Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

Giáo án giải tích 11

Chương III.

Giới Hạn Dãy Số

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:

HS nắm được:
- Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số.
- Nắm được các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vơ cực
- Biết khái niệm csn lùi vơ hạn và cơng thức tính tổng của nó
2. Kĩ năng :

-Vận dụng đn chứng minh giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
-Vận dụng các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vơ cực
-Tính được tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vơ hạn
3. Tư duy - thái độ:

- Hiểu được cách tìm giới hạn của dãy số, tư duy logic
- Tích cực trong học tập, nghiên cứu bài trước ở nhà
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: GA + SGK + STK + Bảng phụ các cơng thức và định lí về giới hạn.
2. Học sinh:
-Xem trước bài ở nhà.
-Ơn lại các kiến thức đã học
III. Phương pháp: đàm thoại, gợi mở.
IV. Tiến trình lên lớp:

1. n định, kiểm tra sĩ số:
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Giúp hs nắm vững định nghĩa giới hạn
TG
10’

THẦY

Nêu ví dụ gợi mở là dãy số
1
u n  , được biểu diễn trên
n
trục số
Hs cần chú ý định nghĩa 1 và định
nghĩa 2

TRỊ
Hs chú ý

Hs đọc

NỘI DUNG

II.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ :
1. Định nghĩa 1:
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n
dần tới vơ cực nếu u n có thể nhỏ hơn một
số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó
trở đi

u n  0 hay u n � 0 khi n � �
Ta viết nlim
��
2. Định nghĩa 2:
Ta nói ds ( v n ) có giới hạn a(hay v n dần tới
a) khi n � � nếu

1
lim ?
n
lim C ?

lim

1
0
n

lim C C

lim(v
n ��

n

 a ) =0

v n  a hay vn � a khi n � + �
Kí hiệu: lim
x ��

3.Một vài giới hạn đăc biệt:
1
1
lim  0
lim
0
n �� n
n � � n k
lim q n  0, q  1
n � �

lim c  c

n ��

u n  a ta viết
Chú ý :Từ nay về sau cho nlim
� �
tắc là lim un=a
Hoạt động2: Giúp hs nắm vững định lí về giới hạn hữu hạn


Giáo án giải tích 11
TG
10’

Chương III.

THẦY

Giới hạn của tổng, hiệu, tích,
thương của hai dãy số có giới
hạn bằng

Phân tích lim

1
ra thành
nk

tích ?
Chia cả tử và mẫu cho n2 ?
Chia cả tử và mẫu cho n ?

TRÒ

Giới hạn của tổng, hiệu,
tích, thương của hai dãy
số có giới hạn bằng tổng,
hiệu, tích, thương các
giới hạn củu hai dãy số

2 5
3  2
3n 2  2n  5
n
n

7n 2  n  3 7  1  3
n n2

n 2 1  4n

3n  2

1
4
n2
2
3
n

1

Giới Hạn Dãy Số

NỘI DUNG
II.Định lí về giới hạn hữu hạn:

Định lí1.
Nếu hai dãy số (un) và (vn) có giới hạn thì ta có
lim(un  vn) = limun  limvn
lim(un.vn) = limun.limvn
u
lim u n
lim n 
(nếu limvn  0)
v n lim v n
Nếu dãy số (un) có giới hạn thì
lim u n  lim u n (un  0, n  N*)
Ví dụ :

Tìm các giới hạn sau

2 5
3  2
3n 2  2n  5
n n 3
lim
lim
2
1 3
7n  n  3
7  2 7
n n
1
1 2  4
n 2  1  4n
1 4 5
n
lim
lim


2
3n  2
3
3
3
n

4. Củng cố

-Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số. Vận dụng c m giới hạn của dãy số bằng định nghĩa?
-Vận dụng các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số
5. Dặn dò:
- Làm bài tập 3trang 121, xem tiếp phần bài học còn lại


Giáo án giải tích 11

Chương III.

Giới Hạn Dãy Số

Tiết: 50

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:

HS nắm được:
- Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số.
- Nắm được các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vô cực
- Biết khái niệm csn lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó
2. Kĩ năng :

-Vận dụng đn chứng minh giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
-Vận dụng các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vô cực
-Tính được tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn
3. Tư duy - thái độ:

- Hiểu được cách tìm giới hạn của dãy số, tư duy logic
- Tích cực trong học tập, nghiên cứu bài trước ở nhà
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: GA + SGK + STK + Bảng phụ các công thức và định lí về giới hạn.
2. Học sinh:
-Xem trước bài ở nhà.
-Ôn lại các kiến thức đã học
III. Phương pháp: đàm thoại, gợi mở.
IV. Tiến trình lên lớp:
1. Oån định, kiểm tra sĩ số:
2. Kiểm tra bài cũ:
TG
10’

THẦY
- Gọi hs lên bảng điền vào các
công thức

TRÒ
Gọi hs trả lời

NỘI DUNG

- Viết các công thức về giới hạn đặc biệt, định
lí về giới hạn trên bảng phụ
3n 2  n
- AD: Tính giới hạn sau: lim
1  n2

3. Bài mới:

Hoạt động 1: Giúp hs nắm vững tổng cấp số nhân lùi vô hạn
TG
10’

THẦY
- Giới thiệu csn lùi vô hạn
- Hs nhắc lại công thức tổng n số
hạn đầu cấp số nhân

TRÒ
- Ghi nhận
Sn=u1(

1  qn
)
1 q

NỘI DUNG
III.Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Csn lùi vô hạn (un) có công bội q, với q  1
đgl csn lùi vô hạn
- Tổng của csn lùi vô hạn:
u
S  1 ( q  1)
1 q
ví duï (sgk)

Hoạt đôäng 2: Giúp hs nắm vững giới hạn vô cực
TG

THẦY

TRÒ

20’

Hs đọc định nghĩa gv giải thích
Hs chú ý

Hs đọc

NỘI DUNG
IV.Giới hạn vô cực :
1. Định nghĩa :
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn + �khi n
� �,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất
kì ,kể từ một số hạn nào đó trở đi
KH : lim un= + � hay un � � khi n � �


Giỏo ỏn gii tớch 11
TG

Chng III.

THY

TRề
Hs chỳ ý

Hs c nh lớ gv gii thớch
- Nu lim un=a v lim vn=
thỡ
lim

un
=?
vn

lim

un
=0
vn

- Nu lim un=a nu lim vn=0 v

un
vn>0 vi mi n thỡ lim
=?
vn

NI DUNG
- Dóy s (un) gl cú gii hn - khi n
nu lim(-un)=+
KH : lim un= - hay un khi n
2. Mt vi gii hn c bit:
lim n k vi k nguyờn dng
lim q n vi q>1

3.nh lớ:
nh lớ 2:
a. Nu lim un=a v lim vn=
thỡ lim

un
= +
vn

un
=+
vn
c. Nu lim un=+ v lim vn = a>0 thỡ
lim unvn=+
n thỡ lim

lim unvn= +

Vớ

d.

Tỡm

lim( 3 n 2
Gii

5

( 3 n 2)3 ( 3 n )3

3

(n 2) 2 3 n 2. 3 n 3 n 2

3

n 3 2n 1
lim 2
2n n 3

n)

?

Tửỷ dan tụựi 2 vaứ
maóu dan tụựi

b. lim( 3 n 2

3

n)

(3 n 2

3

n )[ 3 (n 2) 2 3 n 2. 3 n 3 n 2 ]

lim

lim

3

(n 2) 2 3 n 2. 3 n 3 n 2

( 3 n 2)3 ( 3 n )3
3

(n 2) 2 3 n 2. 3 n 3 n 2

(t dn ti 2 v mu dn ti )
4 . Cng c

- Vn dng cỏc nh lớ gii hn tỡm gii hn ca cỏc dóy s ; t bit l dóy s dn ti vụ cc
- Tớnh c tng cỏc s hng ca cp s nhõn lựi vụ hn
5 Dn dũ:

Hc bi v xem bi tp 3,4,5,6,7trang 119

Tit: 51-52

;

2 1
1 2 3
n 3 2n 1
n
n
lim

a. lim 2
2
1
3
2n

n

3
Tửỷ dan tụựi 1 vaứ
2 3
maóu dan tụựi 0
n n
n
(t dn ti 1 v mu dn ti 0)

2 1
1 2 3
n
n ?
lim
2 1
3
2 3
n n
n

lim

un

=0
vn

b. Nu lim un=a nu lim vn=0 v vn>0 vi mi
lim

- Nu lim un=+ v lim vn = a>0
thỡ lim unvn= ?

Gii Hn Dóy S

0


Giáo án giải tích 11

Chương III.

Giới Hạn Dãy Số

§1 GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:

HS nắm được:
- Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số.
- Nắm được các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vơ cực
- Biết khái niệm csn lùi vơ hạn và cơng thức tính tổng của nó
2. Kĩ năng :

-Vận dụng đn chứng minh giới hạn của dãy số bằng định nghĩa
-Vận dụng các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vơ cực
-Tính được tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vơ hạn
3. Tư duy - thái độ:

- Hiểu được cách tìm giới hạn của dãy số, tư duy logic
- Tích cực trong học tập, nghiên cứu bài trước ở nhà
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: GA + SGK + STK + Bảng phụ các cơng thức và định lí về giới hạn.
2. Học sinh:
-Xem trước bài ở nhà.
-Ơn lại các kiến thức đã học
III. Phương pháp: đàm thoại, gợi mở.
IV. Tiến trình lên lớp:
1. n định, kiểm tra sĩ số:
2. Kiểm tra bài cũ:
TIẾT 51
TG
THẦY
TRỊ
NỘI DUNG
10’ - Gọi hs lên bảng điền vào các
- Lên bảng trình bày
- Điền vào các cơng thức trên bảng phụ
cơng thức
-AD: Tính giới hạn: lim(n3+2n2 – n +1)
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Giúp hs nắm vững đònh nghóa giới hạn và các tính chất
TG

THẦY

TRỊ

30’

lim

7n 2  3n
?
n2  2

3
n  7  0 7
lim
2
1 2 1 0
n
7

NỘI DUNG
Bài 3. Tìm
2n 2  1
7n 2  3n
6n 3  2n  1
a. lim 2
; b. lim
;
c.
;

lim
n 2
2n 3  n
n 3  3n  3

n 1
3 n  5 .4 n
; e. lim( n 2  n  n) f) lim n
4  2n
n 1
2n 2  1
lim 3
?
3
2 1
n  3n  3
7
2
 3
7n  3n
00
n  7  0 7
lim
lim n n

0 Giải. a. lim 2
3 3 1 0  0
2
n 2
1 2  3

1 2 1 0
n
n
- Câu b) hs về nhà tương tự
n
- Cho hs hoạt động nhóm- - Ghi nhận
2 1
 3
- Hoạt động nhóm –trình
trình bày kết quả câu c)
2n 2  1
00
n
n
bày kết quả
lim

lim

0
c.
3
3
3
n  3n  3
1

0

0

1 2  3
n
n
- Hướng dẫn hs làm câu d)e)
1
1
1
n 1
n. 1 
1
1
lim
?
n

1
n lim
n  1  0 1
n  1  0 1 d. lim
lim
n 1
lim
1
1
n 1
1
n.(1 
)
(1 
) 1 0

(1 
) 1 0
n
n
n
lim( n 2  n  n) ?
d. lim


Giáo án giải tích 11
TG

Chương III.

THẦY

TRÒ
2

lim

( n 2  n  n)( n 2  n  n)
( n 2  n  n)

lim
?

Giới Hạn Dãy Số

NỘI DUNG

2

( n  n  n)( n  n  n)
2

( n  n  n)
1
1
1
lim


1
1  0 1 2
1  1
n

- Hướng dẫn hs làm bài

- Quan sát – ghi nhận

2
e. lim( n  n  n) lim

( n 2  n  n)( n 2  n  n)

( n 2  n  n)
n
n
lim

lim
2
1
( n  n  n)
n( 1   1)
n
1
1
1
lim


1
1  0 1 2
1  1
n

3
4 n [( ) n  5]
4
5
f) lim
1 n
n
4 [1  ( ) ]
2

TIẾT 52
Hoạt động3: Giúp hs nắm vững định lí về giới hạn hữu hạn
TG

THẦY

TRÒ

NỘI DUNG

30’

Bài 5. Tìm a. lim

lim

3n 2  1 
n

n2  1

?

3n 2  1 
n

n 2  1 ; b.

lim( 3 n 3  2n 2  n) ; c. lim n( n 2 1 

n 2  2) ;

Giải

lim

lim( 3 n 3  2n 2  n) =?

( 3n 2  1 

n 2  1)( 3n 2 1  n 2  1)

n( 3n 2  1  n 2  1)

2
2 2
n
lim
1
1
3  2  1 2
n
n
= 3 1

lim

( 3 n 3  2n 2  n)( 3 (n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 )
( 3 (n 3  2n 2 )2  n 3 n 3  2n 2  n 2 )

2 2 3
2
)  1  1
n

n
2
2


2
3
3
3
(1  0)  1  0  1
3

?

n 2  2) =

. a. lim

(1 

n( n 2  1 

n 2  2)( n 2 1  n 2  2)

( n 2 1  n 2  2)

3

lim
1

1
2
 1 2
2
n
n



3
2

n  1)( 3n 2 1  n 2  1)

n( 3n 2  1  n 2  1)
2
2
n 2 (2  2 )
2 2
n
n
lim
lim
1
1
1
1
n2 ( 3  2  1 2 )
3  2  1 2

n
n
n
n
20
2


 3 1
3  0  1 0
3 1
( 3 n 3  2n 2  n)( 3 (n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 )

b. lim

( 3 (n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 )

(n 3  2n 2 )  n 3

lim
lim


lim

2

( 3n  1 

2

lim

lim n( n 2  1 

2

( 3 (n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 )

 2n 2
2
lim
2
2
2 2 3
2
3 (1 
n 2 ( 3 (1  ) 2  3 1  1)
)  1  1
n
n
n
n

2
3

(1  0) 2  3 1  0  1

c. lim

n( n 2  1 

lim



2
3

n 2  2)( n 2  1  n 2  2)

( n 2  1  n 2  2)
n(n 2  1  (n 2  2)
2

2

n 1  n  2

3

lim
1

1
2
 1 2
2
n

n



3
2


Giáo án giải tích 11

Chương III.

Giới Hạn Dãy Số

Hoạt động 4: Giúp hs tính tổng của csn lùi vô hạn
TG
THẦY
10’ - Hướng dẫn hs tính tổng.
U1 = ?
q=?
Aùp dụng công thức tính tổng?

TRÒ
- Quan sát
U1 = -1

q 

1
10

- Tính tổng

NỘI DUNG
Bài 5/ sgk
Tính tổng S  1 
Kq: S 

1
1
( 1) n
 2  ...  n  1  ...
10 10
10

10
11

4. Củng cố: (5’)

- Nắm được định nghĩa giới hạn của dãy số. Vận dụng c m giới hạn của dãy số bằng định nghĩa?
- Vận dụng các định lí giới hạn để tìm giới hạn của các dãy số ; đặt biệt là dãy số dần tới vô cực
- Tính được tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn
5. Dặn dò:

Học bài, làm tiếp các bài tập còn lại và xem bài mới