Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

BÀI GIẢNG TOÁN 11
Chương III: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC(T1)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:
1.Về kiến thức:
Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước theo một trình
tự quy định
2.Về kỹ năng:
Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán
một cách hợp lí
3.Về thái độ, tư duy:
- Tự giác, tích cực học tập
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
1. Giáo viên:
+ SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh:
+ SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:
1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)
3. Dạy bài mới
Hoạt động 1 Phương pháp quy nạp toán học (17’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Hướng dẫn học sinh
Học sinh đọc khái niệm

I, Phương pháp quy nạp toán học:
nắm được phương
phương pháp quy nạp toán Để chứng minh những mệnh đề liên
pháp quy nạp toán
học
quan đến số tự nhiên n �N * là đúng
học.
với mọi n mà không thể trực tiếp
được thì có thể làm như sau:
Nêu các bước của
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
phương pháp quy nạp đúng với n=1.
n=1.
toán học ?
Bước 2: Giả thiết mệnh đề
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với
đúng với một số tự nhiên
một số tự nhiên bất kì n  k �1 (gọi là
bất kì n  k �1 (gọi là giả
giả thiết quy nạp), chứng minh răng
thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với n=k+1


răng nó cũng đúng với
n=k+1

Đó là phương pháp quy nạp toán
học, hay còn gọi tắt là phương pháp
quy nạp.

Hoạt động 2: Củng cố khái niệm (21’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Nêu bài toán
Đọc bài toán và sử dụng
II, Ví dụ áp dụng:
phương pháp quy nạp để
Ví dụ 1: chứng minh rằng với n �N *
chứng minh?
thì:
135...  (2n  1)  n 2 (1)
Kiểm tra khi n=1 ?
Bước 1: khi n=1 , ta có :
Giải :
2
2
Giả sử đẳng thức đúng 1  1
Bước 1: khi n=1 , ta có : 1  1 vậy hệ
với n  k �1 , Ta phải
Bước 2: : Đặt vế trái bằng
thức (1) đúng.
chứng minh rằng (1)
Sn
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn
cũng đúng với n=k+1, Giả sử đẳng thức đúng với
Giả sử đẳng thức đúng với n  k �1 ,
n  k �1 , nghĩa là :
S k  1   k  1)  k 2

nghĩa
là
:
2
S k  1   k  1)  k
(giả thiết quy nạp). Ta phải chứng
(giả thiết quy nạp). Ta phải minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1,
chứng minh rằng (1) cũng
tức là :
đúng với n=k+1, tức là :
S  135...  (2k  1) 2( k  1)  1
Sk 1  135...  (2k  1) 2( k  1)  1
 (k  1) 2

 (k  1) 2

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có :
S k 1  S k  2(k  1)  1

Kết luận:
Đọc ví dụ và sử dụng
phương pháp quy nạp để
chứng minh?

Nêu ví dụ
Kiểm tra với n= 1
Giả sử với
có:

k 1

n  k �1

Ak   k 3  k  M3

Bước 1: với n=1, ta có:
ta

(giả thiết
quy nạp) . Ta phải
chứng minh : Ak 1 M3

A1  0M
3

Bước 2: Giả sử với
ta có:
Ak   k 3  k  M3

Thật vậy : ta có:

Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n �N *
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với n �N * thì

n

3

 n M

3

Giải : đặt An  n  n
Bước 1: với n=1, ta có: A1  0M3
Bước 2: Giả sử với n  k �1 ta có:
3

n  k �1

(giả thiết quy
nạp) . Ta phải chứng minh :
Ak 1 M3

 k 2  2k  1  (k  1) 2

Ak   k 3  k  M3

(giả thiết quy nạp) . Ta
phải chứng minh : Ak 1 M3
Thật vậy : ta có:


Ak 1  (k  1)3  ( k  1)

Ak 1  (k  1)3  (k  1)  k 3 3k 2  3k  1  k  1

 k 3 3k 2  3k  1  k  1

(k 3  k ) 3(k 2  k )     3(k 2  k )

(k 3  k ) 3(k 2  k )

Kết luận

    3(k 2  k )

Ak   k 3  k  M3

theo giả thiết quy nạp
2
hơn nữa: 3(k  k )M3 nên Ak 1 M3

,

3
Vậy An  n  n chia hết cho 3 với mọi

n �N *

* Củng cố, luyện tập (3’)
- Các bước chứng minh bằng PP Quy nạp toán học?
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)
- Xem lại lí thuyết: .
- Làm bài tập 1a,b; 2c; 4 sách giáo khoa trang 82, 83.
- Chuẩn bị bài mới: Dãy số.
- Ôn tập KN Hàm số và các cách cho một hàm số.
* Rút kinh nghiệm:
………………………………………………………………………………………
……
………………………………………………………………………………………

……
………………………………………………………………………………………
……
………………………………………………………………………………………
……
………………………………………………………………………………………
……


§1.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (T2)
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:
1.Về kiến thức:
- Hiểu nội dung của PP quy nạp toán học bao gồm hai bước theo một trình tự quy
định
2.Về kỹ năng:
- Biết cách lựa chọn và sử dụng PP quy nạp toán học để giải các bài toán một cách
hợp lí
3.Về thái độ, tư duy:
- Tự giác, tích cực học tập
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
1. Giáo viên:
+ SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh:
+ SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:
1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2. Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)
3. Dạy bài mới
Hoạt động 1: Ví dụ áp dụng (17’)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Cho học sinh đọc chú Nêu chú ý
II, Ví dụ áp dụng:
ý:
- Ở bước 1, ta phải chứng
Chú ý :
minh mệnh đề đúng với
Nếu phải chứng minh mệnh đề là
n=p.
đúng với mọi số tự nhiên n �p (p
- Ở bước 2, ta giả thiết mệnh là một số tự nhiên) thì :
đã đúng với số tự nhiên bất - ở bước 1, ta phải chứng minh
mệnh đề đúng với n=p.
kỳ n  k �p và ta phải


chứng minh rằng nó cũng
đúng với n = k +1
Đọc ví dụ và sử dụng
phương pháp quy nạp
để chứng minh?

Nêu ví dụ
Kiểm tra với n �3
Giả sử với n  k �3 ta

có:
3k �8k (giả thiết quy
nạp) . Ta phải chứng
k 1
minh : 3 �8(k  1)

So sánh khi n=1, 2, 3, 4, 5
n=1: 3 < 8
n=2: 9 < 16
n=3: 27 > 24
n=4: 81 > 32
5
n=5: 3 40

- ở bước 2, ta giải thiết mệnh đề
đúng với số tự nhiên bất kì
n  k �p và ta phải chứng minh
rằng nó cũng đúng với n = k +1
Vý dụ 3:
n
Cho hai số 3 và 8n với n �N *
n
a, So sánh 3 với 8n khi n= 1, 2,
3, 4, 5.
b, Dự đoán kết quả tổng quát và
chúng minh bằng PP quy nạp .
Giải :
n
a, So sánh 3 với 8n
Khi n=1: 3 < 8

n=2: 9 < 16
n=3: 27 > 24
n=4: 81 > 32
5
n=5: 3 40
n
b, Với n �3 thì 3 > 8n .(3)
Chứng minh:
Bước 1: với n �3 thì (3) đúng
Bước 2:giả thiết mệnh đề đúng với
k
n  k �3 nghĩa là : 3 �8k ta phải
chứng minh mđ(3) đúng với
k 1

là : 3 �8(k  1)
Theo giả thiết quy nạp ta có :
3k �8k : trừ vế với vế ta được
n  k  1 tức

3k .3 �8k  8
 k
3 �8k

Kêtt luận

2.3k �8

với mọi
đúng.

Hoạt động của GV
Nêu bài tập

n  k �3 thì

mệnh đề luôn

Hoạt động 2: Bài tập (17’)
Hoạt động của HS
Ghi bảng - trình chiếu
Đọc ví dụ và sử dụng
Bài tập :
phương pháp quy nạp để
Bài 1 : chứng minh rằng với
n �N * , ta có đẳng thức :
chứng minh?


Kiểm tra với n=1
Giả sử với n  k �1 ta
có:

n �3

Bước 1: với
thì (3)
đúng
k (3k  1) Bước 2: Giả sử với n  k �1
2  5  8  ...  (3k  1) 
1)

k
2
ta có: 3 �8k
(giả thiết quy nạp) . Ta
(giả thiết quy nạp) . Ta phải
phải chứng minh :
k 1
chứng minh : 3 �8(k  1)
2  5  8  ...  (3k  1) 
3k .3 �8k  8
 k
3 �8k

(k  1)(3k  4)
 (3k  2) 
2

n(3n  1)
1)
2

Giải :
Bước 1:kiểm tra với n=1:
2

1(3.1  1)
2

Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng
với n  k �1 nghĩa là :

2  5  8  ...  (3k  1) 

k (3k  1)
1)
2
ta

Thật vậy : 2.3 �8
Đọc bài tập và sử dụng
phương pháp quy nạp để
chứng minh?

phải chứng minh mệnh đề đúng
với n  k  1 tức là:

Bước 1: với n=1:

theo giả thiết quy nạp :

2



k

Kừt luận

2  5  8  ...  (3n  1) 

1(3.1  1)

2

Bước 2: Giả sử với
ta có:
2  5  8  ...  (3k  1) 

n  k �1

k (3k  1)
1)
2

(giả thiết quy nạp) . Ta phải
chứng minh :
2  5  8  ...  (3k  1) 
(k  1)(3k  4)
(3k  2) 
2

Thật vậy : ta có:

k (3k  1)
(k  1)(3k  4)
 (3k  2) 
2
2
k (3k  1)  2(3k  2) (k  1)(3k  4)
�

2

2
� 3k 2  7 k  4  3k 2  7k  4


* Củng cố, luyện tập(5’)
HD học sinh làm một số bài tập trong SGK
4. Hướng dộn học bài và làm bài tập ở nhà (5’)
Xem lại lý thuyết .Làm bài tập trong SGK.

2  5  8  ...  (3k  1)  (3k  2)
( k  1)(3k  4)

2

k (3k  1)
(k  1)(3k  4)
 (3k  2) 
2
2
k (3k  1)  2(3k  2) (k  1)(3k  4)
�

2
2
2
2
� 3k  7k  4  3k  7k  4

Vậy mệnh đề được chứng minh.

* Rút kinh nghiệm: