Sự tương giao của đồ thị hàm số

Bài toán 4 : Sự tương giao của đồ thị hàm số.
Dạng 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

2x 1
và trục hoành.
x3

Giải :
Ta có trục hoành : y  0.
Phương trình hoành độ giao điểm :
�1
�

2x 1
1
 0  x �3 � x 
x3
2

�
�

Vậy tọa độ giao điểm là M � ;0 �
2
Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C): y   x3  3 x 2  5 với trục tung.
Giải:
Ta có trục tung : x  0 � y  5
Vậy tọa độ giao điểm là N  0;5 
Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm có hoành độ dương của đồ thị (C): y  x 3  3 x với đường thẳng d : y  x .
x3  3x  x � x 3  4 x  0

Phương trình hoành độ giao điểm

x  0(l )
�
�
��
x2
�
x  2(l )
�

Tọa độ giao điểm có hoành độ của (C) với đường thẳng d là: A(2; 2) .
Dạng 2: Dựa vào đồ thị (C ) , Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
f ( x, m)  0 có nghiệm.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 3  3x 2  2  m có 1 nghiệm
Giải : Ta có số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 và đường
thẳng y  m


m  2
�

Dựa vào đồ thị (C ) : y  x 3  3x 2  2 . Ta có điều kiện là �
m2
�

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x 4  x 2  2m  1  0 có
nghiệm.

Giải: Ta có x 4  x 2  2m  1  0 �  x 4  x 2  1  2m
Ta có số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x 4  x 2  1 và đường thẳng
y  2m

5
4


Dựa vào đồ thị (C ) : y   x 4  x 2  1 . Ta có điều kiện là 2m �

m

5
8


Dạng 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y  f ( x) cắt đồ thị hàm số
y  g ( x, m) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tính chất T nào đó.

Ví dụ 1 : (Đề cương ôn tập của trường)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
y

x2
cắt đồ thị hàm số y   x  m tại hai điểm phân biệt Avà B sao cho đoạn AB  10.
x 1

Ví dụ 2: (SGK 12 CB/ trang 46) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 
cắt đồ thị hàm số y  2 x  m tại hai điểm phân biệt M và N sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm
x3

 2 x  m , (x �1)
x 1
� 2 x 2  ( m  1) x  m  3  0
  m 2  6m  25  0, m

x3
x 1