Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN

Chương 4: Giới Hạn
BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A.MỤC TIÊU:
1.Kiến thức:
 Thông qua các ví dụ va minh họa cụ thể, HS hiểu được khái niệm giới hạn dãy số
 Nắm vững dịnh nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.
 Biết được một số tính chất của dãy
2.Kỹ năng: Vận dụng định nghĩa và tính chất để tính giới hạn các dãy số đơn giản
3.Thái độ: Cẩn thận và chính xác.
B.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
1.Giáo viên: SGK, giáo án, bảng phụ, phấn màu, phiếu học tập
2.Học sinh: Ôn tập kiến thức dãy số và nghiên cứu bài mới ở nhà
C.TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Ổn định lớp:
 Kiểm tra sỉ số, ghi nhận HS nghỉ và tình hình tự ý bỏ tiết
 Nắm tình hình chuẩn bị học tập ở kỳ II của HS
2. Kiểm tra bài cũ: Cho dãy số (un) với un =

1
. Viết các số hạng u10, u20, u30, u40, u50,u60
n

u70, u80,u90, u100?
3. Tiến hành bài mới:
HOẠT ĐỘNG GIÁO
VIÊN

HOẠT ĐỘNG HỌC SINH

TÓM TẮT GHI BẢNG

1. Hãy lập bảng giá trị của un khi n nhận các giá trị 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. (viết un dưới
dạng số thập phân, lấy bốn chữ số thập phân)
a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi trở nên rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng un nào đó của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
+ Treo bảng phụ hình biểu + Điền kết quả vào bảng
diễn (un) trên trục số
n
10
20
30
un 0,1
0,05
0,0333
n
40
50
60
uu 0,025 0,02
0,0167
n
70
80
90
u
0,014
0,0125

0,0111
n
?a. Hãy thảo luận và trả lời
Khi
n trở nên rất lớn thì khoảng
câu a)
cách từ un tới 0 càng rất nhỏ.

un 〈 0,01 ⇔

1
〈 0, 01
n

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA
DÃY SỐ
+ 1) Định nghĩa:


GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN
⇔ n > 100

?b. Hãy thảo luận và trả lời
câu b)
+ Thuyết trình:
- Ta cũng chứng minh được
1
rằng un =

có thể nhỏ
n
hơn một số dương bé tuỳ ý,
kể từ một số hạng nào đó trở
đi, nghĩa là

u n có thể nhỏ

hơn bao nhiêu cũng được
miễn là chọn n đủ lớn. Khi
đó ta nói dãy số (un) với un =
1
có giới hạn là 0 khi n dần
n

+ Bắt đầu từ số hạng u 100 trở đi
thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ
hơn 0,01
Tương tự , ta cũng có:

un 〈 0,001 ⇔ n 〉 1000
TL:
TLời
a) Khoảng cách từ un tới 0 càng
rất nhỏ.
b) Bắt đầu từ số hạng u100 trở đi
thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ
hơn 0,01
Bắt đầu từ số hạng u1000 trở đi thì
khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn

0,001

tới dương vô cực.
- Từ đó cho học sinh nêu đ/n
dãy số có giới hạn là 0.
+ G/v chốt lại đ/n

ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0
khi n dần tới dương vô cực nếu
u n có thể hơn một số dương bé
tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó
trở đi.

u n = 0 hay
Kí hiệu: nlim
→+∞
u n → 0 khi n → +∞
+ Yêu cầu HS đọc hiểu VD1
+
Thực
hiện
nhiệm
vụ
SGK
+ Giải thích thêm để học
sinh hiểu VD1. Và nhấn
mạnh: “ u n có thể hơn một
số dương bé tuỳ ý, kể từ một
số hạng nào đó trở đi"

?: Có nhận xét gì về tính
tăng, giảm và bị chặn của
+ Dãy số ở HĐ1 là dãy giảm và
dãy số ở HĐ1 và ở VD1?
bị chặn, còn dãy số ở VD1 là dãy
không tăng, không giảm và bị
chặn
1
2. Cho dãy số (un) với u n = 2 + . Dãy số này có giới hạn như thế nào?
n

+ Để giải bài toán này ta
nghiên cứu ĐN2
+ Yêu cầu đọc hiểu Ví dụ 2 + Thực hiện nhiệm vụ

ĐỊNH NGHĨA 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a
(hay vn dần tới a) khi n → +∞ , nếu


GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN
lim ( v n − a ) = 0

(SGK)
+ GV giải thích thêm sự vận
dụng Đ/n 2 trong c/m của ví
dụ 2

n → +∞

v n = a hay
Kí hiệu: nlim
→+∞

vn → a khi n → +∞

1
, k ∈Z +
nk
a) Dãy số này có giới hạn như thế nào?
b) Nếu un = C (C là hằng số) thì (un) có giới hạn là gì ?

3. Cho dãy số (un) với un =

+ Vận dụng ĐN1 để thực
hiện a)

+Ta có:
1 1
un = k 〈
∀n ∈ N *
n
n
Do đó dãy số này có giới hạn
là 0

2) Một vài giới hạn đặc biệt

+ Vận dụng ĐN2 để thực
hiện b)

q n = 0 nếu q 〈 1
+ Lúc này dãy (un) có giới hạn b) nlim
→ +∞
là c
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì
*
lim u n = a = lim c = c
Vì un − C = 0 ∀ n ∈ N

1
=0;
n → +∞ n
1
lim k = o , ∀ k ∈ Z +
n→+∞ n

a) lim

n →+∞

n →+∞

CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho

lim u n = a , ta viết lim un = a

n → +∞

D. CỦNG CỐ - HƯỚNG DẪN VÊ NHÀ:
Đ/n giới hạn hữu hạn của dãy số: “|un| có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý, kể từ một số hạng
nào đó trở đi”.
Các tính chất về giới hạn hữu hạn.
Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK


GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)
A.MỤC TIÊU:
1.Kiến thức:Một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn
 Thông qua các ví dụ va minh họa cụ thể, HS hiểu được khái niệm giới hạn dãy số
 Nắm vững dịnh nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.
 Biết được một số tính chất của dãy
2.Kỹ năng: Cách tính giới hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
3.Thái độ:
 Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgich, khả năng phân tích , tổng hợp
 Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học
B.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
1.Giáo viên: SGK, giáo án, bảng phụ, phấn màu, phiếu học tập
2.Học sinh: Ôn tập kiến thức dãy số và nghiên cứu bài mới ở nhà
C.TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Ổn định lớp:
 Kiểm tra sỉ số, ghi nhận HS nghỉ và tình hình tự ý bỏ tiết
 Nắm tình hình chuẩn bị bài ở nhà của học sinh

2. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Phát biểu định nghĩa giới hạn dãy số và viết công thức các giới hạn đặc biệt .

2n + 1 2
=
n →∞ 3n + 4
3

HS2: Chứng minh rằng : lim
3. Tiến hành bài mới:
HOẠT ĐỘNG GIÁO
VIÊN

HOẠT ĐỘNG HỌC SINH

TÓM TẮT GHI BẢNG

1(Nêu vấn đề dẫn đến các định lí về giới hạn hữu hạn)
+ Ghi nhận kiến thức
+ Việc tìm giới hạn bằng
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
đinh nghĩa khá phức tạp,
HỮU HẠN:
vì thế ngoài việc sử dụng
1.Định lí: (SGK)
các giới hạn đặc biệt ta
thường dùng các định lí
+ HS trao đổi nhóm và trình
sau đây
2. Ví dụ: Tính các giới hạn sau

bày
bài
giải
+ Phát phiếu học tập số 1
2n 2 − n + 1
2
a/ lim
2
n
−
n
+
1
+ Cho học sinh thực hành
1 + n2
n →+∞
a/ xlim
2
→∞ 1 + n
theo nhóm trên cơ sở các
1 + 3n 2
b/
lim
ví dụ sgk
1 3
n →+∞ 1 − 5n
2− + 2
+ Hướng dẫn cách giảỉ:
n n =2
= lim

( Phiếu học tập số 1 )
n →∞
1
+ Chia cả tử và mẫu cho n2
+
1
+ Áp dụng các định lí và
n2
suy ra kết quả
b/ Chia cả tử và mẫu cho n :


GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN
1 + 3n 2
lim
n →+∞ 1 − 5n
1
+3
2
− 3
n
= lim
=
n →+∞
1
5
−5
n

2. (Hình thành khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn)
1 1 1
1
1 1
1
1
Cho hai dãy số: A = , , ,..., n ,... và B = 1, − , , − ,..., (− ) n−1 ,... . Hãy tìm công bội hai dãy
2 4 8
2
3 9 27
3

số trên và cho biết các công bội này có nằm trong khoảng (-1; 1) không ?
+ Thực hiện nhiệm vụ:
- Dãy A có

1
q=
2

- Dãy B có q = −

+ Nhấn mạnh đặc trưng
của công bội: −1〈q 〈1
, từ đó hình thành khái
niệm
+ Yêu cầu HS tự cho ví dụ
CSN lùi vô hạn
+ Cho HS tính:

lim ( u1 + u2 + u3 + ... + un )

n →+∞

1
3

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ
NHÂN LÙI VÔ HẠN:
1. Định nghĩa: (SGK)

- Cả hai dãy số đều có công
bội q thoả : −1〈q 〈1
+ Ghi nhận kiến thức

+ Đứng tại chỗ nêu ví dụ
+ Thảo luận, trao đổi theo
nhóm và trình bày:
- Tổng cấp nhân
u1 (1 − q n )
Sn =
1− q
n
lim q = 0, q 〈1
- Tính được :
S = lim S n =

u1
1 −q

+ Ghi nhận kiến thức
+ Chính xác hóa kết quả
của HS và đưa ra công
thức tổng CSN lùi vô hạn

2. Công thức tổng CSN lùi vô
hạn:

u

S = 1 , ( q 〈1)
+ Đọc, nghiên cứu VD-SGK
1−q
và trình bày:
+ Yêu cầu tham khảo ví dụ + Các nhóm hoạt động trao 3. Ví dụ: (SGK)


GIẢI TÍCH 11
sgk , cần xác định u1 và
công bội q

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN
đổi , và trình bày bài giải
1
1
Câu a. u1 = , q =
3
3
Nên

1
1
S= 3 =
1
2
1−
3

Câu b. u1 =1, q = −
Nên

S=

1
1+

1
2

=

1
2

2
3

D. CỦNG CỐ:
- GV dùng bảng phụ (máy chiếu ) để tóm tắc bài học .
- Các bài tập trắc nghiệm để tóm tắc bài học (tự biên soạn ) để kiểm tra học sinh

E. HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ: Về nhà học bài , làm các bài tập sgk , chuẩn bị bài mới .

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt)
A.MỤC TIÊU:
1.Kiến thức:Định nghĩa giới hạn vô cực và các tính chất .
2.Kỹ năng: Biết sử dụng tính chất của giới hạn vô cực vào giải toán.
3.Thái độ: Cẩn thận, chính xác


GIẢI TÍCH 11

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN

B.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS:
1.Giáo viên: SGK, giáo án, bảng phụ, phấn màu, phiếu học tập
2.Học sinh:
 Kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số và các tính chất
 Nghiên cứu bài mới ở nhà
C.TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Ổn định lớp:
 Kiểm tra sỉ số, ghi nhận HS nghỉ và tình hình tự ý bỏ tiết
 Nắm tình hình chuẩn bị bài ở nhà của học sinh
2. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số
3. Tiến hành bài mới:
HOẠT ĐỘNG GIÁO
HOẠT ĐỘNG HỌC SINH
TÓM TẮT GHI BẢNG
VIÊN
+ Giải thích thêm cho h/s

hiểu HĐ2.
+ Nhận xét gì về giá trị un
khi n tăng lên vô hạn?
+ Giải câu b) như thế nào?
Người ta c/m được rằng
n
un= có thể lớn hơn một
10

1(Tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực)
+ Đọc hiểu HĐ2- SGK
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC:
Un cũng tăng lên vô hạn.
Un > 384.109 ⇔
⇔ n >384.1010

n
〉 384.10 9
10

Vậy chồng giấy có bề dày lớn
hơn khoảng cách từ trái đất tới
mặt trăng khi n > 384.1010

số dương bất kỳ kể từ một
số hạng nào đó trở đi. Khi
đó dãy số (un) nói trên
được gọi là dần tới dương
vô cực khi n → +∞
+ Tổng quát em nào có thể + Phát biểu.

nêu được đ/n dãy số dần
tới vô cực?

+ Đ/n dãy số dần tới âm vô + Phát biểu.
cực?
+ H/s tiếp thu kiến thức mới.
+ Giải thích thêm cho HS
hiểu đ/n.
+ Nhấn mạnh: un có thể
lớn hơn số dương bất kỳ,
kể từ một số hạng nào đó
+ Đọc hiểu ví dụ 6.
trở đi.
+ Đưa ra VD6-SGK

1. Định nghĩa:
Dãy số (un) có giới hạn + ∞ khi
n → +∞ nếu un có thể lớn hơn
một số dương bất kỳ kể từ một
số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim un =+ ∞ hay un
→ +∞ khi n → +∞
Dãy số (un) có giới hạn - ∞ khi
n → +∞ nếu lim (un)= + ∞
Kí hiệu: lim un =- ∞ hay un
→ −∞ khi n → +∞
 Nhận xét:
lim un= + ∞ ⇔ lim (-un) =- ∞

GIẢI TÍCH 11

+ ĐVĐ: Tađã biết lim qn
=0 với |q| < 1, còn nếu |q|
> 1 thì sao? Ta thừa nhận
các giới hạn đặc biệt sau:

Nguyễn Văn Chính-THPT SÓC SƠN

+ Tiếp thu kiến thức mới.
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim nk =+ ∞ với k nguyên
dương.
b) lim qn =+ ∞ nếu q >1.
+ Tiếp thu kiến thức mới.

+ Tương tự giới hạn hữu
hạn, ta thừa nhận định lí
sau

3. Định lí
a) Nếu lim un =a và limvn
± ∞ thì lim

un
=0.
vn

b) Nếu lim un =a >0, lim vn
=0 và vn > 0 với mọi n thì

un

+ Đọc hiểu VD 7&VD8
(SGK).
+ Đưa ra VD7, 8 SGK
+ Giải thích thêm cho h/s
hiểu bài.
- Giải ntn?
- Gợi ý: sử dụng định lí 2.

- Giới hạn có kết quả ntn?

lim v = +∞ .
n
c) Nếu lim un =+ ∞ và limvn
=a >0 thì lim unvn =+ ∞

Ta có: -2n2 +20n+11=
20 11
)
+
n n2
Vì lim n2 =+ ∞ và lim
20 11 

+  =-2 < 0 nên
− 2+
n n2 

20 11 


lim n2  − 2 + + 2  = −∞
n n 

2
Vậy lim (-2n +20n +11) =- ∞

n2 (-2 +

D. CỦNG CỐ - HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:
+ Đ/N giới hạn vô cực: "un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hang nào đó trở
đi ⇔ lim un =+ ∞ "
+ Các tính chất của giới hạn.
+ Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK.