Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 2: Giới hạn của hàm số

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU: HS cần nắm được:
1. Về kiến thức:
 Vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến
giới hạn .
 Vận dụng các định lý về giới hạn trình bày trong sách để tính giới hạn của các dãy số đơn
giản.
 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài tốn
liên quan có dạng đơn giản.
2. Về kỷ năng:
 Nắm được các bước cơ bản giải một bài toán về giới hạn .
3. Tư duy – thái độ:
 Hiểu được khái niệm giới hạn 0.
 Hiểu được khái niệm là số a.
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn .
 Giới hạn vô cực .
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
1.
Về kiến thức:
Hs đã được học lý thuyết về giới hạn dãy số .
2.
Về phương tiện: bảng con để hoạt động nhóm
III. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Phương pháp gợi mở, giải quyết vấn đề.
Kết hợp hình thức hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VA Ø HS

NỘI DUNG
* hoạt động 1 :
Bài 1 :
Bài 1 :
1
1
1
a) u1  ; u2  ; u3  ;…
Học sinh hiểu được ứng dụng thực tế của khái niệm
2
4
8
giới hạn trong một môn học khác
1
bằng quy nạp ta chứng minh được un  n
Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn của dãy số .
2
Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn một số
n
�1 �
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi” .
b) lim un  lim � � 0 ( theo tính chất
Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập này .
�2 �
lim qn  0 nếu q  1).
Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ thể hơn đối với c) 1 ( g )  1 . 1 (kg )  1 ( kg )
106
106 103
109
câu c ) chọn n0 là một số cụ thể .

1
Vì un � 0 nên un  n có thể nhỏ hơn một số
2
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi
1
. Như vậy un nhỏ hơn 9 kể từ chu kì n0
10
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH
Trang 1


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

nào đó . Nghĩa là sau một số năm ứng với chu
kỳ này , khối lượng chất phóng xạ khơng cịn
độc hại đối với con người .
* Hoạt động 2 :
GV: Học sinh nhắc lại định nghĩa giới hạn ?
GV: Một học sinh lên bảng trình bày . Em khác nhận
xét .Giáo viên sữa nhận xét cho điểm

* Hoạt động 3
Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn ,
bút lơng để làm việc .
Học sinh có thể thay đổi chỗ ngồi , giáo viên quy
định thời gian cho các em làm bài . Tổ nào mặt bằng
khá hơn giáo viên giao cho câu c và câu d .
Sau khi học sinh làm xong giáo viên hoàn chỉnh lại

bài cho các em , cho điểm các tổ . Đây là các dạng
bài tập cơ bản .
Giáo viên có thể tổng quát cho các em
a.n  b a
lim
 (a �0, c �0)
c.n  d c
a.n 2  bn  c a
lim
 (a �0, d �0)
d .n 2  en  f d

Bài 2 :

1
1
 0 nên 3 có thể nhỏ hơn một số
3
n
n
dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi
.
1
1
Mặt khác , ta có un  1  3  3 với mọi n .
n
n
Từ đó suy ra un  1 có thể nhỏ hơn một số
Vì lim

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi
, nghĩa là lim  un  1  0 . Do đó lim un  1 .
Bài 3 :
1
6
6n  1
n  6  3.
 lim
a) lim
2 2
3n  2
3
n
1 5
3  2
2
3n  n  5
n n 3
 lim
b) lim
2
1
2n  1
2
2 2
n
n
�3 �
3n
5

� � 5
n
3n  5.4 n
4
4
 lim
 lim � � n  5
c) lim n
n
n
2
4 2
�1 �
1 n
1 � �
4
�2 �
1 1
9  2
2
9n  n  1
n n 3
d) lim
 lim
2
4n  2
4
4
n

( Hết tiết 1 )
* Hoạt động 4
GV: Học sinh nhắc lại cơng thức tính tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn .
( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn 1 )
GV: Một học sinh lên làm câu a . Các em còn lại theo
dõi và nhận xét bài của bạn .
( Dự đốn cơng thức của un và chứng minh bằng
phương pháp quy nạp ).
Giáo viên sữa bài và gọi một em khác lên làm câu b ,
giáo viên nhận xét rồi cho điểm .
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Bài 4 :

1
1
1
1
a) u1  ; u2  2 ; u3  3 ; un  n .
4
4
4
4
b) theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn ta có :
1
u1
1
lim Sn 

 4 
1 q 1 1 3
4
Trang 2


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

* Hoạt động 5 :
GV: Mỗi số hạng trong tổng S là số hạng của 1 cấp
1
số nhân với u1  1, q  
10
HS: lên bảng làm bài .
* Hoạt động 6 :
GV: Sữa bài này.

* Hoạt động 7 :
Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn ,
bút lơng để làm việc .
Hs có thể thay đổi chỗ ngồi , gv quy định thời gian
cho các em làm bài . Tổ nào mặt bằng khá hơn giáo
viên giao cho câu c và câu d .
Sau khi hs làm xong gv hoàn chỉnh lại bài cho các
em, cho điểm các tổ . Đây là các dạng bt cơ bản .
* Hoạt động 8 :
GV: Gợi ý cho các em
Gọi hai học sinh lên bảng làm bài các em ở dưới làm
bài và nhận xet kết quả của bạn .

CHƯƠNG 4

Bài 5 :
Theo cơng thức ta có :
u
1
10
S 1 

1 q
� 1 � 11
1  � �
� 10 �
Bài 6 :
2
2
2
a  1, 020202...  1 

 ... 
 ...
2
100 100
100n
2
2 101
 1  100  1 

1
99

99
1
100
2
2
2
,
,...,
,... là một cấp số nhân
( vì
2
100 100
100n
1
).
lùi vơ hạn , cơng bội q 
100
Bài 7 :( đáp số)
a) �;
b) �;
1
c)  ;
2
�
d)
;
Bài 8 :
3u  1 lim  3un   1

a) lim n

un  1
lim un  1
3lim un  1 3.3  1


2
lim un  1
3 1
1 2

vn  2
vn vn2
 lim
0
b) lim 2
1
vn  1
1 2
vn

V. CỦNG CỐ :
 Kĩ năng khi làm một bài tốn tìm giới hạn của một dãy số
 Kĩ năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số
 Nắm bắt một số công thức cơ bản
Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố :
Câu 1 : Cho dãy số an  3 n3  1  n . Kết quả đúng là :
1
A. lim an  0
B. lim an 
3

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 3


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

C . lim an 

1
2

CHƯƠNG 4

D. lim an  1

Câu 2 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu : lim
A. 7

B. 

3
2

D. �

C. 0

Câu 3 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu :

7n 2  3n
bằng
n2  2

3

n3  n
bằng
n2

1
D. 2
2
Câu 4 : Trong các dãy số sau đây , dãy số nào có giới hạn ?
A. un  sin n
B. un  cosn
1
n
C. un   1
D. un  n
2
VI. Dặn dò :
Về soạn bài giới hạn của hàm số .
A. 0

B. 1

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

C.

Trang 4


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
TT
I. MỤCTIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó .
o Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các định lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng
đơn giản .
2. Kĩ năng: Giúp học sinh
o Rèn luyện kĩ năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong sách giáo
khoa.
3. Tư duy - Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.
o Phát triển tư duy logic.
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua nội dung bài mới ở nhà .
III. GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
o Phương pháp gợi mở vấn đáp .
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp :
2. Dạy bài mới :

Hoạt động của thầy và trò

Nội dung

* Hoạt động 1:

I. GIỚI HẠN HỮU
HẠN CỦA HÀM
SỐ

Xt hm số f  x  

2 x2  2x
.
x 1

1. Định nghĩa :
1. Cho biến x những gi trị khc 1 lập thnh dy số  xn  , xn � 1 như trong bảng sau (sgk)
:
x
f  x

5
4

x 2
1

3
x 

2 2

4
x 
3 3

x4 

f  x1 

f  x2 

f  x3 

f  x4 

...

xn 

n 1
n

f  xn 

...

�1

...

�?

Khi đó ,các giá trị tương ứng của hàm số

f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  ,...
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là  f  xn   .
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 5


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

a) Chứng minh rằng f  xn   2 xn 

CHƯƠNG 4

2n  2
.
n

b) Tìm giới hạn của dãy số  f  xn   .
2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì

f  xn  � 2 .

 xn  , xn �1

và xn � 1 , ta ln có

GV: u cầu học sinh làm câu hỏi 1, giáo viên hướng dẫn cho các em làm câu
2.
GV: các em sử dụng định nghĩa chứng minh Ví dụ :
lim f  x   4 .
x �2
x2  4
Cho hàm số f  x  
. Chứng minh rằng
x2
HS: nêu cách chứng minh bằng định nghĩa .
lim f  x   4 .
x �2

Giải :
Hàm số đã cho xác định trên R \  2 .
Giả sử  xn  là một dãy bất kỳ , thõa mãn xn �2
và xn � 2 khi n � �.
Ta có :
xn2  4
 x  2   xn  2 
lim f  x   lim
 lim n
xn  2
 xn  2 

GV: cc em nhận xt

 lim  xn  2   4

lim x  ?; lim c  ?

NHẬN XÉT :

x � x0

x � x0

x  x0 ; lim c  c
HS: xlim
� x0
x � x0
a)
Giả sử khi
đó
Gv: yêu cầu học sinh giải thích .

lim x  x0 ; lim c  c , với c là hằng số .

x � x0

x � x0

;
GV: Cho
học sinh thừa nhận định lý 1.
Gv giải
thíchvàcho
b) Nếu
, thìhọc

và sinh dễ hiểu các định lý này Định lý giới hạn hữu hạn
như phép cộng phép nhân , phép chia các số .
đinh lý 1:
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng
đang tìm giới hạn , với
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 6


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

GV: Trong khi thực hành làm bài tập thì ít khi ta
dùng định nghĩa , mà ta thường sử dụng định lý 1
kết hợp với các giới hạn đơn giản đã biết trước
đó .
GV: Cho học sinh làm các ví dụ , hướng dẫn cho
các em sử dụng định lý 1 .

Ví dụ 2 :

GV: cách làm trong sgk là chỉ tường tận cho học
sinh các bước , cho các em hiểu rõ ràng nhất cách
làm bài toán các tư duy logic dẫn đến bài toán .

x2  1
f  x
Cho hàm số f  x  

. Tìm lim
x �3
2 x

Khi các em đã hiểu rõ bài tốn và làm tốt có thể
trình bày như sau:

Giải:

lim f  x   lim
x �3

x �3

x 1 3 1 5


2 x
2 3
3
2

2

( chú ý trong những trường hợp mà có biểu thức
tính giói hạn là đa thức theo x hoặc khi thay giá trị
của x= x0 thì biểu thức tính giới hạn là có đạt giá
trị hữu hạn … thì giới hạn của biểu thức chính là
giá trị của biểu thức khi x= x0 .

Theo định lý 1 ta có :

 x 2  1
x 2  1 lim
x �3
lim f  x   lim

x �3
x �3 2 x
lim 2 x
x �3



lim x 2  lim1
x �3

x �3

lim 2.lim x
x �3



lim x.lim x  lim1
x �3

x �3

x �3

x �3

lim 2. lim x
x �3

x �3



3.3  1 5

2 3
3

ví dụ 3 :
GV: Có tính được giới hạn bằng cách thay giá trị x
= 1 vào biểu thức được khơng?Vì sao?

Tính lim
x �1

x2  x  2
.
x 1

Giải:
GV: sau nsỳ khi trình bày bài này học sinh làm
như sau :

 x  1  x  2   lim x  2  3.
x2  x  2
lim
 lim


x �1
x �1
x �1
x 1
x 1
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Khi thay x = 1 thì biểu thức tính giưới hạn khơng
có nghĩa , nhưng ta có thể làm như sau:
Với x �1 ta có :

Trang 7


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

x 2  x  2  x  1  x  2 

 x  2 . Do đó :
x 1
x 1
lim

x �1

 x  1  x  2   lim x  2  3.
x2  x  2
 lim


x �1
x �1
x 1
x 1

GV: Trong định nghĩa về giới hạn hữu hạn của 1. Giới hạn một bên
hàm số khi x � x0 , ta xét dãy số  xn  bất kì , ĐỊNH NGHĨA 2 : (SGK)
xn � a; b  \  x0  và xn � x0 . Giá trị xn có thể lớn
hơn hoặc nhỏ hơn x0 .
Nếu chỉ xét các dãy  xn  mà xn luôn lớn hơn x0
(hay luôn nhỏ hơn x0) . thì ta có định nghĩa giới
hạn một bên như sau :
GV nêu định nghĩa sgk , giải thích kĩ cho các em Thừa nhận định lý sau :
hiểu .
ĐỊNH LÝ 2 :
khi và chỉ khi

5 x  2, x �1
�
Ví dụ 4 : Cho hàm số f  x   �2
�x  3, x  1
f  x  , lim f  x  và lim f  x  (nếu có )
Tìm lim

x �1
x �1
x �1

Giải:
f  x   lim  x 2  3  12  3  2
Ta có xlim
�1
x �1
lim f  x   lim  5 x  2   5.1  2  7

x �1

x �1

Như vậy , khi x dần tới 1 hàm số y= f(x) có giới
hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7 . Tuy
lim f  x  khơng
nhiên
,
tồn
tại
vì
x �1
lim f  x  �lim f  x  .

x �1

x �1

3. Củng cố : Qua bài học học sinh cần nắm được
o Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số.
o Biết các định lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng
đơn giản .
2. Bài tập về nhà :
o Bài tập 1,2,3,4,5.
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 8


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

o Đọc phần cịn lại của bài.
V. RÚT KINH NGHIỆM

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiếp)
I. MỤCTIÊU:
1. Kiến thức:
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số tại ��.
o Giúp học sinh nắm được quy tắc tìm giới hạn �� của hàm số thơng qua các định lý .
o Nắm được các quy tắc tìm giới hạn có liên quan đến loại giới hạn này thơng qua các ví dụ .
o Biết cách nhận dạng các dạng vô định và phương pháp khử các dạng này .
2. Kĩ năng: Giúp học sinh
o Rèn luyện kĩ năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong sách giáo
khoa.
3. Tư duy - Thái độ :
o Cẩn thận, chính xác.

o Phát triển tư duy logic.
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:
o Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập
o Học sinh đọc qua nội dung bài mới ở nhà .
III. GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
o Phương pháp gợi mở vấn đáp .
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp :
2. Dạy bài mới :
Hoạt động của thầy và trò

Nội dung

* Hoạt động 1 :

II. – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
TẠI VÔ CỰC
ĐỊNH NGHĨA 3 : ( SGK)

0
2

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 9


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

Cho hàm số f  x  

CHƯƠNG 4

1
có đồ thị như trên
x2

GV: các em quan sát đồ thị và cho biết
- Khi x dần tới � , thì f(x) dần tới giá trị nào .
- - Khi x dần tới � , thì f(x) dần tới giá trị nào .
HS: Quan sát đồ thị và trả lời
GV: Định nghĩa này tương tự như định nghĩa giới hạn
một bên trong phần I

Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 5 : Cho hàm số f  x  
lim f  x  và lim f  x  .
x ��

2x  3
. Tìm
x 1

x ��

Giải :
3
2x  3
x 2
lim f  x   lim

 lim
x ��
x �� x  1
x ��
1
1
x
2

Chú ý :
a) Với c, k là hằng số và k ngun dương , ta
ln có :

c
0
x ��� x k

lim c  c; lim

x ���

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số
khi x � x0 vẫn còn đúng khi x � �hoặc
x � �.
GV: Học sinh lên bảng trình bày các em khác ở dưới Ví dụ 6 :
làm sau đó nhận xét bài cho bạn . GV sữa lạ bài cho
3x 2  2 x
các em .
Tìm lim
.

x �� x 2  1

Giải :
2
3
3x 2  2 x
x  30  3
lim
 lim
2
x �� x  1
x � �
1
1 2 1 0
x
NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 10


GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

* Hoạt động 2:

CHƯƠNG 4

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

GV: các định nghĩa về giới hạn �( hoặc �) của 1. Giới hạn vô cực của hàm số
hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa1,2 hay ĐỊNH NGHĨA 4 ( SGK)

3 ở trên .
NHẬN XÉT :
lim f  x   �� lim   f  x    �

x ��

GV: các em nhận xét các giới hạn sau và giải thích ?

x � �

2. Một vài giới hạn đặc biệt

lim x k  ? với k nguyên dương.

a)

x ��

lim x k  ? nếu k là số lẻ .

x k  � nếu k là số lẻ .
b) xlim
��

lim x k  ? nếu k là số chẵn .

c)

x ��

x ��

lim x k  � với k nguyên dương.

x ��

lim x k  � nếu k là số chẵn .

x ��

GV: Cho học sinh giải thích theo cách hiểu của các em 3. Một vài quy tắc về giới hạn vơ cực
sau đó giáo viên chỉnh sữa giải thích thêm .
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f  x  .g  x 
(sgk- tr 130)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

f  x
g  x

Chú ý :
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp
x � x0 , x � x0 , x � �, x � �.

 x3  2 x  .
Ví dụ 7: Tìm xlim
��
GV: Chỉ cho học sinh cách làm sau :

Giải:
Vì biểu thức tính giới hạn là đa thức theo ẩn x , ta thấy

2�
3
3�
số mũ cao nhất là 3 hệ số của x3 là 1 > 0 nên
1  2 �.
Ta có x  2 x  x �
� x �
3
lim  x  2 x   �
x ��
2�
x 3  �và lim �
1  2 � 1  0
Vì xlim
�
��
x � �
� x �

� 2�
x3 �
1  � �
Nên xlim
��
� x�

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 11

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 4

� 2�
x3  2 x  lim x 3 �
1  2 � �.
Vậy xlim
��
x ��
� x �





Ví dụ 8: Tính các giới hạn sau :
a) lim
x �1

2x  3
;
x 1

b) lim
x �1

2x  3
.

x 1

Giải:

 x  1  0, x  1  0 với x < 1 và
a) Ta có lim
x �1
lim  2 x  3  2.1  3  1  0.
x �1

do đó lim
x �1

2x  3
 �.
x 1

 x  1  0, x  1  0 với x > 1 và
b) Ta có xlim
�1
lim  2 x  3  2.1  3  1  0.

x �1

do đó lim
x �1

2x  3
 �.
x 1

3. Củng cố : Qua bài học học sinh cần nắm được
o Biết khái niệm giới hạn của hàm số tại ��.
o Giúp học sinh nắm được quy tắc tìm giới hạn �� của hàm số thông qua các định lý .
o Nắm được các quy tắc tìm giới hạn có liên quan đến loại giới hạn này thông qua các ví dụ .
o Biết cách nhận dạng các dạng vơ định và phương pháp khử các dạng này .
Bài tập về nhà :
o Bài tập 6,7.
V. RÚT KINH NGHIỆM

NGUYỄN TRẦN HỒNG LĨNH

Trang 12