Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI HỮU MÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI HỮU MÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG

Thái Nguyên - 2017

3

Mục lục

Danh sách kí hiệu

4

Mở đầu

5

Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính

7

1.1

Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Phương trình bậc nhất nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến

23

2.1

Phương trình Pell loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Phương trình Pell loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3

Phương trình Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine

45

3.1

Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2

Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3

Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.4

Áp dụng vào phương trình Diophante . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.4.1

Phương trình bậc nhất hai ẩn Ax + By = C . . . . . . . . . . . .

56

3.4.2

Phương trình x2 − dy2 = ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63


4

Danh sách kí hiệu

N

tập hợp các số tự nhiên

Z

vành các số nguyên

Q

trường các số hữu tỷ

R

trường các số thực

C

trường các số phức

Fp

trường có p phần tử

K[X]

vành đa thức với hệ số trên trường K

x

trần của số x

deg P(X)

bậc của đa thức P(X)

mod p

modulo p

gcd(P(X), Q(X))

ước chung lớn nhất của hai đa thức P(X) và Q(X)


5

Mở đầu

Phương trình Diophantine là một chủ đề lớn của Lý thuyết số, chứa đựng nhiều lý
thuyết toán học sâu sắc, gắn liền với nhiều tên tuổi của nhiều nhà toán học xuất
sắc. Mục tiêu của đề tài luận văn là: Tìm hiểu một số lớp phương trình Diophantine
như: phương trình Diophantine tuyến tính; một số phương trình Diophantine phi
tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras
Fermat). Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Về mặt ứng
dụng, luận văn sẽ áp dụng lý thuyết để soi sáng những bài toán số học ở phổ thông,
hệ thống hóa, tổng quát hóa và sáng tác ra những bài toán số học mới.
Luận văn sẽ cố gắng trở thành một tài liệu tham khảo tốt, thiết thực phục vụ
cho việc giảng dạy, nhất là việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Ngoài ra
thông qua việc viết luận văn, tác giả luận văn có cơ hội mở rộng nâng cao hiểu biết
về toán sơ cấp nói chung và số học nói riêng, hình thành các kỹ năng chứng minh
các định lí số học và giải các bài toán số học, phục vụ tốt cho việc giảng dạy môn
Toán ở trường phổ thông.
Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương như sau:
• Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính. Trong chương này chúng
tôi trình bày về phương trình bậc nhất hai ẩn, nhiều ẩn, và một số bài toán
chọn lọc.
• Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến. Trong chương này
chúng tôi trình bày nội dung chính về các phương trình Pell loại 1, phương
trình Pell loại , và phương trình Pythagoras.
• Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Trong


6
chương này chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn các sự kiện về liên phân
số, đặc biệt là các ứng dụng của chúng để giải phương trình Pell.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng (Trường
ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao học Toán
khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải
Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Thái Phiên đã tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình.
Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến đại gia đình
vì những động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả

Bùi Hữu Mên


7

Chương 1

Phương trình Diophantine tuyến tính

Phương trình Diophantine là một trong những chủ đề sâu sắc và rất rộng của Lý

thuyết số. Mục đích của chương này là nghiên cứu về phương trình Diophantine
bậc nhất hai và nhiều ẩn. Như một minh họa cho lý thuyết, các ví dụ là các bài
toán trích từ các đề thi sẽ được trình bày.
Đặc tính của các phương trình Diophantine là chúng có một hay nhiều ẩn số mà
mọi hệ số đều là số nguyên và chỉ yêu cầu tìm các nghiệm nguyên (hoặc nguyên
dương). Nhà toán học nổi tiếng thời cổ đại Diophantine đã có công lớn vì những
nghiên cứu tiên phong về chúng.
Với một phương trình Diophantine cho trước ta có thể đặt ra các câu hỏi sau
đây (xếp theo thứ tự từ dễ đến khó):
Câu hỏi 1. Nó có nghiệm nguyên hay không ?
Câu hỏi 2. Nó có một số hữu hạn nghiệm hay có vô số nghiệm?
Câu hỏi 3. Hãy tìm tất cả các nghiệm của nó.
Chẳng hạn, ta hãy xét phương trình Diophantine
xn + yn = zn
trong đó n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Với n = 2 phương trình trên
có vô số nghiệm và ta có thể tìm được tường minh tất cả các nghiệm của nó. Với
n > 2, nhà toán học thiên tài của thế kỷ 17 Pierre de Fermat khẳng định rằng


8
phương trình trên không có nghiệm nguyên dương. Kết luận này ngày nay được
mang tên là Định lí lớn Fermat hay Định lí cuối cùng của Fermat. Người ta đã
không tìm thấy dấu vết của chứng minh khẳng định trên của Fermat mà chỉ thấy
một ghi chú của Fermat bên lề cuốn sách “Số học” của Diophantine: “Tôi đã tìm
được một chứng minh thật là tuyệt vời nhưng vì lề sách ở đây quá hẹp nên không
thể viết ra”.
Năm 1983, nhà toán học 29 tuổi người Đức là Faltings đã chứng minh thành
công một giả thuyết của Mordell trong lĩnh vực Hình học đại số rồi từ đó suy ra
rằng phương trình xn + yn = zn với n > 2 chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên.
Với thành tựu này Faltings đã nhận được Giải thưởng Fields (giải thưởng quốc tế

cao nhất dành cho các nhà toán học không quá 40 tuổi).
Năm 1993 nhà toán học người Anh là Andrew Wiles đã công bố phép chứng
minh của Định lí lớn Fermat. Đây là một câu chuyện lớn của Toán học, có thể tham
khảo trong Amir D. Aczel [1].
Với sự ra đời của máy tính, người ta cũng đặt câu hỏi: Có tồn tại chăng một
thuật toán để với mọi phương trình Diophantine cho trước nhờ đó có thể khẳng
định được rằng phương trình này có nghiệm nguyên hay không. Tiếc thay câu trả
lời lại là: không có một thuật toán như vậy (Định lí Machiakevich).

1.1

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình Diophantine đơn giản nhất là phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c

(1.1)

trong đó a, b, c là những số nguyên cho trước khác 0. Vấn đề đặt ra là với điều kiện
nào của a, b, c thì phương trình (1.1) có nghiệm và nếu có thì cách tìm nghiệm thế
nào.
Định lí 1.1.1. Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.1) có nghiệm nguyên là


9
(a, b) là ước của c.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (x0 , y0 ) là một nghiệm nguyên của (1.1). Khi
đó ax0 + by0 = c. Nếu d = (a, b) thì rõ ràng d | c.
Điều kiện đủ. Giả sử d = (a, b) và d | c. Ta có a = da1 , b = db1 , c = dc1 trong đó
(a1 , b1 ) = 1. Phương trình (1.1) tương đương với a1 x + b1 y = c1 .

Xét a1 số {b1 k} với k = 0, 1, 2, . . . , a1 − 1. Vì (a1 , b1 ) = 1 nên các số này khi
chia cho a1 sẽ cho ta các số dư khác nhau. Vậy tại k0 , 0 ≤ k0 ≤ a1 − 1 sao cho
b1 k0 = c1 (mod a1 ). Điều này có nghĩa là:
c1 − b1 k0 = a1 l0 với l0 ∈ Z hay c1 = a1 l0 + b1 k0 .
Vậy (l0 , k0 ) là một nghiệm của phương trình (1.1). Phép chứng minh định lí được
hoàn thành.
Tiếp theo ta hãy đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1.1)
Định lí 1.1.2. Nếu (x0 , y0 ) là một nghiệm nguyên của (1.1) thì nó có vô số nghiệm
nguyên và nghiệm nguyên (x, y) của nó được cho bởi công thức

b

x = x0 + t,
d

y = y0 − a t,
d

(1.2)

trong đó t ∈ Z và d = (a, b).
Chứng minh. Trước hết ta kiểm tra mọi cặp số (x, y) cho bởi công thức (1.2) là
nghiệm. Thật vậy
ax + by = ax0 + by0 = c.
Đảo lại, giả sử (x1 , y1 ) là một nghiệm của (1.1) tức là ax1 + by1 = c. Trừ đẳng thức
này vào đẳng thức ax0 + by0 = c ta thu được
a(x1 − x0 ) = b(y0 − y1 ).

(1.3)

10
Vì d = (a, b) nên a = a1 d, b = b1 d với (a1 , b1 ) = 1. Thay vào (1.3) ta được a1 (x1 −
x0 ) = b1 (y0 − y1 ). Vì (a1 , b1 ) = 1 nên y0 − y1 = ta1 và x1 − x0 = tb1 . Vậy
y1 = y0 − ta1 = y0 −

at
d

và

x1 = x0 + tb1 = x0 +

bt
.
d

Phép chứng minh được kết thúc.

Thuật toán tìm nghiệm của phương trình Diophantine bậc nhất. Từ Định lí
1.1.2 ta thấy rằng để tìm tất cả các nghiệm của (1.1) ta chỉ cần tìm một nghiệm
(x0 , y0 ) nào đó của nó. Ta gọi một nghiệm cụ thể như thế là một nghiệm riêng còn
công thức (1.2) được gọi là nghiệm tổng quát. Sau đây ta sẽ trình bày một thuật
toán cho phép xác định khá nhanh một nghiệm riêng của (1.1).
Giả sử q0 , q1 , . . . là một dãy các số nguyên dương. Với mỗi i ≥ 0 ta kí hiệu
[q0 , q1 , . . . , qi ] là phân số sau đây
1
.

[q0 , q1 , . . . , qi ] = q0 +

1
q1 +
1

q2 + · · · +

1
qi−1 +

qi

Bằng phương pháp quy nạp có thể dễ dàng chứng minh được bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.3. Giả sử {hn }, {kn } là hai dãy số nguyên được xác định như sau:
h−2 = 0, h−1 = 1, h1 = qi hi−1 + hi−2 ,
k0 = 1, k1 = q1 , ki = qi hki−1 + ki−2 ,
Khi đó với mọi i ≥ 1 ta có:
(a) hi ki−1 − hi−1 ki = (−1)i−1 ;
(b) [q0 , q1 , . . . , qi ] = hkii .

i ≥ 0,
i ≥ 2.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full