Giáo án Giải tích 11 chương 4 bài 2: Giới hạn của hàm số

GIÁO ÁN TOÁN 11
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
- Biết các các định lí về giới hạn của hàm số.
2. Kĩ năng
- Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đ.giản về giới hạn
của hàm số.
- Biết vận dụng định lí về giới hạn của hàm số vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giả
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại kiến thức của bài .
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
Thông qua các hoạt động trong giờ học
3. Nội dung bài mới
Hoạt động 1: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm (15
phút)
*) H1- sgk. Xét hàm số f ( x ) =

2x2 − 2 x
.
x −1

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số ( xn ) , xn → 1 như trong
bảng sau :
x

x =2
1

3
x =
2 2

4
x =
3 3

f ( x)

f ( x1 )

f ( x2 )

f ( x3 )

x4 =

5

4

f ( x4 )

..
.

xn =

n +1
n

f ( xn )

..
.

→1

..
.

→?

Khi đó ,các giá trị tương ứng của hàm số f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) ,... cũng lập
thành một dãy số mà ta kí hiệu là ( f ( xn ) ) . Chứng minh rằng


GIÁO ÁN TOÁN 11
a) f ( xn ) = 2 xn =

2n + 2
.
n

b) Tìm giới hạn của dãy số ( f ( xn ) ) .

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì ( xn ) , xn ≠ 1 và xn → 1 , ta luôn có
f ( xn ) → 2 .
Hoạt động của GV và HS
GV: Hướng dẫn HS thực hiện H1
- Tính f ( xn ) ?
- Tính lim f ( xn ) dựa vào KQ
trên ?
HS: Thực hiện H1 dưới sự HD của
giáo viên

Nội dung chính
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một
điểm
a) Định nghĩa 1
*) Định nghĩa (sgk)
f ( x) = L hay f(x)→ L khi x→
Kí hiệu: xlim
→x
0

GV: Thông qua H1 dẫn dắt HS đến
x0
khái niệm giới hạn hữu hạn của h/s

x2 − 4
tại một điểm
*) Ví dụ: Tính xlim
→−2
x+2

GV: Nêu ví dụ giúp HS khắc sâu
Ta có:
định nghĩa

( x + 2 ) ( x − 2 ) = lim x − 2 = −4
x2 − 4
= lim
(
)
x →−2 x + 2
x →−2
x →−2
( x + 2)
lim

GV: Chú ý cho HS

( x + 2) ( x − 2)
x →−2
( x + 2)
lim

= lim ( x − 2 )
x →−2

(vì x+2≠ 0)

(vì

x+2≠ 0)

*) Nhận xét:
lim x = x0 ; lim c = c (c là hằng số)
x → x0

x → x0

Hoạt động 2: Định lý về giới hạn hữu hạn (10 phút)
2. Định lý về giới hạn hữu hạn
a) Định lý 1
HS: Đọc định lý 1- thừa nhận
f ( x) = L và lim g ( x ) = M . Khi đó:
*) G/s xlim
→x
x→x
0

GV: Khắc sâu định lý cho HS – tương
tự định lý 1 phần g/h dãy số

0

• lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M
x → x0

• lim [ f ( x) − g ( x) ] = L − M
x → x0

• lim [ f ( x).g ( x ) ] = L.M
x → x0

• lim

GV: Lưu ý trong khi thực hành tính

x → x0

f ( x) L
=
( M ≠ 0)
g ( x) M


GIÁO ÁN TOÁN 11
lim f ( x) = L ⇒
g/h thì ít khi ta dùng định nghĩa mà *) f(x) ≥ 0, x → x
ta thường sử dụng định lý 1 kết hợp L ≥ 0, lim f ( x) = L
x→x
với các giới hạn đơn giản đã biết
b) Ví dụ
trước đó để tìm g/h.
0

0

x 2 + 1 3.3 + 1 5
=
=
+) lim
x →3 2 x
2 3
3
2
( x − 1) ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3
x + x−2
= lim
+) lim
x →1
x →1
x −1
x −1

HS: Vận dụng ĐL1 tính g/h

Hoạt động 3: Giới hạn một bên
3. Giới hạn một bên

HS: Đọc định nghĩa 2 - sgk

a) Định nghĩa 2
GV: Giải thích định nghĩa 2 cho HS

(sgk)
f ( x) = L ; lim f ( x) = L

Kí hiệu: xlim
→x
x→ x
+
0

GV: Nêu Định lý 2
HS: Ghi nhớ

−
0

b) Định lý 2

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L
GV: Lưu ý cho HS đối với những h/s
x→x
x→x
x→x
được cho bởi nhiều công thức, khi tính
c) Ví dụ
g/h của hàm số tại x0 ta mới cần phải
tính g/h một bên tại x0
khi x ≥ 1
5x + 2
Cho hàm số f ( x) =  2
GV: Nêu ví dụ và HD học sinh
khi x < 1
x − 3
- Khi x > 1, x < 1 thì h/s f(x) bằng bao

f ( x), lim f ( x), lim f ( x) nếu có.
nhiêu?
Tìm xlim
x →1
→1
x →1
f ( x), lim f ( x), lim f ( x) ?
- Tính lim
x →1
x →1
x →1
Giải
−
0

0

−

−

+

−

f ( x) không tồn tại
Vậy lim
x →1

(

+

+

HS: x >1 thì f(x) = 5x+2, x <1 thì f(x)
= x2-3
f ( x) = lim(5 x + 2) = 7 , lim f ( x) = −2
⇒xlim
→1
x →1
x →1
+

+
0

do lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x →1

x →1

)

GV: Chính xác hóa KQ
GV: Khắc sâu cho HS định nghĩa 2 và
định lý 2

f ( x) = lim ( x 2 − 3) = 12 − 3 = −2
Ta có: xlim

→1
x →1
−

−

lim f ( x) = lim+ ( 5 x + 2 ) = 5.1 + 2 = 7

x →1+

x →1

⇒ lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x →1

x →1

f ( x) không tồn tại.
Vậy : lim
x →1


GIÁO ÁN TOÁN 11
4. Củng cố, luyện tập.
- Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới
hạn hàm số.
- Nhắc lại các định lý 1,2.
5. Hướng dẫn HS học ở nhà
- Làm BT 1,2/132 sgk.

GIÁO ÁN TOÁN 11
Tiết 54

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiếp)

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
- Biết các các định lí về giới hạn của hàm số.
2. Kĩ năng
- Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đ.giản về giới hạn
của hàm số.
- Biết vận dụng định lí về giới hạn của hàm số vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giả
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại kiến thức của bài .
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
- Nêu định nghĩa g/h hữu hạn của hàm số tại một điểm và g/h một bên ?

- Tính lim
x →1

x2 − 3x + 2
?
x −1

3. Nội dung bài mới
Ho¹t ®éng 1: Giíi h¹n h÷u h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc
Hoạt động của GV và HS
HS: Quan sát đồ thị và cho biết
Khi x →+∞ , thì f(x) →0
Khi x →−∞ , thì f(x) →0
GV: Thông qua H3 đưa ra định nghĩa 3

HS: Ghi nhận kiến thức

Nội dung chính
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
*) H3 - sgk
Trả lời: Khi x→±∞thì f(x) →0
*) Định nghĩa 3
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
(a;+∞ ) . H/s y = f(x) có giới hạn là số L khi
x→ +∞ nếu với dãy số (xn) bất kỳ, xn > a và
xn→ +∞ , ta có f(xn) → L.


GIÁO ÁN TOÁN 11
f ( x) = L hay f(x) → L khi x→ + ∞

Kí hiệu: xlim
→+∞
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (∞ ; a). H/s y = f(x) có giới hạn là số L khi x→
GV: Lưu ý HS khi tính g/h hàm số tại vô
-∞ nếu với dãy số (xn) bất kỳ, xn < a và xn→ cực ta áp dụng các phép biến đổi tương tự
∞ , ta có f(xn) → L.
tính g/h dãy số
f ( x) = L hay f(x) → L khi x→ ∞
Kí hiệu: xlim
→−∞
HS: Nêu cách làm

HS: Đứng tại chỗ thực hiện TT g/h dãy số *) Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) = 2 x + 3 .
x −1

f ( x ) và lim f ( x ) .
Tìm xlim
→−∞
x →+∞

Giải

GV: Chính xác hóa KQ

3
2x + 3
x =2
lim f ( x ) = lim
= lim
x →−∞

x →−∞ x − 1
x →−∞
1
1−
x
Tương tự lim f ( x ) = 2
2+

GV: Đưa ra nhận xét

x →+∞

*) Chú ý
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương:
c
=0
x →±∞ x k

lim c = c; lim

x →±∞

b) Định lý 1 khi x→ x0 vẫn đúng khi x→ ± ∞.
Hoạt động 2: Củng cố
Ví dụ :Tìm các giới hạn
HS: Lên bảng làm

3x 2 − 2 x
x →+∞ x 2 + 1

a ) lim

b) lim

x →−∞

x2 − 2 x + 5

Giải

GV: Chính xác hóa KQ

GV: Chú ý cho HS khi tính g/h

2
3−
3x 2 − 2 x
x = 3−0 = 3
= lim
a) xlim
2
→+∞ x + 1
x →+∞
1
1+ 2 1+ 0
x


GIÁO ÁN TOÁN 11
tại -∞

b) lim

x →−∞

x 2 − 2 x + 5 = lim

x →−∞

 2 5
x 2 1 − + 2 ÷
 x x 

 2 5 
 2 5 
= lim x 1 − + 2 ÷ = lim ( − x ) 1 − + 2 ÷ = +∞
x →−∞
 x x  x →−∞
 x x 

4. Híng dÉn häc ë nhµ
- VÒ nhµ hÖ thèng l¹i toµn bé lý thuyÕt vµ lµm bµi tËp 3,4
trang 132.


GIÁO ÁN TOÁN 11
Tiết 55
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiếp)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.

- Biết các các định lí về giới hạn của hàm số.
2. Kĩ năng
- Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đ.giản về giới hạn
của hàm số.
- Biết vận dụng định lí về giới hạn của hàm số vào việc tính các giới hạn
dạng đơn giả
3. Thái độ
Tự giác, tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
1. Chuẩn bị của GV
Bài soạn, câu hỏi gợi mở, phấn màu, ..
2. Chuẩn bị của HS
Đọc trước bài và ôn lại kiến thức của bài .
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC.
1. Ổn định tổ chức
11B1 Ngày giảng :
Sỹ số:
11B2 Ngày giảng :
Sỹ số:
2. Kiểm tra bài cũ
- Nêu định nghĩa g/h hữu hạn của hàm số tại vô cực ?
- Tính xlim
→±∞

x 2 − 3x + 2
?
1 − 3x 2

3. Nội dung bài mới
Ho¹t ®éng 1: Giíi h¹n v« cùc cña hµm sè

Hoạt động của GV và HS
Nội dung chính
III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
HS: Đọc định nghĩa 4-sgk
*) Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
(a; + ∞ ). Hàm số y = f(x) có giới hạn là GV: Giải thích và khắc sâu định nghĩa ∞ khi x→ + ∞ nếu với dãy số (xn) bất kỳ,
xn > a và xn→ + ∞ , ta có f(xn) → - ∞ .
4 cho HS
f ( x) = −∞ hay f(x) →-∞ khi
Kí hiệu: xlim
→+∞
x→+∞.
*) Nhận xét:
lim f ( x) = +∞ ⇔ lim ( − f ( x) ) = −∞

x →+∞

x →+∞


GIÁO ÁN TOÁN 11
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a ) lim x k = +∞ ( k nguyên dương)
x →+∞

GV: Đưa ra các giới hạn đặc biệt và
x k = −∞ (k lẻ)
b) xlim

→−∞
HS tìm KQ
x k = +∞ (k chẵn)
c) xlim
→−∞
- Nhận xét các giới hạn sau và giải
thích ?

HS: Tương tự GH dãy số đã học điền 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
KQ
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
GV: Nêu các quy tắc về giới hạn vô
cực

lim f ( x)

lim g ( x )

x → x0

lim f ( x).g ( x )

x → x0

x → x0

+∞
-∞
+∞
-∞

L>0
L<0

+∞
-∞
-∞
+∞
f ( x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương g ( x)
HS: Ghi nhớ

( Bảng /131 sgk )
* Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng khi
x → x0+ , x → x0− , x → ±∞

GV: Lưu ý các quy tắc này tương tự c) Ví dụ: Tính giới hạn
ĐL 2 ở giới hạn dãy số
2

x 3 − 2 x ) = lim x 3 1 − 2 ÷ = −∞.1 = −∞
(
a) xlim
→−∞
x →−∞
2x − 3

−1

x −1

0



x 

=
= +∞ ( vì x-1 < 0)
HS: Vận dụng các kiến thức đã biết và b) xlim
→1 x − 1
0
các quy tắc vừa học tính g/h
2 x − 3 −1
=
= −∞ ( vì x-1 > 0)
c) xlim
→1
−

+

GV: Chính xác hóa KQ
Ho¹t ®éng 2: Cñng cè
GV: Giao bài tập cho hS giải
Bài tập: Tính giới hạn của các hàm số sau
HS: Thảo luận tìm cách làm

A = lim(3x 2 + 4 x + 9)

x →1

C = lim (2 x 3 + 4 x 2 + 9 x − 1)
x → −∞

HS: Đứng tại chỗ nêu cách làm

x +1
x →1 2 x − 2
F = lim ( 2 x 3 + 4 x 2 + 9 x − 1)
E = lim+

x → +∞

2x + 1
3x − 5
x +1
D = lim−
x →1 2 x − 2
B = lim
x →2


GIO N TON 11
G = lim +

HS: Lờn bng trỡnh by
GV: Chớnh xỏc húa kt qu
GV: Khc sõu cho HS 1 s k thut
bin i khi tớnh gii hn hm s:

Chia, liờn hp...

3
x
2

2 3x
2x + 3

H = lim
x 0

x +1
x

ỏp s:
A = 16, B = 5, C = -, D = -, E = +, F = +
G = +, H = -

4. Củng cố, luyện tập
- Khỏi nim g/h vụ cc ca hm s;
- Cỏc quy tc tỡm g/h vụ cc ca h/s, cỏc g/h c bit.
5. Hớng dẫn HS học ở nhà
Ôn li kin thc ca bi v lm cỏc bi tp sgk T132, 133