đổi. Ô cơ sở của mạng (hình 1.3) có thể xem như được tạo thành trên cơ
sở ô mạng lập phương tâm mặt. Mỗi nguyên tử trong mạng đều được bao
quanh bởi bốn nguyên tử cách đều.
1.2.3.2. Mạng NaCl.
Mạng được tạo thành trên cơ sở mạng lập phương tâm diện của
+

các ion Na và các ion Cl

−

chiếm các lỗ hổng khối tám mặt (hình 1.4).

+

Mỗi ion Na được bao quanh bởi sáu ion Cl

H 1.3: Ô cơ sở của mạng kim cương.

−

và ngược lại.

H 1.4: Mạng NaCl.

1.2.4. Cấu trúc tinh thể. [1]
Chuyển từ mạng không gian là mô hình toán học sang cấu trúc tinh thể
nếu ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu đặt nguyên tử hoặc nhóm
nguyên tử ở nút mạng hay gần nút mạng.


Chẳng hạn, đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử ở trạng thái cân bằng,
hạt nhân của chúng ở nút mạng. Ví Dụ: Tinh thể H (trạng thái rắn) mỗi nút
mạng là một nguyên tử H nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử gọi là gốc.
Ta coi cấu trúc tinh thể = mạng không gian + gốc.
Hoặc cấu trúc tinh thể = mạng không gian + ô cơ sở.
1.2.5. Chỉ số Miller. [1]
- Vị trí của các nút, các hướng và các mặt phẳng trong tinh thể được xác
định bằng chỉ số Miller.
- Đường thẳng mạng là đường thẳng đi qua hai nút mạng.
- Mặt phẳng mạng là mặt phẳng chứa ba nút mạng.
 

Giả sử có ba vecto cơ sở a1, a2 ,



và có hệ trục tọa độ Oxyz có các trục

a3

dựa trên ba vecto cơ sở như hình 1.5, gốc O trùng với một nút mạng.

Hình 1.5
Giả sử có một mặt phẳng mạng cắt ba trục Oxyz tại các nút A, B, C và
1

có các tọa độ là: n1, n2 , n3
.
Khi đó lấy nghịch đảo của n1 , n2 ,
n3

n

;

1
n
n

;

1

ta được:

.
1

2

3

Quy đồng mẫu số chung. Giả sử mẫu số chung nhỏ nhất là D.


⇒

nguyên

Các số hD =
;

n1

k=
D
;
n2

l = chính là chỉ số của mặt phẳng
D

này và viết là (h gọi là chỉ
k l) . Khi đó, bộ số Miller

ba số (h k l)
của mặt

n3

phẳng mạng.
1 1 1
n1 : n2 : n3
C

(1), Các mặt phẳng
mạng song song với nhau có
cùng chỉ số Miller. Vì vậy,
chỉ số Miller (h k l) có thể kí
hiệu một mặt phẳng hoặc
một họ mặt phẳng song song
với nhau.
(2), Nếu mặt phẳng
mạng song song với trục tọa
độ thì coi như nó cắt trục đó
ở vô cực và chỉ số Miller coi
bằng 0.
(3), Nếu mặt phẳng
mạng cắt trục tọa độ ở điểm
có tọa độ âm thì chỉ số


Miller tương ứng có
dấu âm và được kí hiệu
−

là h .
1.2.6. Mật độ nguyên tử
trong mạng tinh
thể, hệ số xếp
chặt. [4]
1.2.6.1. Mật độ xếp.
Mật độ xếp theo
một phương, trên một
mặt hoặc trong một
mạng

tinh

thể

đặc

trưng cho khả năng
chiếm chỗ của nguyên
tử trong không gian

nguy
xế
ên
p
t
đặc
L,
V: trư

T ng
g
chi kh
u ả
dài,
di nă
tích,ng
th
tíchxế
đang
p
xét
tronchặ
g t
tinh
thể của

q

c được xếp chặt sao cho

u

mỗi

các

íc

ng

h

uy

t

ên

h

tử.

ư

Gi

ớ

1.2.6.2. Các
mạng, lần lượt xác định
h
được biểu thức:
sắp
l
xếp
M = , MM
l
ngu
L

yên
==
tử
tron
sv
g
mạ
ng
, ,
s
tinh
v
thể,
S
sự
V
trong đó: M l , M s , M v :
xếp
Mật độ xếp theo
chặ
phương, mặt, thể tích
t.
(mạng),
M
l, s, v : Chiều
ật
dài, diện tích,
thể tích bị
độ
chiếm bởi

ả
sử
các
ng
uy
ên
tử
là
các

ả
c
ầ
u
r
ắ
n
c
ù
n
g
k


nguyên tử tiếp xúc với sáu nguyên tử xung quanh, chúng sẽ tạo ra một lớp
nguyên tử xếp chặt (mặt xếp chặt). Sự phá vỡ trật tự xếp gọi là khuyết tật xếp.
1.3 Tính đối xứng của tinh thể. [3]
Đối xứng là một trong những tính chất quan trọng của tinh thể, nó thể
hiện ở hình dạng bên ngoài, cấu trúc bên trong cũng như các tính chất khác.

Tính chất đối xứng của tinh thể được đặc trưng bởi các yếu tố đối xứng,
mỗi yếu tố đối xứng tương ứng với một thao tác đối xứng, tức là một phép
biến đổi hình học xác định để một hệ thống điểm, đường thẳng, phân tử…tự
trùng lặp với chính mình trong không gian.
Những yếu tố quan trọng là:
1.3.1. Tâm đối xứng (Tâm nghịch đảo, kí hiệu C hoặc i).
Các điểm a1, a2 , a3 , gọi là đối xứng qua tâm với b1 , b2 , b3
,...
...

tương ứng

nếu chúng trùng lặp nhau từng cặp một bằng phương pháp nghịch đảo tâm C
(hình 1.6.a).
1.3.2. Mặt chiếu gương (Kí hiệu P hoặc m).
Các điểm a1 , a2 , a3
,...

được gọi là đối xứng gương với b1 , b2 , b3 , ...
tương

ứng nếu chúng trùng lặp nhau từng cặp một bằng phép chiếu gương qua mặt
phẳng P (hình 1.6.b).
1.3.3. Trục đối xứng (Kí hiệu L hoặc n).
Các điểm

ai có thể trùng lặp nhau bằng phép quay quanh trục L một

góc α , khi đó chúng được gọi là đối xứng nhau qua trục L. Số
nguyên

n=
2π

α

gọi là bậc của trục đối xứng. Ta có các trục đối xứng n = 1, 2, 3, 4, 6. Không
tồn tại trục đối xứng bậc 5 và bậc cao hơn 6 (hình 1.6.c).


Hình 1.6: Các yếu tố đối xứng.
1.3.4. Phép tịnh tiến (kí hiệu t).
Phép tịnh tiến là một trong những yếu tố đối xứng quan trọng của cấu
trúc mạng tinh thể, ứng với thao tác tịnh tiến mạng tinh thể theo một hướng
nào đó trong không gian đi một số nguyên lần trên độ dài xác định để tinh thể
tự trùng lặp chính nó. Sự trùng lặp ở đây cần hiểu là trùng lặp các yếu tố hình
học giới hạn tinh thể và các tính chất khác. Độ dài đơn vị tịnh tiến (a) được
gọi là chu kì tuần hoàn của mạng tinh thể theo hướng không gian đã cho.
Ngoài những yếu tố đối xứng đơn, còn tồn tại những yếu tố đối xứng
phức hợp gồm hai hay nhiều yếu tố đối xứng đơn.
1.4. Mạng đảo. [1]
1.4.1. Định nghĩa.
- Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba vecto cơ sở
  
a 1 , a2 ,3a .
- Vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ vecto:





r = n a1 1+ 2n a2 +
3 3n a ,

trong đó: n1 , n2 , là các số nguyên.
n3
- Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba vecto cơ sở

  
b1 , b2 , b3 .

20




= 2π
b



[a 2



∧ a
3

1

]

 ∧] ⋅ a
[a

 .

a



b

3

= 2π

1

1

[a

2

2

3

2

3



[a ∧ .a ]
 ∧] ⋅ a
a



b

1

= 2π

1

2

[a

3

1


Tổ
ng
qu

át:

[

bj k
=i

2

π


G
=
+
+
b1

2


∧ a .]

 ∧] ⋅ a

[a



a


2

3

 ∧ a ]
a


.

ai ∧ a j  ⋅ ak
- Khi đó, vị trí của mỗi nút
mạng được xác định nhờ vecto:



, ( m1 , là các số nguyên).
m2 , m3
m1b1
m2b2
m3b3

1.4.2. Tính chất của vecto mạng đảo.


(1). ⊥ a và


25