Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

Vilaisavanh LEUANGLITH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

Vilaisavanh LEUANGLITH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là sự nghiên cứu độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Phạm Việt Đức, các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực.
Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào.
Tác giả

Vilaisavanh LEUANGLITH


ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình làm luận văn, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình
của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã
luôn chỉ bảo tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em để em có thể hoàn thành luận
văn. Đồng thời em cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau đại
học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm
ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
tốt luận văn của mình.
Xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học toán K21 đã luôn động viên,
chia sẻ khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới những người thân trong gia đình đã luôn
động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để luận văn
được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Vilaisavanh LEUANGLITH

iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 2

1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ................................ 2
1.2. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi .................................................. 3
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài ................................... 5
1.4. Metric vi phân Kobayashi ...................................................................... 6
1.5. Không gian phức hyperbolic .................................................................. 8
1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic ....................................................... 9
1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình ....... 10
CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH
XẠ CHUẨN TẮC ............................................................................................... 16

2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất ................................................... 16
2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc ........ 20
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 34


1

MỞ ĐẦU
Một trong những kết quả quan trọng của giải tích phức hyperbolic là

định lý thác triển hội tụ Noguchi phát biểu như sau: ‘‘Cho X là không gian con
phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . M là
đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trên M . Giả sử
fn : M \ A

X

là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M

A tới

ánh xạ chỉnh hình

f :M \ A

X.

Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y .
Khi đó fn

f trong H( M, Y ) ’’. Đã có nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên

cứu mở rộng định lý thác triển hội tụ định lý Noguchi lên các trường hợp khác
nhau. Mục đích của đề tài này là trình bày chi tiết kết quả của J. E. Joseph và
M. H. Kwach năm 1997 về mở rộng định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ
các ánh xạ chuẩn tắc.
Bố cục của luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số kết quả về định lí thác triển

hội tụ của Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình.
Chương 2: Định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
Đây là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày về ánh
xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Phần tiếp theo là một số định lí thác
triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.


2
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.1. Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị
Giả sử D
Xét ánh xạ

D

z

1 là đĩa đơn vị mở trong

,z

xác định bởi:

: D D

1
D

(a, b)

ln
1

Ta có

D

.

a b
1 ba
; a, b
a b
1 ba

D.

là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman

– Poincaré trên đĩa đơn vị.
1.1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.2.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

H( D, X ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian
phức X được trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các điểm

p0

x, p1 ,..., pk

y của X , dãy các điểm

a1 , a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1 , f2 ,..., fk trong H( D, X ) thỏa mãn
fi (0)

pi 1 , fi (ai )

Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình

pi , i

1,2,..., k .

nối x với y là tập hợp :

p0 ,..., pk , a1 ,..., ak , f1 ,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên.
n

Ta đặt L

D

(0, ai ) và định nghĩa dX ( x, y)

inf L

i 1

infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình

nối x với y .

trong đó


3
Dễ thấy d X thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:
i) dX ( x, y)

0, x, y

X.

ii) dX ( x, y)

dX ( y, x ), x, y

iii) dX ( x, z)

d X ( x, y)

X.

dX ( y, z), x, y, z

X.

Nói cách khác d X là một giả khoảng cách trên X . Giả khoảng cách d X
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .
1.1.2.2. Tính chất
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của d X :
i) dD

D

và dDn (( zi ),(w j ))

ii) Nếu f : X

Y thì dX ( p, q)

max ( zi , w j ) với mọi ( zi ),(w j )
j 1,n

Dn .

Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và

dY ( f ( p), f (q)), p, q

Từ đó suy ra rằng nếu f : X

dX ( p, q)

X.

Y là song chỉnh hình thì:

dY ( f ( p), f (q)), p, q

X.

iii) Đối với một không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách d X là lien
tục trên X

X.

iv) Nếu X và Y là các không gian phức thì với mọi x1, x2
y1, y2

X và

Y thì ta có:

max dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )

dX Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) .

1.2. Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử Y là không gian phức và X là không gian con phức compact
tương đối trong Y .
Đặt
FX ,Y

f

H D, Y f 1 (Y \ X ) gồm có nhiều nhất 1 điểm

Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối d X ,Y trên X tương tự như giả


4
khoảng cách Kobayashi dY trên Y , nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình
thuộc FX ,Y . Cụ thể, xét dãy các điểm p0

p, p1,..., pk

q của X , dãy các điểm

a1, a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1,..., fk trong FX ,Y thỏa mãn

fi (0)

Tập hợp

pi 1, fi (ai )

pi ,

i

1,..., k

p0 ,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên được gọi

là một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X .
Ta định nghĩa
k

dX ,Y ( p, q)

inf

D

(0, ai ),

p ,q

,

i 1

trong đó

p ,q

là tập hợp tất cả các đây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X .

Khi đó dX ,Y : X

X

R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả

khoảng cách tương đối Kobayashi.
Nếu p hoặc q nằm trên biên của X , dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai
điểm có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa

dX ,Y ( p, q)

.

1.2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.2.1. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X ,Y là mở rộng của giả khoảng
cách Kobayashi d X theo nghĩa dX
1.2.2.2. Vì H( D, X )

FX ,Y

dX , X .

H( D, Y ) , ta có
dY

1.2.2.3. dD , D

dX ,Y

dX .

dD .

Thật vậy, bất đẳng thức dD , D

trên. Dùng ánh xạ đồng nhất IdD

dD là trường hợp đặc biệt của tính chất

FD ,D như là dây chuyền chỉnh hình nối hai

điểm của D ta nhận được bất đẳng thức ngược lại.


5
1.2.2.4. Tính chất giảm khoảng cách
Giả sử X , X ' tương ứng là các không gian con phức compact tương đối
của các không gian phức Y , Y ' . Nếu f : Y
mãn f ( X )

Y ' là ánh xạ chỉnh hình thỏa

X ' , thì
dX ',Y ' ( f ( p), f (q))

dX ,Y ( p, q)

X.

p, q

Hơn nữa, d X ,Y là khoảng cách lớn nhất trên X trong các giả khoảng
cách có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f

FX ,Y . Tức là, nếu

X

là

giả khoảng cách trên X thỏa mãn
X

( f (a), f (b))

dD (a, b) với a, b

D và f

FX ,Y ,

thì
X

( p, q)

dX ,Y ( p, q) với p, q

X.

1.2.2.5. Định lí
Giả sử X
dX

Y và X '

X ',Y Y '

Y ' . Khi đó với p, q

X và p ', q ' Y ' ta có

max dX ,Y ( p, q), dX ',Y ' ( p ', q ') .

(( p, p '),(q, q '))

1.2.2.6. Hệ quả
dD k

Dn

k

, Dn

dDn .

1.2.2.7. Mệnh đề
Giả sử X

Y . Khi đó

(i) d X ,Y liên tục trên X

X và nửa liên tục dưới trên X

X.

(ii) Nếu X là phần bù của tập con giải tích đóng A của Y thì d X ,Y liên
tục trên Y Y .
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
Giả sử X là đa tạp phức, một hàm độ dài E trên nón tiếp tuyến T ( X ) là
hàm thực, không âm, liên tục và thỏa mãn:
i. E(v)
ii. E(av)

0 nếu v

0.

a E(v) với a

, v T( X ) .


6
Nếu X là đa tạp phức và E là hàm độ dài trên X ta gọi d E là hàm
khoảng cách trên X sinh bởi hàm độ dài E được định nghĩa như sau:
Nếu

X là đường cong lớp C1 trên X , ta định nghĩa

: a, b

b

LE

b

E( '(t ))dt
a

a

Và gọi LE là độ dài đường cong
Với x, y

'(t ) E dt

ứng với hàm đội dài E .

X , ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữu hạn các

đường cong lớp C1 sao cho điểm cuối của đường này là đểm đầu của
đường tiếp theo. Đội dài của đường nối giữa x và y ứng với hàm độ dài
cho trước được định nghĩa của là tổng của các độ dài của các đường cong
lớp C1 thành phần.
Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài E là khoảng cách được xác định bởi
dE ( x, y)

inf LE ( ),

trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường

nới x với y .

Nếu X là đa tạp hyperbolic và Y là đa tạp phức với hàm độ dài E thì ta
định nghĩa chuẩn df

E

của ánh xạ tiếp xúc của f  H  X ,Y  ứng với hàm độ

dài E , xác định bởi:

df

E





 sup df  p  E : p  X ,

trong đó df  p  E  sup E ((df ) p (v)) : K X  p, v   1, v Tp X .
1.4. Metric vi phân Kobayashi
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa K X là vi phân Kobayashi
trên M được xác định bởi :
K X ( p, v)
p

inf r

X , v Tp X ; d

0 : (0)

p, d (0, re)

là ánh xạ tiếp xúc của

v;

H( D, X ) trong đó

và e là véc tơ đơn vị tại 0 D .


7
1.4.2. Một số tính chất của K X
i. Nếu X , Y là hai không gian phức thì
KY ( f* (v))

K X (v) với f

H( X , Y ), v TX .

Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình.
ii. + Trong đĩa đơn vị D , K D đồng nhất với metric Bergman-Poicaré, tức
là K D2

ds .

+ K

m

0.

iii. Trong không gian phức X ta có
K X ( f*u)

u, f

H( D, X ), u TD .

Hơn nữa nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên TX thỏa mãn
u với f

E( f*u)

H( D, X ), u TD ,

thì

E(v)

K X (v), u TX .

iv. Giả sử X , Y là các không gian phức, ta có
K X Y (u, v)

max K X (u), KY (v) với u TX , v TY .

v. Giả sử X là không gian phức và
hình của X . Khi đó K X

*

:X

X là không gian phủ chỉnh

KX .

1.4.3. Định lí
Giả sử X là đa tạp phức, x, y

X . Khi đó
1

d X ( x, y)

K X ( (t ))dt ,

inf
0

trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc
: 0,1
(t )

X nối x với y và

*

(( / t )t ) .


8
1.4.4. Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp con phức của đa tạp phức N . Ta định nghĩa metric vi
phân K M ,N như sau :
K M ,N (v)

trong đó FM,N

inf

1
, f
r

H( D, N ); f 1 (N

f

v với v TM ,

FM ,N sao cho f '(e)

M) cã nhiÒu nhÊt mét ®iÓm .

1.5. Không gian phức hyperbolic

1.5.1. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X , tức là:
dX ( p, q)

p

0

X.

q, p, q

1.5.2. Ví dụ
(1). D là không gian phức hyperbolic vì dD

mà

D

D

là khoảng cách

trên D nên d D cũng là khoảng cách trên D .
n

(2).

không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử d

n

Kobayashi trên
cách trên

n

, ta chỉ ra rằng d
n

. Với x, y

, p

n

dD (0, p)

Cho p

không phải là khoảng

n

n

x

y

x
p

Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f ( x )
cách đối với d D và d

là giả khoảng cách

0) ta xét ánh xạ:

D( p

f: D
z

0 và do đó d

n

n

z.

0, f ( p)

y . Do f làm giảm khoảng

nên ta có:
d n ( f (0), f ( p))

0 ta có d n ( x, y)

0 . Vậy

n

d n ( x, y)

D

(0, p) .

không là hyperbolic.

1.5.3. Tính chất
i) Nếu X , Y là các không gian phức thì X

Y là không gian hyperbolic


9
khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic.
ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian
hyperbolic.
iii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và

Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic.

f :X

1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói
X là nhúng hyperbolic trong Y nếu

x, y

y luôn tồn tại các lân cận

X; x

mở U của x và V của y trong Y sao cho dX ( X

U, X

V)

0 . Trong đó d X

là giả khoảng cách Kobayashi trên X .
1.6.2. Nhận xét
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng
hyperbolic trong chính nó.
ii) Nếu X 1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X 2 là nhúng hyperbolic trong
Y2 thì X 1

X 2 là nhúng hyperbolic trong Y1 Y2 .

iii) Nếu có hàm khoảng cách
mọi x, y

trên X thỏa mãn dX ( x, y)

( x, y) với

X thì X là nhúng hyperbolic trong Y .

1.6.3. Định lí
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y .
HI2. X là hyperbolic và xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn
xn

x

X , yn

y

X , dX ( xn , yn )

0 thì x

y.

HI3. Giả sử xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn
xn

x

X , yn

y

X.


10
Khi đó nếu dX ( xn , yn )

0 khi n

thì x

y.

HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương
sao cho với mọi f

trên Y

H( D, X ) ta có
f * ( H)

HD ,

trong đó HD là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D .
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f
f *H

H( D, X ) ta có

HD .

1.6.4. Định lí
Giả sử X là một không gian phức, compact tương đối trong không gian
phức Y . Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu :
dX ,Y ( p, q)

0, p, q

X,p

q.

1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình
1.7.1. Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có
giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1,..., zm trong M
sao cho về mặt địa phương

Dr

M\A

Ds với r

s

m

1.7.2. Định lí Noguchi trên D
Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y . Cho f
fn

f thì fn

H( D* , X ) và

fn

H( D* , X ) . Khi đó nếu

f . Trong đó fn , f lần lượt là các thác triển của fn , f .

1.7.3. Định lí Noguchi
Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức Y . M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn
tắc trên M . Giả sử
fn : M \ A

X


11
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M \ A tới
ánh xạ chỉnh hình
X.

fn : M \ A

Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y .
Khi đó fn

f trong H( M, Y ) .

1.7.4. Định lí Ascoli
1.7.4.1. Định nghĩa
Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không
gian tô pô Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x

X tới y Y nếu với

mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W
của điểm y sao cho
nếu f ( x ) W thì f (V) U với mọi f
Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x

F.

X và mọi y Y thì F được gọi

là liên tục đồng đều từ X đến Y .
1.7.4.2. Định lí Ascoli
Giả sử X là một không gian chính quy compact địa phương và Y là một
không gian chính quy. Khi đó, họ F  C  X ,Y  là compact tương đối trong

C  X ,Y  khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) F là liên tục đồng đều,
(2) F  x    f  x  f  F  là compact tương đối trong Y với mỗi

x X.
1.7.5. Hàm đa điều hòa dƣới
+ Giả sử D là miền trong

. Một C 2 -hàm h xác định trên D được gọi

là điều hòa nếu
2

h

: 4

h
z z

0 trên D .


12
+ Hàm u : D

,

) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u

thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) u là nửa liên tục trên trong D , tức là tập z

s là tập mở

D;u(z)

với mỗi số thực s ;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm
R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u

h:G

thì u

h trên

G

h trên G .

Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử
M là một không gian con phức của không gian phức X .

1.7.6. Định nghĩa
Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại
một

hàm

Xc

x

đa

điều

hòa

dưới

liên

c là compact với mỗi c

X , ( x)

tục

:X

(

,0)

sao

cho

0.

1.7.7. Định lý
Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử
M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức X . Giả

sử có một lân cận U của M trong X sao cho U
ánh xạ chỉnh hình f : Z \ H

M là siêu lồi. Khi đó bất kỳ

M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

từ Z vào trong M .
Hơn nữa, nếu

fj : Z \ H

M

j 1

là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội

tụ đều trên các tập con compact của Z \ H tới ánh xạ chỉnh hình

f :Z \ H

M , thì f j

f , ở đó f j : Z

j 1

cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới

M và f : Z

M là các thác triển chỉnh hình của f j và f

trên Z .
Chứng minh.
(i) Trước hết là xét trường hợp khi Z

D và H

0 .


13
Theo định lý của Kobayashi, ta chỉ cần chứng minh có một dãy zn

D hội

tụ đến một điểm của M .
Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy
zn

D với zn

có thể tìm được

0 , dãy

f ( zn ) hội tụ đến một điểm trong

0 đủ nhỏ sao cho f D

U . Gọi

M . Do đó, ta

là hàm đa điều hòa

dưới vét cạn của U . Đặt h

f trên D khi đó h là hàm điều hòa dưới, và

với mỗi dãy zn

0 , h( zn )

D với zn

0 . Điều này kéo theo h thác triển

liên tục được đến hàm h trên D . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều
hòa, ta có h là hàm điều hòa dưới trên D . Ta có h( z)

h(0)

0 nếu z

và

0 , vì vậy h đạt cực đại tại gốc O . Điều này là vô lý.
(ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình

f :Z \ H

M

đều thác triển chỉnh hình được trên Z .
Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là ta thác triển f lên Z \ S( H )
sau đó lên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy, trong đó S (Y ) là tập các kỳ dị
của không gian phức Y .
Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả thiết rằng

Z

Dm

Dm

1

Với mỗi z
fz ( z )

D và H

Dm

1

0 .

Dm 1 , xét ánh xạ chỉnh hình fz : D

f ( z , z) với mỗi z

D.

Theo (i), tồi tại thác triển chỉnh hình fz : D
Định nghĩa ánh xạ f : Dm
(z , z) Dm

1

M được cho bởi

1

D

M của fz với mỗi z

M bởi f (z , z)

f z (z) với mọi

D . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại

z0 ,0

Dm

1

D.

Dm 1 .


14
Thật vậy, giả sử

zk , zk

Dm

1

D sao cho
z0 ,0 .

zk , zk

Lấy dãy zk

D sao cho lim dD ( zk , zk )

k

0 . Ta có

dM ( f (zk , zk ), f (z0 ,0))
dM ( f (zk , zk ), f zk , zk

dM ( fzk (zk ), fzk (zk ))
dD (zk , zk )

dM ( f zk , zk , f z0 , zk

dM ( f z0 , zk , f z0 ,0

dM ( f (zk , zk ), f (z0 , zk ))

dDm 1 (zk , z0 )

dM ( fz0 (zk ), fz0 (0))

dD (zk ,0) với mọi k

1.

Từ đó
0,

lim dM ( f ( zk , zk ), f (z0 ,0))

k

tức là
f (zk , zk )

f ( z0 ,0) khi k

,

Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh.
(iii) Giả sử f j
fj

H( Z \ H, M) thỏa mãn
H( Z \ H, M) trong H( Z \ H, M) .

f

Ta sẽ chứng tỏ rằng f j

f trong H( Z, M) .

Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng
trên Z \ S( H ) sau đó trên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy.
Giả sử
H

Dm

1

0

là điểm tùy ý của H . Ta có thể giả thiết Z

0 và

0

(0,0) . Đặt a0

f(

0

) . Với điểm y

dương r , ta đặt
BM ( y, r )

Tương tự, với điểm

Z và r

BZ ( , r )

y

M : dM ( y, y )

r .

0 , ta đặt

Z : dZ ( , )

r .

Dm và
M và số thực


15
Trước hết ta chứng tỏ rằng với số
trong Z sao cho f (V0 )

0 bất kỳ, tồn tại lân cận V0 của

BM (a0 , ) và f j (V0 )

BM (a0 , ) với mọi j

0

j0 . Thật

vậy, lấy điểm
BZ ( 0 , ) \ H .
3

1

Ta có f ( 1 )

BM (a0 , ) . Có số nguyên j0 sao cho
3

fj ( 1)

BM (a0 ,

2
) với mọi j
3

j0 .

Vì vậy ta có
f j ( BZ ( 1, )
3

BM (a0 , ) .

Đặt
V0

BZ ( 0 , )
3

BZ ( 1, ) .
3

Khi đó
0

Lấy

V0 , f (V0 )

BM (a0 , ) và f j (V0 )

fj

D

Dm

m

hội tụ đều đến f
với giới hạn f

j 1

j0 .

0 đủ nhỏ sao cho BM (a0 , ) được chứa trong một lân cận tọa độ

địa phương của a0 trong M . Chọn
fj

BM (a0 , ) với mọi j

( D )m

Dm

0 đủ bé sao cho Dm

V0 . Vì

, từ nguyên lý cực đại suy ra sự hội tụ đều của

. Định lý được chứng minh.


16
CHƢƠNG 2
ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất
Cho X , Y là các không gian tôpô. Ta có các kí hiệu sau :
+Y

Y

là compact hóa 1 điểm của không gian phức Y .

+ C( X , Y ) là không gian các hàm liên tục từ X vào Y .
+ Ta định nghĩa F G

G

trong đó F, G là các

Cho X , Y là các không gian phức. Một họ F

H X , Y là chuẩn tắc

f g, f

F, g

không gian hàm.
2.1.1. Định nghĩa

đều trong H X , Y nếu F H M , X là compact tương đối trong C M , Y
với mỗi đa tạp phức M . Ta nói rằng f là một ánh xạ chuẩn tắc nếu họ

f

là

chuẩn tắc đều.
2.1.2. Mệnh đề
Nếu X, Y là các không gian phức và F  H  X ,Y  là họ chuẩn tắc đều nếu
và chỉ nếu F H  D, X  là compact tương đối trong C  D,Y  .
Từ mệnh đề 2.1.2 năm 1973, Kierman [9] đã chứng minh được kết quả
sau:
2.1.3. Mệnh đề
Một không gian con phức X compact tương đối của một không gian phức

Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi H  D, X  là compact tương đối
trong H  D,Y  ; hay nói cách khác, khi và chỉ khi H  D, X  là tập con chuẩn
tắc đều của H  D,Y .


17
Năm 1971, Royden [13] và Abate [2] năm 1993 đã chỉ ra
2.1.4. Mệnh đề
Một đa tạp phức M là hyperbolic khi và chỉ khi H  D, M  là liên tục
đồng đều. Hơn nữa, ta có M là hyperbolic khi và chỉ khi H  D, M  là compact
tương đối trong C  D, M  . Do đó, H  D, M  là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ
khi M là hyperbolic.
Năm 1994, Joseph và Kwack [8] đã chứng minh được
2.1.5. Mệnh đề
Một không gian con phức X của một không gian phức Y là nhúng
hyperbolic trong Y khi và chỉ khi H  D, X  là compact tương đối trong

C  D,Y   ; hay khi và chỉ khi H  D, X  là tập con chuẩn tắc đều của H  D,Y .
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng họ các ánh xạ giảm khoảng cách giữa những
không gian metric X, Y là compact tương đối trong tập các ánh xạ chỉnh hình từ
không gian X vào không gian compact hóa một điểm theo Alexandroff của
không gian Y.
2.1.6. Mệnh đề
Giả sử Y ,  là một không gian metric compact địa phương, X là một
không gian tôpô và cho  là giả metric trên X,  liên tục trên X  X . Khi đó,
nếu với mỗi f  F  C  X ,Y  là giảm khoảng cách tương ứng với  , thì F
là compact tương đối trong C  X ,Y  .
Chứng minh.
Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào Y  .

Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào Y  .
Khi đó, tồn tại các điểm p  X ; q, s Y  và các dãy
cho p  p, s  q, f  p   s, f  p   q.

 p   X ;  f   F sao


18
+) Nếu q  Y thì với mỗi  ta có:

  f  p  , q     f  p  , f  p      f  p  , q     p , p     f  p  , q .
Do đó,   f  p  , q   0 và q  s. Suy ra mâu thuẫn.
+) Nếu s Y thì với mỗi  ta có:

  f  p  , s     p, p     f  p  , s .
Do đó,   f  p  , s   0 và q  s. Suy ra mâu thuẫn.
Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào Y  . Định lí được chứng minh.
2.1.7. Định lí
Cho M là đa tạp phức và Y là không gian phức. Khi đó họ

F  H  M ,Y  là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có một hàm độ dài E trên Y
sao cho df

E

1 với mỗi f

F.

Chứng minh.

* Điều kiện cần
Rõ ràng ta có F H  D, M  là tập con liên tục đồng đều của H( D, Y ) .
Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact Q  Y , tồn tại c  0
sao cho df  p   c trên f 1  Q  với mỗi f  F .
Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact Q  Y không
thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại
các dãy

 p ,  f , v 
n

n

n

và q  Q, trong đó pn  M , f n  F , vn Tpn  M  ,

f n  pn   Q, K M  pn , vn   1, f n  pn   q và E  f n  pn  , df n  pn , vn    n.
Từ đó suy ra df n  pn    và tồn tại một dãy n   H  D, M  thỏa mãn:

n  0   pn và df n n  0   .
Cho V là một lân cận compact tương đối của q nhúng hyperbolic trong Y.


19
Vì F H  D, M  là tập con liên tục đồng đều của H  D,Y  nên tồn tại một số

0  r  1 sao cho f n n  Dr   V .
Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của  f n n  trên Dr mà ta vẫn ký hiệu là

 f  ,
n

n

là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy

f

n

n  là compact tương đối

trong H  Dr ,Y . Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy

f

n

n  hội tụ tới

h  H  Dr ,Y . Điều này mâu thuẫn với df n n  0   . Để hoàn thiện chứng
minh điều kiện cần ta chọn các dãy Vn , cn

sao cho Vn là mở và compact

tương đối trong Y ,
Vn

Vn 1,

1

Ta chọn hàm

Vn

Y , cn

0 và df

cn trên f 1 ( Vn ) với mỗi f

liên tục, dương trên Y sao cho (q)cn

dài H trên Y xác định bởi H(v)
mỗi f

E

(q)En với v

F.

1 trên Vn . Hàm độ

TqY thỏa mãn df

E

1 với

F.

* Điều kiện đủ
Từ giả thiết suy ra tồn tại hàm khoảng cách d E trên Y sao cho với mỗi

f  F H  D, M  là ánh xạ giảm khoảng cách từ d D tới d E . Khi đó từ mệnh đề
2.1.2 và 2.1.6 ta có F  H  M ,Y  là họ chuẩn tắc đều.
Định lí được chứng minh.
2.1.8. Một số ví dụ về họ chuẩn tắc đều
2.1.8.1. Ví dụ
Giả sử f  H  D, P1 

  và   D là một đĩa đóng và ký hiệu 

là

biên của , cho J  f     và L  f     lần lượt là diện tích cầu của f    và
độ dài cầu của f    . Lấy h  0 và



F  h   f  H  D, P1 

 : J  f     hL  f     víi mçi ®Üa ®ãng   D .


20
Khi đó, Hayman ([6], trang 164) đã chứng chỉ ra rằng F  h  là bất biến

và chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel. Do đó, F  h  là chuẩn tắc đều.
2.1.8.2. Ví dụ
Giả sử M là một đa tạp phức, r  0, và F  H  M , P1 



ánh xạ sao cho với mỗi f  F tồn tại các điểm a f , bf , c f  P1 

là một họ các

  f M 

với

  a f , bf    c f , bf    c f , a f   r , trong đó  là metric cầu. Khi đó, Carathéodory
([4], trang 202) đã chứng minh rằng F H  D, M  là chuẩn tắc theo định nghĩa
của Montel. Vì vậy F là chuẩn tắc đều.
2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc
2.2.1. Định lý
Cho N là đa tạp con nhúng hyperbolic của một đa tạp phức M và cho
Y là không gian phức. Các điều kiện sau là tương đương đối với

F  H ( N ,Y ) :

(1) F là chuẩn tắc đều.
(2) Nếu p  Y và g n  ,  zn  là các dãy trong F H ( D* , M ) , D* , tương
ứng, sao cho zn  0 và g n  zn   p , khi đó với mỗi lân cận U của p có số r ,
0  r  1 , thỏa mãn g n  Dr   U .

(3) Có hàm độ dài E trên Y sao cho f  E  K N ,M với mỗi f  F .

Chứng minh.
(1)  (2). Từ định lý 2.1.7 và N là hyperbolic, ta có hàm độ dài E trên
Y sao cho mỗi f  F H ( D* , N ) là giảm khoảng cách ứng với dD* và d E . Lập

luận tương tự như chứng minh trong [10] của Kiernan và (1)  (2) của định
lý 1 trong [8] của Joseph và Kwack năm 1994 ta có (2).
(2)  (3). Ta chứng minh rằng với tập compact Q  Y và hàm độ dài E
trên Y tồn tại c  0 sao cho cE  (df ) p (v)   1 khi f  F , f ( p)  Q, v Tp ( N )