CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Quan hệ vuông góc

1

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Góc giữa 2 đường thẳng:
 Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong
không gian là góc giữa hai đường thẳng
a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm và lần lượt
song song với a, b.
 Để xác định góc giữa a và b, ta lấy O
thuộc 1 trong 2 đường thẳng đó, vẽ
đường thẳng qua O và song song với
đường thẳng còn lại.
2) Hai đường thẳng vuông góc:
 a  b  góc giữa a và b bằng 900.

a

a'

O


b

a  b
bc

a / / c

 

3) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 a  ( P)  a  b, b  ( P).
 a, b  ( P )
 a  b  O  d  ( P).
 d  a, d  b

d  AB
 d  BC .
 Cho ABC , khi đó: 
d  AC

a  ( P)
a  ( P )
 b  ( P); 
 a  (Q).
b / / a
(Q) / /( P)
a  ( P)  a / /b a  ( P) ( P) / /(Q)

;

.
 
b  ( P)  a  b a  (Q) ( P)  (Q)
a / /( P)
a  b

a / /( P)
 b  a; 

.
 
b  ( P)
( P)  b  a  ( P)

 

4) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng (P) bằng góc giữa d và hình
chiếu của nó lên (P).

a


a'

(P)

5) Góc giữa hai mặt phẳng:
Bùi Phú Hữu


Quan hệ vuông góc

2

Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau
theo giao tuyến d. Khi đó góc giữa (P),
(Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a, b
lần lượt chứa trong (P), (Q) đồng thời
vuông góc với d.

(Q)

b



a

(P)

6) Khoảng cách:
a) Khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.
d(M, (P)) = MH
với H là hình chiếu của M lên mặt
phẳng (P).

M

H

(P)

b) Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn
vuông góc chung của chúng.

a

A

d(a,b)=AB

B

b

Cho a và b chéo nhau, gọi (P)
là mặt phẳng qua b và (P) // a. Khi đó:

a
A

d  a, b   d  A,  P   A  a

a'
H

(P)

II.

b

VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O.
SA = SB = SC = SD = a√ .
a. Chứng minh SO  (ABCD).
b. Chứng minh (SAC)  (SBD).
c. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh SI  CD.
d. Tính góc giữa SC và (ABCD).
e. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (ABCD).
f. Tính khoảng cách giữa SC và BD.
GIẢI

Bùi Phú Hữu


Quan hệ vuông góc

3
S

H

C
B

I

O
D
A

a. O là tâm hình vuông ABCD nên O là
trung điểm AC, BD.
Các tam giác SAC, SBD cân tại S
suy ra SO  AC, SO  BD và AC và
BD cắt nhau trong mặt phẳng
(ABCD)
Vậy SO  (ABCD).
b. Ta có SO  AC
ABCD là hình vuông nên BD  AC
Suy ra (SBD)  AC.
Mà AC  (SAC) nên (SAC)  (SBD)

c. Do I là trung điểm AB và SAB cân tại S nên SI  AB.
Lại có CD // AB nên ta suy ra SI  CD.
d. Do SO  (ABCD) nên OC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng
(ABCD).
Góc giữa SC và (ABCD) bằng SCO .
Có OC = ½AC =
̂

√

.

 ̂
.
Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 600.
e. Do SI  AB và OI  AB nên góc giữa (SAB) và (ABCD) là SIO
̂
Tam giác SIO vuông tại O nên ta có

.
Mà OI = ; SI = √

√



̂

√

f. Vẽ OH  SC.
Do BD  (SAC) nên BD  OH. Suy ra OH là đoạn vuông góc chung
của SC và BD.
Khoảng cách giữa SC và BD bằng OH.
Ta có

OH =

√

VD2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các tam giác SAB,
SAD vuông cân tại A.
a. Chứng minh SA  (ABCD).
b. Chứng minh (SAC)  (SBD).
c. Gọi I, H lần lượt là trung điểm SB, SD. Chứng minh SC  (AIH).
d. Tính tan của góc giữa SC và (ABCD).
e. Tính cosin của góc giữa (SBD) và (ABCD).
f. Tính khoảng cách giữa SD và AB.
GIẢI

Bùi Phú Hữu


Quan hệ vuông góc

4

a. Các tam giác SAB, SAD vuông cân tại
A suy ra SA  AB, SA  AD.
Vậy SA  (ABCD).
b. Ta có SA  (ABCD)  SA  BD
ABCD là hình vuông nên BD  AC
Suy ra (SAC)  BD.
Mà BD  (SBD) nên (SAC)  (SBD)

S

I

H
A
B

O
D
C

c. Do I là trung điểm SB và SAB vuông cân tại A nên AI  SB (1).
Mặt khác BC  AB, BC  SA suy ra BC  (SAB).
Lại có AI  (SAB) nên ta suy ra AI  BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra AI  SC.
Chứng minh tương tự ta được AH  SC.
Vậy SC  (AHI)
d. Do SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa SC và (ABCD) bằng góc SCA.
Có AC = √ , SA = AB = a
̂
√
e. Do SO  BD và OA  BD nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc SOA.
̂
ta có
.
√

f. Có AH  SD.
Do AB  (SAD) nên AB  AH. Suy ra AH là đoạn vuông góc chung
của SD và AB.
Khoảng cách giữa SD và AB bằng AH.
√

Ta có AH = ½ SD =
VD3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A, AB = a, AA’ = a 2 ;
hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của đoạn
BC.
a. Chứng minh AA’  BC. Tính diện tích tứ giác BCC’B’.
b. Tính góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC).
c. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B).
GIẢI:

Bùi Phú Hữu

Quan hệ vuông góc

5

A'

C'

B'

A
C

K

H

B

a. Do ABC vuông cân tại A và H là
trung điểm BC  AH  BC (1)
A’H  (ABC)  A’H  BC (2)
Từ (1) và (2)  AA’  BC.
Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ
nên BCC’B’ là hình bình hành.
Lại có BB’ // AA’  BB’  BC,
BB’ = AA’ = a 2
BC = AB 2 = a 2

 BCC’B’ là hình vuông.
SBCC’B’ = BC2 = 2a 2 .

b) BB’ // AA’  góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa AA’ và mặt
phẳng (ABC).
AH là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng (ABC)  góc giữa AA’ và mặt
phẳng (ABC) bằng A ' AH .
cos A ' AH 

AH 1
  A ' AH  600
AA ' 2

Vậy góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600.
c)  ABC   AA’B’B   AB
Gọi K là trung điểm AB  KH // AC  KH  AB (1)
Mặt khác HA’  (ABC)  HA’  AB (2)
(1), (2)  KA’  AB (3)
(1), (3)  góc giữa (BCC’B’) và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa KA’ và KH.
Xét A’HK vuông tại H có:
KH 

a
a 7
KH
7
, KA '  A ' A2  AK 2 
 cos A ' KH 

2

2
KA ' 7

Vậy cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B) bằng

7
.
7

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại B, hai tam giác SAB, SAC là các tam giác
vuông tại A.
a. Chứng minh SA  (ABC).
b. Chứng minh tam giác SBC vuông.
c. Vẽ AH vuông góc SB. Chứng minh (AHC)  (SBC).
d. Tính góc giữa SC và (ABC) biết AB = a, SA = a√ .
e. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) nếu AB = a và SC = a√ .
2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều tâm O cạnh a, SA = SB = SC = .
Bùi Phú Hữu


Quan hệ vuông góc

3.

4.

5.

6.

6

a. Chứng minh SA  BC.
b. Chứng minh SO  (ABC).
c. Tính góc giữa SA và (ABC).
d. Tính độ dài SO.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 2AD = 2a, SA = SB =
SC = SD = 2a.
a. Chứng minh SO  (ABCD).
b. Tính góc giữa hai đường thẳng SA, CD.
c. Gọi I là trung điểm BC, chứng minh AD  SI.
d. Tính sin của góc giữa SC và (ABCD).
e. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a. SA = SC, SB = SD = a,
̂
.
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Chứng minh (SAC)  (SBD).
c) Chứng minh tam giác SAC vuông cân.
d) Tính khoảng cách giữa SC và BD
e) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a, SA  (ABCD), SA
= a√ .
a) Chứng minh các tam giác SBC, SDC là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC  (AHK).
d) Tính cosin của góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
e) Tính khoảng cách giữa AB và SD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC

= a, SA = a√ . Hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD).
a. Chứng minh SA  (ABCD).
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Chứng minh các tam giác SBC, SDC là các tam giác vuông.
d. Tính khoảng cách giữa SC và AB.

7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC đều, AB = a, AA’ =

a 6
; hình chiếu vuông góc
3

của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm H của ABC.
a. Chứng minh AA’  BC. Tính diện tích tứ giác BCC’B’.
b. Tính góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC).
c. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B).

Bùi Phú Hữu