Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

ĐẠI SỐ 11
Chương III: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Tiết 37

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước (bắt buộc)
theo một trình tự quy định.
2. Kĩ năng
Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán
một cách hợp lí.
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại một số kiến thức về mệnh đề.
III – TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
- Thông qua các hoạt động trong giờ học.
3. Nội dung bài mới
Hoạt động 1: Tìm hiểu phương pháp quy nạp toán học
Hoạt động của GV và HS

Nội dung chính
GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ1
I. Phương pháp quy nạp toán học
- Với n = 1, 2, ,3 ,4 ,5. Hãy kiểm tra tính H1- sgk
đúng – sai của P(n) và Q(n) ?
Trả lời:
*
- Với n = 1, 2, 3, 4, 5 ta có P(1), P(2), P(3), P(4)
- Với mọi n ∈ N thì P(n) và Q(n) đúng hay
đúng, P(5) sai, còn Q(1), Q(2), Q(3), Q(4), Q(5)
sai?
đều đúng.
HS: Trả lời câu hỏi của GV
*
- Với mọi n ∈ N thì P(n) sai vì khi n = 5 thì
GV: Khẳng định muốn chứng tỏ một kết P(5) là sai.
luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng - Với mọi n ≥ 6 thì Q(n) đúng, song ta vẫn chưa
*
trong mọi trường hợp. Muốn chứng tỏ một thể khẳng định được Q(n) đúng với mọi n ∈ N .

kết luận sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp
sai là đủ. Để CM những mệnh đề đúng với *) Phương pháp quy nạp toán học
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
mọi n ta sử dụng PP quy nạp
n=1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số


tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy
nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n

=k+1

GV: Nêu phương pháp
HS: Ghi nhận KQ
Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng.
GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ2 theo
các bước của phương pháp quy nạp

II. Ví dụ áp dụng
1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)

- Hãy kiểm tra tính đúng – sai của đẳng
2
H 2. CMR:
(*)
thức với n = 1?
- Nêu giả thiết quy nạp ?
Giải
- CM hệ thức đúng với n= k +1 nghĩa là
+) Với n = 1 (*) đúng
cần chứng minh điều gì ?
HS: Kiểm tra mệnh đề với n = 1
+) Giả sử (*) đúng với n = k ≥ 1
Chỉ ra giả thiết quy nạp
k (k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k =
Chỉ ra điều cần chứng minh
2

Nghĩa là:
(gt)
GV: Nhận xét, chỉnh sửa
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1
HS: Lên thực hiện dưới sự hướng dẫn của
GV
HS: Ghi nhận KQ
GV: Nêu chú ý

1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) =

(k + 1) ( k + 2 )
2


(**)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = S k + ( k + 1)
=

k ( k + 1)
2

+ ( k + 1) =

(k + 1) ( k + 2 )
2

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi n ∈ N* .
Chú ý: Nếu phải chứng minh một mệnh đề

n≥ p

GV: Hướng dẫn HS thực hiện HĐ3 theo
các bước của phương pháp quy nạp
- Hãy so sánh P(n) và Q(n) với n = 1, 2,
3, 4, 5 qua bảng sau ?
- Hãy dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phương pháp quy nạp?
HS: Lên bảng điền vào ô trống
Dự đoán KQ tổng quát
Chứng minh dự đoán bằng PPQN

là đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên) thì:
Bước 1: Ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với một
n=k ≥ p

số tự nhiên bất kì
minh nó cũng đúng với
H 3-sgk:
Trả lời:
a) So sánh

3n

và 8n

và phải chứng

n = k +1

.


GV: Nhận xét, chỉnh sửa

HS: Ghi nhận kết quả
GV: Nhận xét, chỉnh sửa

n

3n

1
2
3
4
5

3
9
27
81
243

b) Dự đoán
Thật vậy

n≥3

+ Với n = 3 ta có

thì

3n > 8n

33 > 8.3

.

. Vậy bđt đúng.

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với

n=k ≥3

3k > 8.k (1)

tức là
Nhân cả hai vế của (1) với 3, ta được
3.3k > 3.8k ⇔ 3k +1 > 8k + 8 + 16k − 8

.

Vì 16k – 8 > 0 nên

3k +1 > 8k + 8 ⇔ 3k +1 > 8 ( k + 1)

tức là bất đẳng
thức đúng với n = k + 1.
Vậy

3n > 8n

với mọi n ∈ N*.

4. Củng cố và luyện tập.
Phương pháp quy nạp
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1 (n = p)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (k  p) - giả
thiết quy nạp. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
5. Hướng dẫn HS học ở nhà
- Đọc bài “Bạn có biết” sgk – T83 và làm các bài tập sgk – T83, 84.
- Đọc trước bài “Dãy số”.
- Hướng dẫn làm bài tập 1, 3 sgk.
Bài 1: a) Với n = 1 hệ thức đúng.
Đặt

S n = 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1

. Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1.

S k +1 = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1) + 3 ( k + 1) − 1 = S k + 3k + 2 =

Ta có
b) Với n hệ thức đúng.

( k + 1) 3 ( k + 1) + 1

2


Đặt vế trái bằng

Sn

. Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1.

1
2k − 1 1
2k +1 − 2 + 1 2 k +1 − 1
Sk +1 = S k + k +1 = k + k +1 =
= k +1
2
2
2
2k +1
2

Ta có
Bài 3: a) Bất đẳng thức đúng với n = 2.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2 tức là
k +1

Nhân hai về của (1) với 3 , ta được.
Vì 6k–1>0 nên
3 > 3n + 1

3k +1 > 3k + 4

3

k +1

3

hay

Vậy

3k > 3k + 1 (1)
k +1

> 9k + 3 ⇔ 3

> 3 ( k + 1) + 1

n

với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

(đpcm).
.

> 3k + 4 + 6k − 1

.

bất đẳng thức đúng với n=k+1