Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

Chương IV GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số thông qua các ví dụ và nắm được một vài giới hạn
đặc biệt.
- Biết các định lí về giới hạn hữu hạn.
2.Về kỹ năng:
1
1
q n = 0, q <1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn
= 0,lim
= 0, lim
- Biết vận dụng lim
n →∞
n →∞ n
n →∞
n
giản.
- Vận dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn vào giải bài tập.
3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là giới hạn của một dãy số.
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)
3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: I. Giới hạn hữu hạn của dãy số.
1. Định nghĩa. 17’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
* Tổ chức cho HS
* Thực hiện HĐ 1:
Định nghĩa 1.
thực hiện HĐ 1(sgk):
1. Khi n trở nên rất lớn thì Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n
1. Nhận xét xem
khoảng cách từ un tới 0 càng dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ
khoảng cách từ un tới
nhỏ.
hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số
0 thay đổi thế nào khi
hạng nào đó trở đi.
n trở nên rất lớn?
un = 0 hay un → 0 khi n →
Kí hiệu: lim

x →∞
2. Bắt đầu từ số hạng
+∞
un nào của dãy số thì
Vậy từ số hạng thứ 100 trở Như vậy, (un) có giới hạn là 0 khi n → +∞
khoảng cách từ un tới
đi thì khoảng cách từ un tới nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được,
0 nhỏ hơn 0,01?
0 nhỏ hơn 0,01.
miễn là n đủ lớn.
* Chú ý lắng nghe
Ví dụ 1: SGK


Giáo án - Giải tích 11
* Từ HĐ 1 GV dẫn
dắt:
Ta có thể chứng minh
1
rằng “ un = luôn nhỏ
n
hơn một số duơng bất
kỳ kể từ số hạng nào
đó trở đi”
Dãy (un ) có đặc trưng
trên gọi là có giới hạn
bằng 0 khi n dần tới
vô cực.
và đưa ra định nghĩa
1.

- Nêu một vài ví dụ về
dãy số dần tới 0 khi n
dần tới vô cực.
2
- Dãy số un =
có
n+3
dần tới 0 khi n dần tới
vô cực không?
* Từ đó GV đưa ra
định nghĩa 2:

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

- Có.

và ghi nhận kiến thức.
- HS hoạt động nhóm

Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay
- Lên bảng làm bài
vn dần tới a) khi n → +∞, nếu
(vn − a) = 0
* Học sinh lắng nghe và xlim
→+∞
nghi nhận kiến thức.
vn = a hay vn → a khi n →
Kí hiệu: xlim
→+∞

* Thực hiện ví dụ trên theo
+∞.
nhóm:
Ví dụ 2: Cho dãy số (vn) với
Đáp án:
2n + 1
vn = 2 .
lim ( v − 2)
vn =
. Chứng minh rằng xlim
→+∞
n→∞ n
n
* Yêu cầu HS thực
2n + 1

Giải: Ta có:
hiện theo nhóm ví dụ: = lim 
− 2÷
n→∞  n
2n + 1
1

Cho ( un ) với
lim (vn − 2) = lim (
− 2) = lim = 0
x →+∞
x →+∞
x →+∞ n
n

1
2n + 1
= lim = 0
vn =
2n + 1
. Chứng
n→∞ n
=2
Vậy lim vn = lim
n
x →+∞
x →+∞
lim
v
=
2
n
vn = 2 vậy n→∞ n
minh rằng: nlim
→+∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 5’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
* Giáo viên đưa ra một số * Học sinh lắng nghe và ghi
1
1
a/ lim = 0; lim k = 0 với k nguyên
giới hạn đặc biệt.
nhận.

x →+∞ n
x →+∞ n
dương
q n = 0 nếu q< 1
b/ xlim
→+∞
c/ Nếu un = c thì lim un = lim c = c
x →+∞

x →+∞

Chú ý: Từ nay về sau thay cho
lim un = a , ta viết tắt là lim un = a .
x →+∞


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

Hoạt động 2: II. Định lí về giới hạn hữu hạn. 19’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
Trên tinh thần học sinh đã * Đứng tại chỗ nêu nội Định lí.
chuẩn bị ở nhà, yêu cầu
dung các định lí theo yêu a/ nếu lim un = a và lim vn = b thì
học sinh lần lượt nêu nội
cầu của GV.
lim(un + vn ) = a + b

dung các định lý.
* Chú ý lắng nghe
lim(un − vn ) = a − b
*Giảng:
* Cùng tìm hiểu các ví dụ
u
a
+ Nội dung các định lý
3 +4 trong SGK dưới sự
lim(un .vn ) = a.b lim n = nếu b≠0
vn b
+ Minh hoạ bằng một số hướng dẫn của giáo viên.
ví dụ cụ thể và đơn giản
b/ Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a
để học sinh có thể hiểu
thì a ≥ 0 và lim un = a
được nội dung các định lý
(vd 3 +4 SGK).
Ví dụ: 3 + 4 (SGK)
Yêu cầu HS thực hiện Thực hiện ví dụ trên theo
theo nhóm ví dụ:
nhóm:
Ví dụ 5:
Tính giới hạn sau:
*Đáp án:
2
5n − n + 2
lim
2
1 + 3n

2
5n − n + 2
lim
2
1 + 3n

Chọn 2 kết quả (khác
1
2
5
−
+
nhau) dán trên bảng và
n n2 5
= lim
=
yêu cầu các nhóm còn lại
1
3
+3
nhận xét.
2
n
*Vấn đáp các kết quả
* Củng cố : (2’)
- Các định nghĩa và định lí
- Các giới hạn đặc biệt.

Tính giới hạn sau: lim

Giải:
2

lim

5n − n + 2
= lim
2
1 + 3n

2
n n2 5
=
1
3
+3
2
n

5−

1

2
5n − n + 2
2
1 + 3n

+

4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)
- Xem lại lí thuyết: .
- Làm bài tập 1,2,3 sách giáo khoa trang 121

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

TIẾT 50: §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và một vài giới hạn đặc biệt.
- Biết các định lí về giới hạn vô cực.
- Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó.
- Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Về kỹ năng:
- Biết vận dụng lim n k = +∞, k ∈ ¥ * lim q n = +∞, q >1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là giới hạn của một dãy số.
- Tự giác, tích cực học tập.

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ: 5’
2.1. Câu hỏi: Hãy nêu định lí về giới hạn hữu hạn?
2.2. Đáp án:
* Định lí về giới hạn hữu hạn:
a/ nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim(un + vn ) = a + b lim(un − vn ) = a − b
u
a
lim(un .vn ) = a.b lim n = nếu b≠0
vn b
b/ Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và lim un = a
3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 10’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
* Yêu cầu học sinh
* Nhắc lại khái niệm cấp * Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q,
nhắc lại khái niệm cấp

số nhân.
với q< 1 được gọi là CSN lùi vô hạn
số nhân từ đó giáo viên * Ghi nhận khái niệm cấp * Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công
đưa ra khái niệm cấp số số nhân lùi vô hạn.
bội q. Khi đó,
nhân lùi vô hạn và cho * Lấy ví dụ:
1 − qn
u
S
=
u
+
u
+
u
+
...
+
u
=
n
1
2
3
n
1
học sinh nêu ví dụ:
1− q
* Dẫn dắt đưa tới công * Cùng xây dựng công

Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

thức tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn (un).
1. Cho cấp số nhân lùi
vô hạn (un) có công bội
q tính tổng Sn ?

thức dưới sự hướng dẫn
 u  n
u
= 1 −  1 ÷.q
của giáo viên.
1− q 1− q 
1. Sn = u1 + u2 + u3 + ... +
Vì q< 1 nên lim q n = 0 . Từ đó ta có:
1 − qn
un = u1
u
 u  n
u
1− q
limSn = lim[ 1 −  1 ÷.q ] = 1
1− q
1− q 1− q 
u1  u1  n
−

=
÷.q
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số
1− q 1− q 
nhân
lùi vô hạn (un) và được ký hiệu là
2.Vớiq< 1 thì
2. Vì q< 1 nên lim q n = 0 S = u1 + u2 + u3 + ... + un +...
lim q n = ?
3. limSn = lim[
u1
Như
vậy:
S
=
(q< 1)
3. Tìm limSn
u1
u1  u1  n
1− q
−
.
q
]
=
÷
1 − q Ví dụ6:
1− q 1− q 
a. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô
1

* Ghi nhận kiến thức.
hạn sau: (un ) với un = n
*
Tìm
lời
giải
ví
dụ
6:
3
* Hướng dẫn HS giải ví
b. Tính tổng:
dụ 6:
a.
n −1
1 1 1
a.
 1
S
=
1
−
+
−
+
...
+
−
+ ...


÷
 3
1. Hãy xác định số hạng 1. u1 = 1 , q = 1
3 9 27
3
3
đầu và công bội của cấp
Giải:
1
1
1
1
số nhân đã cho?
+ ... + n a. Vì un = 1 nên u1 = 1 , q = 1 . Do đó:
2. S = + +
2. Từ đó tính tổng?
3 9 27
3
3n
3
3
1
1
u1
1
1 1 1
1
u
1
=

= 3 =
S= + +
+ ... + n = 1 = 3 =
1
1− q 1−
2
3 9 27
3 1− q 1− 1 2
3
3
b.
b.
b.
Các
số
hạng
của
tổng
lập
thành
một
1. Hãy nhận xét về các
1. Các số hạng của tổng
1
số hạng trong tổng S?
lập thành một CSN lùi vô CSN lùi vô hạn với u1 = 1, q = − . Vậy:
3
2. Từ đó tính tổng?
1
n

−
1
1 1 1
hạn với u1 = 1, q = − .
S = 1− + −
+ ... +  − 1 ÷ + ...
3
 3
3 9 27
2.
u
1
3
1 1 1
= 1 =
=
S = 1− + −
+
1− q 1+ 1 4 .
3 9 27
3
n −1
 1
 3

... +  − ÷

=

+ ...

u1
1
3
=
=
1− q 1+ 1 4
3

Hoạt động 2: IV. Giới hạn vô cực.
1. Định nghĩa. 17’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS

Ghi bảng


Giáo án - Giải tích 11
Yêu cầu HS thực hiện nội
dung hoạt động 2 theo
nhóm đã chia.
Theo dõi và điều chỉnh
quá trình làm việc theo
nhóm của học sinh
* Nêu nhận xét: Ta nói
dãy số (un ) như trên được
gọi là có giới hạn +∞ khi
n dần về vô cùng.
* Từ đó cho học sinh nêu
định nghĩa

Vấn đáp: lim un = +∞ thì
lim(−un ) = ?
* Nêu nhận xét.
* Cho học sinh tìm hiểu ví
dụ 6 SGK
un = n 2 có thể lớn hơn
một số dương bất kỳ kể
từ một số hạng nào dó trở
đi.
1. un = n 2 > 10000 kể từ
số hạng thứ nào?
2. un = n 2 > 1030 kể từ số
hạng nào?

Hoạt động của GV
Giáo viên đưa ra các giới
hạn đặc biệt.

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

Thực hiện hđộng 2 theo
nhóm đã chia:
Đáp án:
a) Khi n tăng lên vô hạn thì
un cũng tăng lên vô cùng.
b) n > 364.1010
Nhận xét kết quả hoạt
động của các nhóm
* Chú ý lắng nghe.
* Phát biểu định nghĩa.

Đáp án:

lim(−un ) = −∞

Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ khi
n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó
trở đi.
Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ khi
n → +∞
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn -∞
khi n → +∞ nếu lim(-un) = +∞
Kí hiệu: limun = ∞ hay un → -∞ khi
n → +∞
Nhận xét: limun = +∞ ⇔ lim(-un) = - ∞
Ví dụ 7: (VD6 SGK)

* Tìm hiểu ví dụ 6 SGK

1. un = n 2 > 1000000 kể từ
số hạng 1001 trở đi
2. un = n 2 > 1030 kể từ số
hạng 1015 + 1 trở đi.
2. Một vài giới hạn đặc biệt. 3’
Hoạt động của HS
Ghi bảng
k
* Chú ý và ghi nhận.
a/ limn = + ∞ với k nguyên dương
b/ limqn = + ∞ nếu q > 1

3. Định lí. 16’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Cho học sinh đọc * Đọc định lí trong
định lí trong SGK
SGK và ghi nhận
kiến thức.

Ghi bảng
un
=0
a/ Nếu . lim un = a, lim vn = ±∞ .thì lim
vn
b/ Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0, vn > 0 với mọi n


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

un
= +∞
thì lim
vn
c/ Nếu lim un = +∞,lim vn = a,a > 0
thì limunvn = +∞
* Yêu cầu HS thực
hiện theo nhóm (mỗi * Thực hiện ví dụ
bàn là một nhóm) ví trên theo nhóm:

+ Tìm lời giải.
dụ sau:
+ Đại diện nhóm
2n + 5
1) Tìm lim n
trình bày kết quả.
n.3
+ Nhận xét lời giải.
3
2n − n
2) Tìm lim 2
n +3

3)
4

Tìm

3

lim( − n + 2 n − 1)

Ví dụ 8:
5
2+
2
n
+
5
1) lim

= lim n n = 0
n
n.3
3
1
2−
3
2
2n − n
n
lim
=
lim
= +∞
2)
1 1
n2 + 3
−
n n3
2 1 
 4
4
3
3) lim(−n + 2n − 1) = lim  − n (1 − − 4 )  = −∞
n n 


Chọn 2 kết quả (khác
nhau) và yêu cầu các
nhóm còn lại nhận xét.

* Củng cố : (2’)
- Các định nghĩa và định lí
- Các giới hạn đặc biệt.
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)
- Xem lại lí thuyết: .
- Làm bài tập sách giáo khoa trang 121 + 122.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

TIẾT 51: §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

1.Về kiến thức:
- Nắm vững các khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số.
- Nắm được các định lí về giới hạn và các giới hạn đặc biệt.
- Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó.
- Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Về kỹ năng:
- Biết vận dụng các định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là giới hạn của một dãy số.
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ: 6’
2.1. Câu hỏi: Hãy nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn và công thức xác định tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn?
2.2. Đáp án:
* Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
un = 0 hay un → 0 khi n → +∞
Kí hiệu: lim
x →∞
* Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n → +∞, nếu
lim (vn − a) = 0

x →+∞

vn = a hay vn → a khi n → +∞.
Kí hiệu: xlim

→+∞
* Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với số hạng đầu u1 và công bội q:
u
S= 1
(q< 1)
1− q

3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: Bài tập 1. (SGK-121) 10’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Gọi một học sinh đọc * Đọc đề bài toán.

Ghi bảng
a) Ta có:


Giáo án - Giải tích 11
đề bài toán.
* Hướng dẫn HS tìm
lời giải:
1. Hãy xác định u1, u2,
u3, từ đó suy ra công
thức của un ?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

* Tìm lời giải bài toán dưới sự
hướng dẫn của giáo viên.
1. Ta có:

1
1 1
u1 = , u2 = = 2 ,
2
4 2
1 1
u3 = = 3 ,...
8 2
1
Từ đó suy ra: u4 = n
2
2. Để chứng minh một dãy số (un)

2. Hãy nêu cách chứng
minh một dãy số có
giới hạn là 0? Từ đó áp
dụng vào bài toán?
( GV có thể cho HS áp
dụng các giới hạn đặc
biệt vào CM bài toán).

có giới hạn là 0 ta chứng minh |un|
có thể nhỏ hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào đó.
Chẳng hạn:
1
1
un = n = n < 0,000001
2
2

1
1
hay un = n <
2 1000000
với mọi n thoả mãn
2n >100000 hay n > 20.
(vì 220 = 1048576) .
Hoặc: Áp dụng giới hạn đặc biệt
lim q n = 0, q < 1 ta có:

1
1 1
u1 = , u2 = = 2 ,
2
4 2
u3 =

1 1
= ,...
8 23

1
2n
B) Áp dụng giới hạn đặc biệt
lim q n = 0, q < 1 ta có:
Từ đó suy ra: u4 =

n

1

lim un = lim  ÷ = 0
2
c)
un < 10−6 ( g ) = 10−9 (kg ) =

1
1
< 9 , tức là với mọi
n
2 10
n thỏa mãn 2n >109 hay
n > 30 (vì 230 = 1073741824).
Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm
thì chất phóng xạ không còn độc
hại đối với con người.
hay: un =

n

1
lim un = lim  ÷ = 0
2
3.
un < 10−6 ( g ) = 10−9 (kg ) =

1
(kg )
109

1

1
<
, tức là với mọi
3. Chất phóng xạ không
2n 109
còn độc hại đ/v con
n thỏa mãn 2n >109 hay
người khi nào? Từ đó
n > 30 (vì 230 = 1073741824).
hãy tìm giá trị n tương Vậy sau 30 x 24000 = 720000 năm
ứng để suy ra số năm?
thì chất phóng xạ không còn độc
hại đối với con người.
hay: un =

Hoạt động 2: Bài tập 2. (SGK-121) 6’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS

1
(kg )
109

Ghi bảng


Giáo án - Giải tích 11
* Gọi một học sinh đọc đề
bài toán.
* Hướng dẫn HS tìm lời

giải:
1. Hãy nêu cách chứng minh
một dãy số (un) có giới hạn
là a?
2. Từ đó hãy chứng minh
lim (un – 1) = 0 ?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

* Đọc đề bài toán.
* Tìm lời giải bài toán dưới sự
hướng dẫn của giáo viên.
1. Để chứng minh một dãy số
(un) có giới hạn là 0 ta chứng
minh lim (un – a) = 0.
1
1
2. Vì lim 3 = 0 nên 3 có thể
n
n
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hạng nào đó. (1)
Mặt khác, ta có
1
1
un − 1 < 3 = 3 với mọi n. (2)
n
n
Từ (1) và (2) suy ra: un − 1 có
thể nhỏ hơn một số dương bé

tùy ý, kể từ một số hạng nào đó.
Vậy lim (un – 1) = 0
hay lim un = 1.

Hoạt động 3: Bài tập 3. (SGK-121) 15’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Chia lớp thành 4 nhóm, * Nghe và hiểu nhiệm vụ.
mỗi nhóm làm một ý.
* Quan sát việc tìm lời
* Thảo luận tìm lời giải bài
giải của các nhóm, chỉnh toán một cách nhanh nhất.
sửa kịp thời các sai lầm
(nếu có).
* Gọi đại diện các nhóm * Cử đại diện nhóm lên
trình bày bài giảng.
trình bày lời giải.
* Nhận xét, đánh giá.
* Chỉnh sửa hoàn thiện.
* Ghi nhận kết quả.

1
1
= 0 nên 3 có thể
3
n
n
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hạng nào đó. (1)
Mặt khác, ta có

1
1
un − 1 < 3 = 3 với mọi n. (2)
n
n
Từ (1) và (2) suy ra: un − 1 có
thể nhỏ hơn một số dương bé
tùy ý, kể từ một số hạng nào đó.
Vậy lim (un – 1) = 0
hay lim un = 1.
Vì lim

Ghi bảng
1 lim  6 − 1 
6−

÷
6n − 1
n

n
a ) lim
= lim
=
2
2
3n + 2

3+
lim  3 + ÷

n
n

6
= =2
3
1 5
3+ − 2
2
3n + n − 5
n n
b) lim
= lim
2
1
2n + 1
2+ 2
n
1 5

lim  3 + − 2 ÷
n n  3

=
=
1 
2

lim  2 + 2 ÷
n 


n
3
 ÷ +5
3n + 5.4n
4
c) lim n
= lim   n =
n
4 +2
1
1+  ÷
2


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

  3 n

lim   ÷ + 5 ÷
 4 
÷ 5

 = =5
=
n
 1  1
lim 1 +  ÷ ÷

 2 ÷


9n − n + 1
= lim
4n − 2
2

d ) lim

=

Hoạt động 4: Bài tập 4. (SGK-122) 4’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Hướng dẫn HS về nhà làm: * Chú ý lắng nghe:
a) 1. Hãy cho biết số đo cạnh * Ghi tóm tắt hướng dẫn.
của các hình vuông 1, 2, 3,
… , n, … ?
2. Từ đó suy ra diện tích của
chúng?
b) Áp dụng công thức tổng
của cấp số nhân lùi vô hạn.
Vậy hãy xác định u1 và q?

1 1
+
n n2 =
2
4−

n

9−

1 1
+
n n2 = 3
2
4

lim  4 − ÷
n


lim 9 −

Ghi bảng

* Củng cố : (2’)
- Các định nghĩa và định lí
- Các giới hạn đặc biệt.
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)
- Xem lại lí thuyết
- Xem lại các bài đã chữa, chuẩn bị các bài tập 5, 6, 7, 8 sách giáo khoa trang 121 + 122.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

TIẾT 52: §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiếp theo)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Nắm vững các khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số.
- Nắm được các định lí về giới hạn và các giới hạn đặc biệt.
- Nắm vững khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó.
- Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn.
2.Về kỹ năng:
- Biết vận dụng các định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là giới hạn của một dãy số.
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ: 5’
2.1. Câu hỏi: Giải bài tập 5 (SGK – 122) ?
2.2. Đáp án:
Các số hạng của tổng lập thành cấp số cộng lùi vô hạn với u1 = -1, q = −
Vậy:

S = −1 +

1
1
(−1) n
u
− 2 + ... + n −1 + ... = 1 =
10 10
10
1− q

1
.
10

−1
10
=−
11
 1
1−  − ÷
 10 

3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: Bài tập 6. (SGK-122) 10’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
* Gọi một học sinh đọc đề
* Đọc đề bài toán.
Ta có:
bài toán.
* Tìm lời giải bài toán dưới sự 1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +…
1
1
1
* Hướng dẫn HS tìm lời
hướng dẫn của giáo viên.
= 1+ +
+
+ ...
giải:
1. Ta có:
50 5000 500000
1. Ta có thể phân tích 1,02… 1,02… = 1+ 0,02 + 0,0002 +…


Giáo án - Giải tích 11
thành tổng của các số hạng
nào?
2. Hãy nhận xét tổng:
1

1
1
+
+
+ ... có gì
50 5000 500000

đặc biệt và hãy tính tổng đó.

3. Vậy 1,02…= ?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh
= 1+

1
1
1
+
+
+ ...
50 5000 500000

2. Ta có:
1
1
1
+
+
+ ... là tổng
50 5000 500000

của một cấp số nhân lùi vô hạn
1
1
, q=
. Nên:
50
100
1
1
1
u
+
+
+ ... = 1 =
50 5000 500000
1− q
1
2
= 50 =
1
99
1−
100
2 101
3. Vậy: 1, 02... = 1 + =
99 99

với u1 =

Hoạt động 2: Bài tập 7. (SGK-122) 15’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Chia lớp thành 4
* Nghe và hiểu nhiệm
nhóm, mỗi nhóm làm vụ.
một ý.
* Quan sát việc tìm
* Thảo luận tìm lời
lời giải của các
giải bài toán một cách
nhóm, chỉnh sửa kịp nhanh nhất.
thời các sai lầm (nếu
có).
* Gọi đại diện các
* Cử đại diện nhóm
nhóm trình bày bài
lên trình bày lời giải.
giảng.
* Chỉnh sửa hoàn
* Nhận xét, đánh giá. thiện.
* Ghi nhận kết quả.

2 101
=
.
99 99
1
1
1

+
+
+ ... là
Vì
50 5000 500000
= 1+

tổng của một cấp số nhân lùi vô
1
1
, q=
. Nên:
50
100
1
1
1
u
+
+
+ ... = 1 =
50 5000 500000
1− q
1
2
= 50 =
1
99
1−
100

hạn với u1 =

Ghi bảng
  2 1 1 
a) lim ( n 3 + 2n 2 − n + 1) = lim n 3 . 1 + − 2 + 3 ÷
n 
  n n
= +∞
1 
 2 1
3
Vì lim n = +∞, lim 1 + − 2 + 3 ÷ = 1 > 0
n 
 n n

 5 2 
b) lim ( −n 2 + 5n − 2 ) = lim  − n 2 . 1 − + 2 ÷ = −∞
 n n 

 5 2 
2
Vì lim(−n ) = −∞, lim 1 − + 2 ÷ = 1 > 0
 n n 


 1
c) lim n 2 − n − n = lim  n 2 1 − ÷ − n ÷

÷

 n


   1  


 1
= lim  n. 1 − ÷ − n ÷ = lim  n.  1 − ÷ − 1÷ = 0

÷
 n
   n  ÷


 
  1 
=0
Vì lim(n) = +∞, lim  1 − ÷ − 1 ÷
÷
n






 1
d) lim n 2 − n + n = lim  n 2 1 − ÷ + n ÷

÷

 n



(

)

(

)


Giáo án - Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh
   1  
  1

= lim  n. 1 − ÷ + n ÷ = lim  n.  1 − ÷ + 1÷ = +∞
  n
÷

÷


   n   
 
 

1







=2>0
Vì lim(n) = +∞, lim  1 − ÷ + 1 ÷
÷
n

Hoạt động 3: Bài tập 8. (SGK-122) 10’
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Chia lớp thành 4
* Nghe và hiểu nhiệm vụ.
nhóm, hai nhóm làm
một ý.
* Thảo luận tìm lời giải
* Quan sát việc tìm lời
bài toán một cách nhanh
giải của các nhóm,
nhất.
chỉnh sửa kịp thời các
sai lầm (nếu có).
* Gọi đại diện các nhóm * Cử đại diện nhóm lên
trình bày bài giảng.
trình bày lời giải.

* Cho các nhóm nhận
* Chỉnh sửa hoàn thiện.
xét, đánh giá chéo.
* GV đánh giá chung.
* Ghi nhận kết quả.

Ghi bảng

3u − 1 lim u n − lim1 3.3 − 1
a) lim n
=
=
=2
u n + 1 lim u n + lim1 3 + 1

 1
2 
1
2
+ 2 lim  + 2 ÷
v +2
v
vn
 vn vn  =
b) lim n
= lim n
=
1
vn − 1


1 
1− 2
lim 1 − 2 ÷
vn
 vn 
0
= =0
1
 1
2 
Vì lim vn = +∞ nên lim  + 2 ÷ = 0 và
 vn vn 

1
lim 1 − 2
 vn


÷= 1


* Củng cố : (3’)
- Các định nghĩa và định lí
- Các giới hạn đặc biệt.
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)
- Xem lại lí thuyết
- Xem lại các bài đã chữa, chuẩn bị bài “Giới hạn của hàm số”.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………