Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Phạm Minh Chánh

Trường THPT Bình Khánh

ĐẠI SỐ 11
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Có khái niệm về suy luận quy nạp.
- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự
qui định.
2.Kỹ năng:
- Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài
toán cụ thể đơn giản.
- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một
cách hợp lí.
3. Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.
4. Thái độ: nghiêm túc, tích cực tiếp thu tri thức mới hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
- HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học.
III. Phương pháp:
- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:

HĐ 1:Ổn định lớp và kiểm tra bài củ
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- Yêu cầu HS vào chổ ngồi và chuẩn bị tập

-sách.
- Kiểm tra bài củ: mệnh đề là gì? cho vài ví dụ
về mệnh đề chứa biến.

- Trật tự và đem tập sách
chuẩn bị tiết học.
- Kêu 1 em lên bảng trả lời,
tất cả hs còn lại suy nghỉ và
xem xét.

Thời gian dự
trù
8h05’- 8h06’
8h06’

HĐ2: Phương pháp qui nạp toán học.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

1

Thời gian dự
trù


Phạm Minh Chánh

Trường THPT Bình Khánh

HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp
- Phát biểu hoạt động số 1 SGK
Xét hai mệnh đề chứa biến.
P(n): “ 3n < n + 100 ” và Q(n): “2n > n” với
n∈N

8h11’
- Tiếp nhận vấn đề.

*

a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay
sai?
n 3n n +100 P(n) ?
n 2n Q(n) ?
1
2
3
4
5

1
2
3
4
5

b. Với mọi n ∈ N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Hướng dẫn:

- Hỏi 1: phép thử một vài TH có phải là c/m
cho KL trong TH TQ không ?
- Hỏi 2: với MĐ Q(n) , thử kiểm tra tiếp với một
giá trị n ≥ 6 ? có thể khẳng định Q(n) đúng với
mọi n ∈ N * chưa ?
- Hỏi 3: muốn chứng minh 1 kết luận đúng ta
phải làm sao? muốn chứng minh kết luận sai ta
phải làm sao?
HĐTP2: Phương pháp qui nạp.
Bước 1:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2:
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp). Chứng

2

- Làm việc theo nhóm và cử
đại diện trình bày kết quả:
a) P(n) :
n = 1 : 3 < 101
(Đ)
n = 2 : 9 < 102
(Đ)
n = 3 : 27 < 103
(Đ)
n = 4 : 81 < 104
(Đ)
n = 5 : 243 < 105
(S)

Q(n):
n=1:
2>1
(Đ)
n=2:
4>2
(Đ)
n=3:
8>3
(Đ)
n = 4 : 16 > 4
(Đ)
n = 5 : 32 > 5
(Đ)
- Các nhóm thảo luận và nêu ý
kiến của nhóm mình.
b) ∀n∈N* thì P(n) sai, vì khi
n = 5 thì P(5) sai . Q(n) có
đúng với ∀n∈N* , không vẫn
chưa kết luận được, vì ta
không thể thử trực tiếp với
mọi n .
- HS lần lượt trả lời các câu
hỏi.

- Chú ý theo dõi phương pháp
qui nạp toán học
- Giải thích điều mình hiểu.

8h20’

Phạm Minh Chánh

Trường THPT Bình Khánh

minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
- H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1
nghĩa là gì?

HĐ3: Ví dụ áp dụng.

VD1- SGk: chứng minh rằng với mọi n ∈ N *
thì:
1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) = n2 (1).
- Hướng dẫn:
Bước 1: n = 1: (1) đúng ?
Bước 2: đặt Sn = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1)
- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là có giả
thiết gì ?
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là
chứng minh điều gì? (chú ý đến giả thiết qui
nạp).
- Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ?

VT = 1 , VP = 12 = 1 → (1)
đúng.

8h24’

Sk = 1 + 2+…+ (2k - 1) = k2
C/m: Sk+1 = 1 + 2 + 3 +…+
(2k - 1) +

[ 2(k

+ 1) − 1] = ( k + 1)

2

Ta có:
Sk+1 = Sk + [ 2(k + 1) − 1]
= k 2 + 2k + 1 = ( k + 1)
Vậy (1) đúng với mọi n ∈ N *

2

n .n
5.5
1 = 12

4.4

1 + 3 = 4 = 22

3.3

1 + 3 + 5 = 9 = 32

2.2

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1.1

2
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ (2n – 1) = n2
3


Phạm Minh Chánh

Trường THPT Bình Khánh

HĐ4: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm)
VD2- SGK:
- Hướng dẫn: đặt A n = n3 − n
Bước 1: n = 1: (1) đúng ?
Bước 2: n = k ≥ 1 thì (1) như thế nào?

- Làm việc theo nhóm
- HS trình bày bài giải
Với n = 1 thì A1 = 0 chia hết cho

8h29’

3.
n = k ≥ 1 thì A k = (k 3 − k ) chia

hết cho 3 (giả thiết quy nạp).
Thật vậy, ta có
A k+1 = (k 3 + 1)3 − (k + 1)

Ta phải chứng minh A k+1 chia hết cho 3

= k 3 + 3k 2 + 3k + −k
= ( k 3 − k ) + 3( k 2 + k )
= Ak + 3(k 2 + k )
Theo giả thuyết A k chia hết cho
3, hơn nữa, 3(k 2 + k ) chia hết cho
3 nên A k+1 chia hết cho 3
3
Vậy A n = n − n chia hết cho 3
với ∀n ∈ N *

♣ Hoạt động 2- SGk
Chứng minh với mọi n ∈ N * thì

HĐ5: Luyện tập

- Làm việc theo nhóm
- HS trình bày bài giải
* Chú ý:
n (n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
Nếu phải c/m MĐ đúng với
2
mọi số tự nhiên n ≥ p thì:
- Yêu cầu hs làm theo nhóm

- B1 ta phải kiểm tra MĐ đúng
- GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết
với n = p.
- Gọi bất kì 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa
- B2 ta giả thiết MĐ đúng với
chữa.
* GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng số tự nhiên bất kì n = k ≥ p
và phải CMR nó cũng đúng
với mọi số tự nhiên n ≥ p thì ta làm thế nào?
với n=k + 1.

a)
♣ Hoạt động 3-SGK
4

8h34’

8h40’


Phạm Minh Chánh

Trường THPT Bình Khánh

Cho hai số 3n và 8n với n ∈ N *
a) SS 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
HD: Điền vào bảng sau
n
3n
?

8n
1
2
3
4
5
b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng
phương pháp qui nạp
HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự
đoán
- Phát biểu lại bài toán và chứng minh
+ Cho hs làm theo nhóm.
+ GV quan sát và hd khi cần thiết
+ Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các
nhóm khác nhận xét và bổ sung (nếu cần).
+ Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3
là số nhỏ nhất sao cho 3n > 8n .
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh
đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là
một số tự nhiên) thì:
• Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng
với n = p .
• Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng
với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p .
• Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề
cũng đúng với n = k+1 .

n
1
2

3
4
5

3n
3
9
27
81
243

?
<
<
>
>
>

8n
8
16
24
32
40

b) “ Chứng minh rằng 3n > 8n
với mọi n ≥ 3 ”
- HS chứng minh bằng phương
pháp qui nạp.

HS chú ý và ghi vào tập

8h42’

Củng cố và hướng dẫn học tập : 8h44’
- Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạp và chỉ rõ thực chất của bước 2 là
gì ?
- Xem lại các bài đã giải.
- Làm các bài tập 1 – 5 sgk. Và sách bài tập

5