Giáo án Đại số 11 chương 1 bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 7-12: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:
1. Về kiến thức:
Giúp học sinh
-

Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác
cơ bản (sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, côtang và tính
tuần hoàn của các hàm số lượng giác)
- Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản
2. Về kĩ năng:
-

Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các phương trình
lượng giác cơ bản;
- Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn
lượng giác.
3. Về thái độ, tư duy:
II.
CHUẨN BỊ:
1. Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG
2. Về phía trò:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa,..,
III. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP:
Gợi mở ,vấn đáp
IV.

TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
TIẾT 7

1. Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của thầy
Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên
của các HSLG

Hoạt động của trò
Học sinh làm theo yêu cầu gv

2. Nội dung bài mới:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
1. Phương trình sinx = m

H1: Tìm nghiệm của phương trình (1)
Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm
như thế nào ?

a. Để làm ví dụ, ta xét một phương trình
cụ thể, chẳng hạn:
sinx =

1
2

(1)

Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

làm như sau:

B
M2

1/2 K

A'

0

x
M1
/6

trôc sin

VŨ MINH THU

A

B'

Xét đường tròn lượng giác gốc A. Trên
trục sin, ta lấy điểm K sao cho OK 

1
.
2

Đường thẳng qua K và vuông góc với trục
sin cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1
và M2; 2 điểm này đối xứng với nhau qua
trục sin (h. 1.19). Ta có : sin(OA, OM1)=

Dễ thấy, số đo (rađian) của các góc lượng giác
1
sin(OA, OM2) = OK  .
2
(OM, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm
của (1). Lấy một nghiệm tuỳ ý của (1), chẳng
1

Vậy : sinx  � x   k2

2
6
hạn x = . Khi đó các góc (OA, OM1) có số đo
6


hoặc x     k2 (k  Z).

6
 k2 ; các góc (OA, OM 2) có số đo
6
Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta

có thể viết lại kết quả trên như sau
   k2 , (k  Z).
6

Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi
x  R.

� 
x   k2
�
1
sinx  � � 6
 k �Z .
2

�
x     k2
�
6
�

Ta đã biết, sinx  1 với mọi x. Do đó, phương
trình (I) vô nghiệm khi m > 1. Mặt khác, khi x b. Giả sử m là một số đã cho. Xét phương

(I)
thay đổi, sinx nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 nên trình: sinx = m
Làm tương tự đối với phương trình (1), ta
phương trình (I) luôn có nghiệm khi m  1.
có
Kể từ đây, để cho gọn, ta quy ước rằng nếu
trong một biểu thức nghiệm của phương trình
Nếu  là một nghiệm của
lượng giác có chứa k mà không giải thích gì
phương trình (I),
thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z.
nghĩa là sin = m thì
Chẳng hạn x =  + k2 có nghĩa là x lấy mọi giá
x    k2
�
trị thuộc tập hợp
sinx  m � �
 k �Z (Ia)
{,   2,   4,   6, ...}

Giải các phương trình

x      k2
�

Ta nói rằng x =  + k2 và x =  -  +
k2 là 2 họ nghiệm của phương trình (I).
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

1) sinx = 

3
;
2

2) sinx =

2
3

Giải
� �

3

1) Do sin� � 
nên
2
� 3�

�
x    k2
�

3
3
� � �
sinx  
� sinx  sin�
 ��
� �
2
� 3� �
x



 � k2
�
�
� 3�
�

2
2
�
x    k2
 1 nên có số  để sin = . Do đó
�
3
3
3
��
4

�
x    k2
�
2
x
 k2
sinx  � sinx  sin � �
�
� 3
3
x      k2
�

2) Vì

H2: Giải phương trình sinx 

2
2

H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h. 1.20), hãy
chỉ ra các điểm có hoành độ trong khoảng (0;
5) là nghiệm của phương trình sinx =

2
.
2

Trong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G)
của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y =

m thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G)
(nếu có) là một nghiệm của phương trình
sinx = m.
CHÚ Ý:

Khi m  [0; 1], công thức (Ia)
Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình có thể viết gọn như sau:
�
�
�
�
sin�
2x  � sin�  x �
5�
�
�5
�

Giải


 k2
2

sinx  1 � x    k2
2
sinx  0 � x  k
sinx  1 � x 

Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU


Dễ thấy với m cho trước mà m
�  
2x    x  k2
�
5 5
�
 1, phương trình sinx = m có đúng 1
�
�
�
sin�
2x  � sin�  x �� �

�
�
�  �
5�
�
�5
� �
2x






x

k2

 ; �. Người ta
nghiệm
nằm
trong
đoạn
�
�
�
� 5
�5
�
� 2 2�
�
�
x
� 2
�
x
 k2
�
�
��
5

�
�
3x    k2
x
�
�
�

2
 k2
5

2
k
3
3

2
Vậy các số x phải tìm là x   k2 và
3
x


2
 k ,k �Z
3
3

H4: Giải phương trình sin2x = sinx

thường kí hiệu nghiệm đó là arcsinm (đọc là
ác-sin m). Khi đó
x  arcsinm k2
�
sinx  m � �
x    arcsinm k2
�

Vậy ở ví dụ 1, câu 2) có thể viết
2
�
x  arcsin  k2
�
2
3
sinx  � �
3
2
�
x    arcsin  k2
�
3
�


Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu  và 
là 2 số thực thì sin = sin khi và chỉ khi có
số nguyên k để  =  + k2 hoặc  =  -  +
k2, k  Z

3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m.
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 8
1. Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của thầy
Nhắc lại công thức nghiệm của phương
trình lượng giác sinx = m.

Hoạt động của trò
Học sinh làm theo yêu cầu gv

Làm bài tập
2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò

(l)

B
+

M1
A'

trôc cosin
0

m
H A
M2

2. Phương trình cosx = m
Xét phương trình: cosx = m

(II)

trong đó m là một số cho trước. Hiển nhiên
phương trình (II) xác định với mọi x  R. Dễ thấy
Do m  1 nên đường thẳng (l) cắt đường
rằng:
tròn lượng giác tại 2 điểm M 1 và M2. Hai
Khi m > 1, phương trình (II) vô nghiệm.
điểm này đối xứng nhau qua trục côsin
Khi m  1, phương trình (II) luôn có nghiệm. Để
(chúng trùng nhau nếu m = 1). Ta thấy
số đo các góc lượng giác (OA, OM 1) và tìm tất cả các nghiệm của (II), trên trục côsin ta lấy
(OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (II). điểm H sao cho OH = m. Gọi (l) là đường thẳng đi
Nếu  là số đo của một góc trong chúng qua H và vuông góc với trục côsin (h. 1.12)
B'

nói cách khác, nếu  là một nghiệm của
(II) thì các góc đó có các số đo là
 + k2 và - + k2.
H5: Giải phương trình sau :
cosx = 

2
2

Vậy ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình (II),
nghĩa là
cos = m thì
x    k2
�
cosx  m � �
x    k2
�

CHÚ Ý
H6: Hãy giải phương trình

 Đặc biệt, khi m  {0; 1},

(IIa)


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

cos (2x + 1) = cos (2x - 1)

VŨ MINH THU

công thức (IIa) có thể viết gọn như sau:
cosx  1� x  k2
cosx  1� x    k2

cosx  0 � x   k
2

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà m 
1, phương trình cosx = m có đúng 1 nghiệm nằm
trong đoạn [0; ]. Người ta thường kí hiệu nghiệm
đó là arccos m
(đọc là ác-côsin m). Khi đó:
x  arccosm k2
�
cosx  m � �
x   arccosm k2
�

mà cũng thường được viết là
x =  arccos m + k2.
 Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu  và  là 2 số thực
thì cos = cos khi và chỉ khi có số nguyên k để 
=  + k2, k  Z
3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m

4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 9
1. Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò

Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên
của các HSLG

Học sinh làm theo yêu cầu gv

3. Nội dung bài mới:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
3. Phương trình tan x = m
Cho m là một số tuỳ ý.

B

A'

0

M2

T
m

M1

A
trôc tang

+

Xét phương trình tanx = m

(III)

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III)
là cos x  0

Ta đã biết, khi x thay đổi, tan x nhận mọi giá trị từ
- —> +. Do đó, phương trình (III) luôn có
B'
Ta có tan (OA, OM 1) = tan (OA, OM 2) nghiệm.
Để tìm tất cả các nghiệm của (III), trên trục tang,
= AT = m. Gọi số đo của một trong

các góc lượng giác (OA, OM 1) và (OA, ta lấy điểm T sao cho AT = m. Đường thẳng OT cắt
OM2) là ; nói cách khác,  là một đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1 và M2 (h. 1.22).
nghiệm nào đó của phương trình (III).
Khi đó, các góc lượng giác (OA, OM 1)
và (OA, OM2) có các số đo là  + k.
Đó là tất cả các nghiệm của phương
trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn
ĐKXĐ của (III)).

Vậy ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình (III),
nghĩa là tan = m thì tanx = m  x =  + k
(IIIa)

Giải
� �
� �

-1  x =   k .
4

1) Vì -1 = tan� �nên tanx =
4

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

2) Gọi  là một số mà tan = 3.
Khi
đó
x

x
tan  3 �    k � x  3  k3
3
3

1) tanx = -1

x
3

2) tan =3


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

(Có thể tìm được một số  thoả mãn
tan = 3 bằng cách tra bảng số hoặc
dùng máy tính bỏ túi. Cụ thể là  
1,249)
H7 : Giải phương trình tan2x = tanx
CHÚ Ý :
 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương
trình tanx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
�  �
 ; �. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là
�

� 2 2�

arctan m (đọc là ác-tang m). Khi đó : tanx = m  x
= arctan m + k
 Từ (IIIa) ta thấy rằng : Nếu  và  là 2 số thực
mà tan , tan  xác địnhb thì tan = tan khi và chỉ
khi có số nguyên k để  =  + k.
3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m, tanx = m
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 10
1. Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò

Nhắc lại công thức nghiệm của
phương trình lượng giác sinx = m.,
cosx = m ; tanx = m

Học sinh làm theo yêu cầu gv

Làm các bài tập

2. Nội dung bài mới:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
4. Phương trình cotx = m
Cho m là một số tuỳ ý,
xét phương trình

cotx = m

(IV)

ĐKXĐ của phương trình (IV) là sinx  0. Tương tự
như đối với phương trình tanx = m, ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình
(IV), nghĩa là cot = m thì cotx = m  x
=  + k.
(IVa)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
Giải:

1
1 1) cotx =  3
1.Gọi  là một số mà cot =  ,
3

tức là tan = -3 (chẳng hạn, bằng bản
số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được 
1
3

 -1,249). Khi đó cotx =   x = 
+ k.
2.cot3x = 1

4

 cot3x = cot  3x =
x=



k .
12
3


+ k
4

2) cot3x = 1


Trêng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

H8: Giải phương trình

CHÚ Ý:

1
�2x  1�
= tan .
�
3
� 6 �

cot �

H9: Giải các phương trình sau:
1) cos(3x – 150) = 
2) 2) tan5x = tan 250

VŨ MINH THU

2
2

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương
trình cotx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
(0; ). Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccot
m (đọc là ác-côtang m). Khi đó
cotx = m  x = arccot m + k.

5. Một số điều cần lưu ý

+ Khi đã cho số m, ta có thể tính được các giá trị
arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m bằng máy
tính bỏ túi với các phím sin-1, cos-1, tan-1.
+ Arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m và
arccot m có giá trị là những số thực.
+ Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn
số x là số đo rađian của các góc lượng giác. Trên thực
tế, ta còn gặp những bài toán yêu cầu tìm số đo độ
của các góc (cung) lượng giác sao cho sin (côsin,
tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước
chẳng hạn sin (x + 200) =

3
. Khi giải các phương
2

trình này (mà lạm dụng ngôn ngữ, ta vẫn gọi là giải
các phương trình lượng giác), ta có thể áp dụng các
công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ
trong “công thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn
viết x = 300 + k3600 chứ không viết x = 300 + k2.
Tuy nhiên, ta quy ước rằng nếu không có giải thích
gì thêm hoặc trong phương trình lượng không sử
dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo
rađian của góc lượng giác.
Ví dụ 5:
Giải các phương trình sin (x + 200) =
Giải
Vì

3
= sin 600
2

3
.
2


Trêng THPT Lê Quý Đôn

nên sin (x + 200) =

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

3
 sin (x +
2

200) = sin 600

�
�
x  200  600  k3600
x  400  k3600
�
�
�

x  200  1800  600  k3600
x  1000  k3600
�
�

3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m ,tanx = m, cotx = m
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập