Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 4: Cấp số nhân

Giáo án Đại số 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

TIẾT 43: §4. CẤP SỐ NHÂN
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Nắm chắc khái niệm cấp số nhân
- Tính chất uk2  uk 1.uk 1 , k �2.
- Số hạng tổng quát un
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n .
2.Về kỹ năng:
- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố u1 , un , n, q, Sn .
- Tính được u1 , q .
- Tính được un , Sn .
3.Về thái độ, tư duy:
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)
3. Dạy bài mới

Hoạt động 1: ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN (15’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Cho học sinh thực hiện
I.Định nghĩa :
hoạt động :
Cho biết số hạt thóc ở
ô 1 có 1 hạt
các ô từ thứ nhất đến
ô 2 có 2 hạt
thứ 6 của bàn cờ?
ô 3 có 6 hạt
ô 4 có 8 hạt
ô 5 có 16 hạt
ô 6 có 32 hạt
1, Định nghĩa
Phát biểu định nghĩa ?
Học sinh phát biểu khái niệm . Cấp số nhân là một dãy số (hữu
hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ
sốhạng thứ hai, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước
nó với một số không đổi d.
Số q được gọi là công bội của cấp


Giáo án Đại số 11

Khi q = 0 thì cấp số
nhân có dạng như thế

nào ?
Khi q = 1 thì cấp số
nhân có dạng như thế
nào ?
Khi u1  0 thì cấp số
nhân có dạng như thế
nào ?
Xét ví dụ/98
Biểu diễn các số hạng
u2 qua u1 và q?
tương tự biểu diễn u3 , u4
, u5 lần lượt qua các số
hạng đứng trước nó?
Kết luận gì về dãy số đã
cho?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

Khi q = 0 thì cấp số nhân có
dạng u1 , 0,..., 0,...
Khi q=1 cấp số nhân có dạng
u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,...

Khi u1  0 thì với mọi q, cấp
số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...

1
u2  1  (4).( );
4
1

1
u3    1.( );
4
4
1
1
1
1
1
1
( )( );
 ( )
16
4
4
64 16 4

số nhân.
Nếu ( un )là cấp số nhân với công
bội d, ta có hệ thức truy hồi:
un1  un.q với n��* (1)
Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng
u1 , 0,..., 0,...

là một dãy số không đổi.
Khi q=1 cấp số nhân có dạng
u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,...
Khi u1  0 thì với mọi q,
cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,...

Ví dụ 1:chứng minh dãy số hữu
hạn sau là một cấp số nhân:
1 1
1
4,1,
  , ,
4 16
64
1
1
1
Giải : vì : 1  (4).( );  1.( );
4
4
4
1
1
1
1
1
1
( )( );
 ( )
16
4
4
64 16 4
1 1
1
  , ,

Nên dãy số 4,1,
4 16
64
1
là một cấp số nhân với công bội q  
4

Hoạt động 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN (10’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Cho HS thực hiện HĐ2. Thực hiện HĐ2:
II. Số hạng tổng quát:
Dự kiến:
HS tính lần lượt số hạt thóc từ
ô số 1 đến ô số 11.
Kết quả: số thóc ở ô số 11 là:
Nêu câu hỏi:
1024.
Bằng cách thực hiện
như vậy ta có dẽ dàng
tính được số thóc ở ô
thứ 64 không?
Có cách tính nào đơn
giản hơn không? Dựa


Giáo án Đại số 11
vào công thức nào?
Giáo viên giải thích các

đại lượng có mặt trong
công thức và cách sử
dụng công thức đó, ghi
bảng.
Hướng dẫn HS cách
chứng minh.
Lấy ví dụ áp dụng:
Nêu Ví dụ 2 trang 100.

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

Cho HS phát biểu ND định lý
1.

Ví dụ 2:
Nhận và tìm hiểu đề bài.
Suy nghĩ và tìm cách giải cho
từng yêu cầu của bài ra.

?. Để tính u7 ta sử dụng
công thức nào? Ta phải
thay các yếu tố nào vào
công thức?
3
?. Nếu ta giả sử số
256
là một số hạng của CSN
thì ta phải có điều gì xảy
ra?

Định lý 1:
Nếu CSN có số hạng đầu u1 và công sai
d thì SHTQ un  u1. p n 1 với n �2

Ta sử dụng công thức (2) để
tính u7 .
3
là một số hạng
256
của CSN thì phải tồn tại số n
để thỏa mãn công thức (2).
Nếu số

n1

3
�1�
Tức là pt: 3. �
 � 
256
� 2�
có nghiệm.

Cho CSN  un  với u1  2; q  

1
2

a. Tính u7 .
3

là số hạng thứ mấy?
256
Lời giải
a. Áp dụng công thức (2) ta có:
b. Hỏi số

6

�1� 3
u7  u1.q  3. �
 � .
� 2 � 64
b. Theo công thức (2), ta có:
6

n 1

3
�1�
un  u1.q
 3. �
 � 
256
� 2�
� n  1  8 hay n  9
3
Vậy số
là số hạng thứ chín.
256
n 1

Hoạt động 3: LUYỆN TẬP (13’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
n 1
Câu hỏi 1:
Đọc nội dung của nhiệm vụ
un  u1.q nên
Em hãy đọc công thức
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:
u3  3  u1.q 2 va u5  27  u1.q 4 vì
n 1
tính số hạng tổng quát?
un  u1.q nên
27   u1.q 2  .q 2 nên q2=9 hay q= �3
Nêu công thức tính u3,
u3  3  u1.q 2 va u5  27  u1.q 4
u5 và tính q?
Thay q2=9 vào công thức chứa u3 ta có
vì
1
u1 
27   u1.q 2  .q 2 nên q2=9 hay
3
Câu hỏi 2: Em hãy tính q= �3

Nếu q=3 ta có cấp số nhân:
u1 ?
Gợi ý trả lời câu hỏi 2:

1
,1,3,9, 27
2
Câu hỏi 3:
Thay q =9 vào công thức
3
1
Em hãy tìm các số hạng

Nếu q=-3 ta có cấp số nhân
chứa u3 ta có u1 
của cấp số nhân đó?
3
1
, 1,3, 9, 27
Gợi ý trả lời câu hỏi3:
3

Nếu q=3 ta có cấp số


Giáo án Đại số 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

nhân:
1
,1,3,9, 27
3


GV Gọi HS đọc

Nếu q=-3 ta có cấp số
nhân

1
, 1,3, 9, 27
3
�
u1q 3  u1q  25
�
b) ta có � 2
u1q  u1  50
�

đề 3b

hay

�
u1q  q 2  1  25
�
� 2
u1  q  1  50
�
�

Thay (2) vào (1) ta
được 50q=25, suy ra q=

Thay (2) vào (1) ta được 50q=25,
25 1
 từ (2) có
50 2
50
50
200
u1  2


q 1 1 1
3 . Ta có cấp số
4
 1
200 100 50 25 25
 2  nhân:  3 ,  3 ,  3 ,  3 ,  6 .

25 1
 từ (2) có
50 2
50
50
200
u1  2


q 1 1 1
3 . Ta
4

có cấp số nhân:


200 100 50 25 25
,
, , , .
3
3
3
3
6

* Củng cố, luyện tập (3’)
- Trình bày định nghĩa cấp số nhân?
- Trình bày định lí 1, 2 và 3?
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)
- Xem lại lí thuyết: .
- Làm bài tập 2,3 sách giáo khoa trang 103, 104.
- Chuẩn bị phần III và IV.

* Rút kinh nghiệm:

�
u1q 3  u1q  25
�
b) ta có � 2
hay
u1q  u1  50
�

�
u1q  q 2  1  25
 1
�
� 2
u1  q  1  50
 2
�
�

suy ra q=


Giáo án Đại số 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

TIẾT 44: §4. CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Nắm chắc khái niệm cấp số nhân
- Tính chất uk2  uk 1.uk 1 , k �2.
- Số hạng tổng quát un
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n .
2.Về kỹ năng:
- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố u1 , un , n, q, Sn .
- Tính được u1 , q .
- Tính được un , Sn .
3.Về thái độ, tư duy:

- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)
3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: Tính chất các số hạng của CSN (10’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Cho học sinh phát biểu
Phát biểu định lí 2
III. Tính chất các số hạng của CSN.
định lí
Định lí 2:
Trong một cấp số nhân, bình phương
u u
uk  k1 k1 với k �2 (3)
mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số
2
Hướng dẫn học sinh
hạng cuối) đều là tích của hai số

chứng minh?
Giả sử ( un ) là cấp số nhân với hạng đứng kề với nó, nghĩa là
uk2  uk1.uk1 với k �2 (3)
công sai d.áp dụng công thức
1 ta có:
(hay uk  uk1.uk1 )
uk1  uk  d;uk1  uk  d suy ra Chứng minh:sử dụng công thức (2) với
u u
k �2 , ta có:
u u  2u � u  k1 k1
k1

k1

k

k

2

uk1  u1.qk 2
uk1  u1.qk


Giáo án Đại số 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

suy ra uk1.uk1  u12q2k2   u1qk1   uk2
2

Hoạt động 2: Tổng n số hạng đầu tiên của CSN (15’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Cho hs phát biểu định lí
Viết dạng khai triển của
cấp số nhân ?
Đặt:
S n  u1  u2  u3  ...  u n
Biểu diễn Sn qua u1 , q

Phát biểu định lí 3

IV, Tổng n số hạng đầu tiên của CSN.

Đặt Sn  u1  u2  u3...  un thì
u (1 qn )
Sn  1
1 q
u1 ,u1q,u1q 2 ,...u1q n 1 ,...

Cấp số nhân ( un ) với công bội q có thể viết
dưới dạng:
u1 ,u1q,u1q 2 ,...u1q n 1 ,...
Khi đó:
S n  u1  u2  u3  ...  un

S n  u1  u2  u3  ...  un
 u1  u1q  u1q 2  ...u1q n 1

Xét ví dụ :
tính tổng của 10 số hạng
đầu tiên.

vì q=1 thì cấp số nhân là
u1 , u, u1 , u1 ,...u1 ,.. khi đó S n  nu1

sử dụng công thức của số hạng
tổng quát ta tính được q
Với q=1 thì cấp số nhân
có tổng bằng bao nhiêu?
Ví dụ 3/102
tính tổng của mười số
hạng đầu tiên?
tìm q=?

với q=3 ta có S=?
với q=-3 ta có S= ?

q=3, ta có:
2(1  310 )
S10 
 59048
1 3
q=-3 ta có:
2(1  (3)10 )
S10 
 29524
1  (3)

 u1  u1q  u1q 2  ...u1q n 1(4)
nhân hai vế của biểu thức(4) với q
ta được :
qS n  u1q  u1q 2  u1q 3  ...  u1q n (5)
Trừ tương ứng từng vế của các
đẳng thức(4) và (5) ta được
(1  q ).S n  u1 (1  q n ) .
Ta có định lí:
Định lí 3:
Cho cấp số nhân ( un ).với công bội q �1
Đặt Sn  u1  u2  u3...  un
u (1 qn )
Khi đó : Sn  1
(4)
1 q
Chú ý :
vì q=1 thì cấp số nhân là u1 , u, u1 , u1 ,...u1 ,..
khi đó S n  nu1
Ví dụ 3: cho cấp số nhân ( un ) biết
u1  2,u3  18 tính tổng của mười số hạng
đầu tiên
Giải :
theo giải thiết u1  2,u3  18 ta có:
u3  u1.q2 � 2.q2  18 � q  �3
vậy có hai trường hợp:
2(1  310 )
q=3, ta có: S10 
 59048
1 3

q= -3 ta có:


Giáo án Đại số 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh
2(1  (3)10 )
 29524
1  (3)

S10 

Hoạt động 3: LUYỆN TẬP (14’)
Hoạt động của GV
GV gọi HS đọc đề bài
Tìm cấp số nhân có sáu
số hạng biết S5=31 và
S10-S5=62
Câu hỏi 1:
Em hãy lập hệ phương
trình từ giả thiết của bài
toán?

Câu hỏi 2:
Em hãy tính số hạng đầu
của cấp số nhân đó?

Bài 4 SGK/104
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu

Đọc nội dung của nhiệm vụ
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng biết
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:
S5=31 và S10-S5=62
u + u + u + u + u = 31
U1+u2+u3+u4+u5=31
(1) �
�
�
Và u2+u3+u4+u5+u6 =62 (2)
�
u + u + u + u + u = 62
�
Nhân hai vế của (1) với q ta
�u q + u q + u q + u q + u q = 31q
được:
��
�
�
u + u + u + u + u = 62
�
u1q+u2q+u3q+u4q+u5q=31q
� 62 = 31q � q = 2
hay
u2+u3+u4+u5+u6 =31q suy ra
Theo công thức tính tổng các số hạng
62=31q hay q=2
đầu của cấp số nhân ta có
Gợi ý trả lời câu hỏi 2:
u1  1  25 

suy ra u1=1
Theo công thức tính tổng các S5  31 
1 2
số hạng đầu của cấp số nhân
Ta có cấp số nhân:
ta có
1,2 4,8,16,32.
1

2

2

3

3

4

1

2

S5  31 

u1  1  25 
1 2

4

5

2

3

5

6

3

4

4

5

5

6

suy ra u1=1

Gợi ý trả lời câu hỏi 3:
Ta có cấp số nhân:
1,2 4,8,16,32.
Câu hỏi 3 :
Em hãy liệt kê các số
hạng của cấp số nhân

đó?
Hoạt động của GV
Câu hỏi 1: gọi số dân của tỉnh
đó là N
Em hãy cho biết sau một năm
số dân của tỉnh đó sẽ là bao
nhiêu?
Câu hỏi 2: Em hãy cho biết
số dân tỉnh đó sau mỗi năm sẽ
là như thế nào?
Câu hỏi 3:
Với N=1,8 triệu sau 5 năm,
10 năm số dân tỉnh đó sẽ là

Bài 5 SGK/104
Hoạt động của HS
Trình chiếu - Ghi bảng
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:
N+1,4%.N=101,4%N
N+1,4%.N=101,4%N
Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành
Gợi ý trả lời câu hỏi 2:
cấp số nhân:
2
3
Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập
101, 4
101, 4 � �
101, 4 �
�

N
,
.
N
,
.
N
,
thành cấp số nhân:
�
� �
�.N ,...
100
100
100
�
�
�
�
2
3
101, 4
101, 4 � �
101, 4 �
�
5
N,
.N , �
101, 4 �
�

�.N , �
�.N ,...
100
�100 � �100 � Sau 5 năm là �
�.1,8 �1,9 (triệu)
100 �
�
Gợi ý trả lời câu hỏi3:
10
5
101, 4 �
�
101, 4 �
�
Sau 10 năm là �
� .1,8 �2,1
Sau 5 năm là �
�.1,8 �1,9
100
�
�
100
�
�


Giáo án Đại số 11
bao nhiêu?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

(triệu)
Sau 10 năm là
10
101, 4 �
�
�
� .1,8 �2,1 (triệu)
�100 �

(triệu

* Củng cố, luyện tập (3’)
Cấp số nhân là dãy số có công thức số hạng tổng quát là
Un+1= un. qn-1
2
Tính chất của cấp số nhân là:  uk   uk 1.uk 1 voi k �2
Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là S n 

u1 (1  q n )
1 q

4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (2’)
- Xem lại lí thuyết: .
- Làm bài tập còn lại sách giáo khoa trang 103, 104.
- Chuẩn bị Ôn tập chương III.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………