Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Đại số 11 Trường Hồng Việt

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Tiết 37-38

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Mục tiêu:
1. Mục tiêu:
Hiểu được phương pháp quy nạp toán học.
2. Kĩ năng:
Biết cách chứng minh một số mệnh đề đơn giản bằng quy nạp.
II. Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, sgk, sgv, dự kiến tình huống,...
2.Học sinh: Chuẩn bị kiến thức cũ (mệnh đề, mệnh đề chứa biến), soạn bài.
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
2. Kiểm tra bài cũ: Chữa bài kiểm tra chương II.
3. Nội dung bài mới:
Hoạt động 1: Phương pháp quy nạp toán học.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv yêu cầu hs nêu lời giải ở ?1a.
Học sinh: Thay các giá trị n vào các mệnh đề
?1b: Kết luận được mệnh đề nào?
chứa biến để rút ra kết luận đúng sai của
Gv :Muốn chứng minh một kết luận sai, ta mệnh đề.
chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ. Muốn
chứng minh một kết luận đúng, ta phải chứng Hs tiếp thu kiến thức.
minh nó đúng trong mọi trường hợp. Nhưng
đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự
nhiên thì việc thử mọi trường hợp là điều

không thể làm được. Do đó để giải được các
bài toán như vậy ta phải sử dụng phương
pháp quy nạp.
Gv nêu phương pháp quy nạp toán học.
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh các bước Hs tiếp thu kiến thức.
chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp
quy nạp toán học thông qua ?1b.
Gv chốt lại phương pháp quy nạp thông qua Hs chứng minh:
ví dụ 1 sgk.
1/ Khi n = 1
Gv yêu cầu hs làm ?2.
Vế trái bằng 1
Giáo viên gọi học sinh đọc đề bài và phân
n(n + 1) 1(2)
=
= 1.
Vế
phải
bằng
tích tóm tắt đề bài.
2
2
Gv phân tích gợi ý để hs giải được ?2 trên.
Vậy đẳng thức đúng với n = 1
2/ Giả thiết (1) đúng với một số tự nhiên bất
Giáo viên hướng dẫn hs biến đổi:
kỳ n = k ≥ 1. Tức là:
 k(k + 1) 
k(k + 1)
[1+2+3+...+k]+(k+1)= 

1+2+3+...+k =
ta sẽ chứng minh (1)
 + k+1
 2 
2
k
k
đúng với n = k + 1 Tức là:
= (k + 1) + (k + 1) = (k + 1)( + 1)
(k + 1)(k + 2)
2
2
1+2+3+...+k+(k+1) =
Thật vậy
2
k + 2 (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(
)=
.
theo giả thiết quy nạp ta có:
2
2
 k(k + 1) 
- Ta có nhận xét gì?
[1+2+3+...+k]+(k+1)= 
 + k+1
 2 


Đại số 11 Trường Hồng Việt

k
k
(k
+
1
)
+
(k
+
1
)
=
(k
+
1)(
+ 1)
Gv hướng dẫn hs giải ví dụ 2.
2
2
Gv nêu chú ý:
k + 2 (k + 1)(k + 2)
)=
.
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi = (k + 1)(
2
2
số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
B1: Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p;
B2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ 1 Do đó với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Ta

bất kì n= k ≥ p và phải chứng minh rằng nó có:
n(n + 1)
đúng với n= k+1.
1+2+3+...+n =
2
Hoạt động 2: Hướng dẫn giải bài tập
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv yêu cầu hs giải bài tập 1c.
Bai 1c:
Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp?
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có đẳng
B1: Chứng minh mệnh đề đúng với n =0 thức:
(hoặc n = p ) thường được thử trực tiếp)
n(n + 1)(2n + 1)
2
2
2
2
.
1
+2
+3
+...+
n
=
B2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k Chứng
6
minh mệnh đề đúng với n = k+1
Hs giải:

- Dựa vào phương pháp giải đã học giáo viên 1) Khi n = 1. Ta có vế trái bằng 1. Vế phải
gọi học sinh lên bảng giải bài tập 1c.
1(2).3
= 1 Vậy đẳng thức đúng với n =1
bằng
6
2) Giả sử đẳng thức đúng với n = k bất kỳ
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phân tích
k(k + 1)(2k + 1)
để đưa biểu thức về dạng:
.
nghĩa là: 12+22+32+...+ n2 =
6
(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]
Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng cho
6
n = k + 1 Nghĩa là:
Do đó: Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
.
12+22+32+...+ (k+1)2 =
6
Tương tự các bài trên gv yêu cầu hs giải các Ta2 có:
1 +22+32+...+ (k+1)2
bài tập 2c, 3b, 4.
= 12+22+32+...+k2+(k+1)2
k(k + 1)(2k + 1)
+ (k + 1)2
=
6

(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]
=
6
Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*
=

IV. Củng cố:
Hãy nêu phương pháp quy nạp?
Gv hệ thống lại các bài tập đã chữa và nêu phương pháp giải cho từng dạng bài tập đó.
Chứng minh ∀n∈N* Ta có: 1 - 2 + 3 - 4+...- 2n + (2n+1) = n + 1
V. Dặn dò:
Về giải lại các bài tập đã sửa và làm các bài tập còn lại.
VI. Rút kinh nghiệm:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................