Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 1: Giới hạn của dãy số Toán giải tích 11

GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
CHƯƠNG IV:
GIỚI HẠN
Tiết 49 :
GIỚI HẠN DÃY SỐ ( Tiết 1 )
Tuần dạy:
I . Mục tiêu:
1. Kiến thức: - Nắm được khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số
- Giới hạn 0, giới hạn đặc biệt, giới hạn khác 0, các định nghĩa 1, 2
- Các ví dụ 1, 2
2-Kĩ năng:
-Áp dụng được vào bài tập
3- Thái độ: -Chính xác , cẩn thận
II-Trọng tâm: Định nghĩa giới hạn của dãy số và các giới hạn đặc biệt.
III- Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện:
2./ Kiểm tra miệng:
3./ Giảng bài mới
I - KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1 - Giới hạn 0
Hoạt động 1:
Cho dãy số ( un) với un =

1
. Hãy dùng máy tính CASIO fx - 570 MS tính các giá trị của dãy số
n

và ghi kết quả vào bảng:
un
Giá trị của un

u1
1
u2
0,5
u3
0,333 333 333
u4
0,25
u5
0,2
u6
0,166 666 666

un
u40
u60
u80
u100
u1000
u10000

Giá trị của un
0, 025
0. 016 666 666
0, 012 5
0, 01
0, 001
0, 000 1

u7

0, 142 857 142

u100000

0, 000 01

u8

0, 125

u1000000

0, 000 001

u9

0, 111 111 111

u100000000

0, 000 000 1

u10

0, 1

u100000000

0, 000 000 01

u20 0, 05
u1000000000
0, 000 000 001
a) Quan sát cột các giá trị của un, nhận xét các giá trị đó khi các giá trị của n tăng dần ?
b) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5, u10 trên trục số và nhận xét về sự thay đổi các khoảng
cách từ các điểm đó đến điểm 0 ?
c) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy thì khoảng cách từ u n đến 0 lần lượt nhỏ hơn 0, 001
và 0, 000 000 01 ? Có nhận xét gì về khoảng cách này khi n tăng dần và trở
nên rất lớn ?
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ :
túi để tính toán:


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
Dùng chương trình CALC trên máy tính fx
-570 MS:
- Thực hiện tính toán trên máy tính bỏ túi
theo sự hướng dẫn của giáo viên.
- Phát vấn: các câu hỏi a) b) c)
- Trả lời các câu hỏi đặt ra của hoạt động:
a) Các giá trị nhỏ dần khi n tăng dần.
b) Khoảng cách từ các số hạng u1, u2, u3, u4,
u5, u10 đến điểm 0 nhỏ dần khi n tăng dần.
c) Bắt đầu từ u10 000 thì:
| u10 000 - 0 | < 0, 001
Bắt đầu từ u1000 000 000 thì:
| u1000 000 000 - 0 | < 0, 000 000 001

Nhận xét được: Khi n trở nên rất lớn thì các
khoảng cách này xấp xỉ 0
Hoạt động 2:Cho dãy số ( un) với un

 1
=

n

1  ALPHA A
CALC nhập 1 ấn =
ghi kết quả 1, ấn tiếp CALC nhập 2 ấn =
ghi kết quả 0,5 ...
- Đưa ra khái niệm dãy ( un) với un =
hạn 0 

1
có giới
n

1
 0 nhỏ hơn bất cứ một số dương
n

nhỏ tùy ý cho trước, bắt đầu từ một chỉ số n nào
đó trở đi.
Nhận xét được: Khi n trở nên rất lớn thì các
khoảng cách này xấp xỉ 0

n

.

a) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy thì khoảng cách từ un đến 0 lần lượt nhỏ hơn 0, 01; 0, 000
01
b) Với số dương  bất kì, có thể tìm được chỉ số n để khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ hơn số  đó
không ? Chỉ số n đó bằng bao nhiêu ?
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Hướng dẫn học sinh:
a) Xét khoảng cách từ un đến 0:
Xét các bất đẳng thức biểu diễn khoảng cách  1 n
1
0 
 0,01 n > 100  n > 10000 nên
từ un đến 0 với các số 0,01; 0,000 01 và số
n
n
dương tùy ý.
- Gọi học sinh thực hiện giải các bất phương suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 10001 trở đi ta có khoảng
trình tìm n. Đưa ra kết luận của bài toán.
cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01.
- Đặt vấn đề:
Tương tự xét:
n
Dãy đã cho có giới hạn là 0 khi n dần đến + 
1

1
0 

 0,000 01 cho n > 1010 tức là từ số
không ? Tại sao ?
n
n
hạng thứ 1010 + 1 trở đi, ta có khoảng cáh từ u n đến 0 nhỏ
hơn 0, 000 01
b) Với số dương  bất kì, xét:

 1

n

2

1�
0 
  n > �
�
�nên ta có thể chọn n =
n
n

��
1

2
�
�1��
�
� �� 1 ( với kí hiệu[ a] chỉ phần nguyên của số a )

� ��
�
để khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ hơn số  đã cho đó.

- Định nghĩa 1: limun  0 � un  
x��


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
với  là một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở
đi
Kí hiệu: limun  0 ( un � 0 khi n  + )
x��

Hoạt động 3:
1- Chứng minh dãy ( un) với un =

1
có giới hạn 0 khi n dần tới + ?
n

Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
Củng cố:
1
1
  � n  nên bắt đầu từ n =
- Xét
- Định nghĩa giới hạn 0 của dãy số.
n


- Dùng định nghĩa chứng minh một dãy số có
1
giới hạn 0
��
�� 1 trở đi thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ


��

hơn một số dương  bất kì, nên lim
2 - Một vài giới hạn đặc biệt:

lim

n��

1
= 0.
n

1
1
 0; lim m  0 v�
i m�N * ; limqn  0n�
u q 1
n�� n
n��
n

3 - Giới hạn khác 0:
Hoạt động 4:Đọc và nghiên cứu định nghĩa 2 của SGK
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Tổ chức học sinh thành nhóm, đọc và nghiên
cứu định nghĩa 2 của SGK về giới hạn khác 0.
Nếu un = c ( hằng số ) thì limun = c
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh.
- Củng cố định nghĩa 2.
- Đọc và nghiên cứu định nghĩa về giới hạn
khác 0 của SGK theo nhóm được phân công.
- Trả lời câu hỏi của giáo viên.
Hoạt động 5:
2 n1
vn  2
Cho dãy ( vn) với vn =
. Chứng minh rằng nlim
��
n
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Hướng dẫn học sinh sử dụng định nghĩa 2
�2 n  1 �
1
 2�= lim
Xét lim vn  2 = lim �
để chứng minh một dãy có giới hạn khác 0.
� n
�
n

�
�
- Củng cố định nghĩa 2
=0
2 n 1
 2 (đpcm )
Nên suy ra: limvn  lim
n
4.Câu hỏi và bài tập củng cố : Nắm vững định nghĩa
5.Hướng dẫn học sinh tự học: làm bài 1, 6 trang ( SGK


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN

Tiết 50 :
Tuần dạy:
I- Mục tiêu:
1.Kiến thức:

GIỚI HẠN DÃY SỐ ( Tiết 2 )

- Nắm được một số định lí về giới hạn của dãy số và tính được tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn
- Các định lí 1, 2, 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Các ví dụ 3,4,5,6
2.Kĩ năng:
- Áp dụng được vào bài tập
3.Thái độ:
- Chính xác , cẩn thận
II-Trọng tâm: Một số định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

III - Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi.
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện:
- Sỹ số lớp :
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh
2./ Kiểm tra miệng:
Hoạt động 1:
Gọi học sinh lên bảng chữa bài tập số 1 SGK:
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau khoảng một thời gian T = 24 000 năm thì một
nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con
người ( T được gọi là chu kì bán rã ). Gọi u n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ
n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số ( un)
b) Chứng minh dãy ( un) hội tụ về 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban
đầu không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10- 6 g
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Gọi 3 học sinh lên bảng chữa các phần a), b),
1
1
1
a) Ta có: u1 = ; u2 = ; u3 = ; ... nên ta
c) theo trình tự: a � b � c.
2
4
8
- Củng cố khái niệm dãy số có giới hạn 0, giới
1
hạn khác 0.

dự đoán un = n . Ta chứng minh dự đoán
Bản chất của định nghĩa:
2
| un| nhỏ hơn một số dương bất kì đối với dãy un trên bằng quy nạp. Thật vậy, với n = 1 ta có
có giới hạn 0, và | un - a | nhỏ hơn một số dương
1
là một khẳng định đúng.
bất kì đối với dãy un có giới hạn a bắt đầu từ u1 =
2
một chỉ số n0 nào đó trở đi.
Giả sử khẳng định đúng với n = k  1, tức uk
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh trong:
1
+ Trình bày lời giải.
= k là một khẳng định đúng.
+ Ngôn từ diễn đạt.
2
- Dành cho học sinh khá:
1
Ta phải chứng minh uk + 1= k1 . Thật vậy,

2

theo giả thiết quy nạp và theo giả thiết của


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN

1
1 1

1
uk = . k = k1
2
2 2
2
1
1
b) Vì un = n nên limun= 0
(|q|=
<
2
2
bài toán ta có: uk + 1=

1)

c)Ta có 10- 6g = 10- 6. 10- 3kg =

1
kg . Xét
109

1
1
 0  9  2n > 109 nên
n
2
10
n
ta cần chọn n sao cho 2 > 109, chẳng hạn n =

36.
Vậy sau chu kì bán rã thứ 36 thì khối lượng
chất phóng xạ còn lại không còn ảnh hưởng
đến sức khỏe của con người.
( nghĩa là sau 36 �24000 = 864000 năm )
II- MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
Hoạt động 2:
Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 (SGK)
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Tổ chức cho học sinh đọc và nghiên cứu các .
định lí 1, 2, 3 trang 135 của SGK.
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh
- Đọc và nghiên cứu các định lí 1, 2, 3 SGK.
- Thực hành giải toán tìm giới hạn của dãy số
bằng cách áp dụng định lí.
Hoạt động 3:
3n2  n
Tính giới hạn: A1 = lim
1 n2
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Phương pháp: Chia cả tử thức và mẫu thức
Chia cả tử thức và mẫu thức cho n2 ta được:
cho n với mũ cao nhất của tử thức và mẫu A1
=
lim
thức nhằm mục đích sử dụng được dạng giới
� 1�
1

lim�
3 � lim3 lim1
3
hạn:
� n �
n 
n 3
1
1
1
1
�
�
lim
0
 1 lim� 2  1� lim 2  lim1
n��
n
n2
n
�n
�
1
lim
 0 v�
i m�N *
n�� nm
limqn  0n�
u q 1

bất đẳng thức :

n��

III - TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Hoạt động 4:( Dẫn dắt khái niệm )


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN

Cho 2 cấp số nhân ( un) và ( vn) với: un =

1
và vn = 3n. Tìm công bội của các cấp số nhân đó.
n
2

Tính tổng của n số hạng đầu của các cấp số nhân đã cho.

Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Ôn tập về cấp số nhân:
1
Với ( un) tính được: q = ,
Định nghĩa, công sai, tổng Sn.
2
- Thuyết trình định nghĩa về cấp số nhân lùi vô
n
1 � �1 ��
hạn

1 ��
�
n
- Chú ý tính vô hạn của số các số hạng của cấp
2� �
�2 ��
�1 �
Sn =
 1 � �
số nhân lùi vô hạn.
1
�2 �
1
- Đặt vấn đề:
2
Cho cấp số nhân ( un) có vô hạn các số hạng
Với ( vn) tính được:
và | q | < 1, tính Sn ?
3 1 3n
3
q = 3, Sn =
  1 3n
1 3
2
Hoạt động 5:( Dẫn dắt khái niệm )
Cho cấp số nhân: u1 ; u2 ; ... ; un ; ... có công bội q ( | q | < 1 ).
Tính tổng: S = u1 + u2 + ... + un + ...
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
- Hướng dẫn: Tính tổng thông qua việc tìm

u1  1 qn 
�u � n
u
Sn =
 1 � 1 �
q
giới hạn của Sn khi n dần tới +.
1 q
1 q �
1 q �
- Chia nhóm để học sinh thảo luận, nghiên cứu
- Tìm limSn:
bài toán và đưa ra chương trình giải:
�u1 �u1 � n �
+ Tính tổng Sn.
� �
q �và do | q | < 1,
lim
S
n = lim �
�

�
+ Tìm lim Sn khi n
1 q �1 q � �
�
- Nêu định nghĩa tổng của các số hạng của cấp
u
số nhân lùi vô hạn
nên lim qn = 0, do đó: S = limSn = 1

1 q









Hoạt động 6:Tính các tổng:
n1
1 1 1
1
1 1 1
� 1�
�
�
 n �
�
�
a) S =    �
b) S = 1 -    �
�
�
�
 � �
�
�
3 9 27

3
2 4 8
� 2�
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
Lập chương trình giải bài toán tính tổng S:
1 1 1
1
�
�
; n�
�
�
là một cấp số
+ Bước 1:Xét dãy các số hạng của tổng cần a) Xét dãy: 3; 9 ; 27;�
3
tính: u1; u2; ... ; un; ... nếu là một cấp số nhân lùi
1
1
nhân lùi vô hạn vì u1 =
và q =
(|q|
vô hạn thì chuyển sang bước 2.
3
3
+ Bước 2: Áp dụng công thức S=u1/(1-q)
<1 ),
suy ra : S = 1/2
b) Giải tương tự: S = 2/3
4.Câu hỏi và bài tập củng cố: Cách tính tổng của cấp số nhân

5.Hướng dẫn học sinh tự họcLàm các bài tập 2, 3, 4, 5 ( SGK )
V.Rút kinh nghiệm


GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN

Tiết 51 :
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( Tiết 3 )
Tuần dạy:
I - Mục tiêu:
1.Kiến thức: - Nắm được khái niệm giới hạn  
- Định nghĩa 3, một vài giới hạn đặc biệt ( định lí 4 )
- Các ví dụ 7,8,9,10
2.Kĩ năng:
- Áp dụng được vào bài tập
3.Kĩ năng:
- Chính xác , cẩn thận , suy luận logic
II-Trọng tâm: Giới hạn  .
II - Chuẩn bị của thầy và trò : Sách giáo khoa, máy tính bỏ túi
III. Phương pháp : Phát vấn , hoạt động nhóm
IV - Tiến trình tổ chức bài học :
1./ Oån định tổ chức và kiểm diện: Sỹ số lớp :
- Nắm tình hình sách giáo khoa của học sinh
2./ Kiểm tra miệng:
Hoạt động 1:Tìm các giới hạn:
n
3n  5�
 2  4n
4n5  3n4 n  7
b) A1 = lim

d) A2 = lim
n
n n2  1 5 2n2
4n  10











1 4n �
� 1�
�
n 1
f) A4 = lim �n  �
�
2 �
� n�
�2n �
2n  1
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
n
n
- Gọi 2 học sinh lên bảng chữa bài tập:

�3 �
� 1�
 � 1
Một học sinh chữa phần b) và phần e) một học sinh
�4 � 5�
�
2�
�
�
�
chữa phần d) và phần f)
b) A1 = lim
=-1
n
� 10 �
- Củng cố các định lí về giới hạn.
1 �
�4 �
�
� �

e) A3 = lim

1 7
4  3�  2
n n
d) A2 = lim
=-2
1
�

�
�5
�
1 2 �
�
�n2  2�
� n �
�
�
1 1

n
n =0
e) A3 = lim
1
2
n
2
n  1  1 4n
f) A4 = lim
= - 2
2n3



3. Giảng bài mới
IV - GIỚI HẠN  
Hoạt động 2:( Dẫn dắt khái niệm )
Đọc và nghiên cứu hoạt động 3 ( trang 138 - SGK )




GIÁO ÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CƠ BẢN
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Tổ chức học sinh thành nhóm để đọc, nghiên
cứu, thảo luận hoạt động 3 của SGK.
Định nghĩa 3 ( SGK)
- Phát vấn kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh:
Gọi đại diện cho nhóm ( hoặc cá nhân ) trả lời
câu hỏi.
- Thuyết trình định nghĩa 3 về giới hạn  .
- Đọc và nghiên cứu và thảo luận theo hoạt
động 3 theo nhóm được phân công.
Một vài giới hạn đặc biệt:
Hoạt động 3:
Đọc và nghiên cứu phần giới hạn đặc biệt
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
- Tổ chức học sinh thành nhóm để đọc, Các giới hạn dặc biệt
nghiên cứu, thảo luận phần giới hạn đặc biệt
1
lim
0
- Đọc và nghiên cứu phần giới hạn đặc biệt
n��
n
theo nhóm được phân công.
1

- Trả lời câu hỏi của giáo viên.
lim m  0 v�
i m�N*
n�� n
lim qn  0n�
u q 1
n��
n

limq = +  nếu | q | > 1
4.Câu hỏi và bài tập củng cố:
Hoạt động 4:( Củng cố khái niệm )
Tìm các giới hạn:
2n  5
2n3  n
a) M = lim
b)
N
=
lim
c) P = lim(- n4 + 2n3 - 1 )
2
n�
3n
n 3
Hoạt động của Thầy và trò
Nội dung
Củng cố phương pháp giải bài tập: Chia cả tử
thức và mẫu thức cho n với mũ cao nhất của
5

2

tử thức và mẫu thức nhằm mục đích sử dụng a) M = lim
n0
n
được dạng giới hạn đặc biệt.
3
1
2 2
n  �
b) N = lim
1 3

n n3
� 4� 2 1 �
�
n �
1  4 �
c) P = lim �
�= - 
� � n n �
�
5.Hướng dẫn học sinh tự học:
Bài 7 và các bài còn lại chưa chữa ( SGK )
V. Rút kinh ngiệm: …………..