TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />File do một giáo viên trong nhóm Word Toán chia sẻ.
A.
HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

01

I.

H
oc

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số  y  f  x 
+)  f '  x   0  ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy. 

ai

+)  f '  x   0  ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy. 

uO
nT
hi
D

Quy tắc:

+) Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x   0  tìm nghiệm. 
+) Lập bảng xét dấu  f '  x  . 

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. 
Bài toán 2: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a, b   thì  f '  x   0x   a, b  . 

 

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a, b   thì  f '  x   0x   a, b   

iL

ie

 

 

ax  b
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
cx  d
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì  y '  0x  D  

 

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì  y '  0x  D  

 

 y '  0x   a, b 

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng   a; b   thì  
 
d
x



c


 

 y '  0x   a, b 

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng   a; b   thì  
 
d
x



c


.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

*) Riêng hàm số: y 

ok

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên R
+) Tính  y '  3ax 2  2bx  c  là tam thức bậc 2 có biệt thức   . 

bo

 

a  0
+) Để hàm số đồng biến trên R   
 
  0
a  a
+) Để hàm số nghịch biến trên R   
  0  

.fa

 

ce

 

w

w

w

3
2
Chú ý: Cho hàm số  y  ax  bx  cx  d  
+) Khi  a  0  để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k   y '  0  có 2 nghiệm phân biệt 

x1 , x 2  sao cho  x1  x 2  k . 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 1 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
+) Khi  a  0  để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k   y '  0  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x 2  
sao cho  x1  x 2  k . 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

01

II.

H
oc

Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
 
+) nếu   f '  x 0   0  hoặc  f '  x   không xác định tại  x 0  và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua  x 0  

ai

thì  x 0  là điểm cực đại của hàm sô. 

uO
nT
hi
D

+) nếu   f '  x 0   0  hoặc  f '  x   không xác định tại  x 0  và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua  x 0  

 

thì  x 0  là điểm cực tiểu của hàm sô. 
*) Quy tắc 1:
 
+) tính  y '  

+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó  y '  0  hoặc  y '  không xác định) 

 

+) lập bảng xét dấu  y ' . dựa vào bảng xét dấu và kết luận. 

iL

s/

f '  x 0   0
+)  x 0  là điểm cđ   
 
f "  x 0   0

ro

up

f '  x 0   0
+)  x 0  là điểm cđ   
 
f "  x 0   0
*) Quy tắc 2:

 
+) tính  f '  x  , f "  x  .  
 

Ta

Dấu hiệu 2:
 
cho hàm số  y  f  x   có đạo hàm đến cấp 2 tại  x 0 . 

ie

 

+) giải phương trình  f '  x   0  tìm nghiệm. 

 

+) thay nghiệm vừa tìm vào  f "  x   và kiểm tra. từ đó suy kết luận. 

om

/g

 

.c

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số:  y  ax 3  bx 2  cx  d  có đạo hàm  y '  3ax 2  2bx  c  

ok

1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu   y '  0  có 2 nghiệm phân biệt     0   

ce

bo

2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu   y '  0  hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép     0   
3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. 
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B. 
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được:  y   mx  n  y '  Ax  B  . Phần dư trong phép chia này là  y  Ax  B  

.fa

chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu. 
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

w

w

w

Cho hàm số:  y  ax 4  bx 2  c  có đạo hàm  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b   
1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi  ab  0 . 
a  0
 
+) Nếu  

 hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại. 
b  0
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
a  0
+)  nếu  
 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu. 
b  0
2. hàm số có 3 cực trị khi  ab  0  (a và b trái dấu). 
a  0
 
+) nếu  
 hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu. 
b  0

H
oc

01

 

a  0
+) Nếu  
 hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu. 
b  0
3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và  A  Oy ,  A  0; c  , B  x B , yB  , C  x C , yC  , H  0; y B  . 

uO
nT
hi
D

ai

 

+) Tam giác ABC luôn cân tại A 
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và  x B   x C , y B  y C  y H  
 
 
+) Để tam giác ABC vuông tại A:  AB.AC  0  
 
+) Tam giác ABC đều:  AB  BC  
1
1
 
+) Tam giác ABC có diện tích S:  S  AH.BC  x B  x C . y A  y B    
2
2
4

2
4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số  y  x  2bx  c   

ie

 
 

iL

+) Hàm số có 3 cực trị khi  b  0  
+) A, B, C là các điểm cực trị  

 

A  0; c  , B

 

+) Tam giác ABC vuông tại A khi  b  1  

 

+) Tam giác ABC đều khi  b  3 3  

 

  1200   khi  b  1  
+) Tam giác ABC có  A
3

3

 

+) Tam giác ABC có diện tích  S0  khi  S0  b 2 b  

 

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp  R 0  khi   2R 0 

 

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp  r0  khi   r0 

III.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Ta



HB=HC= b
AH=b2
AB=AC= b4+b

s/

 

b2

up

b, c  b 2 , C  b; c  b 2  

O
C

b

x
H

b

B

b3  1
 
b

b2
b3  1  1

 

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro



y
A

 
 

1. Định nghĩa: Cho hàm số  y  f  x  xác định trên D.

w

w

w

.fa

M  f  x  x  D

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  
. Kí hiệu:  M  max f  x   
D

x

D
:
f
x

M


 0
0
m  f  x  x  D
+) m là GTNN của hàm số trên D nếu:  
. Kí hiệu:  m  min f  x   
D

x

D
:
f
x

m



 0
0

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 3 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
+) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình 
f  x   m  0 & f  x   M  0  có nghiệm trên D.  

-  Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x   0  tìm nghiệm trên   a, b  .  

 

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm  x1 , x 2   a, b . 

 

- Tính 4 giá trị  f  a  , f  b  , f  x1  , f  x 2  . So sánh chúng và kết luận. 

uO
nT

hi
D

 

ai

 
- Lập BBT cho hàm số trên D. 
 
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN. 
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho   a; b  ) . Cho hàm số  y  f  x   xác định và liên tục trên   a; b  . 

H
oc

01

2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng) 
 
- Tính  f '  x  , giải phương trình  f '  x   0  tìm nghiệm trên D. 

ie

3. Chú ý:
 
1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn. 
 
2. Hàm số liên tục trên đoạn   a, b   thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này. 

3. Nếu hàm sồ  f  x   đồng biến trên   a, b   thì  max f  x   f  b  , min f  x   f  a   

 

4. Nếu hàm sồ  f  x   nghịch biến  trên   a, b   thì  max f  x   f  a  , min f  x   f  b   

 

5. Cho phương trình  f  x   m  với  y  f  x   là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm 

s/

Ta

iL

 

D

D

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ro

IV.

up

khi  min f  x   m  max f  x   

om

/g

1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng  x  a  là TCĐ của đồ thị hàm số  y  f  x   nếu có một trong các điều kiện sau: 
lim y    hoặc  lim y    hoặc lim y    hoặc  lim y    

x a 

x a

x a

x a

.c

+) Đường thẳng  y  b  là TCN của đồ thị hàm số  y  f  x   nếu có một trong các điều kiện sau: 

ok

lim y  b  hoặc  lim y  b   

x 

x 

ce

bo

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng. 
+) Hàm phân thức mà bậc của tử    bậc của mẫu có TCN. 


,y 

 bt, y  bt 

 có TCN. (Dùng liên hợp) 

.fa

+) Hàm căn thức dạng:  y 

w

+) Hàm  y  a x ,  0  a  1  có TCN  y  0  

w

w

+) Hàm số  y  log a x,  0  a  1  có TCĐ  x  0  
3. Cách tìm:

+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử. 
+) TCN: Tính 2 giới hạn:   lim y  hoặc  lim y   
x 

x 

4. Chú ý: 
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 4 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
+) Nếu  x    x  0  x 2  x  x  

V.

01

+) Nếu  x    x  0  x 2  x   x  
BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

a<0

y '  0  có hai 

y

ai

a>0

H
oc

1. Định hình hàm số bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d

y

O

uO
nT
hi
D

nghiệm phân 
biệt hay 
 y/  0
x

x

y '  0  có hai 

iL

ie

O

y

O

O

x

om

/g

ro

up

x

s/

Ta

nghiệm kép 
hay   y/  0

y

y '  0  vô 

y

.c
ok

bo

nghiệm hay 
 y/  0

y

O
x

x

.fa

ce

O

w

w

w

1. Định hình hàm số bậc 3: y  ax 4  bx 2  c

x  0
+) Đạo hàm:  y '  4ax 3  2bx  2x  2ax 2  b  ,  y '  0  
 
2
 2ax  b  0
+) Để hàm số có 3 cực trị:  ab  0  

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 5 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
a  0
- Nếu  
 hàm số có 1 cực đại  và 2 cực tiểu 
b  0
a  0
- Nếu  

 hàm số có 2 cực đại  và 1 cực tiểu 
b  0

01

 

O

ai
a<0

uO
nT
hi
D

a  0
- Nếu  
 hàm số có 1  cực đại  và không có cực tiểu 
b  0
a>0
y
y '  0  có 3 
nghiệm phân 
biệt hay  ab  0  

H
oc

+) Để hàm số có 1 cực trị  ab  0  
a  0
 
- Nếu  
 hàm số có 1  cực tiểu và không có cực đại  
b  0

y

O

x

y '  0  có đúng 1 

iL

ie

x

y

Ta

y

x

O

x

om

.c

ad  bc

 cx  d 

2

  

ok

+) Đạo hàm:  y 

/g

ax  b
cx  d
 d
+) Tập xác định:  D  R \    
 c

3. Định hình hàm số y 

ro

up

O

s/

nghiệm hay 
ab  0

- Nếu  ad  bc  0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4. 
- Nếu  ad  bc  0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3. 
d
a
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ:  x    và TCN:  y   
c
c
 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng:  I   ;   
 c c

w

.fa

ce

bo

 

 

ad  bc  0

w

w

ad  bc  0

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 6 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />y

O

O

1

x

VI.

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

ie

Phương pháp:
Cho 2 hàm số  y  f  x  , y  g  x   có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).  

uO
nT
hi
D

ai

x

H
oc

01

y

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):  f  x   g  x   

 

 

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. 
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).  

s/

Ta

iL

 

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

ro

up

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng  F  x, m   0 (phương trình ẩn x tham số m) 

/g

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng  m  f  x   

ok

.c

om

+) Lập BBT cho hàm số  y  f  x  . 
+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m. 
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.  
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm  F  x, m   0  

bo

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử  x  x 0  là 1 nghiệm của phương trình.  

w

w

w

.fa

ce

x  x0
+) Phân tích:  F  x, m   0   x  x 0  .g  x   0  
(là   g  x   0  là phương trình bậc 2 ẩn x tham 
g
x

0




số m ). 
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2  g  x   0 . 

Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm. 
*) Quy tắc:
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm  F  x, m   0 (1). Xét hàm số  y  F  x, m    
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 7 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

fb: />
+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị 
y  F  x, m   cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. 

y

f(x) = x3

3∙x

3
O

q(x) = x3 + x + 1

O

x

x

H
oc

(2TH) 
- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R    hàm 
số không có cực trị   y '  0  hoặc vô nghiệm 

y

01

Lý thuyết toán 12

hoặc có nghiệm kép    y '  0  
- Hoặc hàm số có CĐ, CT và  y cd .y ct  0  

+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị 
y  F  x, m   cắt trục hoành tại 3 điểm phân 

uO
nT
hi

D

ai

(hình vẽ) 
 
y

y

ie

biệt    Hàm số có cực đại, cực tiểu và 
y cd .y ct  0    

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị 
y  F  x, m   cắt trục hoành tại 2 điểm phân 

up

s/

y

O
g(x) = x3

3∙x + 2

O

x

x

3

f(x) = x + 3∙x + 2

om

/g

x

f(x) = x3 + 3∙x + 1

y

ro

biệt    Hàm số có cực đại, cực tiểu và 
y cd .y ct  0     

3∙x + 1

O

Ta

f(x) = x

3

x

iL

O

ce

bo

ok

.c

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:
1. Định lí vi ét:
b
c
*) Cho bậc 2: Cho phương trình  ax 2  bx  c  0  có 2 nghiệm  x1 , x 2  thì ta có:  x1  x 2   , x1x 2   
a
a
3
2
*) Cho bậc 3: Cho phương trình  ax  bx  cx  d  0  có 3 nghiệm  x1 , x 2 , x 3  thì ta có:  

w

w

w

.fa

b
c
d
x1  x 2  x 3   , x 1 x 2  x 2 x 3  x 3 x 1  , x 1 x 2 x 3    
a
a
a
2.Tính chất của cấp số cộng:
+) Cho 3 số  a, b, c  theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì:  a  c  2b   

3. Phương pháp giải toán:
b
+) Điều kiện cần:  x0    là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m. 
3a
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra. 
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 8 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

Cho hàm số  y 

ax  b
 C   và đường thẳng  d : y  px  q . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và 
cx  d

ai

H
oc

(d):  
ax  b
 px  q  F  x, m   0  (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m). 
cx  d
*) Các câu hỏi thường gặp: 

01

Phương pháp

uO
nT
hi
D

d
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt   1  có 2 nghiệm phân biệt khác   . 
c
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)   1  có 2 nghiệm phân biệt 
d
 x1  x 2 . 
c
3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C)   1  có 2 nghiệm phân biệt 

x1 , x 2  và thỏa mãn  : 

Ta

iL

ie

d
x1 , x 2  và thỏa mãn  x1  x 2   . 
c
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C)   1  có 2 nghiệm phân biệt  x1 , x 2  và 
d
 x 2 . 
c
5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:  
+) Đoạn thẳng  AB  k  
+) Tam giác  ABC  vuông. 
+) Tam giác ABC có diện tích  S0  

/g

ro

up

s/

thỏa mãn  x1  

ok

.c

om

* Quy tắc:
 
+) Tìm điều kiện tồn tại A, B    (1) có 2 nghiệm phân biệt. 
 
+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét) 
 
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m. 
*) Chú ý: Công thức khoảng cách:  





+)  A  x A ; y A  , B  x B ; y B  : AB 

 

M  x 0 ; y0 
Ax 0  By0  C
 d  M,   
+)  
 
2
2

:
Ax

By

C

0
A

B
0
0


 y B  yA

2

 

.fa

ce

bo

 xB  xA 

2

 

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

w

w

w

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax 4  bx 2  c  0 (1)
1. Nhẩm nghiệm:
- Nhẩm nghiệm: Giả sử  x  x 0  là một nghiệm của phương trình. 
x  x0
- Khi đó ta phân tích:  f  x, m    x 2  x 02  g  x   0  
 
g  x   0

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 9 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2  g  x   0  

 

t  0  t2
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm  t1 , t 2  thỏa mãn:   1
 
 0  t1  t 2

uO
nT
hi
D

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm  t1 , t 2  thỏa mãn:  0  t1  t 2  

H
oc

t  0  t2
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm  t1 , t 2  thỏa mãn:   1
 
 t1  t 2  0

ai

 

01

2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
 
- Đặt  t  x 2 ,  t  0  . Phương trình:  at 2  bt  c  0  (2). 

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm  t1 , t 2  thỏa mãn:  0  t1  t 2  

y  ax 4  bx 2  c 1 cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số
3. Bài toán: Tìm m để (C):
cộng.
- Đặt  t  x 2 ,  t  0  . Phương trình:  at 2  bt  c  0  (2). 

ie

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương  t1 , t 2  t1  t 2  thỏa mãn  t 2  9t1 . 

Ta

VII.

iL

- Kết hợp  t 2  9t1  vơi định lý vi – ét tìm được m. 
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

s/

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M  x 0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số:

up

Cho hàm số   C  : y  f  x   và điểm  M  x 0 ; y0    C  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. 

ro

- Tính đạo hàm  f '  x  . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là  f '  x 0   

/g

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:  y  f '  x  x  x 0   y0  

om

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
 
- Gọi      là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.  
- Giả sử  M  x 0 ; y0   là tiếp điểm. Khi đó  x 0  thỏa mãn:  f '  x 0   k (*) . 

 

- Giải (*) tìm  x 0 . Suy ra  y0  f  x 0  . 

 

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  y  k  x  x 0   y 0  

bo

ok

.c

 

ce

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số   C  : y  f  x   và điểm  A  a; b  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua 

.fa

A. 
- Gọi      là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó     : y  k  x  a   b (*) 

w

w

w

f  x   k  x  a   b 1
- Để      là tiếp tuyến của (C)   
 có nghiệm. 
f
'
x

k
2





 
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương 
trình tiếp tuyến cần tìm. 
* Chú ý:
 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 10 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
 

1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm  M  x 0 ; y0   thuộc (C) là:  k  f '  x 0   

 

2. Cho đường thẳng   d  : y  k d x  b  

 

+)     / /  d     k   k d  

 

+)   , d     tan  

 
 

3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành. 
4. Cho hàm số bậc 3:  y  ax 3  bx 2  cx  d,  a  0    

k  kd
    
1  k  .k d

1
  
kd

01

+)       d     k  .k d  1  k   

 

H
oc

 

uO
nT
hi
D

ai

+)   , Ox     k    tan   

+) Khi  a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
+) Khi  a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. 
B.

1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ 

Luỹ thừa a 

   n ( n  N* )  

a 0 

Ta

aR

iL

Cơ số a

  n  N*
0

a  0 

up

  lim rn (rn  Q, n  N* )  

a   a n 

1
 
an

m

a   a n  n a m ( n a  b  b n  a)  

a   lim a rn  

/g

a  0 

a   a n  a.a......a (n thừa số a)
a  a0  1

s/

a0

m
(m  Z, n  N* )  
n



ie

LŨY THỪA

ro

I.

MŨ VÀ LÔGARIT





a
;
 a 

a

.c



om

2. Tính chất của luỹ thừa 
 
 Với mọi a > 0, b > 0 ta có: 
 

a .a  a

 

  

a > 1 :  a   a      ;    

 

 Với 0 < a < b ta có: 

; (a )  a

 .





; (ab)  a .b



a
a
;     
b
b

0 < a < 1 :  a   a       

bo

ok

 



 

 
a m  b m  m  0 ;   
a m  bm  m  0  
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
 
 Căn bậc n của a là số b sao cho  b n  a . 
 
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: 

w

w

w

.fa

ce

 
 

 

 

n

ab  n a. n b ;  n

a na

(b  0) ; 
b nb

n

p

a p   n a  (a  0) ;         m n a  mn a  

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 11 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyt toỏn 12

fb: />


Nunlsnguyờndnglva

Nunlsnguyờndngchnv0Chỳ ý:

01

p q

thỡ n a p m a q (a 0) ;cbit n a mn a m
n m



HM S LY THA

uO
nT
hi
D

II.

ai

+ Khi n l, mi s thc a ch cú mt cn bc n. Kớ hiu n a .
+ Khi n chn, mi s thc dng a cú ỳng hai cn bc n l hai s i nhau.

1) Hm s lu tha y x (lhngs)


H
oc

Neỏu




S m

Hm s y x

=n(nnguyờndng)

y xn

=n(nnguyờnõmhocn=0)

y xn

lsthckhụngnguyờn

y x

Tp xỏc nh D
D=R

ie

D=R\{0}

iL

D=(0;+)

1

Ta

Chỳ ý: Hm s y x n khụng ng nht vi hm s y n x (n N*) .



2) o hm





/g

n n u n 1

ố

ố ũ ố1

vụựi ũ 0 ốegu ố cõaỹố
vụựi ũ 0 ốegu ố leỷ



om

III.

u

1

s/


Chỳ ý: . ố ũ

up



ro



n u

u u 1.u

x x 1 (x 0) ;



LễGARIT

ok

.c

1. nh ngha

Via>0,a1,b>0tacú: log a b a b

bo

a 0,a 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi
b 0
Logaritthpphõn:

lg b log b log10 b

w
w

.fa

2. Tớnh cht

log a 1 0 ;



n

Logarittnhiờn(logaritNepe):

w



ce



log a a 1 ;

1
ln b log e b (vi e lim 1 2, 718281 )
n


log a a b b ;

a loga b b (b 0)

Choa>0,a1,b,c>0.Khiú:

+Nua>1thỡ log a b log a c b c

Su tm: Nguyn Bo Vng
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 12


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12
 

 

fb: />
 

+ Nếu 0 < a < 1 thì  log a b  log a c  b  c  

b
  log a (bc)  log a b  log a c     log a    log a b  log a c     log a b    log a b  
c
4. Đổi cơ số 
 
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có: 
 
log a c
 
  log b c 

   hay    log a b.log b c  log a c  
log a b

01

3. Các qui tắc tính logarit 
 
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có: 

 

  log a  c 

  log a b 

 

IV.

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1
log a c (  0)  


up

y

 y=ax 

1

x

x

.c

om

1

 y=ax 

ro

y

s/

Ta

iL

 Tập xác định:  
D = R. 
 Tập giá trị:    
T = (0; +). 
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 

 Đồ thị: 

/g

 
 
 
 
 

ie

1) Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1).  
 
 
 
 
 

ai

uO
nT
hi
D

1
 
log b a

 

H
oc

 

 0
 

bo

 Tập xác định: 
D = (0; +). 
 Tập giá trị:   
T = R. 
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 
 Đồ thị: 

.fa

ce

 
 
 
 
 

 

w

w

w

 
 
 
 
 

ok

 a>1 
 
 
 
2) Hàm số logarit   y  log a x  (a > 0, a  1) 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 13 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12
y

fb: />y

 y=logax 

 y=logax 

x

1

01

x

1

O

H
oc

O

 a>1 

 

x

1
x

 1
lim(1  x)  lim 1    e  
x 0
x  
x

 

0
   
ln(1  x)
 1 
x 0
x

   lim

4) Đạo hàm  
  

 a x   a x ln a ; 

 

 a u   a u ln a.u  

 
 

 

 e x   e x ; 

 

 eu   eu .u  

 

  

 log a x  

 

 log a u  

 

 

 ln x   1  (x > 0);   

V.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

iL

Ta

s/
u

/g

ro

x

om

Với a > 0, a  1:  

.c

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

ok

 

 

a f (x )  a g (x )  f (x)  g(x)    

a M  a N  (a  1)(M  N)  0

a f (x )  bg(x )  f (x)   log a b  .g(x)  

 

bo

b) Logarit hoá: 

 

b  0
ax  b  
  
 x  log a b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 
 
a) Đưa về cùng cơ số: 
 
Với a > 0, a  1:     
 

ex  1
1 
x 0

x

   lim

u
 
u ln a

 ln u   u    

up

1
; 
x ln a

1. Phương trình mũ cơ bản:  

 

ie

 

 

  

ai

 

uO
nT
hi
D

 
3) Giới hạn đặc biệt 

ce

c) Đặt ẩn phụ: 

 

w

w

w

 

 

.fa

 

 

f (x )

 t  a f (x ) , t  0
)  0    
,  trong đó P(t) là đa thức theo t. 
P(t)  0

 Dạng 1:  

P(a

 Dạng 2: 

a 2f (x )  (ab)f (x )  b 2f (x )  0

   

Chia 2 vế cho b

2f (x )

a
, rồi đặt ẩn phụ  t   
b

f (x )

 

 Dạng 3:   a f (x )  b f ( x )  m , với   ab  1 . Đặt   t  a f (x )  b f (x ) 

1
t

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 14 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

fb: />
 
 
 
 

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
 
Xét phương trình: 
f(x) = g(x) 
(1)
 
 Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1). 
 
 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: 

 

 

 

 

 

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A  0
A  0
 
 Phương trình tích A.B = 0   
   Phương trình A 2  B2  0  
 
B  0
B  0

t).
f (x) đồèg biegè vàg(x) ègâòcâ biegè (âoặc đồèg biegè èâư èg ègâiêm ègặ
 

f (x) đơè điệu vàg(x)  c âằèg sog
 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì  f (u)  f (v)  u  v  

 

f) Phương pháp đối lập 

 
Xét phương trình: 

 

 

f (x)  M
(1)   
  
g(x)  M

ie

thì  

PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

iL

VI.

f(x) = g(x) 
(1)
f (x)  M
Nếu ta chứng minh được:    
 
g(x)  M

1. Phương trình logarit cơ bản 

 
 
Với a > 0, a  1:  

Ta

 

uO
nT
hi
D

ai

H
oc

 

01

Lý thuyết tốn 12

log a x  b  x  a b    

ro

 

b) Mũ hố
 
Với a > 0, a  1: 

f (x)  g(x)
log a f (x)  log a g(x)  
  
f (x)  0 (hoặc g(x)  0)

Với a > 0, a  1:     

/g

 

log a f (x)  b  a loga f (x )  a b  

om

 

up

s/

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 
 
a) Đưa về cùng cơ số 

 

 

ok

.c

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
e) Đưa về phương trình đặc biệt  
f) Phương pháp đối lập 
Chú ý:
 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

bo

 

a log b c  clogb a

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

.fa

VII.

ce

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1:

w

w

w

 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. 

 

 

 

a f (x )  a g(x )

 a  1

f (x)  g(x)
  

 0  a  1

 f (x)  g(x)

 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 15 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

ai

VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. 

01

 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: 
 
– Đưa về cùng cơ số. 
 
– Đặt ẩn phụ. 
 
– …. 
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M  a N  (a  1)(M  N)  0

H
oc

 
 
 

 
 

fb: />
uO
nT
hi
D

 a  1

f (x)  g(x)  0
 
 
   
 
log a f (x)  log a g(x)  
 0  a  1

 0  f (x)  g(x)
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: 
 
– Đưa về cùng cơ số. 
 
– Đặt ẩn phụ. 
 
– …. 
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
log a A
 0  (A  1)(B  1)  0

log a B  0  (a  1)(B  1)  0 ;
log a B

 

HỆ MŨ-LÔGARIT

ro

IX.

up

s/

Ta

iL

ie

 
 
 
 
 

.c

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

ok

X.

om

/g

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: 
 
 Phương pháp thế. 
 
 Phương pháp cộng đại số. 
 
 Phương pháp đặt ẩn phụ. 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

bo

1) Bài toán lãi suất

ce

a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn
lãi T sau n tháng?

.fa

Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: 

w

Tháng 1 (n = 1): A = a + ar  = a(1 +  r) 

w

w

Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r  = a(1 + r)2 
………………… 
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r  = a(1 + r)n 
Vậy T = a(1 + r)n

(*)

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 16 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng. 
Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau: 

T
a ;  2) ì  è T  1 ;  a  T  
1)  è 
lè(1  ì)
a
(1  r) n

H
oc

01

lè

b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là m%. Hỏi
sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

uO
nT
hi
D

ai

Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m). 
Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:  
a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = 

a
a

[(1+m) 2 -1]  =  [(1+m) 2 -1]   
m 
[(1+m)-1] 

a
a
a
[(1+m) 2 -1]  +  [(1+m) 2 -1]  .m =  [(1+m) 2 -1]  (1+m) 
m 
m 
m 

iL

T2= 

ie

Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:  

s/

Ta

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn:  
 
  a  
 
 
Tè .m

 
Tn = [(1+m) n -1]   (1+m) 
 a 
(1  m )  (1  m ) è  1
m 
 

 n 

Tn .m
1 m)
a
1  
Ln (1  m )

up

2) Bài toán tăng dân số

Ln (

ro

3) Bài toán chất phóng xạ

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

4) Các bài toán khác liên quan

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 17 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />
01

C.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I.
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
1. Khái niệm nguyên hàm 
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: 
 
F '(x)  f (x) , x  K 
 

 f (x)dx  F(x)  C , C  R.  

uO
nT
hi
D

ai

 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.  
2. Tính chất 
   f '(x)dx  f (x)  C  
    f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx  
   kf (x)dx  k  f (x)dx (k  0)  
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
 

 

 

 2)      x n dx 

1
1
1
 
 
 
 4)      dx  ln x  C  
dx    C  
2
x
x
x
1
1
1
1
 (ax  b)n dx   a(n  1)(ax  b)n 1  C ;        6)    (ax  b) dx  a ln ax  b  C  

7) 

 sin x.dx   cos x  C  

9) 

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C               10)      cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C    

11) 

 cos

.c

x
1
1
 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  
x

17) 

(ax  b)

C 

 

bo

1
dx  e(ax  b)  C  
a

 
 

ce

e

x

ax
C 
 
 
ln a
1
1 x 1
   2 dx  ln
C   
x 1
2 x 1

.fa

x
 a dx 

w

23) 

x

25) 



2

1
1
x a
dx 
ln
C 
2
a
2a x  a
1
2

a x

2

 8)      cos x.dx  sin x  C  
1

ro

om

dx   (1  tan 2 x)dx  tan x  C  

2

 e dx  e

21) 

 

/g

1

15) 

19) 

 

1

ok

13) 

w

up

s/

Ta

3)         
5) 

x n 1
C 
n 1

ie

 k.dx  k.x  C  

iL

1) 

w

H
oc

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: 

dx  arcsin

x
C   
a

 
 

 
 
 

1
dx   (1  cot 2 x)dx   cot x  C    
2
sin x
1
1
 14)  
dx   cot(ax  b)  C    
2
sin (ax  b)
a
12)   

16)     e  x dx  e  x  C  
1 (ax  b) n 1
18)     (ax  b) .dx  .
 C  (n  1) 
a
n 1
1
dx  arctan x  C    
20)    2
x 1
1
x
22)     2

dx  arctan  C   
2
x a
a
n

24)    

            26)    

1
1 x2
1
2

dx  arcsin x  C     
dx  ln x  x 2  1  C  

x 1

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 18 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12
27) 



1
x2  a2

fb: />dx  ln x  x 2  a 2  C               28)     a 2  x 2 dx 

x 2
a2
x
a  x 2  arcsin  C  
2
2
a

x
a2
2
2
x

a

ln x  x 2  a 2  C  

2
2
II.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN

+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản  
+ Cách giải:  

uO
nT
hi
D

+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số   f  u(x)  .u ' (x)dx  F[u(x)]  C  

ai

H
oc

01

x 2  a 2 dx 

29) 

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng : 



 t  ) 
2
2

 

f(x) chứa biểu thức

a 2  x 2  . Đặt  x = |a|sint (-

 

     

f(x) chứa biểu thức 

a 2  x 2  hoặc a2 + x2 . Đặt  x = |a|tgt  ( 

 

         f(x) chứa biểu thức

/g

ro

up

 

om

x 2  a 2  . Đặt  x =  



 t  ) 
2
2

|a|
 
( t   0;   \   ) 
cos t
2

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức  

.c

III.

Ta

f (u(x)).u , (x).dx  

s/



iL

ie

( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ). 
 
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn 
bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu 
thức và đạo hàm với nó ví dụ như:  
1
t anx 

;s inx 
 cos x;....
cos 2 x
- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau : 
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi  được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó: 

ok

 u(x).v '(x)dx  u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx    (*) 

bo

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng   f (x).g(x)dx  trong các trường hợp sau: 

w

w

w

.fa

ce

 
 
 
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ 
 
 
 
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit 
 
 
 
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức 
 
 
 
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit 
 
 
 
-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit 
 
 
 
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ 
Cách giải : - Dùng công thức (*)  
                  - Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm) 
Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 19 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 

 P(x)e dx   

 P(x) cosx dx    P(x)sinx dx    P(x) lnx dx  

u 
dv 

P(x) 

P(x) 
cos xdx  

x

x

e dx   

P(x) 

sin xdx  

lnx 
P(x) 

IV.

TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân 
 
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: 
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là   f (x)dx . 

uO
nT
hi
D

 

ai

b

a
b

 

 

 

 

 f (x)dx  F(b)  F(a)
a

 

 Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: 

 

 

b

 

b

b

 f (x)dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F(b)  F(a)  
a

a

a

ie

 

01

 

fb: />
H
oc

Lý thuyết toán 12

iL

 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình 
b

Ta

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:  S   f (x)dx  

   f (x)dx  0   

a

   f (x)dx    f (x)dx  

0

a

b

b

b

b

ro

 

b

up

0

s/

2. Tính chất của tích phân 

a

 

/g

a

b

a

b

   kf (x)dx  k  f (x)dx  (k: const) 
a
b

    f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx  

 

a

a
c

b

   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  
a

a

c

om

b

 

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì   f (x)dx  0  

.c

a

b

b

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì   f (x)dx   g(x)dx  

ok

 

a

a

bo

3. Phương pháp tính tích phân 
 
a) Phương pháp đổi biến số 
u (b)

ce

b

 f  u(x).u '(x)dx  

f (u)du  

u (a )

.fa

a

w

w

w

 
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]  xác định trên K, 
a, b  K. 
 
b) Phương pháp tích phân từng phần 

b

 

b
b

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K  thì:   udv  uv a   vdu  
a

a

Chú ý:   – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. 
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 20 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />b

b

               – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho   vdu  dễ tính hơn   udv .
a

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

01

V.

a

ai

H
oc

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 
 
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. 
 
 
– Trục hoành. 
 
 
– Hai đường thẳng x = a, x = b. 
b

 

là: 

S   f (x)dx    

(1) 

uO
nT
hi
D

 

a

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 
 
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x)  liên tục trên đoạn [a; b]. 
 
 
– Hai đường thẳng x = a, x = b. 
b

 

 

là: 

S   f (x)  g(x)dx   (2) 

ie

a

iL

Chú ý: 
 Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: 

Ta

 

b

b

      f (x)dx   f (x)dx  
a

a

b

 



c

d

b

c

d

b

f (x)dx   f (x)dx   f (x) dx   f (x)dx =   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  

a

a

om

 

/g

ro

up

s/

 
 Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích 
phân. Ta có thể làm như sau: 

 
 
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm  
 
được 2 nghiệm c, d (c < d). 
 
 
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: 

c

d

a

c

d

w

.fa

ce

bo

ok

.c

 
 
 
 (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) 
 
 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 
 
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) 
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) 
 
 
– Hai đường thẳng x = c, x = d. 
VI.
ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
 
 Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a 
và b. 
 
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có 
hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. 

w

w

 

Thể tích của B là: 

b

 

V   S(x)dx  
a

 
 
 

 Thể tích của khối tròn xoay: 
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 
 
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) 
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 21 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />b

sinh ra khi quay quanh trục Ox: V    f 2 (x)dx  

 

 
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung 
quanh trục Oy: 
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d 
 

là: 

H
oc

d

01

a

V    g 2 (y)dy  

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO
nT
hi
D

ai

c

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 22 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

fb: />
uO
nT
hi
D

1. Khái niệm số phức 
 
 Tập hợp số phức:   C 
 
  Số phức (dạng đại số) :  z  a  bi   
 
 
 
(a, b  R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) 
 
 z là số thực    phần ảo của z bằng 0 (b = 0) 
 
   z là thuần ảo  

 phần thực của z bằng 0 (a = 0) 
 
   Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 
a  a '
 
 Hai số phức bằng nhau:   a  bi  a’  b’i  
(a, b, a ', b '  R)  
b  b '

01

SỐ PHỨC

H
oc

D.

ai

Lý thuyết toán 12

ie

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R)  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi 

u  (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)                       

Ta

iL

                         
 
 
                                                     
3. Cộng và trừ số phức:  
 
   a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i           a  bi    a’  b’i    a  a’   b  b’ i  

  k(a  bi)  ka  kbi (k  R)  

/g

 

ro

up

s/

 
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi   


 
 
 
  u  biểu diễn z,  u '  biểu diễn z' thì  u  u ' biểu diễn z + z’  và  u  u '  biểu diễn z – z’. 

4. Nhân hai số phức : 
 
   a  bi  a ' b 'i     aa’ – bb’   ab’    ba’ i    

om

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là  z  a  bi  

ce

bo

ok

.c

z  z
z.z  a 2  b 2  
       z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';  1   1 ; 
 z 2  z2
         z là số thực   z  z  ;   
z là số ảo   z   z  
 
6. Môđun của số phức : z = a + bi  

         z  a 2  b 2  zz  OM  

  z.z '  z . z '  

z 0 z0 

 

z
z

 
z' z'

w

w

w

 

  z  0, z  C ,

.fa

 

7. Chia hai số phức: 
1
 
  z 1  2 z  (z  0)   
z
8. Căn bậc hai của số phức:  

 

 

  z  z '  z  z '  z  z '  

z'
z '.z z '.z
 z 'z 1  2 
 
z
z.z
z

 

z'
 w  z '  wz  
z

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 23 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />

 
 

01

x 2  y2  a
  z  x  yi   là căn bậc hai của số phức   w  a  bi    z 2  w     
 
 2xy  b
  w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 
  w   0  có đúng hai căn bậc hai đối nhau  

 

H
oc

        Hai căn bậc hai của a > 0 là   a  

 

  B2  4AC  

 

B  
, (   là 1 căn bậc hai của )  
2A
B
    0 : (*) có 1 nghiệm kép:  z1  z 2  

 
2A
Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).

uO
nT
hi
D

 

           0 : (*) có hai nghiệm phân biệt  z1,2 
       

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

 

ai

        Hai căn bậc hai của a < 0 là    a.i  
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A   0 ). 

Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 24 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Lý thuyết toán 12

fb: />E.

I.

ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ CẦU

ĐA DIỆN

01

1) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều 
kiện: 

H
oc

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một 
cạnh chung. 

uO
nT
hi
D

ai

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ 
tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H). 
2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H). 

iL

ie

3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và 
miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. 
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H). 
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó. 

s/

Ta

4) Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện. 
a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là 
một phép biến hình trong không gian. 

up

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai 
điểm tùy ý. 

ro

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. 

om

/g

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành 
đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia. 

ok

.c

e) Một số phép dời hình trong không gian : 

 
- Phép dời hình tịnh tiến theo vector v , là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho  MM '  v . 

ce

bo

- Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm 
M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’. 
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối 
xứng của (H). 

w

.fa

- Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm 

M’ sao cho O là trung điểm của MM’. 

w

w

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H). 
- Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M 
không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn 
được gọi là phép đối xứng qua trục d. 
Sưu tầm: Nguyễn Bảo Vương
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 25