Giáo án Giải tích 11 chương 5 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÀI 3 - ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC
I. Mục tiêu bài dạy:
Kiến thức: Giúp học sinh
- Biết giới hạn lim
x →0

sin x
và hiểu được cách chứng minh.
x

- Nắm vững cách chứng minh đạo hàm các hàm số cơ bản: y=sin x; y=cos x
- Nắm vững công thức tính (sin u(x))' và (cos u(x))'.
Kĩ năng: Thành thạo trong việc tính đạo hàm của các hàm lượng giác thường gặp
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: soạn bài.
- Học sinh: xem trước bài mới, làm hoạt động H1.
III. Phương pháp: Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề
IV. Tiến trình bài dạy
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

HĐ1. Ổn định lớp - Giới thiệu bài
Để tính được công thức tính đạo hàm của các
hàm lượng giác ta cần phải tính giới hạn
sin x

x →0
x

lim

sin x
sin x
HĐ2. Lập bảng các giá trị cụ thể và dự đoán
lim
=1
1. Giới hạn lim
:
x →0
x→ 0 x
giới hạn.
x
sin x
= 1 . _Xem bảng trang 206.
_Qua bảng trên ta dự đoán rằng lim
x →0
x

Đó chính là nội dung định lí sau đây.
_Nêu định lí 1.

_ Ghi nội dung ĐL1.

HĐ3: Chứng minh công thức.
Vì x0 nên ta chỉ xét x trong một khoảng _Theo dõi trên đường tròn lượng giác.
1

 π π
S ∆OAM = OM .OA.sin AOM
chứa điểm 0 như  − ; 
 2 2
2
Đ:
H: Tính S ∆OAM ?
1
= sin x
2
Đ: S qu¹tOAM =
S
H: Tính qu¹tOAM ?
1
1
S ∆OAT = OA.OT = tgx
Đ:
2
2
H: Tính S ∆OAT ?
_Để chứng minh giới hạn trong ĐL1, cần sử _Theo dõi chứng minh trong sách giáo khoa.
Giáo viên: Lê Thị Thanh Trường


ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

dụng định lí về giới hạn của hàm số kẹp giữa
hai hàm số

HĐ4. Minh họa định lí- Vận dụng định lí
_Ta thấy rằng lim
x →0

sin ax
_Theo dõi ví dụ 1a, b.
= 1 là hệ quả của định
ax

lí 1 vì khi x→0 thì ax→0 và ta có thể đặt X=ax.
cos 3x
x cot g 3x = lim x
- Thực hiện H1. lim
_Biến đổi cotg3x theo định nghĩa
x →0
x →0
sin 3x
= lim cos 3x
x →0

HĐ5. Trình bày và chứng minh định lí 2.

1
1
=
sin 3x 3
3.
3x

2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

a. Đạo hàm của hsố y=sinx
ĐL2. (sinx)'=cosx với ∀x∈R
_Nêu nội dung và chứng minh định lí 2.
_Theo dõi chứng minh định lí.
H: Các bước tìm đạo hàm hàm số theo định Đ: (Nhắc lại bài cũ)
nghĩa.
∆x
∆x
sin
2 =?
H: ∆lim
x →0
∆x
2
∆x
cos( x0 . ) = ?
H: ∆lim
x →0
2

_Áp dụng định lí về đạo hàm số hợp, ta có hệ
quả sau: ...
HĐ6. Vận dụng định lí và hệ quả 1.

sin

2 =1
Đ: ∆lim
x →0

∆x
2
cos( x0 .
Đ: ∆lim
x →0

∆x
) = cos x0
2

_Ghi tóm tắt hệ quả: HQ1. (sinu)'=(cosu)u'

_Theo dõi ví dụ 2.
_Thực hiện H2.
H: u(x)= ?

(sin x )

/

( )

= cos x . x

/

=

cos x
2 x

_Bài tập 30a.
HĐ7. Trình bày và chứng minh định lí 3.
_Nêu nội dung và chứng minh định lí 3. (có
thể yêu cầu học sinh tự biến đổi hàm cosx về
hàm sin)
HĐ8. Vận dụng định lí và hệ quả 2.
H: (ku)'=?; (uv)'=?
Giáo viên: Lê Thị Thanh Trường

b. Đạo hàm của hsố y=cos x
ĐL3:(cosx)'=−sinx với ∀x∈R

HQ2. (cosu)'=−(sinu)u'

_Theo dõi chứng minh định lí.
_Chứng minh hệ quả 2.
_Theo dõi ví dụ 3.
_Thực hiện H3.
(2cosxcos3x)'= 2.[(cosx)'cos3x+cosx.(cos3x)')
=2(−sinxcos3x−3cosxsin3x)


ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

_Có thể biến đổi tích này thành tổng rồi mới
tính đạo hàm, kết quả sẽ gọn hơn:
−2(2sin4x+sin2x) (2 kết quả này thực ra chỉ là
1)
HĐ9. Củng cố và dặn dò.

_Tiết sau học các mục còn lại.

Giáo viên: Lê Thị Thanh Trường

BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

= −2(sinxcos3x+3cosxsin3x)
_Bài tập 29a, 29b, 30b.
(sinx)'=cosx ; (sinu)'=(cosu)u'
(cosx)'= −sinx;(cosu)'= −(sinu)u'


ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC
(tt)
I. Mục tiêu bài dạy:
Kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm vững cách chứng minh đạo hàm các hàm số cơ bản: y=tan x; y=cot x.
- Nhớ bảng tóm tắt đạo hàm của các hàm số lượng giác.
Kĩ năng: Thành thạo trong việc tính đạo hàm của các hàm lượng giác thường gặp
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: soạn bài.
- Học sinh: xem trước bài mới, làm hoạt động H4, H5
III. Phương pháp: Quy lạ về quen, giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài dạy
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

HĐ1. Ổn định lớp - Kiểm tra bài cũ.
_Nêu đạo hàm của hàm số sinx, sin u(x) và
cosx, cos u(x).
_Vận dụng cho bài tập Bài 29e.
HĐ2. Trình bày và chứng minh định lí 2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
4.
c. Đạo hàm của hsố y=tan x
1
π
ĐL4. (tanx)'=
với ∀x ≠ + kπ
2
2
cos x
_Ghi tóm tắt.
_Nêu định lí 5.
_Chứng minh định lí 5(Thực hiện H4.).
/

u
H:   = ?
v

HĐ3. Đạo hàm hàm số y=tan u(x)
_Nêu hệ quả 3.

/

sin x 
( tan x ) = 
÷=
 cos x 
cos 2 x + sin 2 x
1
=
2
cos x
cos 2 x
/

_Ghi tóm tắt hệ quả.
1
u'
HQ3. (tanu)'=
cos 2 u

HĐ4. Vận dụng định lí và hệ quả 3.
_Theo dõi ví dụ 4.
_Thực hiện ví dụ.
H:

( F)

/

= ?;

Giáo viên: Lê Thị Thanh Trường

(

tan 2 x

)

/

=

1
/
( tan 2 x )
2 tan 2 x


ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
1
1
.
(2 x) '
2
2 tan 2 x cos 2 x
1
1
=

.
2 = ...
2
2 tg 2 x cos 2 x
=

_Bài tập 30d.
HĐ5. Trình bày và chứng minh định lí d. Đạo hàm của hsố y=cot x
1
5.
ĐL5: (cotx)'= − 2 với ∀x ≠ kπ
sin x
1
HQ4. (cotu)'= − 2 .u '
sin u

_Chứng minh định lí 5 (Thực hiện ví dụ).

_Nêu định lí 5.

/

_Nêu hệ quả 4
HĐ6. Vận dụng định lí và hệ quả 4.

2
2
1
/
 cos x  − sin x − cos x

cot
x
=
=
=
−
(
) 
÷
sin 2 x
sin 2 x
 sin x 

_Theo dõi ví dụ 4.
_Thực hiện H5.
a.

_Gọi 2 học sinh lên bảng.
_Cần thực hiện các phép biến đổi lượng (tan 2 x + cot 2 x) ' = (tan 2 x) '+ cot 2 x) '
giác để cho biểu thức gọn hơn như
1
1
=
(2 x) '− 2 (2 x) ' = ...
2
2
2
sin 2x−cos 2x=−cos 4x;
cos 2 x
sin x

1
b. ...
sin2x.cos2x = sin4x.
2

H: u(x)= ?

Đ: u(x)=sin 5x.

HĐ8. Củng cố và dặn dò.
_Treo bảng tóm tắt cần nhớ.

_Hệ thống lại kiến thức.

_Tiết sau Luyện tập.
_Làm các bài bập còn lại trang 211 đến
213.

Giáo viên: Lê Thị Thanh Trường