Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 3: Hàm số liên tục

Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:
- Nắm được khái niệm hàm số liên tục tạimột điểm, hàm số liên tục trên một khoảng.
- Nắm được các định lí cơ bản.
2.Về kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số.
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng.
3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là hàm số liên tục.
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.
2. Kiểm tra bài cũ (3’)
2.1 Câu hỏi:
1, khi < 1

Cho hàm số f(x) =  2
 − x + 2, khix ≥ 1
Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x → 1
2.2. Đáp án:
+ f (1) = −12 + 2 = −1 + 2 = 1
f ( x) = lim ( − x 2 + 2 ) = lim ( − x 2 ) + lim 2 = −12 + 2 = 1
+ lim
x →1
x →1
x →1
x →1

g ( x) = g (1)
Vậy lim
x →1
3. Dạy bài mới. 38’
Hoạt động của GV

GV nêu câu hỏi:
Thế nào là hàm số liên tục
tại 1 điểm?

Hoạt động của HS

HS nêu Định nghĩa về
hàm số liên tục tại 1
điểm

Ghi bảng - trình chiếu
I. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng K và x0 ∈ K .Hàm số y = f(x)
được gọi là liên tục tại x0 nếu


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh
lim f ( x ) = f ( x0 )

x → x0

* Hàm số y = f(x) không liên tục tại
x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Ví dụ:
1.Xét tính liên tục của hàm số:
f(x)=

2x
tại x0 = 2
x −3

Tìm TXĐ của hàm số?
TXĐ : D = R\{3}
Xét tính liên tục của hàm
TXĐ D = R\ {3}
2x
2 .2
số tại x0 = 2 ta kiểm tra điều

lim f ( x) = lim
=
= −4
x →2
x→2 x − 3
2
−
3
gì?
lim f ( x) = f (2) ?
x→2
2.2
lim
f
(
x
)
= −4
f(2) =
Hãy tính x→ 2
?
lim f ( x) = −4
2−3
x→2
f(2)=?
⇒ lim f ( x ) = f (2)
f(2) = -4
x→2
Kết luận gì về tính liên tục
Hàm số liên tục tại x0 = 2 Vậy hàm số liên tục tại x0 =2

của hàm số tại x0 = 2?
2.Cho hàm số
 x2 − 1
khix ≠ 1

f(x) =  x − 1
akhix = 1


+ Tìm TXĐ ?
+Tính f(1)?
f ( x) ?
+Tính lim
x→1

+ TXĐ: D = R
+ f(1) = a
f ( x) = 2
+ lim
x →1

Xét tính liên tục của hàm số tại x0= 1
TXĐ: D = R
f(1) = a
lim f ( x) = lim
x →1

x →1

x2 −1

( x − 1)( x + 1)
= lim
x − 1 x→1
x −1

( x + 1) = 2
= lim
x →1

+ a = ? thì hàm số liên tục
tại x0=1?

f ( x) = f (1)
+ a =2 thì lim
x →1
+hàm số liên tục tại x0 =
Vậy hàm số liên tục tại x0 = 1
1
lim f ( x) ≠ f (1)
+ a = ? thì hàm số gián đoạn
lim f ( x) = f (1) ⇔ a = + a ≠ 2 thì x →1
⇔
tại x0 = 1?
x →1
Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = 1
2.
 x 2 + 1khix > 0
≠
2
+a

thì hàm số gián
3. Cho hàm số f(x) = 
 xkhix ≤ 0
đoạn tại x 0 =1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0
TXĐ: D = R
f(0) = 0
Tìm TXĐ?
lim f ( x) = lim x = 0
Hàm số liên tục tại x0 = 0
x →0
x→0
khi nào?
lim f ( x) = lim ( x 2 + 1) = 1
Tính f(0)?
x →0
x →0
TXĐ : D = R
lim
f
(
x
)
?
lim
f
(
x
)
≠ lim f ( x )

Tính x → 0
Vì x → 0
−

−

+

−

−

lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (0)

f ( x) ?
Tính xlim
→0+

+

x→0

f(0) = 0

x →0 +

x →0

f ( x ) không tồn tại và do đó
Nên lim

x→ 0


Giáo án Đại số và Giải tích 11
f ( x ) và
Nhận xét xlim
→0
−

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

lim f ( x) = lim− x = 0

x →0−

x→0

lim f ( x) ?

x→0+

Kết luận gì?

lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 1

x →0

x →0

lim− f ( x) ≠ lim f ( x )

x→0

Hàm số liên tục trên nửa
khoảng (a ; b ] , [a ; + ∞)
được định nghĩa như thế
nào?

x →0 +

Hàm số không liên tục
tại x0= 0

hàm số không liên tục tại x0 = 0.
II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
Định nghĩa 2:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục
trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó.
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên tục
trên [a ; b] nếu nó liên tục trên
f ( x) = f (a )
(a ;b) và xlim
→a
+

lim f ( x) = f (b)

x →b −

HS định nghĩa tương tự

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục
trên 1 khoảng là 1 “đường liền” trên
khoảng đó.
III,Một số định lí cơ bản.
ĐL 1: SGK

Các hàm đa thức có TXĐ là
gì?
Các hàm đa thức liên tục
trên R.

ĐL 2: SGK.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

TXĐ : D = R

( x + 1) tan x − cos x
x−2
π
TXĐ : D = R \{ 2; + kπ ,k ∈ Z }
2

y=

Tìm TXĐ?

Tổng,hiệu ,tích ,thương

các hàm số liên tục tại 1
điểm.

kết luận gì về tính liên tục
của hàm số ?

2

TXĐ:D=R \{ 2;

+ x > 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên tục
của hàm số?
+ x< 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên tục
của hàm số?
+ Xét tính liên tục của hàm
số tại x = 1?
Tính f(1)?

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x
π
≠ 2 và x ≠ + kπ ( k ∈ Z )

π
+ kπ
2

,k ∈ Z }
hàm số liên tục tại mọi

π
điểm x ≠ 2 và x ≠ + kπ
( k∈ Z )

2

+ x > 1 : f(x) = ax + 2
Hàm số liên tục trên (1 ;

Ví dụ: Cho hàm số
ax + 2khix ≥ 1

f(x) = 

2
 x + x − 1khix < 1

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn
trục số.
+x >1 : f(x) = ax + 2 nên hàm số liên
tục.
+x < 1: f(x) = x 2 +x − 1 nên hàm số liên
tục.
+tại x = 1:
f(1) = a +2 .
lim f ( x ) = lim (ax + 2) = a + 2 .
x →1
x →1
+

+

lim− f ( x) = lim− ( x 2 + x + 1) = 1

x →1

x →1


Giáo án Đại số và Giải tích 11
lim f ( x) ?

x →1−

lim f ( x ) ?

x →1+

kết luận gì về tính liên tục
của hàm số trên toàn trục
số?

HS quan sát hình vẽ

a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x 5 + x -1
liên tục ko?
Tính f (-1)?
f(1) ?
Kết luận gì về dấu của

f(-1)f(1)?

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

+ ∞)

f ( x) = lim f ( x) = f (1)
a = -1 thì xlim
→1
x →1
nên hàm số liên tục tại x = 1.
+ x< 1: f(x) = x 2 +x − 2
a ≠ −1 hàm số gián đoạn tại x = 1
Hàm số liên tục trên (Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên R.
∞;1)
a ≠ -1 thì hàm số liên tục trên
( - ∞;1) ∪ (1;+∞) .
f(1) = a +2 .
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục
lim f ( x ) = lim (ax + 2) = a + 2trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
x →1
x →1
tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ ( a; b) sao
.
lim f ( x) = lim ( x 2 + x + 1) = 1cho f( c) = 0.
x →1
x →1
Nói cách khác:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình

f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong
a =-1thì hàm số liên tục
(a ; b).
trên R.
Ví dụ : Chứng minh rằng phương
a ≠ -1 thì hàm số liên tục trình :x 5 + x -1 có nghiệm trên(-1;1).
trên
Giải: Hàm số f(x) = x 5 + x -1 liên tục
( - ∞;1) ∪ (1;+∞) .
trên R nên f(x) liên tục trên [-1; 1] .
f(-1) = -3
f(1) = 1
do đó f( -1) .f(1) = -3 < 0.
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm
GV treo bảng phụ hình thuộc ( -1; 1).
59/ SGK và giải thích.
+

+

+

−

−

GV nhấn mạnh ĐL 3
được áp dụng đẻ CM sự
tồn tại nghiệm của
phương trình trên

1khoảng.
a = -1 ; b = 1
hàm số f(x) = x 5 + x -1
liên tục trên R nên liên
tục trên đoạn [-1;1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
f( -1) .f(1) = -3 < 0.

* Củng cố : (2’)
- ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm.
- ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng.
- Các định lí cơ bản.
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)

−


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

- Xem lại lí thuyết.
- Làm bài tập sách giáo khoa.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

TIẾT 59: §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

1.Về kiến thức:
- Nắm được khái niệm hàm số liên tục tạimột điểm, hàm số liên tục trên một khoảng.
- Nắm được các định lí cơ bản.
2.Về kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số.
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh phương trình có nghiệm trên một khoảng.
3.Về thái độ, tư duy:
- Hiểu thế nào là hàm số liên tục.
- Tự giác, tích cực học tập.
- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1. Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.
+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng.
2. Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.
+ Chuẩn bị bài ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1. Ổn định tổ chức: 1’
- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2. Kiểm tra bài cũ (6’)
2.1 Câu hỏi:
 x + 3, khi ≤ 1

Cho hàm số f(x) =  x 2 − 3 x + 2
, khi x > 1

 x −1
Xét tính liên tục của f(x) tại x = 1
2.2. Đáp án:
x 2 − 3x + 2
( x − 1)( x − 2)
= lim+
= lim(
x − 2) = −1
+ lim+ f ( x) = lim+
x →1
x →1
x →1
x →1+
x −1
x −1
f ( x) = lim(
x + 3) = 4
+ lim
x →1−
x →1+
Vậy lim f ( x) không tồn tại do đó hàm số gián đoạn tại x = 1.
x →1

3. Dạy bài mới. 35’
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Ghi bảng - trình chiếu
Bài tập 2:


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh
 x3 − 8
,x ≠ 2

g ( x) =  x − 2
5
,x =2


HD: Tìm tập xác định?
Tính

lim g ( x )
x→2

a/ Xét tính liên tục của hàm số

TXD: D = R
3

và f ( 2)

rồi so sánh

lim g ( x ) = lim x −8
x −2
x →2

x →2

(

lim x 2 + 2 x + 4
x →2

)

= 12

y = g (x) tại x0 = 2
KL: Hàm số y = g(x) không liên tục
tại x0 = 2

g (2) = 5
⇒ lim g

( x ) ≠ g ( 2)

x→2

Hàm số y = g(x) không liên
tục tại x0 = 2
Học sinh trả lời

HD: Thay số 5 bởi số nào
để hàm số liên tục tại

b/ Thay số 5 bởi số 12

x0 = 2

( x ) = g ( 2)
tức là để limg
x→2

Bài tập 3:
- HS vẽ đồ thị

HD: - Vẽ đồ thị y = 3x + 2

- Dựa vào đồ thị nêu các

khi

khoảng để hàm số y = f(x)

x < - 1 ( là đường thẳng)

liên tục

b/ -Hàm số liên tục trên các khoảng

x ≥ −1 ( là đường parabol )

-Dựa vào định lí chứng

định ở câu a/ bằng định lí
- HD: Xét tính liên tục của
hàm số y = f(x) trên TXD

a/ Hàm số y = f(x) liên tục trên các
khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )

- Vẽ đồ thị y = x 2 − 1 nếu

-Gọi HS chứng minh khẳng

3 x + 2 , x < −1
f ( x) =  2
 x − 1 , x ≥ −1

minh hàm số liên tục trên
các khoảng

( −∞; −1)

và ( −1; +∞ )

-Xét tính liên tục của hàm

số tại x0 = −1

( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
- Tại x0 = −1
limf ( x ) ≠ lim f ( x )
x →−1−

x →−1+

Hàm số không liên tục tại x0 = −1
Bài tập 4:


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

của nó

-Hàm số y = f(x) liên tục trên các
khoảng ( −∞; −3) , ( −3; 2 ) , ( 2; +∞ )
-Tìm tập xác định của các
hàm số

- Hàm số y = g(x) liên tục trên các
π
 π

+ kπ ; + kπ ÷ k ∈ Z
2

 2


khoảng  −

HD: Tìm TXD của các hàm
số , áp dụnh tính chất của

Bài tâp 6: CMR phương trình:

hàm số liên tục

a/ 2 x3 − 6 x + 1 = 0 có ít nhất hai
nghiệm

- Hàm số y = f(x) là hàm
đa thức nên liên tục trên R
- Chon a = 0, b = 1

HD: Xét tính liên tục của

- Chọn c = -1, d = -2

hàm số này và tìm các số a,
b, c, d sao cho: f(a).f(b) < 0
và
f(c).f(d) < 0

-Hàm số: f(x) = cosx –x
liên tục trên R

- Chọn a = 0, b = 1

Biến đổi pt: cosx = x trở
thành
cosx – x = 0
Đặt f (x) = cosx – x
Gọi HS làm tương tự câu a/

* Củng cố : (2’)
- ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm.

b/ cosx = x có nghiệm


Giáo án Đại số và Giải tích 11

Trần Chiến Công - Trường THPT Chu Văn Thịnh

- ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng.
- Các định lí cơ bản.

4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)
- Xem lại lí thuyết.
- Làm bài tập sách giáo khoa.

* Rút kinh nghiệm:
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………